Leçon 53

Hannon.J - 1 -

Suites convergentes. Opérations algébriques, composition par une application

continue. Limites et relation d’ordre.

Introduction : On rappelle quelques notions importantes :

- Toute partie non vide de Y et majorée possède une borne supérieure.

- Définition d’une suite réelle : application de V dans Y

- Suite croissante et décroissante

- Une suite (un) est bornée s’il existe M > 0 tel que | un | < M ∀ n ∈ V

- Inégalité triangulaire

- Définition de la continuité d’une fonction en un point

1. Suites convergentes :

1.1 Définitions et propriétés de la limite :

Définition 1 : Une suite (un) est dite convergente s’il existe l ∈ Y tel que, pour n’importe quel réel strictement positif

aussi petit que l’on veut, il existe un rang à partir duquel | un – l | est inférieur à ce réel. Cela se traduit par :

∀ ε > 0, ∃ N ∈ V, ∀ n ∈ N, n > N ⇒ | un – l | < ε.

Sur un dessin :

Propriété 1 : Si (un) converge vers une limite l ∈ Y alors cette limite est unique.

Démonstration : On utilise la définition, on suppose que (un) converge vers l et l’ avec l ≠ l’

∀ ε > 0, ∃ N1 ∈ V, ∀ n ∈ V, n > N1 ⇒ | un – l | <ε2.

∃ N2 ∈ V, ∀ ∈ V, n > N2 ⇒ | un – l’ | < ε2.

Soit N = max (N1 , N2).

∀ n > N, | un – l | <ε2

et | un – l’ | < ε2.

Donc | l – l’ | < | l – un | + | un – l’ | = | un – l | + | un – l’ | < ε2

+ ε2

= ε

Ainsi ∀ ε > 0, ∃ N ∈ V, ∀ n > N, | l – l’ | < ε. Absurde car si ε = | l – l’ | > 0 le résultat est faux.

Conclusion, l = l’ et on a bien unicité de la limite.

Définition 2 : Si un tel nombre l existe on dit que la suite (un) converge vers l ou encore que l est la limite de (un).

On note l = limn → + ∞

un.

Exercice : En utilisant la définition 1, montrer que :

- La suite constante égale à k ∈ Y converge vers k.

- La suite 1

n n ∈ V * converge vers 0

A partir du rang N, tous les termes de la suite sont

situés entre les deux « bandes » rouges.

Ce qui est important c’est qu’on puisse choisir ε

aussi petit que l’on veut.

Leçon 53

Hannon.J - 2 -

Propriété 2 : Toute suite convergente est bornée

Démonstration : Soit (un) une suite convergente vers l : ∀ ε > 0, ∃ N ∈ V, ∀ n ∈ N, n > N ⇒ | un – l | < ε.

Soit ε > 0, ∃ N ∈ V , ∀ n > N , l - ε < un < l + ε (pour ces termes là (un) est bien bornée)

Et pour n < N (i.e. pour un nombre fini de termes) min (uk) < un < max (uk) pour k ∈ {0,1,…,N-1}

min et max existent car on est sur un ensemble fini.

Propriété 3 : Si (un) converge vers l alors ( | un | ) converge vers | l |.

Démonstration : | un | − | l | < | un – l | < ε car (un) converge vers l par définition

⇒ ∀ ε > 0, ∃ N ∈ V , ∀ n > N , | un | − | l | < ε d’où la convergence de ( | un | ) vers | l |.

Remarque : Les réciproques des propriétés 2 et 3 sont fausses. Considérer la suite (-1)n

1.2 Suites monotones :

Théorème 1 : Toute suite réelle croissante majorée (resp. décroissante minorée) est convergente.

Démonstration : Soit (un)n ∈ V une suite réelle croissante et majorée.

L’ensemble {un | n ∈ V } est donc une partie non vide majorée de Y donc admet une borne supérieure notée l (plus

petit des majorants). Ainsi :

∀ ε > 0, ∃ p ∈ V , l - ε < up < l (propriété de la borne sup).

Or la suite est croissante donc ∀ n > p, 1 - ε < up < un < l < l + ε

∀ ε > 0, ∃ p ∈ V , ∀ n > p | un – l | < ε

La suite (un) converge vers l.

