defocusing and fractional fourier transform

82
题目: 体全息存储中离焦与分数傅立叶变换 的理论分析与研究 别: 精密仪器与机械学系 业: 精密仪器与测控技术 名: 指导教师:

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Page 1: Defocusing and fractional Fourier transform

清 华 大 学

综 合 论 文 训 练

题目:体全息存储中离焦与分数傅立叶变换

的理论分析与研究

系 别: 精密仪器与机械学系

专 业: 精密仪器与测控技术

姓 名: 王 卓

指导教师: 金 国 藩

Page 2: Defocusing and fractional Fourier transform

二零零二年六月二十日

Page 3: Defocusing and fractional Fourier transform

指导教师评语:

指导教师(签字)

评阅教师评语:

评阅教师(签字)

答辩小组意见:

组 长(签字)

成 绩:

教学负责人(签字)

年 月 日

Page 4: Defocusing and fractional Fourier transform

综合论文训练任务书

姓名 王卓 学号 980649 班号 仪 82

系别 精仪系 同组姓名 指导教师 金国藩

一、 课题名称:

体全息存储中离焦与分数傅立叶变换的理论分析与研究

二、 设计(论文)要求(包括主要指标):

根据菲涅耳衍射理论,或分数傅立叶变换理论分析并研究谱面体全息

存储系统中晶体离焦的最佳位置及相应的孔径光阑尺寸,达到既能充

分理由晶体的动态范围 M#又能保证图像质量,减小误码率。

三、 设计(论文)的原始数据及依据:

系统的原始数据:

SLM 总像素数 1024×768 单元像素 26×26um2

填充因子 23/26, 16/26

CCD 总像素数 1024×1024 单元像素 9×9um2

填充因子 2.7/9,9/9

透镜焦距:f1=154.6,f2=53.5

Page 5: Defocusing and fractional Fourier transform

四、 设计报告(论文)应包括的内容:

1. 离焦情况下谱面光场分布模拟和计算与分析

2. 离焦后谱面的扩展对存储密度的影响

3. 谱面压缩引起的像素间串扰分析

4. 最佳离焦量及孔径光阑的选取

五、 参考文献:

1. 顾德门. 傅立叶光学导论. 詹达三 等译. 北京 : 科学出版社, 1976

2. 于美文. 光全息信息处理. 北京 : 国防工业出版社, 1984

3. 宋菲君, (日)S. Jutanmulia. 近代光学信息处理.

北京: 北京大学出版社, 1998

4. 赵凯华, 钟锡华. 光学. 北京 : 北京大学出版社, 1984

5. 吕百达. 激光光学 : 激光束的传输变换和光束质量控制

成都 : 四川大学出版社, 1992

6. 郑君里,应启珩,杨为理. 信号与系统. 北京:高等教育出版社. 2000

教学负责人签字

年 月 日

(此任务书装订时放在综合论文训练报告第一页)

Page 6: Defocusing and fractional Fourier transform

清华大学综合论文训练

第 1 页 共 77 页

目录

摘要: .................................................................................................................................................. 2

ABSTRACT: ....................................................................................................................................... 3

第一章 概述: .................................................................................................................................... 4

第二章 用傅立叶变换求解分数傅立叶变换和离焦后光场分布的理论推导 ................................ 5

1. FRESNEL 衍射积分与透镜的傅立叶变换性质 ........................................................................... 5

2. 关于分数傅立叶变换及其光学实现 .......................................................................................... 7

3. 关于实际工作中常用的离焦及其理论分析: ........................................................................ 14

第三章. 谱面光场分布的理论理解与数学建模 ............................................................................. 20

1. 一般离焦情况下的谱面分布: ................................................................................................ 20

2. 满足分数傅立叶变换的离焦: ................................................................................................ 22

第四章 实际工作中常用的离焦方法及其分析: .......................................................................... 24

第五章 分数傅立叶变换与离焦 ...................................................................................................... 28

第六章 关于离焦后谱面的扩展情况的进一步讨论 ...................................................................... 34

第七章 关于谱面的压缩所引起的读出时像素间串扰的讨论和系统参数选取: ...................... 36

1. 从谱面到像面的数学建模 ........................................................................................................ 36

2. 关于减小像素间串扰的数学建模: ........................................................................................ 38

3.减小页内串扰的思路 .............................................................................................................. 45

a. 改变整个系统的传递函数 ................................................................................................... 45

b. 事后补偿 ............................................................................................................................... 46

4. 关于谱面进一步压缩的可能性-数学建模与数值模拟: .................................................... 46

5. 存储系统关键参数的选取 ........................................................................................................ 64

a. SLM 填充比的选取: ......................................................................................................... 65

b. CCD 填充因子的选取 ........................................................................................................ 66

c. 关于记录光斑孔径大小的选择 ........................................................................................ 67

d. 离焦量的选取 ..................................................................................................................... 67

e. 一般情况下的参数选取问题: ........................................................................................... 69

6. 边缘像素渐晕问题的解决 ........................................................................................................ 70

第八章 结论 ...................................................................................................................................... 72

1. 本论文取得的主要研究成果及创新: ....................................................................................... 72

2. 对后续工作的展望:................................................................................................................ 72

附录 1. 谱面强度分布计算源程序 .................................................................................................. 74

附录 2. 像面强度分布等计算源程序 .............................................................................................. 75

参考文献: ........................................................................................................................................ 76

致谢: ................................................................................................................................................ 77

Page 7: Defocusing and fractional Fourier transform

清华大学综合论文训练

第 2 页 共 77 页

摘要:

本文对谱面记录体全息存储中的离焦和分数傅立叶变换的离焦做了详尽的分

析。从 Fresnel 衍射和透镜的傅立叶变换性质入手,推导离焦后谱面分布的一般表

达式,通过适当的约简和限制下得到离焦后谱面和分数傅立叶变换谱面分布的傅

立叶变换表达,并从几何光学的角度上给出了上述结果的物理意义。借助得到的

结果,给出离焦后谱面分布的数学表达式和数值模拟结果。

进一步,给出了从谱面到像面的数学模型,对不同的离焦量、孔径和填充因

子给出了数值模拟的结果,得到相应的光强与页内串扰。通过对数值模拟结果的

分析,给出了系统关键参数(SLM、CCD 的填充率,光斑大小,离焦量)的优化

选取结果。优化选取系统后,系统的表现是令人满意的。

最后,建立了给定 SLM 和 CCD 的条件下系统参数的选取流程图,以此给出

一般情况下系统离焦后参数选取的基本依据,指导今后进一步实验工作的开展。

关键词:离焦,分数傅立叶变换,串扰,体全息存储

Page 8: Defocusing and fractional Fourier transform

清华大学综合论文训练

第 3 页 共 77 页

Abstract:

In the dissertation the defocusing in volume holograms has been discussed in detail.

The math expressions of spectral distribution after defocusing are deduced from basic

Fresnel diffraction and the Fourier transform property of lens. It is proved that the

spectrum after defocusing and the spectrum of Fractional Fourier transform can also be

described as Fourier spectrum under some restrictions and the physical significance of

the result is given by deduction of applied optics. With the mathematic model, the

numerical outcome of the spectral distribution after defocusing is given.

Furthermore, the mathematic model from spectra plane to image plane is put

forward. With the help of the model, the numerical results of different defocusing

values, apertures and fill factors have been discussed. The interpixel cross talk and the

intensity of received light are analyzed and key parameters of the system are optimized.

After the optimizations, the performance of the system is satisfied.

Finally, the flow chart for calculating the optimal parameters of systems of decided

SLM and CCD is given. It is the basis of further experiment.

Key word: defocusing, fractional fourier transform, interpixel cross talk, volume

storage

Page 9: Defocusing and fractional Fourier transform

清华大学综合论文训练

第 4 页 共 77 页

第一章 概述:

傅立叶谱面全息记录的优点:

增加信息密度

容许材料介质更有效的使用

对系统的装调误差与存储介质和光学系统中存在的缺陷较不敏感

尽管傅立叶谱面全息存在以上的优点,但是,值得注意的是谱面能量分布的

不均匀会严重影响材料的特性系数 M#,而材料的衍射效率正比于2

#

M

M,其中

M 为存储的幅数。因此,如何能够均化谱面的能量分布是提高存储密度的一个关

键因素。

经常使用的均化谱面分布的方案有:

离焦记录

使用 Axicon

使用随机相位板

本文将主要对离焦记录进行讨论。

Page 10: Defocusing and fractional Fourier transform

清华大学综合论文训练

第 5 页 共 77 页

第二章 用傅立叶变换求解分数傅立叶变换和离焦后光

场分布的理论推导

1. Fresnel 衍射积分与透镜的傅立叶变换性质

透镜是光学成像系统和光学数据处理系统中最重要的元件,而 Fresnel 衍射场

的计算是确定自由空间传播后光场分布的数学基础,因此,对我们讨论的问题都

具有至关重要的意义。我们并不准备对透镜的各种性质和 Fresnel 衍射场的计算做

详细的讨论,直接给出理想透镜透过率的结论和一些重要的推导思路与计算的方

法, 进一步的讨论请见【1】【2】【3】。

图 1 给出了一个一般情况下的光学系统,其中 S 为点光源,发出的球面波传

播到 SLM 前的光场分布为 ),( 111 yxU ,设 SLM 的透过率函数为 ),( 111 yxt , ),( 111 yxU

通过 SLM 后得到 ),( 111 yxU ,在自由空间传播后得到 ),( yxU 通过透镜后得到

),(' yxU ,而从 ),(' yxU 到 ),( 222 yxU 仍然是一个自由空间的传播过程,直接用

Fresnel 衍射积分计算。

其中透镜的振幅透过率为 )](2

exp[),(),( 22

. yxf

ikyxPyxt ,其中负号表示

正透镜,正号表示负透镜, ),( yxP 是一个补偿因子,在忽略透镜的吸收,有限大

小和像差等的影响情况下,可以令其为 1。

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清华大学综合论文训练

第 6 页 共 77 页

图 1 透镜的傅立叶变换性质

根据上面的分析,我们有:

)(exp),( 2

1

2

1

1010

0

111 yxdd

ik

dd

ayxU

),(),(),( 1111111 yxUyxtyxU

从 ),( 111 yxU 到 ),( yxU 需要用 Fresnel 衍射公式计算:

11

2

1

2

1

1

111

1

1 )()(2

exp),()exp(

),( dydxyyxxd

ikyxU

di

ikdyxU

),()(2

exp),(),(),(' 22 yxUyxf

ikyxUyxtyxU

,按理想正透镜计算

从 ),(' yxU 到 ),( 222 yxU 仍然是 Fresnel 衍射过程:

dxdyyyxxd

ikyxU

di

ikdyxU 2

2

2

2

22

2222 )()(

2exp),('

)exp(),(

将以上各项逐个代入,得到:

dxdydydxPik

yxtCyxU 111112 ]2

exp[),(),(

yd

y

d

yx

d

x

d

xyx

fddyx

dyx

dddP )(2)(2))(

111()(

1))(

11(

2

2

1

1

2

2

1

122

21

2

2

2

2

2

2

1

2

1

110

(1)

下面我们对上式的一些特殊情况进行讨论。讨论限制在我们感兴趣的两种情

况:

当fdd

111

20

2

2

2

2

2

2222 ),()](2

exp['),(y

f

xf

ffTyxuik

CyxU

y

x

yx

(2)

其中2

210

10

2 )(

1

ddd

dd

du

, 2

0

10 dd

dd , ),( yx ffT 为 ),( 111 yxt 的傅立叶变换。

Page 12: Defocusing and fractional Fourier transform

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第 7 页 共 77 页

由此可知,当光源与接收平面为物像关系时,在像面上得到的是 SLM 的傅立叶变

换频谱。

在 fd 1 , 0d 时,为 SLM 透过率函数的严格 Fourier 变换。

当fdd

111

21

且点光源位于无限远时,我们令fdd

111

21

,通过菲涅耳

积分对上式化简得:

