Deformálható elemen keresztül hajtottdinamikai rendszer RFPT alapú adaptív

szabályozása ?

Kósi Krisztián ∗ Várkonyi Teréz Anna ∗∗ Tar József ∗∗∗

∗Óbudai Egyetem, Alkalmazott Informatikai Doktori Iskola, H-1034Budapest, Bécsi út 96/B (e-mail: kosi.krisztian@phd.uni-obuda.hu)∗∗Óbudai Egyetem, Bejczy Antal iRobottechnikai Központ, H-1034Budapest, Bécsi út 96/B (e-mail: varkonyi.teri@phd.uni-obuda.hu)∗∗∗Óbudai Egyetem, Bejczy Antal iRobottechnikai Központ, H-1034Budapest, Bécsi út 96/B (e-mail: tar.jozsef@nik.uni-obuda.hu)

KivonatA járművek irányításának a gyakorlatban jelenleg tipikus megoldása, hogy a dinamikaiszabályozás közvetlenül a viszonylag nagy tömegű járműtestre koncentrál, melyhez a szállítottteher csillapított, rugalmas szerkezeti elemeken keresztül van csatolva. Maga a hasznos tehernem kap aktív szabályozást, dinamikai csatolása a járműtesttel a jármű mozgásának perturbáci-ójaként jelenik meg. A szállított teher rázkódása emiatt nem szabályozott, s csak a rendszerbenmeglévő természetes csillapítások hatására korlátozódik. Tekintettel arra, hogy a ma már olcsónhozzáférhető gyorsulás-szenzorok közvetlenül képesek mérni egy test inerciális vonatkoztatásirendszerekhez viszonyított, a Klasszikus Mechanika modellvilágában ily módon „abszolút” gyor-sulást, alternatív lehetőség lehet magának a szállított tehernek az aktív mozgásszabályozásaabban az értelemben, hogy a járműtestet próbáljuk meg úgy mozgatni, hogy ne a járműtest,hanem a teher mozgása legyen minél simább.Mivel a deformált elem által kifejtett erő a deformáció mértékétől függ, csak a szállítottteher koordinátáinak negyedik idő szerinti deriváltjának közvetlen befolyásolására van módunk.Ennek szabályozását nehezíti, hogy a 4. deriváltak a szimulációs eszközökben (pl. MATLAB,SCILAB) meglévő szokványos deriváló elemekkel általában megbízhatatlanul becsülhetők. Enehézséget küzdöttük le egy saját fejlesztésű polinomiális deriválóval, amely alkalmas különbözőmódszerekkel numerikusan integrált jelek 4. deriváltjának megbízható becslésére, s egyúttalzajszűrőként is működik.Másik probléma, hogy a szabályozott rendszer dinamikájáról csak nagyon pontatlan ismereteinkvannak, ezért sima szabályozáshoz adaptív technikák alkalmazása válhat szükségessé, amelyekkimunkálása a globális stabilitást biztosító Lyapunov függvény technika alapján matematikailagnehéz. Ennek alternatívájaként vezettük be a Stefan Banach fixpont tételén alapuló, RobusztusFixpont Transzformációt alkalmazó adaptív szabályozást, amely csak korlátos tartományongarantál stabilitást.Egy 2 szabadsági fokú rendszer példáján már demonstráltuk, hogy a polinomiális deriválóvalkombinálva ez a módszer működik a 4. deriváltakat igénylő dinamikai szabályozásban. To-vábblépésként most egy 6 szabadsági fokú rendszerre mutatjuk meg szimulációval a módszerhasználhatóságát. További célunk, hogy ezen eredményeken továbblépve több rugalmas elemmelrögzített teher közvetlen adaptív mozgásszabályozásáig jussunk el.

1. BEVEZETÉS

A mai általános gyakorlatban a nemlineáris adaptív szabá-lyozók tervezésének alapja „Lyapunov 2. módszere”, melyet1892-ben doktori értekezésében publikált Lyapunov [1892]a különböző fizikai rendszerek mozgásának stabilitásáról,majd a múlt század hatvanas évében megjelenő angol for-dítás Lyapunov [1966] alapján terjedt el az egész világon.

? TÁMOP-4.2.2.A-11/1/KONV-2012-0012: Hibrid és elektromosjárművek fejlesztését megalapozó kutatások - A projekt a MagyarÁllam és az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alaptársfinanszírozásával valósul meg.

