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Matemática .:. Estándares para la formacíon en Matemática de Profesores de Ensẽnanza Media

ESTANDARES PARA LA FORMACIONEN MATEMATICA DE PROFESORESDE ENSEÑANZA MEDIA

Introducci ón

El conjunto de estándares que se presentan en este documento apuntan a los fundamentos disciplinarios que la

formacíon de un Profesor de Enseñanza Media de Mateḿatica debeŕıa tener. El desarrollo de estos estándares

se enmarca en una tendencia mundial que se basa en la necesidad de medir la efectividad de las polı́ticas edu-

cacionales a todo nivel. En el caso de la formación de profesores, la idea básica es determinar cuáles son los

contenidos disciplinarios fundamentales que todo profesor debe saber y ser capaz de aplicar.

Estos t́opicos fundamentales podrı́an ser presentadas en un listado de contenidos, como tradicionalmente se

hace. Aśı se podŕıa decir que una institución cumple con los requerimientos cuando ‘pasan la materia’ que se

indica en el listado de contenidos. La definición de est́andares, como se hace en este documento, busca cambiar

la perspectiva. Ya no importa si se han impartido los contenidos indicados en los programas, si no lo que los

estudiantes saben y son capaces de hacer. Este cambio de punto de vista requiere especificar con mayor detalle

lo que se espera de los estudiantes durante y al término de su proceso de formación.

Las habilidades y conocimientos que un estudiante de Pedagogı́a en Mateḿatica debe tener se ordenan por ejes

temáticos y se desarrollan en 4 niveles. Para cada eje y cada nivel se especifica qué es lo que se espera de los

alumnos con una frase del tipo “el alumno es capaz de...” a lo cual generalmente le siguen uno o más problemas

tipo que aclaran y acotan el contenido de la frase.

Ciertamente la formación de un profesor requiere de elementos que van más alĺa de lo disciplinario y que se

enmarcan en la metodologı́a del aprendizaje, la didáctica y las ciencias pedagógicas en general. Estos aspectos,

si bien son de la mayor importancia, de ningún modo deben opacar lo disciplinario.

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En esta ĺınea quisíeramos llamar la atención sobre un aspecto que nos parece negativo, y que hemos observado en

la pŕactica de la formación de profesores. Se trata de la tendencia a pensar que aquellos contenidos que el profesor

no ensẽnaŕa en la sala de clases de Enseñanza Media son una especie de relleno, que no tiene gran importancia

frente a las materias escolares propiamente tales. Pensamos que este es un profundo error. Un profesor debe

saber Mateḿatica, debe conocer su disciplina con tal soltura que le permita sentirse seguro en lo que finalmente

va a ensẽnar.

En la preparación de estos estándares hemos tenido en cuenta los siguientes elementos, los que nos han permitido

seleccionar material y determinar la profundidad requerida para cada tópico seleccionado:

.:. La formacíon de un profesor debe darle soltura en el manejo de todas las materias que deberá ensẽnar enla sala de clases. Debe otorgar una preparación śolida que le permita al profesor, en el futuro, enfrentar los

cambios curriculares que con certeza se presentarán.

.:. Esta formacíon debe dar la perspectiva que le permita al profesor ubicarse en el contexto de la Matemática,adquiriendo una visión global de la disciplina.

.:. El Profesor de Mateḿatica debe tener un manejo del pensamiento matemático y de los fundamentos de laMateḿatica que le permitan entender cómoésta se construye.

.:. El Profesor debe tener una buena noción de los aspectos abstractos de la Matemática, los que muchas vecesest́an desarrollados como una necesidad de responder a preguntas fundamentales, sin tener necesariamente

una aplicacíon pŕactica inmediata.

.:. El Profesor de Mateḿatica debe tener muy claro el rol de la Matemática en la resolución de problemasde la vida diaria. Debe conocer la enorme utilidad práctica de la Mateḿatica y entender que este aspecto

estimula continuamente su desarrollo.