11111

2

2

2

21

21

222 ]2

exp[),()])(1(2

exp[),( dydxQik

yxtyxf

d

dd

kiCyxU

(3)

其中 )](2))(1[(1

2121

2

1

2

12

21

yyxxyxf

d

ddQ

这种情况的结果将在下面讨论分数傅立叶变换的过程中直接应用。

2. 关于分数傅立叶变换及其光学实现

从上面的讨论中我们知道,当光源与接收平面为物像关系时,在像面上得到

的是 SLM 的傅立叶频谱。其中的一种特例是平行光入射,SLM 位于前焦面,接收

屏位于后焦面上。

研究表明,在平行光入射的情况下,当 1d 、 2d 满足一定条件时,我们将在屏

上接收到 SLM 的分数傅立叶频谱。下面我们推导分数傅立叶变换的光学实现及其

要求。

二维分数傅立叶变换的数学定义如下:

1111

22

1

22

1111111

sin

)(2

tan

)(exp),()],([ dydx

f

vyuxi

f

vyuxiyxtCyxtF

sin

]2

tan2exp[

sin

)2exp(

fi

fki

fi

kdiC

, p2

(4)

、p 是分数傅立叶变换的阶, f为族参数。

对于 3 式,显然,要实现与上式的统一,必须要 ddd 21 ,在此基础上定

Page 13: Defocusing and fractional Fourier transform

清华大学综合论文训练

第 8 页 共 77 页

义族参数 sinff

, )2

tan()cos1(

ffd

,则正好得到上面的分数傅立叶

变换表达式。对应的光学实现单元如图 15、16 所示。

对于上面定义的分数傅立叶变换,它是傅立叶变换的直接推广,即当 p=1 时

就退化为傅立叶变换。与傅立叶变换相比较,它也有自己的一套性质。这些性质

有很多与傅立叶变换已经有很大的不同。特别值得注意的是此时傅立叶变换的平

移不变性已经不再成立。也就是说,如果将 )(g 的广义傅立叶变换谱函数记为

)(xG , 并 用 Gg 表 示 分 数 傅 立 叶 变 换 对 , 那 么

)c o s()]2

cos(sinexp[)(

axG

axiaag 。当

2

时即化为傅立叶变换

的位移公式。显然,此时的位移公式与傅立叶变换的位移公式已经有很大的差别,

特别是其频谱实际上随着物面的移动也产生了位移,而不仅仅是多乘一个相位因

子的问题。

另外一个值得注意的分数傅立叶变换的性质是它的可叠加性。可以证明,具

有相同的族参数 sinff

的分数傅立叶变换实际上构成一个分数傅立叶变换群。

这个群的一个非常重要的性质就是它的可加性。如果设第一组系统对输入面的变

换作用为 F ,而第二组系统变换用 F 来表示,其中 和 是相应的分数傅立叶变

换的阶数。那么整个系统的组合作用相当于一个 F 的分数傅立叶变换。

为了进一步探讨分数傅立叶变换的性质,我们对 4 式做一些的讨论。由于 4

式是 3 式在 ddd 21 下的推广,方便起见,我们直接从 3 式出发:

令 ffdd 21 ,代入 3 式,得到:

11111

2

2

2

2

21

222 ]2

exp[),()](2

exp[),( dydxQik

yxtyxf

f

dd

kiCyxU

(5)

)(2

)( 212122

2

1

2

122yyxx

ff

fyx

ff

fQ

,其中 co sff ,所以

)(sin

2)(

sin

cos21212

2

1

2

12yyxx

fyx

fQ

Page 14: Defocusing and fractional Fourier transform

清华大学综合论文训练

第 9 页 共 77 页

设 SLM 的像素的结构如下:

图 2 SLM 像素的内部结构

其中 Tx 为 x 方向的周期,Ty为 y 方向的周期, x 、 y 为亮像素的尺寸,两个

方向的像素数为 M 和 N,由此可得:

M

m

N

n y

y

x

x

mn

mTyrect

mTxrectayxt

1 1

11

111 ),(

(6)

考虑到上面积分本身的可分离性,我们将其分为 x 方向与 y 方向两个积分的

乘积,因此可以只讨论其中的一个方向。又由于变换的线性,我们只讨论一个像

素的问题。对于多个像素的情况,直接可以将我们得到的结果叠加即可。

1212

2

12

12

2222 )]sin

2

sin

cos(

2exp[)

sin2

cosexp()( dxxx

fx

f

ikmTxrectx

f

ikCxU

x

x

(7)

定义 xmTxx 1 ,由此可得:

dxxxfmTxf

ikxrect

xxmTTmf

ikCxU

x

x

xx

]})cos(2)[(cossin2

exp{

)]cos2(cossin2

exp[)(

2

2

2

2

22

22

222

(8)

里面含有参数 m 和 2x ,我们定义新的变量 2cos xfmTx ,则有:

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清华大学综合论文训练

第 10 页 共 77 页

dxxxf

ikxrect

fmTffTmf

ikCU

x

xx

)]2cos(sin2

exp[

]}cos)cos1(2)cos21(cos[sin2

exp{),(

2

2

222222

22

(9)

考虑到实际应用中分数傅立叶变换的阶 ]2

1.1,2

9.0[

因此 fff 1564.0,1564.0cos 。也就是说,当焦距为 100 时,离焦的范围

限定在正负 15.6 以内。

下面我们对重积分号内的部分进一步讨论。考虑到 x 的最大值为2

x ,代入一

组典型值: 100f ,610532 , 31026 x , 9.0

22

p ,

则有 0.00160)(cossin2

2

2x

f

k

因此 ixf

ik0016000.09999987.0])(cos

sin2exp[ 2

2

,也就是说,这一项实

际上其模接近 1,幅角接近 0,在离焦不大的情况下可以忽略(这很大程度上是因

为 x 是小量,x 的平方就成为二阶小量)。

当然,上面的讨论只是一个绝对值大小的讨论,是否可以忽略这个二次相位

因子,我们必须考虑它与一次相位因子的相对大小,我们以二者的比值来比较相

对大小。

2

cos),(

xx ,如果此值小于 5%,我们就认为很好的达到了工程近似。

由于问题的对称性,我们限定 ]2

,9.02

[

所以 64.005.00782.02

cos),(

xxxx 。

考虑到 x 的最大值为2

x 很小, 2cos xfmTx ,所以上述条件将在极少的

范围内(也就是分母接近 0 的地方)得不到满足。换句话说,在上式的解析点上,

上述条件总是能够满足的。

如果以高斯函数为例,我们将不同的分数傅立叶变换的阶次情况下的图样画

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清华大学综合论文训练

第 11 页 共 77 页

在同一幅图上:

图 3 高斯函数的分数傅立叶变换图样

由图可见,当分数傅变的阶次与 1 比较接近的时候,其频谱分布基本和 p=1

的时候没有太大的区别。误差比较大的点在其频谱幅度接近 0 的地方。

对于矩形函数而言,我们的结果如下:

图 4 矩形函数的分数傅立叶变换图样

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清华大学综合论文训练

第 12 页 共 77 页

由此可见,我们前面关于当分数傅立叶变换的阶次很接近 1 时,舍弃二次相

因子,得到单个像素衍射的谱面变化很小的结论是经的住考验的。而在对整个 SLM

上的像素进行分析的时候,我们一方面可以用修正的傅立叶变换,一方面也可以

采用的分数傅立叶变换的结果,而不能直接用原来傅立叶变换的结果。这是因为,

在那种情况下,边缘像素相对与中心的位移引起的平移是主要矛盾,对于其结果

改用修正傅立叶变换或者分数傅变讨论。而具体到一个像素,其谱面分布中平移

就是次要矛盾,可以用傅立叶变换解决问题。

因此,我们忽略其中的二次项,得到:

dxxf

ikxrect

fmTffTmf

ikCU

x

xx

)sin

exp(

]}cos)cos1(2)cos21(cos[sin2

exp{),(

2

222222

22

(10)

22

222222

22

cos,sin

)(

]}cos)cos1(2)cos21(cos[sin2

exp{)(

xfmTf

ffSinc

fmTffTmf

ikCfU

xx

xx

(11)

观察上式,我们发现, )(2 fU 的幅度仍然是 Sinc 函数。与普通傅立叶变换不

同的地方是:一方面随着阶数 的偏离2

,其 Sinc 函数的主瓣略有减小(为原来

的 2sin 倍),在我们实际关心的 ]2

1.1,2

9.0[

中,其最小值为非离焦时的 0.976

倍,因此,也可以认为 Sinc 函数的形状本身的变化可以忽略;另外一个值得注意

的方面是离焦以后,相对与不同的像素(即 m 值不同),其衍射 Sinc 主瓣的移动

问题。对于 SLM 上第 m 个像素,其衍射主瓣的移动量为 cosfmTx ,根据分数傅

立叶变换的定义,我们有f

fcos 。值得注意的是我们在前面讨论分数傅立叶

变换的平移性质时,也直接给出了这个结果。这从另外一个方面说明了我们的推

导和近似的正确性。

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清华大学综合论文训练

第 13 页 共 77 页

上述结论是我们根据单个像素的衍射公式或者分数傅立叶变换的平移性得到

的,请读者注意我们将在后面的分析中从另外的角度给出这个结果。

根据上面的讨论和我们得到的公式 10,我们可以看到,对于分数傅立叶变换

的问题,在一定的范围内可以化成傅立叶变换来做。考虑到我们实际上是约简了

分数傅立叶变换的二次相因子,当然,如果在一开始我们就直接对 4 式约简,那

么就得不到有关的很多重要结论,也就是说,约简忽略的太多。如果换元后,我

们忽略其中的二次相因子,而保留交叉项,就可以达到很好的近似效果,同时很

大程度上简化了问题。这种讨论实际上是具有很大的普遍性的,由此给出分数傅

立叶变换的傅立叶算法的发展方向。在后面关于分数傅立叶变换谱面分布的讨论

中,我们将多次应用傅立叶谱面分布的性质来解决问题,这种方法的理论基础在

这里给出。

显然,尽管分数傅立叶变换在一定程度上扩展了傅立叶变换,但是,对于我

们的光学系统而言,其扩展本身还是不够充分的,重要原因之一就是其 ddd 21

的限制。如果取消这样的限制,我们假设系统结构如下:

图 5 分数傅立叶变换的拓展光路

edd

dd

2

1,其中定义 )cos

1( e

fd

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清华大学综合论文训练

第 14 页 共 77 页

当2

时,即对应于常规傅立叶变换的结果,我们得到 fd 2 ,自洽。

当 时,即对应于物像关系的情况,我们得到 )11

( e

fd ,所以

fdd

111

21

,自洽。

另外一种可能的扩展是定义:

ffd

ffdd

dd

1

12

1

cos

这种定义同样满足特殊情况的自洽关系。

尽管如此,这样定义的变换还不能称作是分数傅立叶变换,这是因为它不满

足分数傅立叶变换的性质,也无法得到统一的族参数。

值得注意的是,如果光源不在无穷远处,也就是说在非平行光入射的情况下,

可以想见,有可能当 1d 与 2d 满足一定条件时,仍然可以找到对应的分数傅立叶变

换的光学实现条件,这应该是这个理论进一步深入的方向之一。不过限于实际工

作中多是平行光入射,因此这里不再对这方面进行进一步的讨论。

3. 关于实际工作中常用的离焦及其理论分析:

