demonstrações
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Demonstração
De
Derivadas
E
Integrais
Por: Danilo Menezes de Oliveira Machado
PUC-GO
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[2]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
Introdução
Há um ano sou monitor de Cálculo Diferencial e Integral, e neste processo de auxilio
aos alunos da PUC-GO, percebi que por mais que existam as Tábuas de Derivadas e
Integrais que permitem e direcionam o estudo destes alunos, ainda há duvidas sobre o
verdadeiro uso destas tábuas, ou o não entendimento de o porquê são usadas.
Este documento não vem com intuito de ensinar o calculo diferencial e Integral,
apenas venho através deste, auxiliar o entendimento do uso destas “fórmulas”
propostas em tabelas espalhadas livros ou em sites.
Derivadas
A seguir a Tábua de Newton e as respectivas demonstrações:
1) ,
Prova:
2) ,
Prova:
Aplicando o teorema binomial em :
Percebe-se que e que todos os demais termos possuem .
Colocando este em evidencia:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[3]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
Dividindo
, e em seguida aplicando o limite:
3) ,
Prova:
4)
Prova:
5) ,
Prova:
Somando e subtraindo ao numerador teremos:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[4]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
6)
,
Prova:
Somando e subtraindo ao numerador teremos:
7) ,
Prova:
Onde,
e
Assim:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[5]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
8) ,
Prova:
9) ,
Prova:
- para esta prova, será usada a formula de derivada do quociente (ou divisão).
10) ,
Prova:
- para esta prova, será usada a formula de derivada do quociente (ou divisão).
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[6]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
11) ,
Prova:
12) ,
Prova:
13) ,
Prova:
Chamando, , e logo,
14) ,
Prova:
Calculando o limite.
Para resolver farei uma mudança de variável:
, ,
, assim:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[7]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
Temos que o
, logo:
Partindo dessa ideia temos.
15) ,
Prova:
Esse é um caso particular do exercício anterior, onde .
Assim:
16) ,
ou
Prova:
Pela forma do limite fundamental, temos:
17) ,
Prova:
Caso particular do exercício anterior
18)
,
Prova:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[8]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
Esses dois limites já foram demonstrados nos itens 2 e 14, e com a ajuda do
item 13 temos:
19) ,
Prova:
Temos que escrito em função de y temos:
20) ,
Prova:
Temos que escrito em função de y temos:
21) ,
Prova:
Temos que escrito em função de y temos:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[9]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
22) ,
Prova:
Temos que escrito em função de y temos:
23) ,
Prova:
Temos que escrito em função de y temos:
Onde, , ou assim:
24) ,
Prova:
Temos que escrito em função de y temos:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[10]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
Onde, , ou assim:
Integrais
A seguir as integrais triviais e não triviais.
Para provar as Integrais, neste inicio usarei o método de antiderivação, pois a
integral seria a operação inversa da derivada.
1)
Prova:
2)
Prova:
3)
Prova:
4)
Prova:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[11]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
5)
Prova:
6)
Prova:
7)
Prova:
8)
Prova:
Esta demonstração poderá ser feita por antiderivação, mas a maneira mais sucinta,
utilizarei a substituição simples.
Substituindo adequadamente, e .
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[12]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
9)
Prova:
Substituindo adequadamente, e .
10)
Prova:
Multiplicando e dividindo por :
Substituindo adequadamente, e
.
11)
Prova:
Multiplicando e dividindo por :
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[13]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
Substituindo adequadamente, e
.
12)
Prova:
Chamando , logo:
13)
Prova:
Chamando , logo:
14)
Prova:
Existem vários tipos de prova para este tipo de integral, mas de maneira mais
simples farei pela antiderivada.
Outra maneira de ser demonstrada:
Usando a propriedade trigonométrica
e , então
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[14]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
Fazendo substituição por Partes. , ,
Para integrar
, deve-se usar integral por substituição simples
, .
Assim
. Logo,
Juntando tudo:
15)
Prova:
Usando a propriedade trigonométrica
e , então
Fazendo substituição por Partes. , ,
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[15]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
Para integrar
, deve-se usar integral por substituição simples
, .
Assim
. Logo,
Juntando tudo:
16)
k cte
Prova:
Para calcular essa integral, poderão ser usados vários métodos, mas no caso será
usado o método da substituição trigonométrica, para que possam se familiarizar
com este método.
, ,
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[16]
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Onde
logo
17)
k cte
Prova:
Para calcular essa integral,será usado o método da substituição trigonométrica e
em seguida o método de frações parciais.
, ,
Onde
, e
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[17]
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Fazendo agora por Frações parciais:
18)
k cte
Prova:
, ,
Onde
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[18]
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19)
k cte
Prova:
, ,
Onde
20)
k cte
Prova:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[19]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
, ,
Onde
21)
k cte
Prova:
, ,
Onde
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[20]
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ESTAS FORAM INTEGRAIS TRIVIAIS, AGORA COLOCAREI INTEGRAIS QUE POR
VARIAS VEZES NÃO ENCONTRAREMOS EM TÁBUAS DE INTEGRAIS.
22)
Fazendo substituição por partes , ,
, .
23)
Fazendo substituição por partes , ,
, .
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[21]
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24)
k cte
Prova:
, ,
25)
( )+
Prova:
Para integral , usa-se substituição por partes, onde ,
, ,
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[22]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
26)
k cte
Prova:
, ,
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[23]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
27)
Prova:
, ,
28)
Prova:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[24]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
, ,
29)
Prova:
, ,
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[25]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
30)
Prova:
, ,
31)
Prova:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[26]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
, ,
32)
k cte
Prova:
, ,
Por partes, , , ,
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[27]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
33)
k cte
Prova:
, ,
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[28]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
34)
Prova:
, ,
35)
Prova:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[29]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
, ,
36)
Prova:
, ,
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[30]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
37)
Prova:
, ,
38)
Prova:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[31]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
, ,
39)
Prova:
, ,
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[32]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
40)
Prova:
, ,
41)
Prova:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[33]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
, ,
42)
Prova:
, ,
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[34]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
43)
Prova:
, ,
44)
Prova:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[35]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
, ,
45)
Prova:
Fazendo substituição simples:
46)
Prova:
Fazendo substituição simples:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[36]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
47)
Prova:
Fazendo frações parciais:
Resolvendo:
,
48)
Prova:
Fazendo frações parciais:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[37]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
Resolvendo:
,
,
49)
Prova:
Por substituição simples:
50)
Prova:
Fazendo frações parciais:
Resolvendo:
,
,
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[38]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
51)
Prova:
Por substituição simples:
52)
Prova:
Por substituição simples:
53)
Prova:
Por substituição simples:
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[39]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
54)
Prova:
Por substituição simples:
55)
Prova:
Por substituição simples:
56)
Prova:
onde esta ultima integral foi provada no item 55).
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
[40]
Monitor: Logan (Danilo Menezes)
57)
Prova:
onde esta ultima integral foi provada no item 55).