Módszerének nagy előnye, hogy olyan fizikai rendszerekmozgásának stabilitását (gyakorta aszimptotikus stabili-tását is) meg lehet vele állapítani, melyek mozgásegyenle-tének nincs zárt alakú analitikus megoldása, s így részleteiáltalában ismeretlenek. A tervezési módszer alkalmazásáraszámtalan „régebbi” (a múlt század kilencvenes éveibőleredő) és újkeletű példa is idézhető, pl. az „Adaptív InverzDinamika”, „Slotine és Li Robotszabályozója” Slotine andLi [1991], Isermann et al. [1992], a referencia modellhezhasonlító dinamikai viselkedést eredményező „Modell Re-ferenciás Adaptív Szabályozók” (pl. Nguyen et al. [1993],Murray et al. [1994], Kamnik et al. [1998], Tung et al.

[2000], Somló et al. [2002], Khoh and Tan [2003], Hosseini-Suny et al. [2010]). A múlt század kilencvenes éveitőlvilágossá vált, hogy e módszer nemcsak analitikus formájúkiindulási modellre, hanem a lágy számítási eljárásokkalmegadott modellek re is kiterjeszthető Bernard and Slotine[1997]). Ez igen fontos lépés volt, mivel a szabályozásel-méletben a fuzzy következtető rendszerek is egyre inkábbelterjedtek (pl. Tick and Fodor [2005]). Azonosíthatókjellegzetes alkalmazási területek, melyeken a „szituációalapú szabályozás” (pl. Madarász et al. [2009], Madarászet al. [2010], Andoga et al. [2013]) elvei érvényesíthetők,mivel tipikus működési rezsimek azonosíthatók valamilyeneszköz esetében, melyekre hierarchikus szabályozás dolgoz-ható ki szabálybázis alapján (az idézett példában turbojetmotorban).

Erényei mellett a Lyapunov által kifejlesztett technikánakhátrányai is vannak:

• A módszer egy alkalmas Lyapunov függvény megta-lálásán alapul. Ha nem sikerül ilyet találni, a rendszerstabilitásáról semmit sem állíthatunk.• A megfelelő Lyapunov függvény megtalálása „intuí-ción” alapulhat, s nem váltható ki mindig egy egy-szerű, könnyen programozható algoritmussal.• Az adaptív szabályozóba bekerülhetnek a Lyapunov

függvény alkatrészeinek „törmelékei”, így sok és nehe-zen optimalizálható szabályozót kapunk, a módszerevolúciós módszerekkel is kényszerűségből kombinál-ható lehet (pl. Sekaj and Veselý [2005]).• Az elsődleges tervezői szempont a pályakövetési hiba

időbeni csökkenésének pontos előírása lenne, erre aLyapunov módszer nem közvetlen információt, alkal-mazásával szimulációs vizsgálatokra vagyunk utalva.• A globális stabilitás igénye a gyakorlatban túlzó, a mo-dern robusztus szabályozókat is általában véges fel-tételezett hiba-tartományra tervezik, korlátlan hibáktolerálása általában nem várható el a szabályozóktól.

A fent említett körülmények arra ösztönöztek, hogy alter-natív tervezési megoldást keressünk az adaptív szabályo-zók stabilitásának biztosítására, amely

• jóval egyszerűbb Lyapunov módszerénél,• csupán kevés független paramétert tartalmaz,• geometriailag egyszerűen interpretálható,• viszonylag pontatlan és hiányos kiindulási modell ese-tében is képes működni,• nem törekszik fölöslegesen a globális stabilitás bizto-sítására,• stabilitása azonban véges tartományokon garantál-ható,• az elsődleges tervezői szándékot tartja szem előtt, selőírt hibacsökkenést eredményez.