Idem dans le cas décroissante minorée.

Exemple : On considère la suite suivante définie par récurrence :

u0 = 0

un+1 = 1 + un

1.3 Suites extraites :

Définition 4 : Soit (un) une suite. On dit que la suite (vn) est une sous-suite (ou suite extraite) de la suite (un) s’il existe ϕ

une application strictement croissante de V dans V telle que vn = u ϕ (n) ∀ n ∈ V.

Exemple : Si (un) est la suite définie par un = cos

n π

4 alors la suite (vn) définie par vn = (-1)

n est une sous-suite de la

suite (un). Dans ce cas on a ϕ(n) = 4n.

Propriété 3 : La suite (un) converge vers l si et seulement si toute suite extraite de (un) converge vers l.

Démonstration : ⇒ Soit (un) une suite convergente vers l et (vn ) = (uϕ(n) ) une suite extraite.

Montrons que (vn) converge vers l, c’est-à-dire montrons que : ∀ ε > 0, ∃ N ∈ V, ∀ n > N, | vn - l | < ε

Soit ε > 0. Comme (un) converge vars l , ∃ N ∈ V, ∀ n > N, | un - l | < ε.

Or ϕ (n) > n ∀ n ∈ V (se montre facilement par récurrence) donc ∀ n > N, ϕ (n) > n > N

donc ∃ N ∈ V, ∀ n > N, | uϕ(n) - l | = | vn – l | < ε d’où ce premier résultat.

⇐ (u2n) et (u2n+1) sont deux suites extraites de (un). Par hypothèse elles convergent vers l. Soit ε > 0, ∃ N1 et N2 tels

que ∀ n > N1 , | u2n – l | < ε et ∀ n > N2 , | u2n+1 – l | < ε. {un | n ∈ V } = {u2n | n ∈ V } ∪ {u2n+1 | n ∈ V }

On pose N = max {2N1 , 2N2+1 } et alors ∀ n > N , | un – l | < ε d’où la réciproque.

Cette suite est croissante majorée par 2. Donc elle converge et on peut montrer qu’elle

converge vers 1 + 5

2 (Nombre d’or)

Leçon 53

Hannon.J - 3 -

Remarque : Cette propriété est très utile, souvent pour montrer qu’une suite ne converge pas.

Par exemple si un = (-1)n , u2n = 1 donc la sous-suite (u2n) converge vers 1

u2n+1 = - 1 donc la sous-suite (u2n+1) converge vers –1

Par la propriété précédente on en déduite que la suite (-1)n n’est pas convergente.

2. Opérations algébriques :

On s’intéresse ici aux opérations algébriques sur les limites de deux suites. On a le théorème suivant :

Théorème 2 : Soient (un) et (vn) deux suites réelles qui convergent respectivement vers l et l’. Alors :

- La suite (un + vn) converge vers l + l’

- La suite (λ un) converge vers λ l ∀ λ ∈ Y

- La suite (un vn) converge vers l × l’

- Si l ≠ 0 alors ∃ N ∈ V tel que ∀ n > N, un ≠ 0 et alors 1

unn > N converge vers

1

l et vn

unn > N converge vers

l’

l

Démonstration :

i) Soit ε > 0, par hypothèse ∃ N1 tel que ∀ n > N1 | un – l | < ε

∃ N2 tel que ∀ n > N2 | vn – l’ | < ε

Soit N = max (N1 , N2), ∀ n > N

| (un + vn) – (l + l’) | = | un – l + vn – l’ | < | un – l | + | vn – l’ | < 2ε

donc (un + vn) converge vers l + l’.

ii) Même principe qu’au i).

iii) Soit ε > 0

On écrit que | un vn – l × l’ | = | (un – l ) vn + (vn – l’) l | < | vn | | un – l | + | l | | vn – l’ |

Or (vn) est convergente donc bornée , ∃ M > 0 tel que ∀ n ∈ V, | vn | < M

(un) est convergente : soit ε’ > 0, ∃ N’ tel que ∀ n > N’ | un – l | < ε’

(vn) est convergente : soit ε’’ > 0, ∃ N’’ tel que ∀ n > N’’ | vn – l’ | < ε’’

