departamento de engenharia civil -...
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ESTÁTICA (2012/2013)
REVISÕES
FICHA 1
versão 0 1/2 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
1- Determine o comprimento de todas as barras, as cotas e os ângulos representados nas figuras seguintes.
a) Figura 1 b) Figura 2
2- Considere as forças F1, F2, F3 e F4 representadas na figura.
a) Determine as componentes segundo os eixos coordenados x e y, de cada uma das forças.
b) Considerando que todas as forças estão a actuar num ponto P, determine a força Fa = F1 + F2 + F3 + F4,
caracterizando a sua grandeza, ângulo com o eixo x e sentido.
c) Considerando que todas as forças estão a actuar num ponto P, determine a força Fb = F1 - F2 + F3 - F4,
caracterizando a sua grandeza, ângulo com o eixo y e sentido.
3- Considere a força de 100 N representada na figura.
Determine as componentes da força segundo os eixos
coordenados x e y.
4- Considere a força de 200 N representada na figura.
a) Determine as componentes da força segundo os
eixos coordenados x e y.
b) Decomponha a força em duas componentes: uma na
direcção AB e outra na perpendicular à direcção AB.
BA C
D
4.0 m 2.0 m
2.5 m
30º
c
E
G
ϕϕϕϕ
3.0 m
2.0 m
5.0 m
b
a
F
4.0 m
5.0 m
2.0
A B
D
C
a
αααα ββββδδδδ
ϕϕϕϕ
ββββ
δδδδ αααα
35º 2
1
F1=5 kNF2=10kN
40º F3=15kN70º
F4=18kN
30º
100 N
200 N
20º
60º
A
B
ESTÁTICA (2012/2013)
REVISÕES
FICHA 1
versão 0 2/2 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
5- Considere o corpo rectangular representado na figura onde actuam três forças.
a) Considere αααα=25o.
- Determine a resultante das três forças caracterizando a sua
grandeza, ângulo com a horizontal e sentido.
- Determine as componentes da resultante nas direcções
perpendiculares aos lados maior e menor do corpo rectangular.
b) Considere αααα=50o.
- Determine a resultante das três forças caracterizando a sua
grandeza, ângulo com a horizontal e sentido.
- Determine as componentes da resultante nas direcções
perpendiculares aos lados maior e menor do corpo rectangular.
6- Para que não danifique a tábua de madeira onde está cravado, o prego
representado na figura deverá ser arrancado na vertical. As ferramentas
existentes permitem aplicar forças paralelas e perpendiculares à
superfície da madeira.
a) Se for aplicada uma força paralela à superfície da madeira de 100 N
(Fa), determine a grandeza da força perpendicular (Fb) que deverá ser
aplicada simultaneamente para que o prego seja arrancado na
vertical.
b) Determine a grandeza da força de arranque.
7- Considere a esfera representada na figura, sob a acção de duas forças: F1 e F2.
a) Considere αααα=25o.
- Determine a grandeza da força F2, que actuando conjuntamente com F1, faz a esfera deslocar-se na
trajectória AB.
- Determine a grandeza da resultante R = F1 + F2.
b) Considere a força |F2| = 40 kN.
- Determine o ângulo αααα da direcção da força F2 que, actuando conjuntamente com F1, faz a esfera
deslocar-se na trajectória AC.
- Determine a grandeza da resultante R = F1 + F2.
αααα
35º
500N
260N
αααα
320 N
40º
Fa=100 NFb
αααα
30º
20º
F1=20 kN
B
A
C
F2
ESTÁTICA (2012/2013)
ESTÁTICA DO PONTO MATERIAL
FICHA 2
versão 0 1/1 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
1- Considere o sistema de forças aplicado num ponto representado na figura 1 e os sistemas de eixos (x,y)
das figuras 2 e 3 ( x ┴ y ).
a) Substitua o sistema de forças da figura 1 por outro equivalente composto por duas forças com a
direcção dos eixos (x,y) da figura 2.
b) Substitua o sistema de forças da figura 1 por outro equivalente composto por duas forças com a
direcção dos eixos (x,y) da figura 3.
c) Determine a resultante do sistema de forças representado na figura 1.
d) Caracterize completamente a força que actuando conjuntamente com o sistema representado na
figura 1, conduz ao equilíbrio do ponto.
e) Determine a força F que actuando conjuntamente com o sistema representado na figura 1, torna o
novo sistema (forças da figura 1 + F) equivalente a uma força horizontal (←) de 60 kN.
f) Considere um sistema constituído por uma força F actuando conjuntamente com as forças de 25 kN e
70 kN representadas na figura 1.
- Determine a menor força F que conduz a uma resultante com a direcção do eixo y da figura 2.
