del problema del c䐀rculo de gauss al flujo geodesico...

Del problema del cırculo de Gauss al flujogeodesico (2)

Pierre PyCNRS, Universite de Strasbourg, UNAM

Diciembre 2015

Pierre Py CNRS, Universite de Strasbourg, UNAM Del problema del cırculo de Gauss al flujo geodesico (2)

Las transparencias de estas platicas estaran disponibles en :

www.matem.unam.mx/py/


Introduccion


Introduccion

A partir de ahora, usaremos la siguiente notacion :

H := {x + iy , y > 0} ⊂ C.

El abierto H con la distancia que vamos a definir es un modelo delespacio hiperbolico de dimension 2.


Introduccion


H := {x + iy , y > 0} ⊂ C.

El abierto H con la distancia que vamos a definir es un modelo delespacio hiperbolico de dimension 2. Queremos definir una distanciaen H, es decir una funcion d : H×H → R+ tal que :

d(p, q) = d(q, p),

d(p, q) = 0 si y solo si p = q,

d(p, q) ≤ d(p, r) + d(r , q).


Introduccion


H := {x + iy , y > 0} ⊂ C.

El abierto H con la distancia que vamos a definir es un modelo delespacio hiperbolico de dimension 2. Queremos definir una distanciaen H, es decir una funcion d : H×H → R+ tal que :

d(p, q) = d(q, p),

d(p, q) = 0 si y solo si p = q,

d(p, q) ≤ d(p, r) + d(r , q).

Tambien queremos determinar el grupo de isometrıas de (H, d).


El plano hiperbolico

Empecamos definiendo la longitud de una curva γ : [a, b] → H (declase C 1).



Empecamos definiendo la longitud de una curva γ : [a, b] → H (declase C 1). La norma de un vector v basado en z = x + iy ∈ H es :

||v ||z :=||v ||

y.



Empecamos definiendo la longitud de una curva γ : [a, b] → H (declase C 1). La norma de un vector v basado en z = x + iy ∈ H es :

||v ||z :=||v ||

y.

Aqui || · || es la norma Euclidiana estandar.


Este vector es 5 vecesmas largo que el amarillo.



La longitud de γ es :

long(γ) =

∫ b

a

||γ′(t)||γ(t)dt.

La distancia entre dos puntos es d(p, q) = infγ long(γ) donde γdescribe todas la curvas que van de p a q.



¿Como calcular la distancia entre dos puntos ?



¿Como calcular la distancia entre dos puntos ? Empezamos con uncaso particular. Vamos a calcular la distancia entre los puntos ia yib a, b > 0.

bc ia

bc ib


La curva t ∈ [0, 1] 7→ iaeut “va” de ia a ib si u = log(ba).


La curva t ∈ [0, 1] 7→ iaeut “va” de ia a ib si u = log(ba). Vamos a

calcular la longitud de esta curva. Su derivada es

iaueut

y

||iaueut ||iaeut =a|u|eut

aeut= |u|


La curva t ∈ [0, 1] 7→ iaeut “va” de ia a ib si u = log(ba). Vamos a

calcular la longitud de esta curva. Su derivada es

iaueut

y

||iaueut ||iaeut =a|u|eut

aeut= |u|

Entonces la longitud de esta curva es

∫ 1

0||iaueut ||iaeutdt =

∫ 1

0|u|dt = |u|.



Entonces

d(ia, ib) ≤ | log(b

a)|



Entonces


a)|

Vamos a mostrar que esto es una igualdad.



Entonces


a)|

Vamos a mostrar que esto es una igualdad. Es decir, no hay unacurva mas corta que vaya de ia a ib.



Entonces


a)|

Vamos a mostrar que esto es una igualdad. Es decir, no hay unacurva mas corta que vaya de ia a ib. Sea

γ(t) = γ1(t) + iγ2(t)

una curva de ia a ib. Podemos escribir :

long(γ) ≥

∫

|γ′2|

γ2≥ |

∫

γ′2γ2

|

= |log(b

a)|



Entonces


a)|

Vamos a mostrar que esto es una igualdad. Es decir, no hay unacurva mas corta que vaya de ia a ib. Sea

γ(t) = γ1(t) + iγ2(t)

una curva de ia a ib. Podemos escribir :

long(γ) ≥

∫

|γ′2|

γ2≥ |

∫

γ′2γ2

|

= |log(b

a)|

Ejercicio Si γ : [0, 1] → H realiza la distancia de ia a ib, la imagende γ esta contenida en el eje vertical.Ejercicio (H, d) es un espacio metrico.