A módszer alapjait 2009-ben (Tar et al. [2009]) raktuk leegy iteratív szabályozással, amely Stefan Banach fixponttételén Banach [1922] alapulva lépésről lépésre deformáljaa közelítő modell bemenetét oly módon, hogy végül igenpontos pályakövetési hibát kapjunk (a kauzalitás elve mi-att ezzel a módszerrel aszimptotikusan stabil szabályozónem nyerhető, de véges tartományban stabil szabályozómár igen. Ez a módszer feltételezi, hogy a szabályozott di-namikai rendszer válasza (és nem a teljes állapota) közvet-lenül megfigyelhető, így lehetővé teszi válaszfüggvény létét,

amely egy kívánt választ képez le egy megfigyelt válaszra.A módszert sokféle fizikai rendszer esetében alkalmazható-nak találtuk, s segítségével a Modell Referenciás AdaptívSzabályozók egy új osztályát fejlesztettük ki (pl. Tar andEredics [2010], Tar et al. [2013]). A véges tartományongarantált konvergencia gyengéjének orvoslására kiegészítőhangolási módszereket dolgoztunk ki egyetlen adaptív pa-raméterre a transzformáció lokális tulajdonságai alapján(pl. Tar [2010], Tar et al. [2011]). A transzformáció globálistulajdonságainak vizsgálata alapján megmutattuk, hogya konvergencia tartományának elhagyása nem okvetlenüljár tragikus tulajdonságokkal (pl. Várkonyi et al. [2012],Kósi et al. [2012], Kósi et al. [2012]). Végül a módszertsikeresen kombináltuk soft computing alapú modellekkelVárkonyi [2012], Várkonyi et al. [2013], és a magasabbrendű numerikus deriválás problémáját megoldva egy kétszabadsági fokú, 4. rendű rendszerre meg tudtuk mutatni,hogy a módszer használható lehet Kósi et al. [2013].

A fenti kezdeti eredményeken felbuzdulva igyekeztünk amódszer használhatóságát vizsgálni olyan közelítően mo-dellezhető mechanikai rendszerek adaptív szabályozásá-ban, ahol a szabályozandó rendszer mozgatása nem köz-vetlenül történik, hanem deformálható komponenseken ke-resztül. Tipikusan ilyen helyzettel állunk szemben jármű-vek irányítása esetén, ahol a cél a hordott teher precízmozgatása, közvetlenül viszont csak a járműtest mozgásáttudjuk szabályozni. Ez a legegyszerűbb esetben 4. rendűszabályozásnak felel meg. Az alábbiakban a módszer hasz-nálhatóságát egy 6 szabadsági fokú rendszeren mutatjukbe szimulációval, a mely a járműszabályozási problémalegegyszerűbb modellje.

2. A SZABÁLYOZANDÓ RENDSZER MODELLJE

Legyen két pontszerű tömegünk, mx és my az x és ypontokban egy L0 nyugalmi hosszú rugóval összekötveoly módon, hogy a rugó csak a maga irányában legyenképes erőt kifejteni, azaz csak az y − x irányban. A mytömegpontra közvetlenül tudunk F erőt kifejteni, amellyelviszont célunk az mx tömegpontot az xN (t) nominálispályán végigvezetni. E rendszer mozgásegyenlete az alábbi:

mxẍ = mxg + h (x,y) +H (x,y, ẋ, ẏ)myÿ = myg − h (x,y)−H (x,y, ẋ, ẏ) + F , (1)

ahol a tömegpontok közti kölcsönhatásban figyelembe vet-tük a hatás–ellenhatás elvét, g a gravitációs gyorsulástjelöli, a két test közti kölcsönhatást pedig az alábbi függ-vények írják le:

N (x,y) := ‖y − x‖,h := k

y − xN

(N − L0) ,

H := by − xN

(y − x)T (ẏ − ẋ)N

,

(2)

ahol k > 0 egy rugóállandó, b > 0 pedig egy viszkózuscsillapítás, N pedig eukleidészi (Frobenius) normát jelöl.A viszkózus csillapításról is feltettük, hogy csak az y −x irányban fejt ki erőt, ami csak az ezirányú nyúlástólfügg a (y−x)

T (ẏ−ẋ)N tényező szerint. Előre várható, hogy

a kölcsönhatási erő ilyen iránybeli korlátozottsága speci-ális szabályozást igényel, amelyre a következő szakaszbanteszünk javaslatot.

3. A JAVASOLT SZABÁLYOZÁS

Először egy pontosnak vélt modell alapján kidolgozottnem adaptív, majd egy közelítő modellen alapuló adaptívszabályozásra teszünk javaslatot.