- Caracterize a resultante deste novo sistema de forças.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
2- Considere o sistema de forças aplicado num ponto, constituído
por F1, F2, F3 e F4, cuja resultante é a força R.
a) Considerando R = 50 kN, F3 = 25 kN e F4 = 15 kN, determine a
grandeza e sentido de F1 e F2.
b) Considerando R = 30 kN, F1 = 10 kN e F2 = 15 kN, determine a
grandeza e sentido de F3 e F4.
c) Considerando F1 = 30 kN e F4 = 65 kN, determine a grandeza e
sentido de F2 e F3 para que a resultante tenha uma grandeza
de 40 kN, a direcção indicada na figura e sentido contrário ao
indicado na figura.
d) Considerando F1 = 40 kN, F2 = 50 kN, F3 = 20 kN e F4 = 10 kN,
caracterize a força F5 que deverá adicionar ao sistema para
que o ponto esteja em equilíbrio.
35º
25kN
20º
50kN
10kN
70kN
xy
40º
x
y
25º
=
0.20
0.15 =
=
=
=
0.20
= = = = =0.
15
F1F2
F3
RF4
ESTÁTICA (2012/2013)
ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO
FICHA 3
versão 0 1/2 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
1- Considere a manivela que roda em torno do ponto C e que
se encontra caracterizada na figura 1.
a) Figura 2
a1) Determine o momento da força em relação ao pto C;
a2) Determine o momento da força em relação ao pto D;
b) Figura 3
b1) Determine o momento da força em relação ao pto C;
b2) Determine o momento da força em relação ao pto E;
c) Figura 4
c1) Determine o momento da força em relação ao pto D;
c2) Determine o momento da força em relação ao pto C;
d) Figura 5
d1) Determine o momento da força em relação ao pto D;
d2) Determine o momento da força em relação ao pto C;
e) Figura 6
e1) Determine o momento do binário em relação ao pto C;
e2) Determine o momento do binário em relação ao pto B;
e3) Determine o momento do binário em relação ao pto A;
f) Figura 7
f1) Determine o momento de todas as forças em relação ao
pto C;
f2) Determine o momento de todas as forças em relação ao
pto E;
f3) Substitua o sistema de forças por outro equivalente com
ponto de aplicação em D;
f4) Determine a força vertical a actuar em A que, actuando
conjuntamente com as forças representadas na figura,
conduz a um momento nulo em C;
f5) Determine a força horizontal a actuar em E que,
actuando conjuntamente com as forças representadas
na figura, conduz a um momento em A de 20 kNm
(sentido horário);
g) Figura 8
g1) Reduza o sistema de forças a um sistema
força+momento equivalente com ponto de aplicação em
C;
g2) Reduza o sistema de forças da figura a um sistema
força+momento equivalente com ponto de aplicação a
meio da barra DE;
g3) Reduza o sistema de forças a uma resultante com ponto
de aplicação sobre o tramo BCD.
A
BC
D
EFigura 8
8kNm30kN
12kNm
50kN25kN
55º
55º
25kN
70º
20kN
A
B C D
EFigura 5
40kN
50kN
30kN
A
B C D
EFigura 7
35º
A
B C D
EFigura 615kN
15kN
25kN60º 60º
25kN
0.40 m 0.40 m 0.200.20
0.15 m
0.15 mA
B C D
EFigura 1
A
B C D
EFigura 2
25 kN
A
B C D
EFigura 3
A
B C D
EFigura 4
ESTÁTICA (2012/2013)
ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO
FICHA 3
versão 0 2/2 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
2- Considere o corpo rígido representado na figura.
a) Determine a força e o momento a aplicar em B para que, conjuntamente com o carregamento da figura,
o corpo rígido esteja em equilíbrio.
b) Para que seja alcançado o equilíbrio do corpo, determine as seguintes três forças que deverão actuar
conjuntamente com o carregamento da figura:
- uma força horizontal a aplicar em D;
- uma força horizontal a aplicar em H;
- uma força vertical a aplicar em G;
c) Reduza o carregamento representado a um sistema força+momento equivalente com ponto de
aplicação em A.
d) Reduza o carregamento representado a um sistema força+momento equivalente com ponto de
aplicação em G.
e) Reduza o carregamento representado a uma resultante com ponto de aplicação sobre o alinhamento
ABC.
3- Considere o poste de electricidade que suporta
quatro linhas que exercem sobre ele as forças
representadas na figura.
a) Determine a resultante na extremidade
inferior do poste.
b) Considere que os parafusos que fixam o
poste ao solo distam 20 cm do seu eixo
(a=20cm). Determine as forças verticais
transmitidas aos parafusos.
c) Determine a cota a para que a força
transmitida aos parafusos não ultrapasse
220 kN.