Un comentario importante. Si consideramos la curva

t 7→ iet




t 7→ iet

donde t ∈ (−∞, 0].




t 7→ iet

donde t ∈ (−∞, 0]. Su longitud es infinita :

∫ 0

−∞

||iet ||ietdt =

∫ 0

−∞

dt = +∞.


PSL2(R) y su accion en el plano hiperbolico

Antes de seguir describiendo las propiedades geometricas de H,vamos a introducir un grupo que sera muy util para todo lo quesigue.



Antes de seguir describiendo las propiedades geometricas de H,vamos a introducir un grupo que sera muy util para todo lo quesigue. El grupo SL2(R) es el grupo de matrices 2× 2 dedeterminante 1 :

SL2(R) := {

(

a bc d

)

, ad − bc = 1}

{±Id} � SL2(R) es un subgrupo normal, el cociente esPSL2(R) := SL2(R)/{±Id}.



Si z ∈ H y

(

a bc d

)

es un elemento de SL2(R), definimos :

(

a bc d

)

· z =az + b

cz + d



Si z ∈ H y

(

a bc d

)


(

a bc d

)

· z =az + b

cz + d

Para que este bien definido, se necesita :

cz + d 6= 0,az+bcz+d

esta en H.



Si z ∈ H y

(

a bc d

)


(

a bc d

)

· z =az + b

cz + d

Para que este bien definido, se necesita :

cz + d 6= 0,az+bcz+d

esta en H.

Origen de la formula : accion de PSL2(R) en P1(C).



Tenemos la siguientes propriedades :

esta formula define una accion de grupo,

{±Id} actua trivialmente,

la accion inducida de PSL2(R) es fiel.







Proposicion

La accion natural de g ∈ PSL2(R) sobre un vector tangente(v , z) esta dada por :

g · (v , z) = (v

(cz + d)2, g(z)).







Proposicion

La accion natural de g ∈ PSL2(R) sobre un vector tangente(v , z) esta dada por :

g · (v , z) = (v

(cz + d)2, g(z)).

Esta accion preserva la norma : || v(cz+d)2

||g ·z = ||v ||z .



Corolario

Para cualquier curva γ : [a, b] → H y cualquier g ∈ PSL2(R),long(γ) = long(g ◦ γ),

d(p, q) = d(g · p, g · q) (p, q ∈ H, g ∈ PSL2(R)).



Corolario



Demostracion de la proposicion :



Corolario



Demostracion de la proposicion : la accion de

g =

(

a bc d

)

sobre un vector tangente al punto z ∈ H esta dada por laaplicacion tangente a

z 7→az + b

cz + d.



Corolario



Demostracion de la proposicion : la accion de

g =

(

a bc d

)

sobre un vector tangente al punto z ∈ H esta dada por laaplicacion tangente a

z 7→az + b

cz + d.

Como esta aplicacion es holomorfa, su aplicacion tangente es lamutiplicacion por la derivadad compleja. Esta derivada es :

1

(cz + d)2.


Para demostrar la igualdad de las normas de (v , z) y g · (v , z) essuficiente establecer que :

Im(g · z) =Im(z)

|cz + d |2.


Para demostrar la igualdad de las normas de (v , z) y g · (v , z) essuficiente establecer que :

Im(g · z) =Im(z)

|cz + d |2.

Esto concluye la demostracion.



La accion de PSL2(R) sobre H es transitiva.

Para cualquier d ≥ 0, la accion de PSL2(R) sobre{(p, q) ∈ H×H, d(p, q) = d} es transitiva.





Demostracion : vamos a establecer el primer punto nada mas.





Demostracion : vamos a establecer el primer punto nada mas. Sepuede resumir la demostracion ası.





Demostracion : vamos a establecer el primer punto nada mas. Sepuede resumir la demostracion ası. La matriz

(

1 s0 1

)

actua por traslaciones horizontales en H.





Demostracion : vamos a establecer el primer punto nada mas. Sepuede resumir la demostracion ası. La matriz

(

1 s0 1

)

actua por traslaciones horizontales en H. La matriz

(

a 00 a−1

)

actua por homotecias.



Sea I un intervalo de R (cerrado, abierto, infinito, finito...).




Definicion

Una aplicacion u : I → H es una geodesica si satisfaced(u(t), u(s)) = |s − t| para todo t, s ∈ I .