On pose N = max (N’ , N’’), ∀ n > N on a | un vn – l × l’ | < | vn | | un – l | + | l | | vn – l’ | < M ε’ + | l | ε’’

En posant ε’ = εM

et ε’’ = ε

| l | on obtient le résultat.

iv) Soit ε > 0, on écrit 1

un

− 1

l =

| un – l |

| un × l |

(un) converge vers l : soit ε’ > 0, ∃ N1 tel que ∀ n > N1 | un – l | < ε’

et on peut trouver un entier N2 et un réel m > 0 tels que ∀ n > N2 , | un | > m

En posant N = max (N1 , N2) on a ∀ n > N , 1

un

− 1

l <

1

| l | m ε’ d’où

1

un

− 1

l < ε en posant ε’ = | l | m ε > 0.

Pour vn

un

on écrit : vn

un

= vn × 1

un

et on applique ce qu’on vient de trouver avec le résultat iii).

3. Composition avec une application continue :

On va établir un résultat dans cette partie très utilisé dans la cadre des suites définies par une relation de récurrence du

type un+1 = f(un).

Théorème 3 : Soient I ⊂ Y, f : I → Y une application. Si f est continue en l ∈ I alors pour toute suite (un) d’éléments

de I qui converge vers l, la suite ( f(un)) converge vers f(l).

Leçon 53

Hannon.J - 4 -

Démonstration : Soit ε > 0. La continuité de f en l donne :

∃ η >0 , ∀ x ∈ I \ {l} , | x – l | < η ⇒ | f(x) – f(l) | < ε.

Or par hypothèse (un) converge vers l : ∃ N ∈ V, ∀ n > N , | un – l | < η et par suite | f(un) – f(l) | < ε.

Corollaire 1 : Soit (un) une suite définie par la relation de récurrence u0 ∈ I et un+1 = f(un) où f : I → I continue.

Si (un) converge vers l ∈ I alors l est un point fixe de f (i.e. f(l) = l)

Attention : On n’a pas dit que la suite (un) converge, on a simplement dit que si elle converge nécessairement c’est vers

un point fixe de f.

Démonstration : un → l ⇒ f(un) → f(l) par continuité de f en l

un+1 → l .

Or un+1 = f(un) et par unicité de la limite on a l = f(l).

Exemple : Soit (un) définie par u0 = 1 et un+1 = 1 + 1

n. Déterminer la limite éventuelle de la suite (un)

f(x) = 1 + 1

x continue sur [1 ; + ∞[ donc si (un) converge vers l on a l = f(l) soit l = 1 +

1

l

⇔ l² - l – 1 = 0 soit l = 1 - 5

2 ou l =

1 + 5

2 . On a deux limites éventuelles.

4. Limites et relation d’ordre :

On s’intéresse dans cette partie à comparer des suites entre elles et au comportement de leurs limites respectives.

4.1 Suites adjacentes :

Définition 5 : Deux suites (un)n ∈ V et (vn) n ∈ V sont dites adjacentes si :

- (un)n ∈ V est croissante

- (vn) n ∈ V est décroissante

- limn → + ∞

(vn – un) = 0

Théorème 4 : Deux suites adjacentes sont convergentes et ont même limite.

Démonstration : Supposons (un)n ∈ V et (vn) n ∈ V adjacentes avec (un)n ∈ V croissante et (vn) n ∈ V décroissante.

Introduisons la suite (wn) définie par wn = vn - un

wn+1 – wn = (vn+1 – vn) – (un+1 – un) < 0 car vn+1 – vn < 0 et un+1 – un > 0

Donc la suite (wn) est décroissante et convergente vers 0. Elle est donc toujours positives.

On obtient ainsi :

∀ n ∈ V, u0 < un < vn < v0

(un) est croissante majorée par v0 donc convergente vers l

(vn) est décroissante minorée par u0 donc convergente vers l’

Donc limn → + ∞

(vn – un) = 0 ⇔ l – l’ = 0 ⇔ l = l’. Les suites (un) et (vn) convergent vers la même limite.

Remarque : Si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes convergentes vers l alors un est une valeur approchée de l par

défaut, vn est une valeur approchée de l par excès.