回到平行光入射的情况,对于 1d 与 2d 不相等的情况,特别是实际工作中应用

比较多的 fd 1 , ffd 2 的情况,不能直接套用分数傅立叶变换的结果。这

时的讨论必须从公式 3 出发,也就是说按照一般的 Fresnel 衍射来计算。我们将

fd 1 , ffd 2 代入式 3,有:

112121

2

1

2

1111222 )]}(2)([2

exp{),(),( dydxyyxxyxf

f

f

ikyxtCyxU (12)

其中 SLM 的具体结构见图 2, ),( 111 yxt 的表达式为 6。考虑到上面积分本身的

可分离性,我们将其分为 x 方向与 y 方向两个积分的乘积,因此可以只讨论其中

的一个方向。又由于变换的线性,我们只讨论一个像素的问题。对于多个像素的

Page 20: Defocusing and fractional Fourier transform

清华大学综合论文训练

第 15 页 共 77 页

情况,直接可以将我们得到的结果叠加即可。

121

2

1

1

22 )]2(2

exp[)( dxxxxf

f

f

ikmTxrectCxU

x

x

(13)

设 xmTx x 1 ,由此可得:

dxxmTf

fx

f

ikx

f

fikxrectmTxTm

f

f

f

ikCxU x

x

xx ])(exp[)2

exp()]2(2

exp[)( 2

2

22

22

22

(14)

考虑到如果能够忽略其中的二次项因子,那么我们的讨论将大大简化。考虑

到 x 的最大值为2

x ,代入一组典型值: 10f , 100f , 610532 ,

31026 x ,所以有: 00100.01097987.92

42

2

xf

fk

即 ixf

fik001.0000000.1]

2exp[ 2

2

。也就是说,这一项实际上其模接近 1,幅

角接近 0,在离焦不大的情况下可以忽略(这很大程度上是因为 x 是小量,x 的平

方就成为二阶小量)。

上面通过数量级的分析直观的给出了结果,进一步对这个问题进行讨论,我

们建立如下评价函数:

dxxmTf

fx

f

ikx

f

fikxrect

dxxmTf

fx

f

ikx

f

fikxrect

x

x

x

x

x

])(exp[]2

exp[

])(exp[]1)2

exp([

)(

2

2

2

2

2

2

2

(15)

如果能够满足在我们关心的 2x 的取值范围内,有上述评价函数的模在百分之

五以内,我们就认为已经达到了很好的工程近似。

m是自变量之一,代表研究的像素在 SLM上的具体位置,假设我们使用的 SLM

在 x 方向的像素数目为 1024 个,则它取值在 0 到 1023 之间。 2x 是衍射屏上一点

的坐标。观察式 9 和 10,我们发现 m 与 2x 的绝对值大小是没有意义的。真正起作

Page 21: Defocusing and fractional Fourier transform

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第 16 页 共 77 页

用的是他们的差值。为此,我们定义新的变量 xmTx 2 作为自变量,假设

Tx=26*1e-3,考虑到对称性,将坐标原点建立在 SLM 的中心处,对于有 x 方向有

1024 个像素的 SLM,m=512,所以 mTx=13.2;又我们实际感兴趣的谱面范围最多

是在-6 到 6 之间(对应的孔径为 12),那么 其取值范围在-11.3 到 11.3 之间。

考虑到绝对焦距的大小在离焦的评价中也是没有实际意义的,因此我们令

f

f 作为新的离焦量评价,考虑到实际的应用,取值正负 0.4以内;

dxxf

ikx

f

ikxrect

dxxf

ikx

f

ikxrect

x

x

)exp()2

exp(

)exp(]1)2

exp([

),(2

2

(16)

我们定义 dxxf

ikx

f

ikxrecty

x

)exp()2

exp(),( 2

1

(17)

dxxf

ikxrecty

x

)exp()(2

(18)

则有),(

)(),(),(

1

21

y

yy (19)

考虑到很难解析的找到在 2x 的取值范围内上述评价函数的最大值,我们考虑

对上式求数值解。

仍然代入一组典型值: 100f , 610532 , 31026 x 。

]10,10[ , ]4.0,4.0[

先取 05.0 得到图像如下:

Page 22: Defocusing and fractional Fourier transform

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第 17 页 共 77 页

图 6 忽略二次因子引起误差的数值模拟,离焦量 05.0

取 1.0 得到图像如下:

Page 23: Defocusing and fractional Fourier transform

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第 18 页 共 77 页

图 7 忽略二次因子引起误差的数值模拟,离焦量 1.0

取 4.0 ,有:

图 8 忽略二次因子引起误差的数值模拟,离焦量 4.0

显然,对比上述图像,我们发现实际上 ),(1 y 与 )(2 y 的差值是很小的,其

相对比较大得点也只是取在两者都接近零的地方。实际上在这些点上,由于 ),(1 y

的值很小,我们所略去得小量也有可能起到一定的作用。另外,实际上我们关心

的是 ),(1 y 取值比较大的点的近似情况,在这些点上,我们的约简带来的相对误

差在千分之五以内。考虑到对于 ),(1 y 接近 0 的点,由于此时 )(2 y 也很小,我

们只要知道其非常小以至于包含很少的能量就可以了,而从数值模拟的结果看,

无论相对误差在离散点上有多大,都没有超过 100%,所以,我们所作的约简完全

适用。

从另外的角度考虑,由于函数本身的连续性, ),(1 y 取零点得位置是存在的。

如果这个时候, ),(1 y 、 )(2 y 均很接近 0 的话,那么这个时候有可能超过计算

Page 24: Defocusing and fractional Fourier transform

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第 19 页 共 77 页

机的处理范围,也就是说这些点上虽然值超过了我们前面假定的工程误差范围 5%,

但是,这是一种假象。

回到 9 式,我们忽略其中的二次项因子,得到:

dxxmTf

fx

f

ikxrectmTxTm

f

f

f

ikCxU x

x

xx ])(exp[)]2(2

exp[)( 22

22

22

(20)

仍然采用 xmTx 2 作为新的自变量,我们有:

fffSincfmTiTm

f

ikC

fSincmTTm

f

ikC

dxxf

ixrectmTTm

f

ikCU

xxx

xxx

x

xx

)()2exp()2

exp(

)()]2(2

exp[

)2

exp()()]2(2

exp[)(

22

22

22

2

(21)

当离焦量为 0 时,也就是 0 ,上式就退化为一个像素平移后的傅立叶变换

的情况:

f

xffSincfmTiCU xx

22 )(]2exp[)( (22)

由此可见,在少量离焦的情况下,得到得仍然是一个像素的傅立叶变换频谱,

只是其零级的位置移动了,谱面本身没有扩展。值得注意的一点是,仍然可以用

Fourier 分析的理论来解决我们的问题。也就是说,在我们讨论的范围内,Fourier

分析仍然适用,包括卷积定理和关于滤波器设计的一些结论。

Page 25: Defocusing and fractional Fourier transform

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第 20 页 共 77 页

第三章. 谱面光场分布的理论理解与数学建模

我们下面的讨论建立在对接收屏是 SLM 的傅立叶变换的基础上,这个基础经

过上面的大量讨论,是符合实际情况的。对于单个的像素而言,从衍射的角度看,

只要 Sinc 函数的主瓣通过了,我们就知道了其结构的大部分。根据线性系统的叠

加特性,我们只需要保留每个像素的主瓣就可以了。也就是说,在承认这个全息

存储系统的线性情况下,如果我们能够保证单个像素存在时的正确读出,我们就

可以实现这些像素线性叠加后形成的图的读出。

从一般的角度来理解 SLM 的每个像素通过光学系统后的光场分布,我们有以

下的结果:

光场分布=单个 pixel 的衍射+pixels 间的干涉 (23)

对于图 2 所示 SLM,我们已经讨论了单个像素一个方向衍射的情况,结果如

式 11(对应分数傅立叶变换的情况)和式 21(对应一般的离焦情况)所示,我们

将其扩展到整个 SLM。

1. 一般离焦情况下的谱面分布:

M

m

N

n

yxyxyxmn fSincfSincfnTfmTiTnTmf

ikaCffu

1 1

2222 )()()](2exp[)](2

exp[),(

f

nTyf

f

mTxf

yx

22 , (24)

当离焦量为 0 时,得到如下熟知的结论:

f

yf

f

xf

fnTfmTjafSincfSincCffuM

m

N

n

yxmnyx

2

2

1 1

0 )](2exp[)()(),(

(25)

以上两式是从傅立叶变换角度求解谱面分布问题的数学模型。对于非离焦情

况下的 Fourier 变换,我们知道,其本身具有平移的不变性。对于每一个 SLM 的

像素而言,其衍射的谱面分布呈 Sinc 函数,在屏移动后,其主瓣的位置是不变的。

Page 26: Defocusing and fractional Fourier transform

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第 21 页 共 77 页

变化的,只是分布的一个相位因子,因此我们得以从 25 式中提出公因子 Sinc。

对 25 进一步分析,我们可以看到:当 f 、 f 为 0 时,Sinc 函数得到最大值 1,

对于衍射的主极大中心。而对于后面的相位因子之和,此时也是最大值。也就是

说由于干涉的 0 级与衍射的 0 级相重合,所以主极大很大,这就直接导致光场分

布使得的能量非常的集中,这种情况严重的影响了材料的动态特性 M#。

一个值得注意的校验结果是:如果我们在 SLM 上加白图的话,那么由前面

SLM 本身的结构,我们此时的 SLM 构成空间光栅。光栅的透光处为 x 、 y ,周

期为 xT 、 yT 。根据光栅理论,我们有:

2sin

2sin

2sin

2sin

sinsin

y

y

x

x NM

Cu

(26)

其中f

xx 2

f

yy 2

f

xTxx

22

f

yTy

y2

2

上述公式可以作为校验一个方法。另外,我们常用的黑白棋盘格实际上也可

以通过上面的光栅理论做出解释。如果存储的不是白图而是棋盘格,那么此时,

我们有:

2sin

2sin

2sin

2sin

sinsin

y

y

x

x NM

Cu

(27)

其中f

xx 2

f

yy 2

f

xTxx

24

f

yTy

y2

4

也就是说,无论我们存储的是一个什么周期的图像,起单缝衍射的因子是不

变的,这是由最小的像素结构决定的。改变的是缝间的干涉因子。当存储棋盘格

时,其光栅空间周期为原来的 2 倍。

如果从几何光学与物理光学结合分析,我们可以得到如下图:

Page 27: Defocusing and fractional Fourier transform

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第 22 页 共 77 页

图 9 记录标准傅立叶变换图

由于同样级次的衍射光的衍射角是相同的,而平行光将在焦面上会聚为一点,

因此谱面上将不可避免的出现能量集中。为了改善这种情况,一个很显然的想法

是离焦记录。由上面的公式 21 可以看出,在离焦的情况下,像素的衍射不再保持

平移的空间不变性,此时衍射的主极大与干涉的主极大不再重合,很显然,此时

谱面中心的能量强度将显著下降,具体的情况我们将在下面讨论。

2. 满足分数傅立叶变换的离焦:

其理论的推导可以有两种方式。一种是根据分数傅立叶变换的傅立叶算法得

来,一种是直接从分数傅立叶变换的角度出发,应用平移公式得到。

对于第一种情况,我们有:

M

m

N

n

yx

yxyxmn

fSincfSinc

fnTmTffTnTmf

ika

Cffu1 1

22222222

2

)()(

]}cos)cos1()(2)cos21(cos)[(sin2

exp{),(

22

22

c o s,s i n

c o s,s i n

yfnTf

f

xfmTf

f

y

x

(28)

对于第二种情况,我们有:

M

m

yxx

N

n

y

yx

xmn nTfmTfGnT

finTmT

fimTaffu1 1

),()]2

cos(sin)