.:. En relacíon a los dos puntos anteriores, el Profesor de Matemática debe conocer aspectos históricos deldesarrollo de la Mateḿatica, especialmente para comprender qué problemas motivaron los desarrollos

mateḿaticos y el contexto en el cual se dieron.

.:. El Profesor de Mateḿatica tiene una clara noción de la importancia de la idea de algoritmo, la cual se haceimprescindible con el advenimiento de los computadores.

.:. El Profesor de Mateḿatica sabe que la disciplina está en constante creación y conoce desarrollos ma-temáticos recientes, como la teorı́a del caos y la geometrı́a fractal.

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Matemática .:. Estándares para la formacíon en Matemática de Profesores de Ensẽnanza Media

Ejes para los Est́andares de Mateḿaticas

Los est́andares que se presentan en este documento se han organizado en 7 ejes temáticos.

Los ejes cubren todos los temas que se proponen como fundamentales y los niveles permiten organizar el material

desde el punto de vista lógico y en general en un nivel creciente de complejidad. Si bien la estructura de los

est́andares podrı́a sugerir una secuencia de cursos, pensamos que hay posibilidades de interpretación que pueden

dar origen a mallas curriculares muy distintas, conénfasis diferentes y naturalmente con metodologı́as diversas.

Los ejes teḿaticos son:

Eje 1: Fundamentos y Algoritmos.

Eje 2: Estructuras Algebraicas.

Eje 3: Algebra Lineal.

Eje 4: Análisis.

Eje 5: Geometŕıa.

Eje 6: Probabilidades.

Eje 7: Estad́ıstica.

Los Estándares de Mateḿaticas en relacíon con el Currı́culo y los

Estándares para Ensẽnanza Media

Los est́andares para la formación de profesores de Matemática est́an en concordancia con los programas de

Ensẽnanza Media vigentes, en el sentido que un profesor formado de acuerdo aéstos posee todos los conoci-

mientos disciplinarios necesarios para su adecuado desempeño profesional. Aśı es como, teniendo en cuenta los

cambios curriculares recientes, se ha incluido materias como programación lineal, estad́ıstica y probabilidades

con bastante profundidad.

Aún teniendo en vista lo anterior, pensamos que una implementación curricular de estos estándares para la forma-

ción de profesores de Matemática, debe incluir un estudio y análisis completo de todo el programa de Enseñanza

Media. A trav́es de este estudio, el estudiante debe conectar muy fuertemente los amplios conocimientos que

posee con los contenidos de la Enseñanza Media y la forma de enseñarlos.

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Para la lectura de este documento de Estándares

Para la adecuada lectura y comprensión de los est́andares presentados en este documento es necesario tener en

cuenta algunos puntos que se precisan.

Los autores están conscientes que muchos temas tratados en estos estándares pueden estar ausentes de algunos

programas, o estando presentes, pueden ser tratados con una menor profundidad. También entienden que la

actual planificacíon curricular de algunos programas no permite, por cuestiones de tiempo, que sus alumnos

logren los est́andares aquı́ establecidos. Es necesario tener presente entonces, que el logro de los estándares no

est́a dirigido a los actuales estudiantes de pedagogı́a en Mateḿatica, si no a los futuros. Esta propuesta se concibe

como un primer paso para que gradual y sostenidamente se mejore la formación de profesores. Se entiende que

la adopcíon de estos estándares puede requerir cambios curriculares que lleven a la definición de nuevos cursos

y a la readecuación de los tiempos de dedicación a los distintos aspectos de la formación.

En una primera lectura se puede llegar a pensar que estos estándares no destacan adecuadamente los temas y

las habilidades correspondientes y que no ponenénfasis en los aspectos más importantes. Una segunda lectura

requiere que el lector comprenda que la profundidad y extensión que un determinado tema tiene, está expresada

en los enunciados y con mayor precisión en los indicadores de logros y ejemplos. De esta manera un tema que

tiene solamente un indicador es ciertamente menos importante que un tema al cual se han asociado dos o tres

indicadores.