3.1. A pontos modellen alapuló szabályozás

Tegyük fel, hogy a rugóállandó hatása mellett a viszkó-zus csillapításhoz köthető kölcsönhatás viszonylag csekély!Tisztán kinematikai alapon írjunk elő egy PID típusúkövetési hiba relaxációt az x változóra a következőképp:

ζ(t) :=

∫ t0

(xN (ξ)− x(ξ)

)dξ(

Λ +d

dt

)3ζ = 0⇒

ẍDes = ẍN + Λ3ζ + 3Λ2(xN (t)− x(t)

)+

3Λ(ẋN (t)− ẋ(t)

),

(3)

ahol ẍDes egy kívánt gyorsulás. A modell ismeretébenaz xN (t) nominális pályához tervezhetünk egy nominálispályát az y változóra oly módon, hogy az mx-re ható erőirányában álljon az y − x vektor, a rugó pedig legyenannyira megnyújtva, hogy azmx tömegpont kívánt gyorsu-lását okozza. Ha a viszkózus kölcsönhatást elhanyagoljuk,az alábbi előírást kapjuk:

mx(ẍDes − g

)= k

yN − xN

(N − L0) (4)

ahol azonban N = ‖yN −x‖ is tartalmazza a keresett yNváltozót. A (4) egyenlet megoldása mégsem nehéz. Ahhoz,hogy a két oldalon lévő vektorok egymással párhuzamosakmaradhassanak, próbáljuk a megoldást c := ẍDes − g,yN − x = αc alakban keresni, ahol α vagy pozitív vagynegatív szám lehet. Mindkét oldalt megszorozva a cTvektorral egy skalár egyenletet kapunk:

mx‖c‖2 = kα‖c‖2

|α|‖c‖(|α|‖c‖ − L0)⇒

mx = kα−kL0‖c‖

α

|α|.

(5)

Ha α < 0, akkor α|α| = −1, ha α > 0, akkorα|α| = 1. A

megoldás e két különböző hipotézis szerint α értékére

α =

(mx +

kL0‖c‖

)1

kha α > 0,

α =

(mx −

kL0‖c‖

)1

kha α < 0

(6)

lehet. A megfelelő mennyiségek előjele (6)-ban ismert fizi-kai okok miatt, így az előjel vizsgálathoz az

(mx − kL0‖c‖

)mennyiség előjelét kell kiszámolni.

A fenti megfontolások segítségével létrehozott yN (t) „no-minális pályához” (3)-hez hasonlóan egy gyorsabb, λy > ΛPID típusú relaxációt írhatunk elő (7)-ban,

ζy(t) :=

∫ t0

(yN (ξ)− y(ξ)

)dξ

ÿDes = ÿN + Λ3yζ + 3Λ2y

(yN (t)− y(t)

)+

3Λy(ẏN (t)− ẏ(t)

).

(7)

hiszen az (1) alapján ÿ értékét tudjuk közvetlenül befo-lyásolni az F erővel úgy, hogy ÿDes értéket egyszerűenbehelyettesítjük az (1) csoport második egyenletébe. Ter-mészetesen ez a szabályozás is közelítő jellegű, mert meg-konstruálása aH viszkózus tag elhanyagolásán alapul. Haezen elhanyagoláson kívül még a modell–paraméterek ispontatlanok, adaptív szabályozásra van szükség.

3.2. A pontatlan modellen alapuló adaptív szabályozás

Tegyük fel, hogy a valóságot a pontos mx = 3 kg, my =1 kg, b = 0.1N · s/m, k = 100N/m, L0 = 1m ésg = [0, 0,−9.81]T m/s2 paraméterek jellemzik, míg azokrendelkezésünkre álló közelítő értékei rendre m̂x = 2 kg,m̂y = 1.5 kg, b̂ = 0.1N · s/m, k̂ = 120N/m, L̂0 = 1.2més ĝ = [0, 0,−10]T m/s2. A ẍDes értéket most is (3) alap-ján számítjuk, yN (t) értékét pedig (4) azon változatából,amelybe a közelítő modell–paramétereket írjuk be. Erre apályára előírjuk a (7) hibacsökkenést, amely a ÿDes kívántmásodik deriváltat eredményezi. Ezt az értéket a közelítőparaméterekkel ellátott (1) mozgásegyenletbe behelyette-sítve megkapjuk a szükséges, becsült F erőt.

