demanda - cap. 6

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Demanda

• Estudaremos neste capítulo como as quantidades demandadas respondem a variações na renda m e nos preços p1 e p2.

• Em outras palavras, estudaremos algumas propriedades das funções de demanda x1(p1,p2,m) e x2(p1,p2,m).

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Bens Normais e Bens Inferiores

• Inicialmente, vamos considerar o impacto de variações na renda sobre as quantidades ótimas.� Manteremos p1 e p2 fixos.

• Um bem é normal quando um aumento na renda leva a um aumento na quantidade demandada desse bem.� Ver figura 6.1 na página 103.

• Um bem é inferior quando um aumento na renda leva a um decréscimo na quantidade demandada desse bem.� Ver figura 6.2 na página 105.

• Importante: essas propriedades são conceitos “locais”.

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Curva de Renda-Consumo

• Vimos que um aumento da renda implica deslocamento da reta orçamentária para a direita.

• A linha que conecta as cestas ótimas associadas aos distintos níveis de renda é chamada de curva de renda-consumo.�Ver figura 6.3 na página 105.�A curva de renda-consumo também é conhecida como

caminho de expansão da renda.

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Curva de Engel

• O gráfico da relação entre a quantidade demandada de um bem e o nível de renda, mantidos constantes os preços, é chamada de Curva de Engel. �A curva de Engel para o bem i é representada no espaço

m × xi.�Ver figura 6.3.B na página 105.

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Exemplos

• Esboçaremos as curvas de renda-consumo e de Engel para alguns tipos de preferências.

• Substitutos perfeitos: u(x1,x2) = x1 + x2 .� p1 < p2 (ver figura 6.4 na página 106);� p1 > p2;� p1 = p2.

• Complementares perfeitos: u(x1,x2) = min{x1,x2}.� Ver figura 6.5 na página 107.

• Cobb-Douglas: u(x1,x2) = .� Ver figura 6.6 na página 107.

βα21 xx

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Funções Homogêneas

• Uma função f: ℜn → ℜ é homogênea de grau k se f(tX) = tkf(X) para todo t > 0.

• Exemplos:� f(x1,x2) = x1 + 5x2 é homogênea de grau um (também

chamada de linearmente homogênea).� f(x1,x2) = x1x2 é homogênea de grau dois.� f(x1,x2) = x1 / x2 é homogênea de grau zero.� f(x1,x2) = x1 + log(1+x2) não é homogênea (considere os

pontos (1,0), (2,0), (1,1) e (2,2)).

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Funções Homogêneas

• Fato: se uma função f é homogênea de grau k, então as suas derivadas parciais são homogêneas de grau (k − 1).

1

1

111

)()()()()()(

xXf

txXtf

xXf

ttxXtf

XftXtf kkk

∂∂=

∂∂

�∂

∂=∂

∂�= −

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Preferências Homotéticas

• Uma relação de preferências que admite uma representação por uma função de utilidade uhomogênea de grau k > 0 é dita ser homotética.�Não há nenhuma perda de generalidade em se assumir que

u é homogênea de grau um.

• Fato: se as preferências são homotéticas, entãoX Y � tX tY

para todo t > 0.

�

��

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• Suponha que o consumidor somente escolhe entre dois bens. Se as suas preferências são homotéticas, então a sua TMS depende somente da razão x1 / x2 .�Como u pode ser homogênea de grau um, as utilidades

marginais são homogêneas de grau zero.

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• Quando as preferências são homotéticas, as curva de renda-consumo são linhas retas que passam pela origem.�Seja X* a cesta ótima ao nível de renda m.�Suponha que a renda dobre (m´ = 2m).�Claramente, a cesta 2X* exatamente esgota a renda 2m.�Como a razão entre os preços não se alterou e TMS(X*) =

TMS(2X*), então 2X* é uma escolha ótima ao nível de renda 2m.

• Logo, quando as preferências são homotéticas todos os bens são normais.

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Bens Comuns e Bens de Giffen• Agora vamos considerar o impacto de variações em p1 sobre a

quantidade demandada do bem 1.� Manteremos m e p2 fixos.

• Usualmente, um decréscimo em p1 ocasiona um acréscimo em x1. � Ver figura 6.9 na página 110.� Usualmente?

o Soluções de canto.o Bens de Giffen.

• Um bem é dito ser de Giffen quando uma redução no seu preço leva a um decréscimo na quantidade demandada desse bem.� Ver figura 6.10 na página 111.� Exemplo clássico: camponeses pobres na Irlanda e batata.

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Curvas de Preço-Consumo e de Demanda• A linha que conecta as cestas ótimas associadas aos

distintos valores de p1 é chamada de curva de preço-consumo.�Ver figura 6.11.A na página 113.

• O gráfico da relação entre a quantidade demandada por de um bem e seu preço, mantidos constantes o preço dos demais bens e a renda, é chamado de curva de demanda. �A curva de demanda do bem i é representada no espaço

pi × xi.�Ver figura 6.11.B na página 113.