A l’étape n, on a une valeur approchée de l à εn = vn - un près. (On a un encadrement de l d’amplitude εn)

Exemple : Les suites (an) et (bn) définies par an = ∑k = 0

n

1

k ! et bn = an +

1n !

sont adjacentes et converge vers e.

(an) est clairement croissante, bn+1 – bn = an+1 – an + 1

(n+1) ! -

1n !

= 1

(n+1) ! +

1

(n+1) ! -

1n !

= 2

(n+1) ! -

1n !

= 1 – n

(n + 1) ! < 0

∀ n > 1 donc (bn) est décroissante.

bn – an = 1

n ! → 0 lorsque n → + ∞

Les suites (an) et (bn) sont bien adjacentes.

Leçon 53

Hannon.J - 5 -

De plus limn → + ∞

an = ∑k = 0

+ ∞

1

k ! = e

Voici un programme sur calculatrice en utilisant les 2 suites précédentes permettant d’approcher le nombre « e » avec

une précision donnée.

On a demander dans cet exemple une approximation à 10 –7

près, on obtient l’encadrement de « e » suivant :

2,7182818 < e < 2,71828189

4.2 Théorèmes de comparaisons :

Soient (un) , (vn) et (wn) trois suites réelles

Théorème 5 : Si (un) converge vers l et (vn) vers l’ et s’il existe N ∈ V tel que ∀ n > N, un < vn alors l < l’

Démonstration : On pose wn = vn - un

On a limn → + ∞

wn = l’ – l (théorème 2) et ∀ n > N, wn > 0

Par l’absurde supposons que l’ – l < 0, ∃ N’ ∈ V, ∀ n > N’ wn – (l’ – l) < l – l’

2

Soit N’’ = max(N , N’) alors ∀ n > N’’ , wn < l’ – l

2 < 0 ce qui contredit wn > 0 ∀ n > N

Théorème 6 : Si (un) converge vers l est (wn) aussi converge vers l et qu’à partir d’un certain rang on a un < vn < wn

alors on a que (vn) converge vers l

Remarque : On appelle souvent ce théorème le théorème des gendarmes.

Démonstration : Soit ε > 0 et N tel que ∀ n > N un < vn < wn

Alors ∀ n > N, un - l < vn - l < wn – l

Par hypothèses :

∃ N1 tel que ∀ n > N1 -ε < un – l < ε

∃ N2 tel que ∀ n > N2 -ε < wn – l < ε

On pose N’ = max (N, N1, N2) et ∀ n > N’ -ε < vn – l < ε ⇔ | vn – l | < ε.

La suite (vn) converge bien vers l.

Corollaire 2 : Si (vn) converge vers 0 et s’il existe N tel que ∀ n > N , | un – l | < vn alors (un) converge vers l.

Exercice : On considère les suites (un) et (vn) de termes généraux :

un = 1

n + 1 +

1

n + 2 + …. +

1

n + n

vn = 1

n² + 1 +

1

n² + 2 + ….. +

1

n² + n

Les suites (un) et (vn) sont-elles convergentes ?

Leçon 53

Hannon.J - 6 -

Solution : On a un > n

2 n (par une minoration très simple) soit un >

n

2

Or limn → + ∞

n

2 = + ∞ ⇒ lim

n → + ∞ un = + ∞

On dit que la suite (un) est divergente.

On a 0 < vn < n

n² + 1.

Or limn → + ∞

n

n² + 1 = lim

n → + ∞

1

n = 0. Par le théorème des gendarmes, on a lim

n → + ∞ vn = 0

La suite (vn) converge vers 0.

Remarques sur la leçon :

On n’a pas parlé du critère de Cauchy car la preuve est un peu compliqué pour des élèves de Terminale. Mais il faut

savoir qu’il fournit un critère de convergence. On a les 2 résultats suivants :

- Toute suite de Cauchy est bornée.

- Toute suite de réels est convergente si et seulement si c’est une suite de Cauchy

On n’a pas parlé du théorème de Bolzano-Weierstrass qui lui aussi a une démonstration difficile pour un élève de lycée.

Ce théorème dit que de toute suite bornée de réels on peut extraire une sous-suite convergente.