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Modelos Básicos de Distribuciones Discretas y Continuas

Departamento de Estadística e Investigación OperativaUniversidad de Sevilla

Teoría de la Probabilidad y Teoría de la Probabilidad I. Facultad de Matemáticas. Universidad de Sevilla.Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 1/27

Contenidos

1 Introducción. Variables Aleatorias

2 Distribución de Bernoulli

3 Distribución Uniforme Discreta en n puntos

4 Distribución Binomial

5 Distribución Geométrica

6 Distribución hipergeométrica

7 Distribución de Poisson

8 Distribución Uniforme Continua

9 Distribución Gamma

10 Distribución Exponencial

11 Distribución Beta

12 Distribución de Cauchy

13 Distribución Normal


Introducción. Variable Aleatoria.

Espacio Muestral [o de resultados del experimento]: Ω

σ-álgebra [o espacio de sucesos]: FProbabilidad: función de conjunto P : F → [0, 1]. Axiomática deKolmogorov.

Espacio de probabilidad: (Ω,F ,P)

σ-álgebra de Borel en IR: B(IR).Generada por los intervalos de la forma (−∞, x ].Hay otras formas de generarla.En el Cálculo de Probabilidades es el σ-álgebra sobre IR usualmenteempleada.Próximamente se generalizará para IRn.

Variable Aleatoria,X : Ω −→ IR

X−1(B) ∈ F ∀B ∈ B(IR)


Función de Distribución

Función de distribución de X ,

FX (t) = P[X−1((−∞, t ])] = notación = P[X ≤ t ] ∀t ∈ IR

Bien definida.

Monótona no decreciente.

Continua por la derecha ∀t ∈ IR.

FX (−∞) = 0.

FX (+∞) = 1


Variables Aleatorias Discretas

X es discreta cuando FX es una función constante a trozos oescalonada.Saltos en un conjunto numerable xkk∈K , finito o infinito.Función de probablidad,

P[X−1(xk)] = notación = P[X = xk ] = pk k ∈ K

Esperanza matemática,

E [X ] =∑k∈K

xk P[X = xk ]

Siempre existe si K es finito.Si K es infinito, existe si la suma es convergente.Ejemplo. No existe la esperanza para una variable aleatoria con función deprobabilidad,

P[X = k ] =6π2

1k2

k ∈ IN

por no ser convergente la serie,∞∑

k=1

1k


Variables Aleatorias [Absolutamente] Continuas

X es continua cuando FX es una función continua.La probabilidad no se reparte en un conjunto numerable.Si la función de distribución se puede expresar como,

FX (t) =

∫ t

−∞f (x)dx

siendo f no negativa, entonces diremos que X es absolutamentecontinua.La función f se denomina función de densidad, y obviamente ha decumplir,

Integrable en IR.∫ +∞−∞ f (x)dx = 1

Esperanza matemática,

E [X ] =

∫ ∞−∞

xf (x)dx

No siempre existe pues la integral puede ser divergente.Ejemplo. No existe la esperanza para una variable aleatoria con función dedensidad,

f (x) =1π

11 + x2

x ∈ IR


Función Generatriz de Momentos

Dada una variable aleatoria, X , se define la Función Generatriz deMomentos como,

MX (t) = E [etX ]

supuesto que la región de convergencia no se reduce al caso trivial t = 0.

X Discreta,MX (t) =

∑k∈K

et xk P[X = xk ]

X Continua,

MX (t) =

∫ +∞

−∞et x f (x)dx


Función Generatriz de Momentos. Ejemplos

X Discreta con función de probabilidad P[X = k ] = 1/2k , k ∈ IN

MX (t) =∞∑

k=1

et k 12k =

et/21− et/2

siempre que,

et

2< 1 es decir t < ln(2) Región de convergencia

X Continua con función de densidad,

f (x) =1π

11 + x2 , x ∈ IR

MX (t) =

∫ +∞

−∞

1π

et x

1 + x2 dx

Integral divergente si t 6= 0. No existe la función generatriz demomentos.


Momentos. Cálculo a partir de MX (t)

Dada la variable aleatoria X , se define el momento de orden n ∈ IN como,

E [X n] =

∑

k∈K xnk P[X = xk ] X discreta∫ +∞

−∞ xnf (x)dx X continua

supuesto convergentes la serie o la integral.

Esperanza. Momento de orden n = 1. E [X ].

Momento de orden n = 2. E [X 2].