0.50 0.50
0.50 m
50 kN25 kN
90 kN15 kN
2.50 m
0.400.40
a a
1.5 m
40kN
30kN
50kN
75kNm
35kN
45kN
40º
A B C
D E F
H
1.5 m
2.0 m
1.5 mG
ESTÁTICA (2012/2013)
EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - REACÇÕES
FICHA 4
versão 0 1/2 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
1- Substitua os carregamentos da figura por forças resultantes equivalentes no cálculo do equilíbrio de corpos
rígidos.
2- Determine as reacções nos apoios das estruturas seguintes.
40º
2.1 m
6kN/m
3.2 m
9kN/m
2.0 m 2.4 m
p=8kN/m 10kN/m
3.3 m
7kN/m12kN/m 3.0 m
6kN/m
8kN/m
2.0 m
5kN/m
60º
2.8 m
p =10-2x (kN/m)
p =7kN/m
3.0 m
2.0 m
4kN/m
1.5 m
2.0 m
3kN/m
0.5 0.5
2kN/m
3.0 m
2.0 m
3.0 m
15 kN
A B
2.0 m
3.0 m 1.5 m
C D
25 kN
4.0 m
A
1.5 m
B C
20 kN
0.8
25 kN
A B
3.5 m 1.4 m
C D
40 kN
A B
50º
30 kN
65º
1.1 m
6 kN/m
Figura 1 Figura 2
Figura 3 Figura 4
2.2 m
DA B
1.2 m
Figura 5
2.1 m 0.90
A
1 m
Figura 6
4kN/m7kN/m
7 kNm 9 kNm 15kNm
2.0 m
C
18 kNm 12kNm
B C D
5 kN
1.2 m
ESTÁTICA (2012/2013)
EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - REACÇÕES
FICHA 4
versão 0 2/2 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
3- Considere as estruturas do exercício anterior.
a) Figura 2
Determine o ponto de aplicação da força vertical de 25 kN (↓), que actuando conjuntamente com a força de
20 kN representada na figura, conduz a uma reacção nula no apoio A.
b) Figura 4
Determine a grandeza e sentido do momento a aplicar em C, que actuando conjuntamente com o restante
carregamento ilustrado na figura, reduz a reacção vertical em B para 30 kN (↑).
c) Figura 5
Determine a grandeza e sentido da carga vertical uniformemente distribuída a aplicar no tramo AB que
actuando conjuntamente com o restante carregamento ilustrado na figura, leva a que a reacção no apoio B
seja uma força vertical de 22 kN (↑).
4- Determine as reacções nos apoios das estruturas seguintes.
55º
30 kN
60º
10kN
/m 1.5 m
20 kNm
2.5 m
25 kN
1.2 m0.82.0 m
20 kN 30 kN
0.8 m15 kN
18 kN1.2 m
5 kN
1.1
23 kN10 kN
1.4 m 1.5 m
1.5 m
Figura 4Figura 3
2.2 m
0.5
4kN/m
30º
20 kNm
7kN
15kN 0.5
10kN/mA
B
1.0
Figura 2
2.0 m
7kN
1.5 m 1.0
20 kN
50º
0.80.7
Figura 1
ESTÁTICA (2012/2013)
EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - ARCO DE TRÊS RÓTULAS
FICHA 5
versão 0 1/2 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
1- Considere os dois corpos rígidos rectangulares unidos por uma rótula em C, representados na figura.
Determine as reacções e as forças de ligação na rótula C.
2- Determine as reacções nos apoios das estruturas seguintes.
Figura 1
30º
0.8 2.0 m 0.8
40 kN
45º
50 kN
1.5 m 1.5 m
20 kNm
A
0.6 m
0.6 m
12 kN/m
B
C
15kN/m27kN/m
EF
H
I
G
C A
2.0 m
4.0 m
20 kN/m
40 kN
60º
35º50 kNm
2.0 m 2.0 m 2.0 m 2.0 m
B
D
3.0 m
ESTÁTICA (2012/2013)
EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - ARCO DE TRÊS RÓTULAS
FICHA 5
versão 0 2/2 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
10 kN/m
40 kN/m
3.0 m 3.0 m
10 kN
75 kNmA
B
C
D
30 kN
80°
90°
E
2.0 m
20 kN/m
2.5 m 2.5 m
2.0 m
2.5 m2.0 m
1.5 m
25 kN/m
100 kN
15°
15 kN/m
30 kN/m
A
B
C
D
F G H
I
50 kNmE
4.0 m 3.0 m 3.0 m 1.2
3.0 m
3.0 m
1 m
4.0
m
4.0 m 2.0 m 2.0 m 1.7 m
F
20 kN/m
A 30°
D
B
G
40 kN
80 kNm
35 kN/m
E
C
75°
2.0 m
1.3 m
50 kN
Figura 2
Figura 3
Figura 4
ESTÁTICA (2012/2013)
EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - VIGAS GERBER
FICHA 6
versão 0 1/1 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
1- Determine as reacções nos apoios das vigas Gerber abaixo representadas.