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Exemplos

• Esboçaremos as curvas de preço-consumo e de demanda para alguns tipos de preferências.

• Substitutos perfeitos: u(x1,x2) = x1 + x2 .�Ver figura 6.12 na página 114.

• Complementares perfeitos: u(x1,x2) = min{x1,x2}.�Ver figura 6.13 na página 114.

• Cobb-Douglas: u(x1,x2) = .βα21 xx

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Substitutos e Complementares Brutos

• Já utilizamos neste curso as expressões “substitutos perfeitos” e “complementares perfeitos”.�Exemplo de complementares perfeitos: sapatos para o pé

direito e para o pé esquerdo.

• Tal terminologia sugere que existam substitutos e complementares que não são “perfeitos”.�Possível exemplo de “complementares não perfeitos”:

sapatos e meias.

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Substitutos e Complementares Brutos

• O bem 1 será um substituto bruto do bem 2 se ∆x1/∆p2 > 0.

• O bem 1 será um complementar bruto do bem 2 se ∆x1/∆p2 < 0.

• Atenção: pode ocorrer uma falta de simetria!�Exemplo: u(x1,x2) = x1 + logx2 . Para m > p2, as quantidades

demandadas são dadas por x1 = p2/p1 e x2 = (m − p2 ) /p2 .

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Demandas - Algumas Propriedades

• Se t é um número positivo, então as restriçõesp1x1 + p2x2 ≤ m e (tp1)x1 + (tp2)x2 ≤ (tm) são idênticas.

• Logo, xi(p1,p2,m) = xi(tp1,tp2,tm).• As funções de demanda são homogêneas de grau

zero. Em outras palavras, as quantidades demandadas não se alteram quanto todos os preços e a renda são multiplicados por um mesmo fator.

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• O conceito de elasticidade será útil para obter algumas propriedades das funções de demanda.

• Considere a função , y = f(X). A elasticidade εyi de y com respeito a xi é definida por

• Observe que εyi é aproximadamente igual à razão entre as variações percentuais em y e xi.

• Importante: a elasticidade é adimensional.

++ ℜ→ℜnf :

yx

xy i

iyi ∂

∂=ε

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• No caso das função de demanda xi(p1,p2,m), nós estaremos interessados em:� Elasticidade preço εii.� Elasticidade preço-cruzada εij.� Elasticidade renda εim.

• Exemplo: x1(p1,p2,m) =

� ε11 = -1, ε1m = 1, ε12 = 0.

• Importante: nem sempre as elasticidades serão constantes!• Mais um ponto: se , então εy1 = a.

1pm

βαα+

),...,( 21 na xxgxy =

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• Defina .

• As elasticidades da demanda satisfazem as seguintes propriedades:� s1(p1,p2,m)ε1m(p1,p2,m) + s2(p1,p2,m)ε2m(p1,p2,m) = 1� s1(p1,p2,m)ε11(p1,p2,m) + s2(p1,p2,m)ε21(p1,p2,m) = −s1(p1,p2,m)� s1(p1,p2,m)ε12(p1,p2,m) + s2(p1,p2,m)ε22(p1,p2,m) = −s2(p1,p2,m)� ε11(p1,p2,m) + ε12(p1,p2,m) + ε1m(p1,p2,m) = 0� ε21(p1,p2,m) + ε22(p1,p2,m) + ε2m(p1,p2,m) = 0

mmppxp

mpps iii

),,(),,( 21

21 =

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Função de Demanda Inversa

• Conforme evidenciado pelo nome, a função de demanda inversa é tão somente a inversa da função de demanda.�Demanda: x1 = f(p1).�Demanda inversa: p1 = f −1(x1).�Obviamente, p2 e m são mantidos fixos.

• Observe que as quantidades demandadas satisfazem� p1 = p2TMS

• Ou seja, o preço do bem 1 é um múltiplo da TMS.

TMSpp

=2

1

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Função de Demanda Inversa• Por exemplo, suponha que o preço do bem 2 seja 1.

� No nível ótimo de demanda, o preço do bem 1 mede o quanto o consumidor está disposto a abrir mão do bem 2 de forma a ter uma quantidade adicional do bem 1.

� Neste caso, a função de demanda inversa mede simplesmente o valor da taxa marginal de substituição.

• Se o bem 2 for quantidade de recursos alocado para todos os outros bens:� A TMS pode ser considerada a quantidade de moeda que o consumidor está

disposto a abrir mão para ter uma unidade adicional do bem 1, isto é, sua disposição marginal a pagar pelo bem 1.

� A inclinação usualmente negativa da curva de demanda pode ser interpretada da seguinte forma:

o Para adquirir uma quantidade relativamente pequena do bem 1 o consumidor está disposto a gastar uma quantia relativamente alta por unidade. Para adquirir uma quantidade relativamente grande, ele está propenso a pagar relativamente pouco por cada unidade.

� Portanto, a disposição marginal a pagar pelo bem 1 é decrescente na quantidade consumida do bem 1.

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