2

cos(sinexp[),(

Page 28: Defocusing and fractional Fourier transform

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第 23 页 共 77 页

11

1122

1

22

111

sin

)(2

tan

)(exp],[ dydx

f

fyfxi

f

fyfxiyrect

xrectCffG

yx

sin

]2

tan2exp[

sin

)2exp(

fi

fki

fi

kdiC

, p2

(29)

上述两个公式是讨论分数傅立叶变换离焦的基础。可以通过它们进行数值模

拟等计算,给出有价值的结果。关于这些公式的应用,我们将在下面给出。

Page 29: Defocusing and fractional Fourier transform

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第 24 页 共 77 页

第四章 实际工作中常用的离焦方法及其分析:

图 10 一般情况下离焦的分析,记录平面在焦平面前

图 11 一般情况下离焦的分析,记录平面在焦平面后

在离焦的情况下,X2 平面为记录平面,d 为记录孔径的大小,df 为离焦量。

考察我们已经得到的公式 21,我们令 02

f

MTxf x

,则得到 xMTx 2 。也

就是说,对于边缘的像素而言,其衍射的零级谱的位置将发生移动。实际上,上

Page 30: Defocusing and fractional Fourier transform

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第 25 页 共 77 页

述结论也是直接可以从图上的几何光路中看出的。对比上图,对于边缘像素而言,

其主极大移动了 xMTD

f

dfd

22。从公式可以得到的另外一个结论是谱面本身并

不扩展,而只是发生了平移。

我们假设中心像素的衍射正负一级可以通过记录孔径,则很容易得出,在图

示的光路布置下,对于后离焦的上边缘像素,将能够有零级,正一级和正二级通

过记录孔径。

根据以上理论,在确定了 SLM 的结构和需要保留的中心像素衍射级次以后,

离焦量就确定了。如果确定保留 Sinc 的主瓣,我们有y

y

x

x

fd

fd

22 , 。通过

上述分析,我们需要限制记录光斑为矩形。设 ),max( yx ddd ,相应离焦量其大小

为:MT

d

2 。

对于光场分布的进一步讨论需要在公式 24 的指导下进行,可以直接对多像素

的光场的分布进行数值模拟计算。

仿真用 SLM 如图 2,其中:

310*16 x , 310*23 y , 310*26 yx TT ,f=154.6

设 M=40,N=30;

y

y

x

x

fd

fd

22 , ,

mT

d

2

观察范围限制在 ]2

,2

[],2

,2

[ 22

ddy

ddx 。

用来仿真的 SLM 图像为白图, 1),( nma 。(如果是棋盘格,有

2

)1()1(),(

nm

nma

考虑到未离焦时各主极大的半角宽为:

mmMT

f

x

x 0791.01

, mmMT

f

y

y 1054.01

因此,我们数值仿真的频域分辨率取为 10um。

Page 31: Defocusing and fractional Fourier transform

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第 26 页 共 77 页

我们有:

图 12 未离焦时谱面的幅度分布 40×30PIXELS

图 13 特殊离焦后谱面的幅度分布 40×30PIXELS

Page 32: Defocusing and fractional Fourier transform

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第 27 页 共 77 页

显然,幅度分布最大值从 1200 下降到 50,下降了 24 倍,相应的能量下降了

576 倍之多。当像素数目继续增加时,相应的效果还要明显。由此可见,离焦本身

均化了谱面,防止了在某些特殊点上光强太大而导致晶体出现饱和。这种饱和将

在线性的存储系统中引入非线性环节,极大的影响晶体的特性参数 M#,对存储带

来危害。

图 14 一般的 4f 系统

当我们对上面的单元组成系统后,构成一般的 4f 系统。对于一般的 4f 系统而

言,透镜 1 与透镜 2 的焦距是可以不相等的,也就是说,f1’可以不等于 f2’,SLM

与 CCD 不匹配。这个时候,我们用来记录的记录面可以放在透镜之间的任何一个

位置,而不一定非要放在我们上面讨论的三个特殊位置(焦面,焦面前的临界点,

焦面后的临界点)。此时,SLM 与 CCD 构成物象共轭的关系,只要能够在两个透

镜间重建波前,就能够在 CCD 上读出原来的 SLM 分布。但是,需要注意的是,

虽然我们放置晶体的位置有很大的灵活性,但是为了缩小记录光斑,或者说增大

存储的密度,上述三个特殊的位置是我们最应该考虑的放置位置,至少是我们放

置位置的一个临界点。

Page 33: Defocusing and fractional Fourier transform

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第 28 页 共 77 页

第五章 分数傅立叶变换与离焦

正如我们在第二小节讨论的,当我们将 SLM 移到与接收面对称的位置时,此

时得到的 Fresnel 衍射图样,也可以看作是物面 SLM 的分数傅立叶变换图。其对

应的光学实现单元如下:

图 15 分数傅立叶变换的光学实现,记录平面在焦平面前

图 16 分数傅立叶变换的光学实现,记录平面在焦平面后

正如我们在第五节讨论的,对于分数傅立叶变换离焦谱面的讨论,一方面可

以通过分数傅立叶变换的傅立叶算法得来(式 28),一方面直接从分数傅立叶变换

的角度出发,应用平移公式求解(式 29)。

Page 34: Defocusing and fractional Fourier transform

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第 29 页 共 77 页

在式 28 中,我们令 0f ,则得到 cos2 xmTx 。也就是说,对于边缘的

像素而言,其衍射的零级谱的位置将发生移动。根据分数傅立叶光学实现的条件,

我们有 )co s1( fd ,所以

f

f

f

fdcos ,代入上式,得到

xmTx 2 ,显然,这个结果和上一节讨论一致。与上一节讨论同样一致的,是我

们可以直接通过从图上的几何光路得出公式推导的结论。这一部分,请读者根据

上图自行完成。

尽管两种离焦的分析有很多的共性,我们仍然要注意,实际上两者还是有很

多区别的。首先要注意的一个区别是:从式 28 中,可以看到,与上一节的情况不

同,离焦后单个像素衍射的 Sinc 函数主瓣本身减小了,正如第二小节讨论的。不

过,这种减小在分数傅立叶变换的阶数接近 1 的时候是很小的,可以忽略。另外

的一个重要不同我们将在下面给出。

根据上面的讨论,结合图 16,我们假设中心像素的衍射正负一级可以通过记

录孔径,则很容易得出,在图示的光路布置下,对于后离焦的上边缘像素,将能

够有零级,正一级和正二级通过记录孔径。

由于分数傅立叶变换中 SLM 不位于前焦面,因此通过第一组透镜后不是平行

光,因此如何保证 SLM 与 CCD 的共轭关系,我们必须进行进一步的讨论。讨论

一方面可以直接从几何光路成像的角度讨论,请读者对照下面两图自己完成;讨

论的另一个出发点是直接运用分数傅立叶变换的结果,根据其叠加原理进行。

图 17 分数傅立叶变换 4f 系统,记录平面在焦平面前

Page 35: Defocusing and fractional Fourier transform

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第 30 页 共 77 页

图 18 分数傅立叶变换 4f 系统,记录平面在焦平面后

从分数傅立叶变换的角度看,具有相同的族参数 sinff

的光学系统实际上

构成一个分数傅立叶变换群,正如我们在前面讨论的。如果设第一个组系统对输

入面的变换作用为 F ,而第二组系统变换用 F 来表示,其中 和 是相应的分数

傅立叶变换的阶数。那么整个系统的组合作用相当于一个 F 的分数傅立叶变换。

如上两图所示,要从分数傅立叶变换的角度来解释光路,首先要求对于两组中的

每一组光学系统构成分数傅立叶变换,也就是说,要求物面和谱面距离透镜的距

离是相同的,体现在图中就是 '11 dd , '22 dd 。对于能够将两组系统组合为

一组分数傅立叶变换系统而言,要求每个分数傅立叶变换系统的族参数必须相同。

由于我们最终是要实现阶数为 2 的分数傅立叶变换系统(相当于 SLM 通过整个系

统后能够成倒立实像),则要求 ,又族参数 sin11 ff

, sin22 ff

要满足 21 ff

,所以必须有 21 ff ,即要保证族参数相等,则每个透镜组的焦距

必须相等。在这种情况下,SLM 与 CCD 必须匹配。当满足我们上述的匹配要求后,

系统的计算就可以从分数傅立叶变换的角度来讨论。这里要求的 21 ff 是分数傅

立叶变换离焦区别于普通离焦的另一个重要特征。

以记录平面在焦平面之前为例:

sin

221

ff

fdd ,所以

)cos1(

)cos1(

2

1

fd

fd

Page 36: Defocusing and fractional Fourier transform

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第 31 页 共 77 页

所以离焦量为: cosff

由上图计算可得:

f

D

f

d

22tan

,所以 f

D

df

对比两式,可以得到:D

dcos

对于记录平面在焦面之后的情况,类似的我们可以得到:

fD

df ,

D

dcos

如果确定保留衍射 Sinc 的主瓣,我们有

2sin2

x

x

fd ,

2sin2

y

y

fd 。

由此可见,分数傅立叶变换的阶数直接由系统的结构确定了,而阶数直接决

定了离焦量。

注意在上述两种情况下,透镜的间隔均为 f2 。用几何光学容易验证在任一情

形下,输出面与输入平面共轭,且放大率为-1(倒像)。这里正好实现了几何光学

与分数傅立叶变换(或者说 Fresnel 衍射积分)的回归。尽管用几何光学我们无法

得到波前的很多信息,但是根据成像的理论,我们却能够很容易的得到一些重要

的结论。

对于光场分布的进一步讨论需要在公式 28、29 的指导下进行,可以直接对多

像素的光场的分布进行数值模拟计算。这种模拟的方法与上一节基本一致,请读

者模仿上节的程序,自己完成。我们这里从序列的分数傅立叶变换角度,对这个

问题进行数值模拟,讨论限定在一维的情况。

数值模拟条件:设记录焦面的孔径为 3mm,SLM 的长度为 30mm,对于记录

平面在焦面前的情况, 1.0cos ,对应的 1.4706 弧度,相应的 p=0.9362 为傅

立叶变换的阶数。设每个像素的尺寸是 10um,空间周期为 20um,共有 32 个像素

排列。每个像素点内采样 100 点,为了防止串扰,在将非周期的空间排列周期化

时,在十倍于 SLM 的尺寸区域内函数取 0 值。此时对应的谱面分布为:

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第 32 页 共 77 页

图 19 p=0.9326 与 p=1 时的谱面分布

显然,此时的谱面已经得到很好的均化。幅度下降了三倍多,而相应的强度

下降了十倍以上。由于我们记录的介质,实际上往往不是一个平面,而是有一定

的厚度的。因此,为了防止在介质中存在有能量的集中,我们往往采用记录平面

在焦面后的方案,以让开能量密集的焦面。

下面我们要讨论的是,能否理论上从分数傅立叶变换的角度给出一个优化的

变换结果,来指导我们的离焦。

下面给出了一组不同分数傅立叶变换的阶数对应的幅度分布图:

图 20 不同阶次分数傅变谱面分布对比

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第 33 页 共 77 页

图 21 不同阶次分数傅变谱面分布对比

显然,对比上面两组图,p>1 与 p<1 的情况是类似的。我们只讨论 1p 的情

况。

当 p=1 时,我们得到的是一般的傅立叶变换频谱图。随着 p 的减小,零点的

峰值能量迅速降低,在保证频谱不扩展的太多的情况下,p=0.95 的时候已经给出

了很好的结果。p 再降低,对于频谱的均化作用已经不大,而谱面却很快扩展。当

p 很小时,相当于很近场的 Fresnel 衍射结果(瑞利-索莫菲衍射),此时谱面与物

面很相似,实际上是一个泰伯效应(泰伯自成像)。因此,我们可以根据得到的分

数傅立叶变换的阶次来求得相应的离焦量( cosff ),安排光路布置。

Page 39: Defocusing and fractional Fourier transform

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第 34 页 共 77 页

第六章 关于离焦后谱面的扩展情况的进一步讨论

从 SLM 整体来看,离焦后,谱面要扩展,因此存储的密度要减小。但是,根

据我们前面的讨论,实际上我们可以在不扩展谱面的情况下实现离焦,与文献中

提到的不同,那是因为他们所讨论的情况与我们讨论的有区别的。我们这里为了

减小谱面面积,边缘有渐晕。他们讨论的那里是无渐晕的情况。下面给出两种讨

论的对比:

图 22 谱面扩展示意图

当未离焦时,谱面的大小可以通过奈奎斯特采样定理(或者瑞利判据、阿贝

判据等)得到:

fd

44.2 (由瑞利判据,如果采用阿贝距离,则为 fd

2 ,这个结果与

Nyquist 采用定理相同),其中 为单个 pixel 在一个方向的尺寸。

离焦后,如果仍然保证让相当的能量通过,则如图,此时的记录孔径变为:

xdd 2 ,其中 ff

Dx

2,所以孔径增大了 f

f

D ,这就是说,在这种情况

下,随着离焦量的增大,记录密度在减小。这是传统情况下对于离焦的看法。值

得注意的一点是谱面之所以很快的扩大是因为边缘像素点主光线的入射角度很

大,而由于离焦引起的中心点像素衍射谱的变化引起的谱面改变是矛盾的次要方

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第 35 页 共 77 页

面。现在先假设在分数傅立叶变换阶数比较低的情况下,单个像素的衍射谱的分

布与标准傅立叶变换区别是不大的。

我们现在的看法之所以区别于传统之处,在于将渐晕的概念引入到系统中。

在上面的讨论中可以看出,在这种情况下可以在记录密度不变的情况下均化谱面

的分布。实现这种情况的代价是边缘点在读出的时候,其能量只是中心处的一半。

但是其基本的结构仍然能够甚至说能够更好的复原。这是因为假设对于中心点我

们容许衍射零级和正负一级通过,那么对于边缘点,按照我们的讨论约定,将能

够容许 0 级的一半,正一级,正二级和正三级通过。如下图所示:

图 23 系统孔径光栏的截取作用

如果我们将整个系统看做是一个低通滤波器,那么,当保持记录孔径不变,

而离焦量为 fD

df 时(就是前面讨论的情况),复原后边缘像素的能量为中心的

一半。即系统的 3dB 点正好得到。此时的低通滤波器的通带带宽为 fd

44.2 ,

正好是未离焦时的带宽。

关于这种谱面的压缩所引起的读出时像素间的串扰和泄露问题,我们将在下

面一个部分进一步讨论。

对于单个像素而言,我们在前面已经得出,一般离焦时谱面不变,而分数傅

立叶变换离焦时谱面将稍微减小。

Page 41: Defocusing and fractional Fourier transform

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第 36 页 共 77 页

第七章 关于谱面的压缩所引起的读出时像素间串扰的

讨论和系统参数选取:

1. 从谱面到像面的数学建模

正如上面讨论的,谱面的压缩实际上是通过加入矩形窗截取了谱面的部分得

到的。滤波后得到的谱面通过后组光学系统(再进行一次傅立叶变换)在 CCD 上

读出图像。由此可见,可以通过 Sinc 与矩形框相乘得到图示的频谱,在 CCD 上读

出时是二者的傅立叶变换的卷积,即矩形框和 Sinc 的卷积。按照 Rect 函数(代表

孔径光阑)位置不变,讨论 SLM 上的某个像素的谱面经截取的分布,那么整个系

统的数学模型是:

以 x 方向为例,由公式 21,我们可以得到 SLM 上第 m 个像素通过第一组透

镜后,得到的谱面为 )(2 U ,这时通过孔径光阑(或者说视场光阑)截取后,得到

'Re)( 2

2

x

ctU ,如果是保留衍射的主极大,那么其中的x

f

12

'

,其中为光波

长,

1f 为第一组透镜焦距。通过第二组透镜后,考虑到此时接收的平面在第二组

的后焦面上,所以在 CCD 上得到的是记录平面的非严格傅立叶变换(公式 2),参

看图 14,我们得到

1

003

1

22

2

3

2

0

1

2

1

2

1

222

11

22

2

3

2

0

1

2

1

2

1

222

1

2

3

2

033

)exp()2

exp(

2Re)()2exp()exp()

2exp()

2exp(

2Re)()2exp()exp()

2exp()(

f

mTfffG

f

Tmix

f

ikC

f

xct

f

mTxSinc

f

xmTiCFTm

f

i

f

Tmix

f

ikC

f

xct

f

mTxSinc

f

mTxmTiTm

f

iCFx

f

ikCfU

xx

x

x

xxxx

x

x

xx

xxxx

(30)

Page 42: Defocusing and fractional Fourier transform

清华大学综合论文训练

第 37 页 共 77 页

2

33

1

3

1

331

1

2

1

23

2

*]Re)2[exp(

2Re)(][

f

xf

f

fSinc

f

fctmTfiC

f

xct

f

mTxCSincFfG

x

x

x

x

xxx

x

xxx

(31)

上式中*表示卷积。

将上式代入,并将自变量换为 x3,有:

]

2

*Re)2

)[exp(2

exp()exp()( 33

2

32

3

21

22

233

x

x

x

xxx mTxSinc

mTxct

f

xmTix

f

ik

f

TmiCxU

(32)

1

2

f

f ,表示横向放大倍数。

上式是我们解决分析离焦记录后,读出时 CCD 上像面分布的依据,也是我们

下面分析像素间串扰的依据。其具体应用我们在下面展开。

对于分数傅立叶变换的情况,我们仍然有两种可以选择的讨论方式:如果从

分数傅立叶变换的傅立叶算法出发,根据式 11,类似于上面的推导,我们将得到

与上面类似的结论,具体推导请读者自己完成,此处限于篇幅,略。显然,这种

方法实际上与分数傅立叶变换的关系不大。如果我们直接从分数傅立叶变换的角

度来看待这个问题,可以得到如下结论(讨论仍然限定在一维):

根据公式 29,我们实际上可以得到对于第 m 个像素,在谱面上将得到:

)()]2

cos(sinexp[)( xx

xx mTfG

mTfimTfu

1

1

22

11

sin

)(2

tan

)(exp][ dx

f

fxi

f

fxixrectCfG

x

(33)

这时通过孔径光阑(或者说视场光阑)截取后,得到

'Re)( 2

xctfu ,如果是

Page 43: Defocusing and fractional Fourier transform

清华大学综合论文训练

第 38 页 共 77 页

保留衍射的主极大,那么其中的

2sin

2'

x

f ,其中为光波长, f 为第一组透

镜焦距。通过第二组透镜后,相当于对谱面进行了分数傅立叶变换,参看图 20,

我们得到

2

233

sin2

Re)()]2

cos(sinexp[)(

x

xxx

xx f

xctmTfG

mTfimTFfU

(34)

上式是从分数傅立叶变换角度来讨论问题的出发点。由于对于分数傅立叶变

换而言,它不存在对应的卷积定理,而且很多问题利用分数傅立叶变换的性质讨

论起来仍然很繁琐。因此,我们考虑采用傅立叶变换的性质讨论当阶次接近 1

(0.9-1.1)时的分数傅立叶变换的性质,方法与前述一般离焦分析是相同的。

2. 关于减小像素间串扰的数学建模:

根据我们前面的讨论,我们知道对于单个像素而言,在阶数接近 1 时分数傅

变的谱面分布与傅立叶变换的谱面分布在幅度上是类似的,我讨论将两种情况化

为一种讨论。

由式 32 给出了 U3 的表达式,首先需要明确的一点,是对于 Rect 与 Sinc 函数

卷积前的相因子的处理问题。由于 U3 处是放置 CCD 的地方,因此记录的是光强

度,也就是说,前面的两个相因子在强度的记录中是不起作用的,忽略之,我们

有:

2

*]Re)2

[exp()( 33

2

3333

x

x

x

xx mTxSinc

mTxct

f

xmTiCxU

(35)

考虑到MT

d

2 (见图 11 及分析),暂代

x

x

fdd

12,我们有

xx MT

f

1 ,

所以:

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清华大学综合论文训练

第 39 页 共 77 页

2

*]Re)2[exp()( 333333

x

x

x

x

x

mTxSinc

mTxct

x

M

miCxU

(36)

对上式换元,令

xu

mTxx

3 ,也就是说相当于我们将讨论的平面等价到物

面,得到:

2

*]Re)2[exp(

2

*]Re)2)[exp(2exp()(

4

2

33

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

xu

xSinc

xct

x

M

miC

xSinc

xct

x

M

mi

M

TmiCxU

(37)

对相邻像素的影响为:

x

x

x

x

x

xx

x

T

Txx

T

T dxdttx

Sinct

M

midxxUI

2

2

2

2

2

2

2

2

31

2

)2exp()( (38)

对于相邻第二个像素的影响为:

x

x

x

x

x

xx

x

T

Txx

T

T dxdttx

Sinct

M

midxxUI

2

3

2

3

2

2

2

2

3

2

3

2

32

2

)2exp()( (39)

下面我们重点讨论对相邻像素影响。显然,绝对的 I1、I2 的大小是没有意义的。

我们应该考虑它们与产生串扰的对应场点的能量比值。对于产生串扰的源点而言,

其对于的 CCD 像素上的光强积分为:

2

2

2

2

2

2

2

2

30

2

)2exp()(x

x

x

x

x

xdxdt

txSinc

t

M

midxxUI

xx

(40)

重新定义如下评价函数来表示:

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清华大学综合论文训练

第 40 页 共 77 页

0

11

I

IE (41)

0

22

I

IE (42)

仿真的 SLM结构如图 2, 310*16 x , 310*23 y , 310*26 yx TT

假设从中心到边缘有 20 个像素,CCD 上的读出对应如下 20 幅图:

图 24 从中心到边缘像素读出时像面幅度分布

如果将上面的图画在同一个坐标系中,我们得到:

Page 46: Defocusing and fractional Fourier transform

清华大学综合论文训练

第 41 页 共 77 页

图 25 同一坐标系中从中心到边缘像素读出时像面幅度分布

将纵坐标换为强度分布,我们有:

图 26 同一坐标系中从中心到边缘像素读出时像面能量分布

对于上面三图值得说明的一点是横坐标的选取意义。对于图 24,我们实际上

Page 47: Defocusing and fractional Fourier transform

清华大学综合论文训练

第 42 页 共 77 页

给出的是半边的分布。这是一方面考虑到问题的对称性,一方面考虑到实际上给

出负的数组下标比较困难,也就是我们编程本身的限制。对于图 25、26,我们实

际上将原来的中心点,也就是坐标零点从 0 处移到了 3750 处。我们仿真的幅度的

绝对值和强度的范围实际上是从 ]2

2,2

2[ xx

xx TT

,也就是说纵跨 5 个像素。这

样,可以给出相邻像素和隔一个像素的像面能量分布。数值仿真中我们取了1000

x 为

最小的间隔,因此上述范围总共对应了 7500 个离散点,这也就是图上数字的由来。

也就是说,上述横坐标的 1000,相当于实际上的 x 。

根据上图,可以直观的看出,边缘像素的串扰要比中心像素的大,但是值得

注意的是,其过渡带的宽窄是基本一致的。也就是说,边缘像素的串扰实际上是

“稍有增大”。另外值得注意的一点就是边缘像素的能量显然要比中心小很多。我

们在同一幅图上给出 I0(式 40)随像素不同的变化如下:

图 27 接收到的光强随像素所在位置不同的变化

对于与源点对应的 CCD 上像素而言,中心点的能量是边缘的 2.75 倍,即边缘

有渐晕。

Page 48: Defocusing and fractional Fourier transform

清华大学综合论文训练

第 43 页 共 77 页

下面我们讨论相对串扰的问题。根据前面的式 41 和 42,我们得到:

图 28 相邻串扰随像素位置不同的变化

图 29 隔一像素的串扰随像素位置不同的变化

由上面两图显然可见:由从中心到边缘,串扰一直在增大。对相邻像素的串

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清华大学综合论文训练

第 44 页 共 77 页

扰最大在 4%左右,隔一像素后最大在 1%,均发生在边缘点。也就是说,边缘点

一方面存在渐晕问题,相对较暗,一方面存在较大的串扰,这使得边缘点成为误

码最可能发生的地方。

如果考虑到 CCD 的具体结构如下:

图 30 CCD 的结构示意图

对于 CCD 而言: umx 7.2= , umy 9= , umPP yx 9 ;

我们将其转化到物面,有:

x

x ,

y

y ,

yxyx

PPPP

如果直接从 CCD 接收来考虑,基本的推导是不变的。假设 CCD 的像素感光

部分的中心与 SLM 的亮像素中心偏差为 0 ,那么只要将前述光强的积分限稍做修

改即可,即定义:

xx

x

x

x

xx

x

P

Pxx

P

Pdxdt

txSinc

t

M

midxxUI

0

0

0

0

2

2

2

2

2

2

2

2

31

2

)2exp()( (43)

xx

x

x

x

xx

x

P

Pxx

P

Pdxdt

txSinc

t

M

midxxUI

0

0

0

0

2

3

2

3

2

2

2

2

3

2

3

2

32

2

)2exp()( (44)

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清华大学综合论文训练

第 45 页 共 77 页

2

2

2

2

2

2

2

2

30

0

0

0

0

2

)2exp()(x

x

x

x

x

xdxdt

txSinc

t

M

midxxUI

xx

(45)

具体的计算和分析甚为简单,这里不再做进一步的讨论。

3.减小页内串扰的思路

a. 改变整个系统的传递函数

如果我们能够对用于空间滤波的窗函数进行一定的改造,就可以让 CCD 上读

出的图像有所改变,在精心设计窗函数的情况下很有可能有所改善。而由于我们

是在焦平面后记录,因此也给空间滤波带来了条件。下面我们首先定量分析矩形

窗的截取效果,在这里我们的讨论截取了 Sinc 函数的主瓣和衍射的正负一级的结

果,考虑到问题本身实际上是一个空间滤波的问题,讨论本身借助了滤波器的已

有结论:

图 31 中心像素截取了 Sinc 的主瓣和正负一级后像面上接收到的图像

比较加窗截断后的幅频特性可以得出:在截止频率附近形成过渡带,过渡带

两边出现正负肩峰,肩峰两侧再伸展为起伏的余振。肩峰的增量值为 8.95%,为吉

Page 51: Defocusing and fractional Fourier transform

清华大学综合论文训练

第 46 页 共 77 页

布斯现象。此外,进入阻带的负峰值相当于 21dB 的阻带衰减,一般情况下,此数

值远远不能满足阻带内衰减的需求。显然,矩形窗的逼近性能很不理想。为加大

阻带衰减也即减小肩峰的影响,需采用其它的窗函数。但是,采用其它窗函数,

如果不增大带宽,也没有什么效果。在不增加带宽的情况下,采用其它窗函数,

可以看作连续通过两个低通滤波器,这将使得滤波特性更加变坏。

但是,如果从另外的角度看,也就是说如果我们能够让相邻像素落在衰减带

内而不是过渡带内,这个思路还是值得进一步探讨的。一个很有启发性的例子是:

如果我们让系统的传递函数为 Sinc,那么其冲击响应为 Rect 函数。这时,我们在

像面得到的图像强度分布将是一个三角波。如果我们让 SLM 的 5.0T

,则在完

全对准的情况下将不再出现串扰。不过,由于系统的传递函数为 Sinc 是难以实现

的,因此,完全实现上述设想是比较困难的。不过,在一定程度上的近似还是可

以考虑的。这里我们不做进一步的展开。

b. 事后补偿

另外的一个方法,是通过事后补偿来解决问题。通过已经知道的像素间的串

扰量,通过软件的方法对读出的 CCD 的亮度进行补偿,减小串扰。对相邻的一个

像素补偿,成为一阶补偿。对于相邻的两个像素补偿,称为二阶补偿,以此类推。

对于要求不高的系统,进行一阶补偿。要求高的进行二阶补偿。补偿是通过后续

的软件处理得到的。关于对相邻像素的串扰情况,我们在上面已经进行了很详尽

的讨论,这里就不再重复了。值得注意的一个结论是:既便是对于读出情况很恶

劣的边缘像素,其对相邻像素的串扰也只是中心亮度的 5%以内。也就是说,是比

较小的。

4. 关于谱面进一步压缩的可能性-数学建模与数值模拟:

在上面的讨论中,我们一直是从保留主极大入手的,在

'Re)( 2

2

x

ctU 中的

x

f

1

0

2'

,其中为光波长,

1f 为第一组透镜焦距。由上面的讨论可知,实际

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清华大学综合论文训练

第 47 页 共 77 页

上的串扰是可以做的比较小的。另外,实际上谱面的边缘部分所包含的能量是比

较小的,因此,很有可能只需要主极大的部分通过就可以实现比较好的读出效果。

因此,能否考虑对谱面进一步压缩呢?

下面我们给出 0' ,其中 从 0.2 到 1,间隔 0.1。将前述公式修改:

2

*]Re)2

[exp()( 33

2

3333

x

x

x

xx mTxSinc

mTxct

f

xmTiCxU (5.46)

考虑到MT

d

2 ,暂代

x

x

fdd

12,我们有

MT

f

x

1 ,所以:

2

*]Re)2[exp()( 333333

x

x

x

x

x

mTxSinc

mTxct

x

M

miCxU (5.47)

对上式换元,令

xu

mTxx

3 ,也就是说相当于我们将讨论的平面等价到物

面,得到:

2

*]Re)2[exp(

2

*]Re)2)[exp(2exp()(

4

2

33

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

xu

xSinc

xct

x

M

miC

xSinc

xct

x

M

mi

M

TmiCxU

(5.48)

为了有对比性,下面的讨论按照 SLM 和 CCD 的填充因子均是 100%给出。

下面各图中,我们实际上将原来的中心点,也就是坐标零点从 0 处移到了 2500

处。我们仿真的幅度的绝对值和强度的范围实际上是从 ]2

2,2

2[ xx

xx TT

。数值

仿真中我们取了1000

x 为最小的间隔,因此上述范围总共对应了 5000 个离散点,这

也就是图上数字的由来。上述横坐标的 1000,相当于实际上的 x 。

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清华大学综合论文训练

第 48 页 共 77 页

2.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

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清华大学综合论文训练

第 49 页 共 77 页

7.0

8.0

9.0

1

图 32 同一坐标系中从中心到边缘像素读出时像面幅度分布

2.0

2.0

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清华大学综合论文训练

第 50 页 共 77 页

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

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清华大学综合论文训练

第 51 页 共 77 页

9.0

1

图 33 同一坐标系中从中心到边缘像素读出时像面强度分布

由上面两图可见,值得注意的分界有两个:一个是中心像素的零点,我们在这

里定义此时的x

x

T

为 0 ;令一个值得注意的分界是各个曲线的交点处,我们定义此

时的x

x

T

为 1 ,表示另一种优化填充比。

下面我们给出接收面的光强随像素位置不同的变化:

2.0

3.0

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清华大学综合论文训练

第 52 页 共 77 页

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

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清华大学综合论文训练

第 53 页 共 77 页

1

图 34 接收到的光强随像素所在位置不同的变化

可以明显看到,边缘存在渐晕。而且随着 k 取值的不同,渐晕也不同。以 8.0

为例,如果我们限制边缘的能量为中心像素的 80%,那么这个时候对应图上的像

素 10 左右。也就是说,如果要实现这样的要求,需要的离焦量是特殊离焦的 50%。

2.0

3.0

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清华大学综合论文训练

第 54 页 共 77 页

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

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第 55 页 共 77 页

1

图 35 相邻串扰随像素位置不同的变化

2.0

3.0

4.0

5.0

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清华大学综合论文训练

第 56 页 共 77 页

6.0

7.0

8.0

9.0

1

图 36 隔一像素的串扰随像素位置不同的变化

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清华大学综合论文训练

第 57 页 共 77 页

由上图可见,在没有经过填充比优化的情况下,也就是说 100%填充的情况下,

即使是在孔径比较大( 1 )的时候,中心像素对相邻像素的串扰依然很大(2%),

而边缘像素的串扰更是大到无法接收的程度。如果限制边缘串扰在 5%以内,则我

们必须限制离焦量为边缘离焦的一半以下。

下面我们给出优化填充比后的情况。

当按照 0 优化时,我们有:

2.0

3.0

4.0

5.0

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清华大学综合论文训练

第 58 页 共 77 页

6.0

7.0

8.0

9.0

1

图 37 0 优化,相邻串扰随像素位置不同的变化

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清华大学综合论文训练

第 59 页 共 77 页

显然,此时对相邻像素的串扰小了很多,以 1 为例,中心像素的串扰从 2.1%

降到现在的 0.034%以下,边缘像素的串扰也从 20.7%降到了 3.7%。

2.0

3.0

4.0

5.0

Page 65: Defocusing and fractional Fourier transform

清华大学综合论文训练

第 60 页 共 77 页

6.0

7.0

8.0

9.0

1

图 38 0 优化,隔一像素的串扰随像素位置不同的变化

Page 66: Defocusing and fractional Fourier transform

清华大学综合论文训练

第 61 页 共 77 页

当按照 1 优化时,我们得到:

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

图 39 1 优化,相邻串扰随像素位置不同的变化

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清华大学综合论文训练

第 62 页 共 77 页

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

图 40 1 优化,隔一像素的串扰随像素位置不同的变化

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清华大学综合论文训练

第 63 页 共 77 页

为了让读者对问题有一个更深刻的认识,我们在下面给出对比的结果,并对

上面的结果作一个总结。限于篇幅,我们只给出了中心像素、视场的 70%处(14)