1.2 m
FC
1.3 m
E
15kN/m10kN/m
1.5 m
35 kN
50º
0.81.1 m
45 kN40º
1.3 m
D
2.0 m
A B
1.3 m
E
1.1 m
D
9 kNm
1.2 m
C
0.7
F G
8kN/m45 kN65º
0.8
7 kN/m60 kN
65º
0.7 1.1 m
1.2 m
A C D
2.0 m
12 kNm
1.7 m
B
1.5 m
E
1.8 m
10 kN/m
30 kN
8 kNm 6 kNm
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Figura 5
1.5 m
C
40 kN
55º
2.0 m 1.2 m
A
1.8 m 0.9
20kN/m
B D
2.5 m
EA
1.1 m1.0
C F
50 kN
0.8
D
15 kNm
0.6 0.9
B
8 kNm
5kN/m
60º
1.1
A
0.91.4 m
B G
ESTÁTICA (2012/2013)
EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - ASSOCIAÇÃO DE CORPOS
FICHA 7
versão 0 1/2 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
1- Determine as reacções nos apoios das estruturas seguintes.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
20 kN/m
A B
C
30kN
1.7 m
1.3 m
D
E
3 m 3 m
1.5 m
3 m
4 m
70kNm
4 m
4 m
10kN/m
8kN/m
5kN/m
A
2.0 m
1.0 m
2.0 m 1.0 1.0 1.6 m 2.4 m
30kNm20kN 5 kN/m
B
D E
FG
KIH J
C
10kN/m25 kN/m
35°
40 kN
1 3 m 2 m 2 m 3 m
80kNm
50kN/m
40kN
30kN/m
40kN/m
A
B
C
D
EF
HG I 30°
110°
1.5 m
3 m
ESTÁTICA (2012/2013)
EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - ASSOCIAÇÃO DE CORPOS
FICHA 7
versão 0 2/2 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Figura 4
Figura 5
Figura 6
3 m3 m12 m
1 m
75°
40kN
/m35kNm
A
C
B DG
F
I
E
HJ100kN
20kN
/m
80kN
3 m
2 m
3 m 3 m 2.5 m 2.5 m
4 m
A
10 kN/m
B
C
D
E
F
50kNm
20kN/m
20 kN/m
G
3 m 3 m 1
3 m
A
3 m
12 kN/m
20kN/m
5kN/m
15kNm
B C
D E
F
GH
ESTÁTICA (2012/2013)
SISTEMAS ARTICULADOS PLANOS (SAP)
FICHA 8
versão 0 1/4 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
1- Determine os esforços em todas as barras pelo Método do Equilíbrio dos Nós.
Sempre que possível, não calcule previamente as reacções.
Figura 1 Figura 2
Figura 3 Figura 4
Figura 5
50kN
100kN
3.0 m2.5 m
40kN45°
4 m
A
C
B
2.5
3.0 m 3.0 m 2.5 m3.0 m
40kN
25kN
60kN
D EF
G
H
20kN
2 m
1 m
30kN
4.0 m2.5 m
30kNA C
B
D
E
B
A
C
D
3.0 m
10kN
20kN
3.0 m
1.5 m
3 m
A
BC
FE
D
4 m
2 m
1.5 m
5kN
10kN
20kN
60°30kN
2.0 m4.0 m
dir.
50°
A
C
E
B D
ESTÁTICA (2012/2013)
SISTEMAS ARTICULADOS PLANOS (SAP)
FICHA 8
versão 0 2/4 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
2- Considere as estruturas do exercício anterior e recorra ao Método de Ritter na resolução das alíneas
seguintes. Sempre que possível, não calcule previamente as reacções.
a) Figura 1
Determine os esforços nas barras AB, BC,
BD e CD.
b) Figura 2
b1) Confirme que a barra AB está descarregada.
b2) Determine os esforços nas barras BC e CD.
c) Figura 3
Determine o esforço na barra CD.
d) Figura 4
Determine os esforços nas barras BE e EF.
e) Figura 5
Determine o esforço na barra BC.
3- Considere a estrutura articulada plana representada na figura. As forças F3 e F4 têm a mesma direcção que
a barra FH.
Tenha em atenção o seguinte:
• Resolva todas as alíneas sem calcular as reacções nos apoios.