Varianza. V [X ] = E [X 2]− E [X ]2

Relación con la Función Generatriz de Momentos,

E [X n] =dn

dtn MX (t)∣∣∣∣t=0

Derivamos n veces, y hacemos t = 0, ó t → 0 si se produce indeterminación.


Distribución de Bernoulli

Es de una variable aleatoria X : Ω→ 0, 1, es decir, recorre dos valores, 0 ó1, con probabilidades,

P[X = 1] = p P[X = 0] = 1− p = q p ∈ [0, 1]

E [X ] = p

V [X ] = pq

MX (t) = etp + q

Notación X ∼ Be(p)


Distribución Uniforme Discreta en n puntos

Dado n ∈ IN, diremos que la variable aleatoria discreta X tiene unadistribución uniforme discreta en n puntos cuando recorre los valores1, 2, . . . , n con probabilidades,

P[X = k ] =1n

k = 1, 2, . . . n

E [X ] = (n + 1)/2

V [X ] = (n2 − 1)/12

Función Generatriz de Momentos,

MX (t) =et (ent − 1)

n(et − 1)

Notación X ∼ U[1..n]


Distribución Binomial

Dados n ∈ IN y p ∈ [0, 1], diremos que la variable aleatoria discreta X tieneuna distribución binomial de parámetros n y p, si recorre los valores0, 1, . . . , n, siendo,

P[X = k ] =

(nk

)pk (1− p)n−k , k = 0, . . . , n

E [X ] = np

V [X ] = npq

MX (t) = (q + pet )n

Notación X ∼ Bi(n, p)


Distribución Binomial. Propiedades.

Si repetimos n veces un experimento con dos resultados posibles, E,éxito, y F, fracaso, y probabilidad de éxito p, siendo independientes lasrepeticiones, el número de éxitos obtenidos es una variable aleatoriacon distribución Bi(n, p).

Si X1, . . . ,Xn son variables aleatorias de Bernoulli, Be(p),independientes, entonces,

n∑i=1

Xi ∼ Bi(n, p)

Si X1, . . . ,Xn son variables aleatorias independientes, con distribuciónbinomial, siendoXi ∼ Bi(ni , p), i = 1, . . . , n, entonces

∑ni=1 Xi ∼ Bi(

∑ni=1 ni , p).

[Reproductividad con respecto a n].


Distribución Geométrica

Diremos que la variable aleatoria discreta X tiene una distribucióngeométrica si recorre los valores k ∈ IN con función de probabilidad,

P[X = k ] = (1− p)k−1p k ∈ IN

E [X ] = 1/p

V [X ] = q/p2

MX (t) = pet/(1− qet ) t < − ln(q)

Notación X ∼ Ge(p)

Si consideramos el experimento consistente en repetir un experimentocon dos resultados posibles, E, éxito, y F, fracaso, con probabilidadesrespectivas p y q = 1− p, y las repeticiones son independientes, elnúmero de repeticiones o ensayos hasta obtener el primer éxito es unavariable aleatoria con distribución Ge(p).


Distribución Geométrica. Definición Alternativa

Si consideramos el experimento consistente en repetir un experimento condos resultados posibles, E, éxito, y F, fracaso, con probabilidades respectivasp y q = 1− p, y las repeticiones son independientes, el número de fracasosPREVIOS al primer éxito es una variable aleatoria que también se sueledenominar como Geométrica. En en este caso,

P[X = k ] = (1− p)k p k ∈ IN∗

E [X ] = q/p

V [X ] = q/p2

MX (t) = p/(1− qet ) t < − ln(q)

Notación X ∼ Ge(p)


Distribución Hipergeométrica

Consideremos un conjunto, U, con N elementos, de los cuales, N1 son detipo I y N2 = N − N1 de tipo II. De la población se extrae una muestra den ≤ N elementos, sin reemplazamiento y sin considerar el orden comocaracterística diferenciadora, de forma que todas las posibles combinacionessean equiprobables, y se considera la variable aleatoria X =“número deelementos de tipo I en la muestra obtenida”. Observemos que si k es unvalor factible, entonces,

P[X = k ] =

(N1k

)( N2n−k

)(Nn

)debiendo verificarse k ≤ n, k ≤ N1, n − k ≤ N2, k ≥ 0, es decir,

max0, n + N1 − N ≤ k ≤ minn,N1

La distribución así obtenida se denomina hipergeométrica.