Megjegyezzük, hogy mivel ÿDes értéke d2

dt2 ẍDes értékéből

is adódik, a rendszerünk negyedrendű. Mivel a (6)-bólszármazó megoldás dupla deriválása zárt alakban, kézzeleléggé bonyodalmas, helyette a Kósi et al. [2013]-ban márpublikált polinomiális deriválót használhatjuk ÿN kiszá-mítására. A modell–pontatlanságok és egyéb elhanyagolá-sok következményeit pl. a Tar [2009] közleményben márelemzett iteratív adaptív tanulással kíséreljük meg kom-penzálni, melyben a szabályozás ciklusideje δt = 10−3 s,és

h := f(ẍn)− ẍDes, e := h/‖h‖,σ(x) :=

x

1 + |x|,

B̃ = Bctrlσ(Actrl‖h‖)ẍn+1 = G

(ẍn, f(ẍn), ẍ

Desn+1

):=

(1 + B̃)ẍn + B̃Kctrle,

(8)

ahol az f(ẍn) := ẍ(tn) válaszfüggvény a megelőző szabá-lyozó ciklusban kiadott jelre kapott megfigyelhető gyorsulás,az Actrl, Bctrl, és Kctrl pedig az adaptív szabályozó para-méterei.

A (8) egyenletben szereplő G(ẍn, f(ẍn), ẍ

Desn+1

)függvény-

ről nyilvánvaló, hogyha létezik olyan ẍ? szabályozó jel,amelyre f(ẍ?) = ẍDes, akkor ẍ? = G

(ẍ?, f(ẍ?), ẍ

Des),

azaz a szabályozási feladat megoldása e függvény fixpontja,innen ered a fixpont transzformáció elnevezés. Ha e függ-vény ẍn szerint elég lapos, a vele készített iteráció e fix-ponthoz konvergál. E feltétel viszonylag könnyen teljesít-hető a Bctrl = ±1, a megfigyelhető gyorsulásoknál lényege-sen nagyobb |Kctrl| és egy elég kis pozitív Actrl paraméterbeállításával. Szükség esetén ez utóbbi paraméter finomanhangolható a fixponthoz való konvergencia biztosításánakérdekében. Az adott példában ilyen kiegészítő hangolásra

nem volt szükség. A következő szakaszban szimulációseredményeket mutatunk be.

4. SZIMULÁCIÓS EREDMÉNYEK

A szabályozási paraméterek a következők voltak: Λ = 6/s,Λy = 12/s, az adaptív esetben ezekhez hozzájönnek aKctrl = −105, Bctrl = 1, Actrl = 10−6 adaptív paraméterbeállítások. A feladat egy térben ferde helyzetű ellipszoidpálya követése volt. A szimulációkban egyszerű Eulerintegrálást végeztünk, melynek időfelbontása megegyezetta δt = 10−3 s szabályozási ciklusidővel. Az 1. ábránvilágosan látható, hogy az adaptivitás jelentős mértékbenpontosította a pályakövetést.

1. ábra. A nem adaptív (felső) és az adaptív (alsó) szabá-lyozások pályakövetése az x koordinátára

Az ábra alapján az gyanítható, hogy a nem adaptívszabályozás lassan divergál, az adaptív viszont szépenkonvergál, ezt erősíti meg az y-ra vonatkozó 2. ábra is.

Az adaptivitás működését világítja meg az 3. ábra. Anem adaptív esetben a vörös, bíbor bíbor és okker színűvonalakat egzaktul fedik rendre a barna, lila, és rózsaszínvonalak, míg az adaptív esetben ezek erősen szétválnakegymástól az adaptív deformációnak megfelelően, és akívánt és szimulált értékek egymás közelébe kerülnek. Azadaptáció részleteit fedi fel az 4. ábra, részben az adaptációbekapcsolásának környezetében, ahol szétválnak egymás-tól a nem adaptív szabályozás esetén összeeső vonalak.

A kifejtett szabályozó erőket a 5. ábra mutatja. A nemadaptív esetben hektikus fluktuációk jelennek meg rend-szeresen, míg az adaptív esetben ezek a durva kezdetitranziensek lecsengése után eltűnnek. A kinagyított 6. ábraezt részleteiben is könnyen láthatóvá teszi.