• Cada alínea é independente das demais, pelo que não devem ser utilizados resultados obtidos numa
alínea para resolver outra.
a) Recorrendo ao Método de Equilíbrio dos Nós, determine o esforço axial nas barras AD e AE.
b) Utilizando o Método de Ritter, calcule o esforço axial na barra EG.
c) Utilizando o Método de Ritter, determine que direcção e sentido a força F5 = 40 kN deveria ter para que
na barra HI actuasse um esforço de compressão de 25 kN
3 m
2 m
1 m
1 m
2 m
3 m 2 m
F1=50kN
A
E
B
C
GF
H
I
J
4 m
F2=30kN
D
F3=25kN
F4=20kN
F5=40kN
ESTÁTICA (2012/2013)
SISTEMAS ARTICULADOS PLANOS (SAP)
FICHA 8
versão 0 3/4 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
4- Considere a estrutura articulada plana
representada na figura.
a) Recorrendo ao Método de Equilíbrio dos Nós e considerando
α=30°°°°, determine o esforço axial
nas barras DI, DJ e IJ.
b) Utilizando o Método de Ritter e
considerando α=30°°°°, determine o
esforço axial na barra GJ.
c) Utilizando o Método de Ritter,
determine qual o ângulo α que
provoca um esforço de compressão
de 10 kN na barra IJ.
5- Considere a estrutura articulada plana representada na figura.
Tenha em atenção o seguinte:
• Resolva todas as alíneas sem calcular as reacções nos apoios.
• Cada alínea é independente das demais, pelo que não devem ser utilizados resultados obtidos numa
alínea para resolver outra.
a) Recorrendo ao Método de Equilíbrio dos Nós, determine o esforço axial nas barras BF e BG.
b) Utilizando o Método de Ritter, determine o esforço axial na barra AC.
c) Utilizando o Método de Ritter, determine a grandeza e sentido da força vertical a aplicar no nó D para
que o esforço axial a actuar na barra CD seja um esforço de compressão de 35 kN.
A B C
ED F
G
JI
H
4 m 2 m2 m 3 m
4 m2 m
25kN
30kN
15kN
2 m
3 m
3 m
10kN
BA
C
D
E
// AC
FG
H I
20kN
3.0 m
1.5 m
2.5 m 2.5 m 3.0 m 1.0 2.0 m
40kN30kN
10kN
45°25kN
dir.
ESTÁTICA (2012/2013)
SISTEMAS ARTICULADOS PLANOS (SAP)
FICHA 8
versão 0 4/4 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
2 m
2 m
1 m 10kN
7kN
8kN
5kN
A
B
C
D
E
F H
G
3 m 4 m
6- Considere a estrutura articulada plana representada na figura.
A força de 50 kN aplicada no nó F tem a direcção da barra DG.
a) Recorrendo ao Método de Equilíbrio dos Nós, determine o esforço axial nas barras BE e CE.
b) Calcule o esforço axial na barra DE pelo Método de Ritter.
7- Considere a estrutura articulada plana representada na figura.
a) Sem calcular previamente as reacções e recorrendo ao Método de Ritter, determine o esforço axial na
barra BE.
b) Utilizando o Método de Ritter determine o esforço axial na barra AD.
c) Recorrendo ao Método de Equilíbrio dos Nós determine o esforço axial na barra DF.
2 m
20 kN
30 kN50 kN
B C
A
FED
G
3 m
2 m
2 m
5 m
ESTÁTICA (2012/2013)
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
FICHA 9
versão 0 1/2 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
1- Considere a viga com o carregamento indicado na figura.
(Reacções: VA = 20,652 kN ↑ HF = 68,051 kN → VF = 13,006 kN ↓ )
a) Determine as expressões analíticas do esforço axial (N), esforço transverso (V) e momento flector (M)
em função de x1.
b) Desenhe os diagramas de esforços (N, V e M) caracterizando todos os pontos notáveis (máximos,
mínimos e zeros dos diagramas).
c) Determine as expressões analíticas do esforço axial (N), esforço transverso (V) e momento flector (M)
em função de x2.
d) Com as expressões determinadas na alínea anterior, confirme o traçado dos diagramas de esforços (N, V
e M) anteriormente desenhados.
e) Determine as expressões analíticas do esforço axial (N), esforço transverso (V) e momento flector (M)
em função de um referencial local de cada tramo.
Nos tramos AB, BC e CD considere x da esquerda para a direita (→); nos tramos DE e EF considere x da
direita para a esquerda (←).
Confirme o traçado dos diagramas de esforços anteriormente desenhados.
2- Considere as estruturas abaixo representadas.