Definicion


Ya vimos que si agarramos dos puntos p y q en el eje verticaliR∗

+ ⊂ H, existe una unica geodesica que va de p a q.




Definicion



+ ⊂ H, existe una unica geodesica que va de p a q. Esto seextiende a cualquier par de puntos de H, gracias a la previaproposicion :




Definicion



+ ⊂ H, existe una unica geodesica que va de p a q. Esto seextiende a cualquier par de puntos de H, gracias a la previaproposicion :

Para cualquier para de puntos p, q de H existe una unicageodesica [0, d(p, q)] → H que va de p a q.



Las lineas geodesicas u : R → H son las lineas verticales y loscırculos cuyo centro esta en R



Las lineas geodesicas u : R → H son las lineas verticales y loscırculos cuyo centro esta en R (o mas bien la interseccion de estoscırculos con H).


bc bc


Diferencias y analogıas con el plano Euclidiano

Algo en comun : para todo (a, b, c), positivos, que satisfacenla desigualdad triangular, existe un triangulo en H cuyos laodstienen longitud a, b, c .




Si L es una geodesica biinfinita en H, y si q ∈ H no esta sobreL, existen una infinidad de geodesicas pasando por q y ajenasa L.




Si L es una geodesica biinfinita en H, y si q ∈ H no esta sobreL, existen una infinidad de geodesicas pasando por q y ajenasa L.

Sea µ la medida hiperbolica : µ(A) =∫

Adxdy

y2 . Entonces :

µ(B(p, r)) ≃ er ,

µ(S(p, r)) ≃ er .


La frontera del plano hiperbolico

Ya mencionamos que la lınea real esta a distancia infinita de unpunto de H.



Ya mencionamos que la lınea real esta a distancia infinita de unpunto de H. La curva t ∈ (−∞, 0] 7→ iet tiene longitud :

∫ 0

−∞

||iet ||ietdt =

∫ 0

−∞

dt = +∞.




∫ 0

−∞

||iet ||ietdt =

∫ 0

−∞

dt = +∞.

A pesar de que los puntos de R no esten en H, es bueno y utilacordarse de su presencia.




∫ 0

−∞

||iet ||ietdt =

∫ 0

−∞

dt = +∞.

A pesar de que los puntos de R no esten en H, es bueno y utilacordarse de su presencia. Definimos la frontera de H como :

∂H := R ∪ {+∞}.




∫ 0

−∞

||iet ||ietdt =

∫ 0

−∞

dt = +∞.

A pesar de que los puntos de R no esten en H, es bueno y utilacordarse de su presencia. Definimos la frontera de H como :

∂H := R ∪ {+∞}.

Por ahora, es una definicion “formal”. Veremos otra definicion masintrinseca mas tarde.



Primero enunciamos unas propriedades de esta frontera.



Primero enunciamos unas propriedades de esta frontera. SobreH = H ∪ ∂H ponemos la topologıa que esperan (H es un conjuntocerrado de la esfera de Riemann).




Cualquier isometrıa g : H → H se extiende en unhomeomorfismo de H.





La accion de PSL2(R) en ∂H es transitiva.






Cualquier rayo geodesico u : [0,+∞) → H admite un lımitecuando t → +∞.






Cualquier rayo geodesico u : [0,+∞) → H admite un lımitecuando t → +∞. Este lımite se denota por u(+∞).






Cualquier rayo geodesico u : [0,+∞) → H admite un lımitecuando t → +∞. Este lımite se denota por u(+∞).

Para cualquier par de puntos distintos ξ1, ξ2, existe unageodesica u : R → H tal que u(−∞) = ξ1, u(+∞) = ξ2.



Demostremos la ultima afirmacion.



Demostremos la ultima afirmacion. El punto es, dado dos puntosdistintos en la frontera de H, encontrar una geodesica que va deun punto a otro.



Demostremos la ultima afirmacion. El punto es, dado dos puntosdistintos en la frontera de H, encontrar una geodesica que va deun punto a otro. Sea x ∈ R.



Demostremos la ultima afirmacion. El punto es, dado dos puntosdistintos en la frontera de H, encontrar una geodesica que va deun punto a otro. Sea x ∈ R. Primero observamos que la lineasverticales t 7→ x + iet son geodesicas,



Demostremos la ultima afirmacion. El punto es, dado dos puntosdistintos en la frontera de H, encontrar una geodesica que va deun punto a otro. Sea x ∈ R. Primero observamos que la lineasverticales t 7→ x + iet son geodesicas, entonces para todo x ∈ R

existe una geodesica u tal que :

u(−∞) = x , u(+∞) = ∞.