E [X ] = nN1/N

V [X ] = (N − n)(N − N1)nN1/(N2(N − 1))

Notación X ∼ H(N,N1, n)


Distribución de Poisson

Diremos que una variable aleatoria discreta, X , sigue una distribución dePoisson si recorre los valores k ∈ IN∗ con función de probabilidad,

P[X = k ] = e−λλk

k !λ > 0

E [X ] = λ

V [X ] = λ

MX (t) = eλ(et−1) ∀t ∈ IR

Notación X ∼ P(λ)

Si X ∼ P(λ1) e Y ∼ P(λ2) son independientes, entoncesX + Y ∼ P(λ1 + λ2). Esta propiedad se generaliza inmediatamente a unnúmero finito de variables aleatorias independientes, que siguen unadistribución de Poisson. Reproductividad respecto a λ.


Distribución Uniforme Continua

Diremos que la la variable aleatoria X se distribuye uniformemente en elintervalo [a, b] con a, b ∈ IR, a < b, o que es uniforme en dicho intervalo, oque sigue una distribución uniforme, si es absolutamente continua, confunción de densidad,

f (x) =1

b − a, x ∈ [a, b] =

1b − a

I[a,b](x) x ∈ IR

Función de distribución,

F (x) =

0 x ≤ a

x − ab − a

a < x ≤ b

1 x > b

E [X k ] = bk+1−ak+1

(b−a)(k+1)k ≥ 0. E [X ] = a+b

2

V [X ] = (b−a)2

12

MX (t) = etb−eta

(b−a)t

Notación X ∼ U[a, b]

También se puede definir en el abierto (a, b). Todo es igual salvo lanotación


La Función Gamma

Es una función que aparece en numerosos campos de las Matemáticas

Γ : IR+ −→ IR+

Γ(p) =

∫ +∞

0xp−1e−x dx p > 0

Algunas propiedades,

Γ(1) = 1

Γ(p) = (p − 1)Γ(p − 1) p > 1

Γ(n) = (n − 1)! n ∈ IN

Γ( 12 ) =

√π


Distribución Gamma

La variable aleatoria X se distribuye según una distribución Gamma deparámetros a y p, si es absolutamente continua, con función de densidad,

f (x) =ap

Γ(p)e−ax xp−1I(0,+∞)(x) x ∈ IR, a > 0, p > 0

Momentos de orden k .

E [X k ] =Γ(k + p)

ak Γ(p)k ∈ IN

Esperanza, momento de segundo orden y varianza.

E [X ] =pa

E [X 2] =p(p + 1)

a2 V [X ] =pa2

Función Generatriz de Momentos.

MX (t) =1(

1− ta

)p t < a

Notación X ∼ Ga(p, a)

Si X1, . . . ,Xn son variables aleatorias independientes, conXk ∼ Ga(pk , a), k = 1, . . . , n, entonces

∑nk=1 Xk ∼ Ga(

∑k pk , a)


Distribución Exponencial

Diremos que X tiene una distribución exponencial de parámetro λ > 0,cuando X ∼ Ga(λ, 1). Se tiene pues que es absolutamente continua, confunción de densidad,

f (x) = λe−λx I(0,+∞)(x) x ∈ R

Función de distribución,

F (x) =

∫ x

−∞λe−λt I(0,+∞)(t) dt =

(1− e−λx

)I(0,+∞)(x)

Momentos de orden k .

E [X k ] =k !

λk k ∈ IN

Esperanza, momento de segundo orden y varianza.

E [X ] =1λ

E [X 2] =2λ2 V [X ] =

1λ2

Función Generatriz de Momentos.

MX (t) =1(

1− tλ

) t < λ

Notación X ∼ Exp(λ).Teoría de la Probabilidad y Teoría de la Probabilidad I. Facultad de Matemáticas. Universidad de Sevilla.Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 21/27

Distribución Beta

La variable aleatoria X se distribuye según una distribución Beta deparámetros a y b, si es absolutamente continua, con función de densidad,

f (x) =1

B(a, b)xa−1(1− x)b−1 I(0,1)(x) x ∈ IR a, b > 0

B(a, b) representa la función beta, definida como,

B(a, b) =

∫ 1

0xa−1(1− x)b−1 dx a, b > 0

Relación con la función Gamma,

B(a, b) =Γ(a)Γ(b)

Γ(a + b)

Momentos ordinarios de orden k .

E [X k ] =B(a + k , b)

B(a, b)k ∈ IN

Esperanza, momento ordinario de segundo orden y varianza.

E [X ] =a

a + bE [X 2] =

a(a + 1)

(a + b)(a + b + 1)V [X ] =

ab(a + b)2(a + b + 1)

Notación X ∼ Be(a, b)Si a = b = 1 entonces X ∼ U(0, 1).