Determine as expressões analíticas dos esforços esforços (N, V e M) e desenhe os respectivos diagramas.
a) Reacções:
HB = 11,0525 kN →
VB = 65,8589 kN ↑
VC = 74,3859 kN ↑
b) Reacções:
HA = 5,5 kN →
VA = 12,0737 kN ↑
MA = 6,4575 kNm
0.8 m
30 kN
45º
50 kN60º
0.9 m
8 kNm
0.8 m 0.95 m 0.55 m
60 kN
40º
x2x1
A
B C D EF
3.5 m 1.4 m
C
D
10kN
AB
50º
20kN
65º
1.1 m
25kN/m30kN
70º 6kNm9kNm
10kN/m
60ºB
C
1.12.4 m
18kN/m
A
ESTÁTICA (2012/2013)
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
FICHA 9
versão 0 2/2 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
c) Reacções:
HA = 12,262 kN →
VA = 3,50 kN ↑
MA = 11,581 kNm
d) Reacções:
HB = 9,5 kN →
VB = 17,45625 kN ↑
VD = 28,54375 kN ↑
e) Reacções:
HA = 13,731 kN ←
VA = 14,949 kN ↑
RD = 45,819 kN �
RE = 22,116 kN �
15kN/m
6kN
/m
A
B
D
E
C
2.0 m0.8 2.0 m 1.2 m
16kN
5kN/m
3.0 m
7kN
10kN
7kN
12kN
5kNm
8kN/m
2.2 m
A
B
C
E
F
1.2 m
1.2 m 1.0 m
4kNm
D
1.2 m 1.9 m 1.5 m
2.2 m
0.5
4kN/m
30º
20 kNm
7kN
15kN 0.5
A
B
C
D
ESTÁTICA (2012/2013)
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
FICHA 10
versão 1 1/9 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
1- Considere a estrutura abaixo representada.
Determine as expressões analíticas dos esforços (N, V e M) e desenhe os respectivos diagramas,
caracterizando todos os pontos notáveis.
Reacções: HA = 10,4 kN → VA = 9 kN ↑ MA = 23,94 kNm
N (kN) V (kN) M (kNm)
0.8 m2
kN/m
A
B
0.9 m
1.1 m
C
E
D
3kN
2kN
8kN
/m2.4 m
4kN
ESTÁTICA (2012/2013)
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
FICHA 10
versão 1 2/9 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
2- Considere a estrutura representada.
Determine as expressões analíticas dos
esforços (N, V e M). Desenhe os
respectivos diagramas, caracterizando
todos os pontos notáveis.
Reacções:
HF = 19 kN ←
VF = 58 kN ↑
MF = 58,9 kNm
N (kN
Esc: 1 cm ↔ 0,5m
0.8 m
1.2 m
0.52.4 m 0.81.1 m
2.0 m
1.5 m 1.2 m
1.5 m
25kN/m
15kN/m
40kNm
5kN
6kN
8kN
30kN
10kN
18kN
20kN
5kN
A
B C D E
F
G
H
J I K 10kN
ESTÁTICA (2012/2013)
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
FICHA 10
versão 1 3/9 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
V (kN)
M (kNm)
Esc: 1 cm ↔ 0,5m
ESTÁTICA (2012/2013)
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
FICHA 10
versão 1 4/9 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
3- Determine as expressões analíticas dos esforços (N, V e M) da estrutura representada. Desenhe os
respectivos diagramas, caracterizando todos os pontos notáveis.
Reacções:
A kN 21,1225 V
kN 8,9032 H
A
A
↑=→=
D kN 31,0892 V
kN 11,9032 H
D
D
↑=←=
VK = 17,7882 kN ↑
N (kN)
Esc: 1 cm ↔ 0,5m
D E F
G
I J
K
5kN/m
25kN/m
20kN
35kN
A
B
C
H
1.25 m 2.0 m
2.5 m 1.6 m 2.4 m 1.0 m
1.0 m
1.0 m
2.2 m
0.5 m
18kNm
10kN
20kNm 12kN
ESTÁTICA (2012/2013)
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
FICHA 10
versão 1 5/9 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
V (kN)
M (kNm)
Esc: 1 cm
ESTÁTICA (2012/2013)
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
FICHA 10
versão 1 6/9 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
4- Determine as expressões analíticas dos
esforços (N, V e M) da estrutura
representada. Desenhe os respectivos
diagramas, caracterizando todos os
pontos notáveis.
Reacções:
A kN 13,1985 V
kN 22,0245 H
A
A
↑=←=
I kN 54,8015 V
kN 18,9411 H
I
I
↑=→=
N (kN)
0.8 1.6 m
15kN
/m
12kNm
3.4 m
0.7 m
0.8 m
3kN
18kN20kN
30kN
35kN/m
1.2 m 0.8 0.6
ESTÁTICA (2012/2013)
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
FICHA 10
versão 1 7/9 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
V (kN)
M (kNm)
ESTÁTICA (2012/2013)
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
FICHA 10
versão 1 8/9 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
5- Determine as expressões analíticas dos esforços (N, V e M) da estrutura representada. Desenhe os
respectivos diagramas, caracterizando todos os pontos notáveis.