5. KÖVETKEZTETÉSEK

A rugalmas komponenseken keresztül hajtott jármű pri-mitív modelljeként egy hat szabadsági fokú rendszer (két,

2. ábra. A nem adaptív (felső) és az adaptív (alsó) szabá-lyozások pályakövetése az y koordinátára

3. ábra. A nem adaptív (felső) és az adaptív (alsó) szabá-lyozások ẍ koordinátáinak második idő szerinti deri-váltjai: számított mozgás: fekete, kék, zöld vonalak; a„kívánt” („DES”) gyorsulás komponensek: piros, bíbor,okker; az adaptívan deformált „REQ” értékek: barna,lila, rózsaszín

egymáshoz rugalmas és disszipatív rugóval összekötötttömegpont) robusztus fixpont transzformáció segítségévelvaló szabályozását vizsgáltuk jelentős mértékű paraméter-pontatlanságok és elhanyagolások mellett. A tekintettprobléma összességében egy negyedrendű szabályozási fel-adatnak is tekinthető.

A szimulációs eredmények alapján megállapítható, hogy azadaptivitás bevezetésével igen jelentős követési pontosság

4. ábra. A nem adaptív (felső) és az adaptív (alsó) szabá-lyozások ẍ koordinátáinak második idő szerinti deri-váltjai: számított mozgás: fekete, kék, zöld vonalak; a„kívánt” („DES”) gyorsulás komponensek: piros, bíbor,okker; az adaptívan deformált „REQ” értékek: barna,lila, rózsaszín

5. ábra. A nem adaptív (felső) és az adaptív (alsó) szabá-lyozások esetén kifejtett erő-komponensek: barna, lila,rózsaszín

javulást sikerült elérni, egy instabil szabályozást sikerültstabilizálni egy geometriailag jól interpretálható, egyszerűmódszerrel.

A továbbiakban célunk hasonló szabályozási módszer vizs-gálata egy kocsi-testhez egyszerre több rugalmas elemmelrögzített merev teher precíz, sima, rázkódásmentes moz-gatásának megvalósítása érdekében.

6. ábra. A nem adaptív (felső) és az adaptív (alsó) szabá-lyozások esetén kifejtett erő-komponensek: barna, lila,rózsaszín (kinagyított részletek)

6plus1minus2

Hivatkozások

R. Andoga, L. Madarász, T. Karol’, L. Főző, and V. Gaš-par. Intelligent Supervisory System for Small TurbojetEngines - 2013, In: Topics in Intelligent Engineeringand Informatics 2 : Aspects of Computational Intelli-gence: Theory and Applications. Springer-Verlag BerlinHeidelberg, 2013.

S. Banach. Sur les opérations dans les ensembles abstraitset leur application aux équations intégrales (About theOperations in the Abstract Sets and Their Applicationto Integral Equations). Fund. Math., 3: 133–181, 1922.

C.P. Bernard and J.-J.E. Slotine. Adaptive control withmultiresolution bases. Proceedings of the 36th IEEEConference on Decision and Control, 10-12 Dec 1997,San Diego, CA, 4: 3884–3889, 1997.

K. Hosseini-Suny, H. Momeni, and F. Janabi-Sharifi. Mo-del reference adaptive control design for a teleoperationsystem with output prediction. J Intell Robot Syst, DOI10.1007/s10846-010-9400-4: 1–21, 2010.

R. Isermann, K.H. Lachmann, and D. Matko. AdaptiveControl Systems. Prentice-Hall, New York DC, USA,1992.

R. Kamnik, D. Matko, and T. Bajd. Application of modelreference adaptive control to industrial robot impedancecontrol. Journal of Intelligent and Robotic Systems, 22:153–163, 1998.

C.J. Khoh and K.K. Tan. Adaptive robust control forservo manipulators. Neural Comput & Applic, 12: 178–184, 2003.

K. Kósi, Á. Breier, and J.K. Tar. Chaos patterns ina 3 degree of freedom control with robust fixed pointtransformation. 13th IEEE International Symposium onComputational Intelligence and Informatics, Budapest,Hungary, pages 1–5, 2012a.

K. Kósi, Sz. Hajdu, J.F. Bitó, and J.K. Tar. Chaosformation and reduction in robust fixed point transfor-mations based adaptive control. 4th IEEE InternationalConference on Nonlinear Science and Complexity (NSC2012), Budapest, Hungary, pages 211–216, 2012b.

K. Kósi, T.A. Várkonyi, and J.K. Tar. On the simulationof rfpt-based adaptive control of systems of 4th orderresponse. Accepted for publication in the Proc. of the2013 IEEE 11th International Symposium on IntelligentSystems and Informatics (SISY 2013), 26-28 September2013, Subotica, Serbia, 2013.

A.M. Lyapunov. A general task about the stability ofmotion. (in Russian). PhD Thesis, University of Kazan,1892.