Distribución de Cauchy

Diremos que la variable aleatoria X se distribuye según una distribución deCauchy si es absolutamente continua, con función de densidad,

f (x) =1π

11 + x2 x ∈ IR

Función de Distribución,

F (x) =

∫ x

−∞f (t) dt =

1π

arctg(x) +12

x ∈ IR

No existen los momentos de orden mayor o igual que 1. En particular,no existe ni la esperanza ni la varianza.

NO existe la función generatriz de momentos en un entorno abierto det = 0

Notación X ∼ C(0, 1)


Distribución Normal N(0,1)

Diremos que la variable aleatoria Z se distribuye según una distribuciónnormal de parámetros 0 y 1, si es absolutamente continua, con función dedensidad,

f (z) =1√2π

e−12 z2

z ∈ IR

Observemos que f ≥ 0 y además, haciendo el cambio de variable z2 = 2t ,obtenemos,∫ +∞

−∞

1√2π

e−12 z2

dz = 2∫ +∞

0

1√2π

e−12 z2

dz =

√2√

2π

∫ +∞

0t

12−1e−tdt =

Γ( 12 )√π

= 1

La correpondiente función de distribución, FZ , se denota tradicionalmentepor Φ, es decir,

Φ(z) =

∫ z

−∞

1√2π

e−1

2t2

dt

E [X ] = 0, E [X 2] = 1, V [X ] = 1

MX (t) = et2/2

Notación Z ∼ N(0, 1)


Distribución Normal N (µ, σ2)

Sea Z ∼ N(0, 1) y µ, σ ∈ IR con σ > 0, y sea X = µ+ σZ .La función de distribución de X será pues, ∀x ∈ IR,

FX (x) = P[X ≤ x ] = P[Z ≤ x − µ

σ

]= Φ

(x − µσ

)=

∫ x−µσ

−∞

1√2π

e−1

2z2

dz

y mediante el cambio de variable t = zσ + µ, se obtiene,

FX (x) =

∫ x

−∞

1σ√

2πe−1

2

(t − µσ

)2

dt

La variable aleatoria X , absolutamente continua, tiene pues como función dedensidad,

f (x) =1

σ√

2πe−1

2

(x − µσ

)2

x ∈ IR

y diremos que sigue una distribución normal de parámetros µ y σ2.denotándose X ∼ N(µ, σ2) (también se suele denominar de parámetros µ yσ, denotándose X ∼ N(µ, σ)). Algunas de sus características son,

E [X ] = µ, E [X 2] = µ2 + σ2, V [X ] = σ2

MX (t) = etµ+σ2t2/2

Notación X ∼ N(µ, σ2)


Resultados

(1) [Reproductividad respecto a µ y σ2]. Si X1, . . . ,Xn son variables aleatoriasindependientes, con Xk ∼ N(µk , σ

2k ), k = 1, . . . , n, entonces,

n∑k=1

Xk ∼ N

(n∑

k=1

µk ,

n∑k=1

σ2k

)

(2) Si X1, . . . ,Xn son variables aleatorias independientes, conXk ∼ N(µk , σ

2k ), k = 1, . . . , n, y a0, a1, . . . , an ∈ IR tales que

∑nk=1 |ak | 6= 0,

entonces,

a0 +n∑

k=1

ak Xk ∼ N

(a0 +

n∑k=1

akµk ,

n∑k=1

a2kσ

2k

)(3) Dados µ, σ ∈ IR con σ > 0, se verifica,

Z ∼ N(0, 1)⇐⇒ (µ+ σ Z ) ∼ N(µ, σ2)

o, equivalentemente,

X ∼ N(µ, σ2)⇐⇒ X − µσ

∼ N(0, 1)


Definición

Dada una variable aleatoria X ∼ N(µ, σ2), la variable aleatoria,

Z = (X − µ)/σ ∼ N(0, 1)

se denomina tipificación de X o variable X tipificada.

OBSERVACIÓN: La tipificación permite hallar probabilidades para unavariable aleatoria cualquiera si se conocen las probabilidades para laN(0, 1). Por ejemplo, sea X ∼ N(6, 4), entonces, si queremos calcularP[X ≤ 10], tendremos,

P[X ≤ 10] = P[(X − 6)/√

4 ≤ 2] = P[Z ≤ 2] = Φ(2)

donde hemos denotado Z = (X − 6)/2, siendo Z ∼ N(0, 1) por el resultadoanterior. Así, para calcular probabilidades de una normal cualquiera bastatener tabulada la función Φ.

————— FIN —————


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