Reacções: A kN 24,6727 V
kN 9,7303 H
A
A
↑=←=
G kN 4,3273 V
kN 31,7303 H
G
G
↑=→=
N (kN)
8kNm
40kN/m
0.8
1.5 m
10kN
15kN
28kN
14kN
0.90.6 4.0 m
1.5 m
0.6 m
ESTÁTICA (2012/2013)
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )
FICHA 10
versão 1 9/9 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
V (kN)
M (kNm)
ESTÁTICA (2012/2013)
GEOMETRIA DE MASSAS - CENTRO DE GRAVIDADE
FICHA 11
versão 0 1/3 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
1- Para as secções transversais representadas, calcule as coordenadas do centro de gravidade referidas ao
respectivo sistema de eixos. Represente o centro de gravidade na figura.
Figura 1 Figura 2
Figura 3 Figura 4
R=12
,5
Y
X
25 cm15 10
15 cm
12.5
42.5
35 cm
Y
X
3.4 cm
2.7 cm
R=5cm
30 cm
Y
X
15 cm 45 cm
30 cm
Z
Y
23 mm
20 mm
9 mm
15 mm 10
30 mm15 mm
7 mm
515 mm
10 mm
R=20m
m
ESTÁTICA (2012/2013)
GEOMETRIA DE MASSAS - CENTRO DE GRAVIDADE
FICHA 11
versão 0 2/3 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Figura 5
Figura 6
2- Considere as secções transversais constituídas por perfis metálicos. Calcule as coordenadas do centro de
gravidade referidas ao respectivo sistema de eixos (na ausência de um sistema de eixos, arbitre um).
Represente o centro de gravidade na figura.
Figura 1 Figura 2
Figura 3 Figura 4
Z
Y
R=12cm
12 cm12 cm
13 cm
12 cm
12 cm
13 cm
13 cm
4 cm 3 cm
3 cm
2 cm
2 cm
2 cm
Z
Y
R=2cm
18 cm
UPN240UPN160
UPN160
Y
X
HEB 200 L200x200x20
100
100
Z
Y
ESTÁTICA (2012/2013)
GEOMETRIA DE MASSAS - CENTRO DE GRAVIDADE
FICHA 11
versão 0 3/3 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
3- Considere as secções transversais representadas nas figuras. Calcule as coordenadas do centro de
gravidade referidas ao respectivo sistema de eixos (na ausência de um sistema de eixos, arbitre um).
Represente o centro de gravidade na figura.
PESOS VOLÚMICOS DOS MATERIAIS
AÇO BETÃO MADEIRA MÁRMORE CORTIÇA
77 kN/m3 25 kN/m
3 6 kN/m
3 30 kN/m
3 3 kN/m
3
Figura 1 Figura 2
Figura 3 Figura 4
betão
18
6
8
4
25 cm5 5
0.100.20 m0.15
Z
Y
0.18 m
0.18 m
madeira
betão mármore
Ø 219,1 esp.8perfil tubular
9 cm
12 cm
12 cm
9 cm
betão
madeira
9 cm
9 cm
cortiça
912 cm 12 cm9 9 cm 7 cm
R9cm
Ø 355,6 esp.10perfil tubular
betão cortiça
ESTÁTICA (2012/2013)
GEOMETRIA DE MASSAS MOMENTOS E PRODUTO DE INÉRCIA. RAIO DE GIRAÇÃO
FICHA 12
versão 0 1/3 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
1- Considere as secções transversais representadas.
a) Calcule os momentos de inércia em relação a cada um dos eixos representados.
b) Calcule os momentos de inércia em relação a cada um dos eixos baricêntricos paralelos aos eixos
representados.
c) Calcule o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e que passa pela
origem do sistema de eixos representado (momento de inércia polar IO).
d) Calcule o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e com origem no
centro de gravidade (momento de inércia polar ICG).
e) Calcule o raio de giração em relação a cada um dos eixos representados.
f) Calcule o raio de giração em relação a cada um dos eixos baricêntricos paralelos aos eixos
representados.
g) Calcule o produto de inércia em relação aos eixos representados.
h) Calcule o produto de inércia em relação aos eixos baricêntricos paralelos aos eixos representados.
i) Calcule os momentos de inércia e o produto de inércia em relação a um sistema de eixos com a mesma
origem do representado mas rodado de 30⁰ no sentido horário.
j) Calcule os momentos de inércia e o produto de inércia em relação a um sistema de eixos com origem no
CG e rodado de 25⁰ no sentido anti-horário.