Demostremos la ultima afirmacion. El punto es, dado dos puntosdistintos en la frontera de H, encontrar una geodesica que va deun punto a otro. Sea x ∈ R. Primero observamos que la lineasverticales t 7→ x + iet son geodesicas, entonces para todo x ∈ R

existe una geodesica u tal que :

u(−∞) = x , u(+∞) = ∞.

Despues se utiliza la transitividad de PSL2(R) en la frontera...



Una definicion intrinseca :




∂H = {rayos geodesicos}/ ≃




∂H = {rayos geodesicos}/ ≃

Dos rayos u1 y u2 son equivalentes si existe C ≥ 0 tal qued(u1(t), u2(t)) ≤ C .


Clasificacion de las isometrias



Los elementos de PSL2(R) se pueden clasificar en tres tipos,dependiendo de la dinamica de su accion en H.




Caso 1. La isometrıa g : H → H tiene un punto fijo en H : existep ∈ H tal que g(p) = p.




Caso 1. La isometrıa g : H → H tiene un punto fijo en H : existep ∈ H tal que g(p) = p. Se dice que g es una isometrıa elıptica.




Caso 1. La isometrıa g : H → H tiene un punto fijo en H : existep ∈ H tal que g(p) = p. Se dice que g es una isometrıa elıptica.La matriz

r(θ) =

(

cos(θ) − sin(θ)sin(θ) cos(θ)

)

actua como z 7→ cos(θ)z−sin(θ)sin(θ)z+cos(θ) .




Caso 1. La isometrıa g : H → H tiene un punto fijo en H : existep ∈ H tal que g(p) = p. Se dice que g es una isometrıa elıptica.La matriz

r(θ) =

(

cos(θ) − sin(θ)sin(θ) cos(θ)

)

actua como z 7→ cos(θ)z−sin(θ)sin(θ)z+cos(θ) . Si θ 6= 0[2π], su unico punto fijo es

i ∈ H.



bc



bc

Ejercicio. Si g es elıptica entonces g es conjugada a r(θ) paraalgun θ :



bc

Ejercicio. Si g es elıptica entonces g es conjugada a r(θ) paraalgun θ : existe h ∈ PSL2(R) tal que g = hr(θ)h−1.



Caso 2. La isometrıa g no tiene punto fijo en H pero tiene ununico punto fijo en ∂H.



Caso 2. La isometrıa g no tiene punto fijo en H pero tiene ununico punto fijo en ∂H. Se dice que g es una isometrıa parabolica.



Caso 2. La isometrıa g no tiene punto fijo en H pero tiene ununico punto fijo en ∂H. Se dice que g es una isometrıa parabolica.La matriz

n+s =

(

1 s0 1

)

actua como z 7→ z + s. Su unico punto fijo en H ∪ ∂H es ∞.



bc



bc

Ejercico. Si g es parabolica, entonces g es conjugada a n+s paraalgun s :



bc

Ejercico. Si g es parabolica, entonces g es conjugada a n+s paraalgun s : existe h ∈ PSL2(R) tal que g = hn+s h

−1.



Caso 3. La isometrıa g no tiene puntos fijos en H pero tiene dospuntos fijos en ∂H.



Caso 3. La isometrıa g no tiene puntos fijos en H pero tiene dospuntos fijos en ∂H. Se dice que g es hiperbolica.



Caso 3. La isometrıa g no tiene puntos fijos en H pero tiene dospuntos fijos en ∂H. Se dice que g es hiperbolica. La matriz

at =

(

et2 0

0 e−t2

)

actua como z 7→ etz . Sus unicos puntos fijos en H ∪ ∂H son 0 y∞.



bc

bc



bc

bc

Ejercicio. Si g es hiperbolica, entonces g es conjugada a at paraalgun t :



bc

bc

Ejercicio. Si g es hiperbolica, entonces g es conjugada a at paraalgun t : existe h ∈ PSL2(R) tal que g = hath

−1.



Ejercicio. Sea

m =

(

a bc d

)

un elemento de PSL2(R). Caracterizar en terminos de la trazatr(m) = a+ d de m el hecho de que m actue de manera elıptica,parabolica o hiperbolica en H.


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