像素和边缘像素的情况。

表一. 不同孔径、离焦量对应的光强与相对串扰等的对比

Item

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Intensity

Central

Pixel

Center 2.5872

e-6

5.5094

e-005

9.0704

e-005

1.2846

e-004

1.6420

e-004

1.9439

e-004

2.1662

e-004

2.2975

e-004

2.3391

e-004

Margin 2.2684

e-6

4.1073

e-005

5.4178

e-005

5.8451

e-005

5.5049

e-005

4.7850

e-005

4.0737

e-005

3.6049

e-005

3.4511

e-005

Marginla

Pixel

Center 2.2704

e-5

4.1151

e-005

5.4355

e-005

5.8727

e-005

5.5366

e-005

4.8111

e-005

4.0867

e-005

3.6038

e-005

3.4438

e-005

Margin 1.992

e-5

3.0958

e-005

3.4408

e-005

3.3970

e-005

3.6093

e-005

4.2296

e-005

4.8498

e-005

5.0976

e-005

5.0891

e-005

I0

M=1 2.4814

e-002

5.0259

e-002

7.7616

e-002

1.0229

e-001

1.2154

e-001

1.3457

e-001

1.4209

e-001

1.4550

e-001

1.4639

e-001

M=14 2.3292

e-002

4.3724

e-002

6.1240

e-002

7.2662

e-002

7.8950

e-002

8.3309

e-002

8.8435

e-002

9.4965

e-002

1.0185

e-001

M=20 2.1780

e-002

3.7639

e-002

4.7247

e-002

4.9724

e-002

4.8866

e-002

4.8688

e-002

5.0241

e-002

5.2057

e-002

5.2708

e-002

E1

M=1 6.0203

e-001

3.4403

e-001

1.8981

e-001

1.1464

e-001

7.2069

e-002

4.5038

e-002

3.0157

e-002

2.3283

e-002

2.1334

e-002

M=14 6.0290

e-001

3.5047

e-001

2.1000

e-001

1.5477

e-001

1.3653

e-001

1.3308

e-001

1.2716

e-001

1.1275

e-001

9.7199

e-002

M=20 6.0387

e-001

3.5804

e-001

2.3548

e-001

2.0821

e-001

2.2183

e-001

2.3948

e-001

2.3263

e-001

2.1438

e-001

2.0744

e-001

E2

M=1 8.8546

e-002

2.0597

e-002

2.1981

e-002

1.0749

e-002

4.3612

e-003

2.3262

e-003

1.2880

e-003

4.0566

e-004

1.8295

e-004

M=14 8.9868

e-002

2.3224

e-002

2.5226

e-002

1.6978

e-002

1.4205

e-002

1.2286

e-002

1.1177

e-002

1.1129

e-002

9.2047

e-003

M=20 9.1326

e-002

2.6290

e-002

2.9269

e-002

2.5236

e-002

2.7307

e-002

2.5067

e-002

2.3440

e-002

2.3952

e-002

2.3118

e-002

Evaluation

Of 0

First Point -35 781 1177 1403 1541 1623 1667 1681 1683

Second Point 5035 4221 3825 3599 3461 3379 3335 3321 3319

0 0.197 0.291 0.378 0.455 0.521 0.569 0.600 0.610 0.611

Evaluation

Of 1

First Point 3269 1096 1499 1733 1880 1974 2032 2063

Second Point 1733 3906 3503 3269 3122 3028 2970 2939

1 0.224 0.356 0.499 0.651 0.805 0.949 N/A N/A N/A

Page 69: Defocusing and fractional Fourier transform

清华大学综合论文训练

第 64 页 共 77 页

表二. 不同优化下的相对串扰值

Item

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

E1( 0 )

M=1 2.9194

e-003

5.4657

e-003

7.2288

e-003

7.2031

e-003

5.5006

e-003

3.1450

e-003

1.5419

e-003

6.3830

e-004

3.4072

e-004

M=14 3.1173

e-003

6.3876

e-003

9.8195

e-003

1.2812

e-002

1.5940

e-002

1.9209

e-002

1.9950

e-002

1.6725

e-002

1.3971

e-002

M=20 3.3352

e-003

7.4652

e-003

1.3067

e-002

2.0252

e-002

2.9841

e-002

3.9043

e-002

4.1134

e-002

3.7767

e-002

3.6793

e-002

E2( 0 )

M=1 8.2319

e-004

1.5633

e-003

2.0119

e-003

1.6913

e-003

1.0944

e-003

8.5150

e-004

3.5220

e-004

9.3892

e-005

2.8407

e-005

M=14 8.7073

e-004

1.7727

e-003

2.5648

e-003

2.9171

e-003

3.3833

e-003

3.5588

e-003

4.0659

e-003

3.5460

e-003

3.1052

e-003

M=20 9.2308

e-004

2.0173

e-003

3.2563

e-003

4.5421

e-003

6.4387

e-003

7.0777

e-003

8.4279

e-003

8.0270

e-003

7.8719

e-003

E1( 1 )

M=1 1.4720

e-002

2.3251

e-002

2.1932

e-002

1.5086

e-002

1.4595

e-002

2.8800

e-002

M=14 1.4929

e-002

2.4156

e-002

2.5168

e-002

2.7015

e-002

5.0217

e-002

1.0511

e-001

M=20 1.5159

e-002

2.5210

e-002

2.9198

e-002

4.2855

e-002

9.7754

e-002

1.9807

e-001

E2( 1 )

M=1 6.5004

e-003

5.0785

e-003

3.3134

e-003

3.8060

e-003

3.8022

e-003

2.5711

e-003

M=14 6.5270

e-003

5.2811

e-003

4.3231

e-003

6.3660

e-003

8.4956

e-003

1.0443

e-002

M=20 6.5560

e-003

5.5161

e-003

5.5868

e-003

9.7580

e-003

1.4812

e-002

2.0733

e-002

至此为止,我们得到了不同孔径、不同离焦量、不同视场、不同填充比等的大量数据。

如何根据这一组数据指导我们对存储系统的参数进行选择呢?

5. 存储系统关键参数的选取

根据我们上面的讨论和得到的曲线,发现在这样特定离焦而且不改变光阑的

大小的情况下,最主要的问题是边缘的渐晕,次之,误码率的快速上升也是问题。

因此,我们有必要对前面的离焦量做一定的修正。也就是说,前面的离焦量应该

作为最大离焦量来进行考虑,而实际的离焦量可以小于这个最大值。在做了这样

的修改以后,是否意味着我们前面的工作白做了呢?

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清华大学综合论文训练

第 65 页 共 77 页

事实不是这样的。请注意我们得到的图 25、26,我们给出了 20 个像素的仿真

结果,实际上,这 20 个像素一方面可以代表我们在前面定义的特殊位置离焦且不

扩展谱面的情况下,在像面上接收到的幅度和强度的分布,另一方面,这 20 条曲

线实际上也可以均表示边缘像素的读出情况。这时我们将焦面到特殊离焦面之间

的距离 19 等分,对应了 20 个位置,而原来得到的最外面的曲线对应未离焦时边

缘像素的读出情况,最内的曲线对应特殊离焦的读出情况。相应的光强积分曲线

和相对串扰的度量实际上也可以作相应的解释。

下面我们就根据这个思想来讨论系统参数的选取问题。

a. SLM 填充比的选取:

我们将优化了填充比的图像和填充比 100%的情况进行对比,可以明显的发

现:串扰实际上是增大了。这是因为,在非 100%填充的情况下,过渡带实际上时

可以落在非光感区域的,也就是不被接收到。而在高填充的情况下,过渡带将落

在隔壁的像素上,引起很大的串扰,这一点在上面的对比中就可以看到。

当然,对于中心像素而言,实际上高填充情况下的串扰也还是比较小的。但

是,对于离焦后的边缘像素的影响是大的。另一方面,如果降低填充因子,那么

接收到的能量将直接收到影响。那么,如何在最大限度的提高效率的情况下减少

边缘的串扰呢?这需要对填充因子做优化。优化的结果已经在上面给出,即我们

给出两种衡量的尺度: 0 和 1 ,对应的效果可以从图中和表格中看出。

通过以上讨论,我们可以发现,实际上,对于离焦记录的情况,甚至是不离

焦的情况,并不是填充因子越大越好。根据上述一套理论,我们给出了填充因子

的优化结果。

值得注意的是,我们上面的讨论实际上是固定了 x ,讨论相应的 xT 大小,其

中实际上孔径的大小由 x 决定。而一般我们习惯上讨论填充因子的问题的时候,

往往是先固定了 xT ,讨论 x 的大小对读出质量的影响。当然,这样讨论是可行的,

但是实际上将问题本身负责化了,因为改变了 x ,直接就改变了记录孔径大小的

要求,而我们的孔径往往又在一定程度上是不变的,使得讨论串扰问题的时候,

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清华大学综合论文训练

第 66 页 共 77 页

一方面与填充因子相联系,一方面与记录孔径相联系,无法看清单独与两者的联

系。为了能够从这个方面对这个问题有一些认识,我们给出下面的结果:

x

x

T

主极大宽 d 截取

E0

M=1 M=14 M=20

1 1 1 2.13% 9.72% 20.7%

0.9 1.11 0.9 0.76% 6.4% 13.7%

0.8 1.25 0.8 0.38% 3.77% 8.12%

0.7 1.43 0.7 0.67% 2.61% 5.16%

0.6 1.67 0.6 1.00% 2.14% 3.67%

0.5 2 0.5 1.11% 1.73% 2.56%

上表中,我们以 100%填充为出发点,保持 xT 不变,改变 x 。设 100%填充时

主极大宽度为 1,并让截取孔径为 1,则对应于 x

x

T

的填充情况,主极大宽度为

1,截取 。由上面的结果可以看出,随着填充因子的减小,中心像素的串扰

由大到小,再到大。这时因为,当填充因子很大时,过渡带将落在相邻像素,这

是主要矛盾,引起较大串扰;当填充因子很小时,谱面扩展很大,此时孔径受限

成为主要矛盾,引起较大串扰。对中心像素而言,最佳的填充因子大概为 0.82,

此时对应的串扰为 0.37%。

对于 IBM 的 DemonII 系统,其 938.0x

x

T

, 76.0 ,得到其中心像素串扰为

2.09%,离焦 50%时边缘像素的串扰为 6.07%。

b. CCD 填充因子的选取

上面给出了 SLM 形状的优化讨论结果。我们说,SLM 实际上对像素间串扰是

起决定作用的。它本身的结构实际上直接的决定了接收面的强度分布。而 CCD 本

身的作用,只是来接收这个已经存在的强度分布,或者说对这个已经存在的强度

分布进行采样。再次审视我们得到的谱面幅度分布和强度分布的几张图,根据上

面的讨论,我们已经令 SLM 的像素按照中心点强度为 0 的第一点间隔排列,也就

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清华大学综合论文训练

第 67 页 共 77 页

是定下了 SLM 的周期大小,这个大小是直接和其光敏长度相关的,前面已经讨论。

讨论 CCD 的结构,首先,其周期是必须和 SLM 的周期一样的。那么在这个周期

里面,光敏面积要多大呢?显然,如果能够达到其填充因子为 100%,那么我们将

完全采集到得到的能量而不损失。这样带来的另外一个问题是:有可能提高相对

串扰的值 E1 和 E2,这是因为 I0 随着光敏面积的增大,虽然也增大,但是增大的

幅度相当于自己原来的值来说很小。而 I1 和 I2 则完全不同,他们随着光敏面积的

增大,相对于自己原来的值增大很多。

那么,是否说我们需要填充率比较小的 CCD 呢?实际上,根据我们得到的谱

面强度分布图,可以明显看出:串扰本身是次要的,特别是对于我们优化了 SLM

像素的形状后。而这个时候突出的因素是接收到的能量,这是主要矛盾。因此,

从这个角度说,CCD 的填充因子越大越好。

c. 关于记录光斑孔径大小的选择

我们前面一直是按照保留主极大的情况下进行讨论的,在上一节我们引入了

缩放因子 ,并给出了不同 下的系统关键参数,如 I0,E1,E2 等。通过参数的对

比,我们发现,实际上孔径是可以取的更小些的,也就是说孔径小于 Nyquist 采样

孔径。当然,这个时候是会发生混叠的。但是,由于衍射主极大的边缘的能量是

比较小的,实际上在边缘 80%以外的地方的能量忽略后,对系统的影响不是很大

(特别是对像差校正不很完全的透镜组而言)。对比上图,我们发现 取 0.7 时,

整体效果与取 0.8 相比区别不大,综合考虑,我们取 7.0 ,此时对应 x 方向的孔

径为 17.72 1

x

x

fd

, 99.4

2 1

y

y

fd

d. 离焦量的选取

在限定了中心像素的通光口径以后,我们讨论离焦量的选取问题。实际上,

离焦量与选取孔径的大小是相互联系的,也就是说,我们必须先确定一个,然后

讨论另外一个。如果我们先给定离焦量的大小,然后讨论孔径的选取也是可以的。

这个时候,我们就必须讨论在给定的离焦量下,对于边缘像素,究竟要让衍射级

次的那个部分过去的问题。实际上,两种讨论是等价的,我们按先由中心像素定

下孔径,然后讨论离焦量来处理。

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清华大学综合论文训练

第 68 页 共 77 页

显然,如果仍然是采取特殊离焦(主光线通过孔径光阑的边缘),那么从我们

前面得到的图中可以看到,严重的渐晕和误码率是一个很大的问题。而如果离焦

量很小,又起不到明显的谱面均化作用,失去离焦的意义。因此,必须在离焦量、

能量和误码率之间找到一个最佳的结合点。

回到我们前面得到的一组图中,我们重点看 7.0 的情况。

对于第 14 个像素,它的能量是中心的 62%,E1 为 1.9%,从图上可以看出,

实际上此时离焦为特殊离焦的 70%,但是渐晕、串扰等有了很大的改善。

此时对应的谱面分布为:

图 41 0.7 倍离焦后谱面的幅度分布 40×30PIXELS

与图 13 相比,均化效果要差一些,不过还是比较明显的。最大幅度提高了 10

个单位。

如果要求更高,我们看第 10 个像素,它的能量是中心的 79%,E1 为 1.1%,

此时离焦为特殊离焦的 50%,渐晕串扰进一步改善。

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清华大学综合论文训练

第 69 页 共 77 页

图 42 0.5 倍离焦后谱面的幅度分布 40×30PIXELS

实际上,如果我们离焦更小些,则边缘像素的能量更加接近中心像素,串扰

也进一步减小,但是,其极限是中心像素的串扰大小。也就是说,中心像素的串

扰由前面的 SLM、CCD 和孔径大小所决定,是离焦量减少到很小时候所不能逾越

的极限。

e. 一般情况下的参数选取问题:

实际上,我们往往是已经给定了 SLM 和 CCD 的填充比,即两者不能进行优

化。在这种情况下,如何给出记录孔径和离焦量的选取呢?

仍然先确定记录孔径的大小。假设我们这个时候 SLM 和 CCD 填充率均是

100%,那么此时我们已经得到不同孔径和离焦量情况下的一组参数图,如前所示。

这时,我们先要确定中心像素所能容忍的最大串扰是多少。如果我们限定在 5%以

内,那么 值最小为 0.7。

确定了记录孔径的大小后,我们讨论离焦量大小的选取。这个时候,必须综

合考虑边缘渐晕与边缘串扰。也就是说,我们必须同时对这两方面提要求。如果

我们要求边缘渐晕不得超过 70%,对相邻像素串扰不得超过 10%,那么根据 I0和

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清华大学综合论文训练

第 70 页 共 77 页

E1 的曲线,我们就可以定出此时的离焦量必须小于边缘离焦的一半。也就是说,

为了更好的均化谱面,此时我们的离焦量应该是边缘离焦的一半。

在确定了离焦量之后,我们应该进一步对谱面进行数值模拟,观察谱面的均

化情况是否合乎我们的要求。如果此时谱面仍然没有很好的均化,我们必须重新

改变 值,即将 值取大些,比如 0.8,再次重复上述过程,直到从中心到边缘像

素的能量、串扰和谱面能量分布均达到我们预期的要求。上述过程用流程图表示

如下:

Input the fillfactors of SLM

and CCD

Calculate I0,E1under different

k

Input the maxvalue of Center

E0

Find the minimalk

Find the maximaldefocusing value

Input themarginal E0 and

Vignetting

Calculate thespectrum

distributing

OK?

K=K+delta

No

Yes

Start Out put results

图 43 求解一般情况下的系统参数流程图

6. 边缘像素渐晕问题的解决

我们讨论的渐晕的前提是在系统的入射光为均匀平面波。当入射光为高斯光

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清华大学综合论文训练

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束时,边缘的能量本来就比中心处小,因此边缘的渐晕将更为严重,而不是我们

这里讨论的 50%这么简单。如果我们保留的高斯光束的边缘部分能量为中心的

50%,那么此时恢复的图像的边缘能量将只有中心的 25%。

由此可以推想,这种照明的不均匀也将引起边缘像素误码率的上升(有待实

验验证)。那么,能否考虑让光能的分布不是更均匀,而是呈边缘大,中间小呢?

或者说,让横截面上光能的分布是反高斯分布或者是其它的一些情况?如果能够

让边缘照射的激光能量为中心处的 2 倍,那么我们就可以在保证恢复的图像无渐

晕而且谱面能够实现压缩。真正做到既让马儿跑,马儿又少吃草。

一个简单的想法是采用一种成高斯分布的介质来吸收中间的能量。这种方法

已经用在了高斯光束的均化中。进一步,如果我们调制均化的参数,则可以实现

光束的逆高斯分布。但是,这种方式存在的问题是其能量损耗太大。但是,如果

我们用已经产生的这种光束来制作傅立叶变换透镜,而这种损耗只是在制作透镜

的时候存在。那么,这种方案不失为一种可以考虑的选择。具体的应用见参考文

献【5】中关于高斯光束的均化部分。

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清华大学综合论文训练

第 72 页 共 77 页

第八章 结论

1. 本论文取得的主要研究成果及创新:

本文取得的理论上的创新成果是从 Fresnel 衍射和透镜的傅立叶变换性质入

手,推导离焦后谱面分布的一般表达式,通过适当的约简和限制(小离焦,小成

像范围)下得到离焦后谱面和分数傅立叶变换谱面分布的傅立叶变换表达,并从

几何光学的角度上给出了上述结果的物理意义。借助得到的结果,给出离焦后谱

面分布的数学表达式,并进一步给出了从谱面到像面的数学模型,得到相应的像

面分布、光强分布、页内串扰等的数学模型。

通过对上述数学模型的的数值模拟,本文给出了系统关键参数(SLM、CCD

的填充率,光斑大小,离焦量)的优化选取结果。优化选取系统后,系统的表现

是令人满意的。

最后,建立了给定 SLM 和 CCD 的条件下系统参数的选取流程图,以此给出

一般情况下系统离焦后参数选取的基本依据,指导今后进一步实验工作的开展。

文中的诸多看法与现在普遍的看法有不同。主要体现在:

1. 关于离焦后谱面是否扩展的问题

2. 关于 SLM 和 CCD 的填充因子选取问题

3. 关于高斯光束的均化

对于 1,我们实际上已经说明,可以不扩展谱面,实现离焦的要求。对于 2,

我们证明,对于 SLM 而言,并不是填充因子越大越好。由于为了提高存储密度,

我们严格的限制了谱面的大小,因此直接影响到一定串扰要求小 SLM 填充因子的

选取,这一点在文中给了详细的说明。对于 3,我们根据对离焦后系统的分析,提

出对光束均化新的要求。

2. 对后续工作的展望:

本文仅是对光束均化中的离焦进行了讨论。对于其它两种方法,Axicon 和相

位板还需要进一步的研究。

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清华大学综合论文训练

第 73 页 共 77 页

文中建立的数学模型和得到的一系列重要结论,是否与实际符合,最终要让

实验结果说话。但是,实际上我们实验的要求是比较高的,实验的前提是一定视

场内 1:1 的对准。因此,如何实验也是后续工作的重点之一。

Page 79: Defocusing and fractional Fourier transform

清华大学综合论文训练

第 74 页 共 77 页

附录 1. 谱面强度分布计算源程序

M=40;N=30;

kaka=1; %value of defocusing

Taox=16*1e-3; Taoy=16*1e-3;

Tx=26*1e-3; Ty=26*1e-3;

lamda=532*1e-6;k=2*pi/lamda;

f=154.6;

d=2*lamda*f/Taox;

delta=-d/2/M/Tx*kaka;

freqD=30e-3; %frequency distinguish: 1e-1mm

x2=-d/2:freqD:d/2;

y2=-d/2:freqD:d/2;y2=y2';

[x2,y2]=meshgrid(x2,y2);

u(1,1)=0;

for m=1:1:M

for n=1:1:N

%a(m,n)=abs(((-1)^m+(-1)^n)/2);

a(m,n)=1;

k1=exp(-i*k/2/f*delta*(m*m*Tx*Tx+n*n*Ty*Ty));

f_kesy=(x2-delta*m*Tx)/lamda/f;

f_yeta=(y2-delta*n*Ty)/lamda/f;

k2=exp(-i*2*pi*(m*Tx*f_kesy+n*Ty*f_yeta));

u=u+a(m,n)*k1*k2.*sinc(Taox*f_kesy).*sinc(Taoy*f_yeta);

a=n

end

a=m

end

u=abs(u);

mesh(x2,y2,u);

xlabel('x')

ylabel('y')

zlabel('amplitude')

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清华大学综合论文训练

第 75 页 共 77 页

附录 2. 像面强度分布等计算源程序

kaka=0.7;%%%%

Taox=26e-3;Taoy=23e-3;

TTaox=26e-3;

gama=0.569;%%%%

Tx=Taox/gama;

dist=1e-3; %积分的分辨率

dist=dist*TTaox;

x=-(2*Tx+Taox/2):dist:(2*Tx+Taox/2);

N=2*(2*Tx+Taox/2)/dist;

m=1;

M=20;

while m<=M

n=1;

while n<=N

U3(m,n)=quad('fun1',-Taox/2,Taox/2,1e-8,0,x(n),m,Taox,M,kaka);

U3(m,n)=kaka*abs(U3(m,n));

n=n+1;

end;

ss=2*Tx/dist;

UU0=U3(m,ss:(ss+(Taox)/dist));

UU1=U3(m,(ss+Tx/dist):(ss+(Tx+TTaox)/dist));

UU2=U3(m,(ss+2*Tx/dist):((ss+(2*Tx+Taox)/dist)-1));

I0(m)=sum(UU0.*UU0);

I1(m)=sum(UU1.*UU1);

I2(m)=sum(UU2.*UU2);

m=m+1;

end;

I3=U3.*U3;

E1=I1./I0;

E2=I2./I0;

dd=1:N;

plot(dd,U3.*U3)

xlabel('Relative Position')

ylabel('Intensity')

文件 fun1.m:

function y=fun1(t,x,m,Tao,M,kaka)

y=exp(i*2*pi*kaka*m/M/Tao*t).*sinc(2*(x-t)*kaka/Tao);

Page 81: Defocusing and fractional Fourier transform

清华大学综合论文训练

第 76 页 共 77 页

参考文献:

1. 顾德门. 傅立叶光学导论. 詹达三 等译. 北京 : 科学出版社, 1976

2. 于美文. 光全息信息处理. 北京 : 国防工业出版社, 1984

3. 宋菲君, (日)S. Jutanmulia. 近代光学信息处理.

北京: 北京大学出版社, 1998

4. 赵凯华, 钟锡华. 光学. 北京 : 北京大学出版社, 1984

5. 吕百达. 激光光学 : 激光束的传输变换和光束质量控制

成都 : 四川大学出版社, 1992

6. 郑君里,应启珩,杨为理. 信号与系统. 北京:高等教育出版社. 2000

Page 82: Defocusing and fractional Fourier transform

清华大学综合论文训练

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致谢:

本论文是在邬敏贤教授和金国藩院士的指导下完成的,其间每周一次的学术

讨论使我受益匪浅,真正感受到了浓郁的学术气氛。在论文的研究中,我曾多次

与邬敏贤教授讨论研究的发展方向,与尉昊贇讨论研究进展,向何庆声副教授、

廖延彪教授请教傅立叶光学,向刘序明研究员请教信号与系统方面的问题,向曹

良才、黄雄斌、刘国栋、王津楠请教实验方面的问题,向何树容副教授借实验仪

器,在此对他们表示由衷的感谢。

向所有给过我帮助的其他老师和同学表示感谢。

感谢何庆生副教授、邬敏贤教授给予我生活上的关心和帮助。感谢我的家人,

所有关心我的朋友和我的同学。