Figura 1 Figura 2
R=12
,5
Y
X
25 cm15 10
15 cm
12.5
42.5
35 cm
30 cm
Y
X
15 cm 45 cm
30 cm
ESTÁTICA (2012/2013)
GEOMETRIA DE MASSAS MOMENTOS E PRODUTO DE INÉRCIA. RAIO DE GIRAÇÃO
FICHA 12
versão 0 2/3 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Figura 3 Figura 4
Figura 5
Figura 6
Z
Y
R=12cm
12 cm12 cm
13 cm
12 cm
12 cm
13 cm
13 cm
Y
X
3.4 cm
2.7 cm
R=5cm
4 cm 3 cm
3 cm
2 cm
2 cm
2 cm
Z
Y
R=2cm
Z
Y
23 mm
20 mm
9 mm
15 mm 10
30 mm15 mm
7 mm
515 mm
10 mm
R=20m
m
ESTÁTICA (2012/2013)
GEOMETRIA DE MASSAS MOMENTOS E PRODUTO DE INÉRCIA. RAIO DE GIRAÇÃO
FICHA 12
versão 0 3/3 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Figura 7 Figura 8
Figura 9 Figura 10
2- Considere a secção transversal representada, constituída
por duas cantoneiras L 200x100x10.
a) Determine a que distância d deverão ser colocadas as
duas cantoneiras para que o momento de inércia da
secção em relação ao eixo Z seja igual ao momento de
inércia em relação ao eixo Y ( IY = IZ).
3- Determine a espessura e das chapas com que
deverá ser reforçado o perfil IPE 220 para que
apresente o mesmo momento de inércia que
o perfil HEB 220 em relação ao eixo
baricentro ΔG.
Y
X
HEB 200 L200x200x20
100
100
Z
Y
Y
X
UPN160
9 cm
UPN240
UPN160
Z
Y9 cm
8
Z
Y
G
d
150 mme
∆G
150 mm
e
∆G
ESTÁTICA (2012/2013)
GEOMETRIA DE MASSAS EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
FICHA 13
versão 0 1/3 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
1- Considere as secções transversais representadas.
a) Calcule os Eixos Principais de Inércia (EPI) e os Momentos Principais de Inércia (MPI). Represente os
Eixos Principais de Inércia na figura.
b) Calcule os Eixos Principais Centrais de Inércia (EPCI) e os Momentos Principais Centrais de Inércia
(MPCI). Represente os Eixos Principais Centrais de Inércia na figura.
Figura 1 Figura 2
Figura 3 Figura 4
R=12
,5
Y
X
25 cm15 10
15 cm
12.5
42.5
35 cm
Y
X
3.4 cm
2.7 cm
R=5cm
30 cm
Y
X
15 cm 45 cm
30 cm
Z
Y
23 mm
20 mm
9 mm
15 mm 10
30 mm15 mm
7 mm
515 mm
10 mm
R=20m
m
ESTÁTICA (2012/2013)
GEOMETRIA DE MASSAS EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
FICHA 13
versão 0 2/3 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Figura 5
Figura 6
2- Considere a secção transversal representada, constituída por dois perfis metálicos.
a) Calcule os Eixos Principais de Inércia (EPI) e os Momentos Principais de Inércia (MPI). Represente os
Eixos Principais de Inércia na figura.
b) Posicione na figura o eixo baricêntrico em relação ao qual o Momento de Inércia é máximo. Determine o
valor desse Momento de Inércia máximo.
Z
Y
R=12cm
12 cm12 cm
13 cm
12 cm
12 cm
13 cm
13 cm
4 cm 3 cm
3 cm
2 cm
2 cm
2 cm
Z
Y
R=2cm
HEB 200 L200x200x20
100
100
Z
Y
ESTÁTICA (2012/2013)
GEOMETRIA DE MASSAS EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
FICHA 13
versão 0 3/3 Isabel Alvim Teles
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
3- Considere as secções transversais representadas, constituídas por perfis metálicos.
a) Calcule os Eixos Principais de Inércia (EPI) e os Momentos Principais de Inércia (MPI). Represente os
Eixos Principais de Inércia na figura.
b) Calcule os Eixos Principais Centrais de Inércia (EPCI) e os Momentos Principais Centrais de Inércia
(MPCI). Represente os Eixos Principais Centrais de Inércia na figura.
c) Determine o Momento de Inércia em relação ao eixo Δ representado na figura.
Figura 1 Figura 2
4- Considere a secção transversal representada, constituída por perfis metálicos.
a) Calcule os Eixos Principais de Inércia (EPI) e os Momentos Principais de Inércia (MPI). Represente os
Eixos Principais de Inércia na figura.
b) Posicione na figura o eixo baricêntrico em relação ao qual o Momento de Inércia é mínimo. Determine o
valor desse Momento de Inércia mínimo.
UPN160
9 cm
UPN240
UPN160
Z
Y9 cm
8
∆
Y
X
Y
X
∆
70°