A.M. Lyapunov. Stability of motion. Academic Press,New-York and London, 1966.

L. Madarász, R. Andoga, L. Főző, and T. Lázár. Situatio-nal control, modeling and diagnostics of large scale sys-tems, In: I. Rudas, J. Fodor, J. Kacprzyk (eds.) TowardsIntelligent Engineering and Information Technology pp.153-164. Springer Verlag, Heidelberg, 2009.

L. Madarász, R. Andoga, and L. Főző. Intelligent tech-nologies in modelling and control of turbojet engines.In: New Trends in Technologies: Control, Management,Computational Intellingence and Network Systems, 201,Rijeka, pages 17–38, 2010.

R.M. Murray, Z. Li, and S.S. Sastry. A mathematicalintroduction to robotic manipulation. CRC Press, NewYork, 1994.

C.C. Nguyen, S.S. Antrazi, Zhen-Lei Zhou, andC.E. Campbell Jr. Adaptive control of a stewartplatform-based manipulator. Journal of RoboticSystems, 10 (5): 657–687, 1993.

I. Sekaj and V. Veselý. Robust output feedback controllerdesign: Genetic algorithm approach. IMA J MathControl Info, 22 (3): 257–265, 2005.

Jean-Jacques E. Slotine and W. Li. Applied NonlinearControl. Prentice Hall International, Inc., EnglewoodCliffs, New Jersey, 1991.

J. Somló, B. Lantos, and P.T. Cát. Advanced RobotControl. Akadémiai Kiadó, Budapest, 2002.

J.K. Tar. Application of local deformations in adaptivecontrol - a comparative survey (invited plenary lecture).In: Proc. of the 7th IEEE International Conferenceon Computational Cybernetics (ICCC 2009), Palma deMallorca, Spain, November 26-29, 2009, pages 25–38,2009.

J.K. Tar. Towards replacing Lyapunov’s ’direct’ methodin adaptive control of nonlinear systems (invited plenarylecture). In: Proc. of the 2010 Mathematical Methodsin Engineering International Symposium (MME 2010),October 21-24, 2010, Coimbra, Portugal, 2010.

J.K. Tar and K. Eredics. Simulation studies on varioustuning methods for convergence stabilization in a novelapproach of model reference adaptive control basedon robust fixed point transformations. Acta TechnicaJaurinensis, 4 (1): 37–57, 2010.

J.K. Tar, J.F. Bitó, L. Nádai, and J.A. Tenreiro Machado.Robust Fixed Point Transformations in adaptive cont-rol using local basin of attraction. Acta PolytechnicaHungarica, 6 (1): 21–37, 2009.

J.K. Tar, L. Nádai, I.J. Rudas, and T.A. Várkonyi. RFPT-based adaptive control stabilized by fuzzy parameter

tuning. 9th European Workshop on Advanced Controland Diagnosis (ACD 2011), Budapest, Hungary, pages1–8, 2011.

J.K. Tar, I.J. Rudas, J.F. Bitó, and K. Kósi. Robust FixedPoint Transformations in the Model Reference AdaptiveControl of a three DoF aeroelastic wing. AppliedMechanics and Materials, 300-3001: 1505–1512, 2013.

J. Tick and J. Fodor. Fuzzy implications and inferenceprocesses. COMPUTING AND INFORMATICS, 24 (6):591–602, 2005.

Pi-Cheng Tung, Sun-Run Wang, and Fu-Yee Hong. App-lication of MRAC theory for adaptive control of aconstrained robot manipulator. International Journalof Machine Tools & Manufacture, 40: 2083–2097, 2000.

T.A. Várkonyi. Fuzzyfied robust fixed point transfor-mations. 16th International Conference on IntelligentEngineering Systems, INES 2012, Lisbon, Portugal, 13-15 June 2012, pages 457–462, 2012.

T.A. Várkonyi, J.K. Tar, I.J. Rudas, and I. Krómer.VS-type stabilization of mrac controllers using robustfixed point transformations. 7th IEEE InternationalSymposium on Applied Computational Intelligence andInformatics, Timişoara, Romania, pages 389–394, 2012.

T.A. Várkonyi, J.K. Tar, and I.J. Rudas. Improvedneural network control of inverted pendulums. Accepetedfor publication in „International Journal of AdvancedIntelligence Paradigms” (IJAIP), 2013.