Tambíen es posible que frente a un determinado tema, el lector se deja llevar por su propia percepción deéste

y no repare en la verdadera dimensión que se propone a través de los indicadores y ejemplos. A modo de ejem-

plo consideremos la llamada ‘Teorı́a de Grafos’, que es una hermosa teorı́a mateḿatica que combina aspectos

abstractos con ḿultiples aplicaciones. Una lectura cuidadosa de estos estándares deberı́a llevar a notar que no

se propone que el estudiante de pedagogı́a en Mateḿatica sea un conocedor de la Teorı́a de Grafos en gran

profundidad, si no quéeste conozca sólamente los aspectos más elementales de ella: se quiere que el estudiante

conozca lo que explı́citamente se indica y no ḿas que eso, que corresponde a los problemas emblemáticos y a

ciertos algoritmos b́asicos, entre los cuales elúnico que no es elemental es el algoritmo para Flujo en Redes.

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Matemática .:. Fundamentos y algoritmos

FUNDAMENTOS Y ALGORITMOS

Descripción General

Toda la estructura de la Matemática est́a basada y construida sobre los pilares de la Lógica y la Teoŕıa de

Conjuntos. Es mediante estos elementos que es posible describir afirmaciones en forma precisa y determinar la

veracidad déestas sin ambig̈uedad.

Un Profesor de Mateḿatica tiene soltura para manejar proposiciones lógicas y operaciones entre conjuntos.

Integra estos aspectos abstractos en la demostración concreta de propiedades, proposiciones y teoremas de dis-

tintos ámbitos de la Mateḿatica. Conoce los distintas esquemas lógicos de demostración, como por ejemplo,

demostracíon por contradiccíon y es capaz de dar contraejemplos.

Pero un nivel superior en la comprensión de la Mateḿatica requiere de un análisis del ḿetodo mateḿatico en śı.

El profesor conoce el ḿetodo axioḿatico, sus alcances y limitaciones. Conoce la construcción axioḿatica de los

números reales, de la geometrı́a y de la Teoŕıa de Conjuntos. Las paradojas clásicas de la Teorı́a de Conjuntos le

son familiares y conoce la manera de evitarlas.

El profesor conoce estructuras matemáticas discretas como son los grafos yárboles. Estas estructuras simples

proveen de un rico marco para el desarrollo de la capacidad de inventar demostraciones. Por otra parteéstas se re-

lacionan con numerosas aplicaciones a distintosámbitos, contestando ası́ de manera muy simple, pero completa,

a la pregunta ¿para qué sirve la Mateḿatica? Muchos de los modelos que aquı́ aparecen pueden ser traspasados

de manera directa al aula. También son muy apropiados para el desarrollo de trabajos de investigación.

Finalmente es necesario que el profesor conozca muy bien el concepto de algoritmo y su rol en la Matemática

moderna. En particular, debe ser capaz de inventar algoritmos para resolver problemas y analizar su complejidad

en situaciones simples.

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Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 1

Nivel 1

Enunciado.El estudiante opera con conectivos lógicos y establece el valor de verdad de una proposición. El

alumno comprende la relación entre las proposiciones lógicas y circuitos eléctricos simples. El estudiante se

familiariza con los cuantificadores, sus negaciones y adquiere habilidad para demostrar teoremas simples, usando

las t́ecnicas b́asicas de demostración.

En este nivel el alumno también conoce la definición de relacíon, de funcíon y demuestra propiedades de ellas.

Describe relaciones entre conjuntos finitos a través de matrices de incidencia. Identifica funciones inyectivas,

epiyectivas y biyectivas.

El estudiante conoce el principio de Inducción Mateḿatica y aprecia su rol en la demostración de propiedades

que involucran ńumeros naturales. Comprende la definición de sucesiones por recurrencia.

Indicadores de logro.Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:

1. Determina el valor de verdad de una proposicíon y es capaz de manipular algebraicamente expre-

siones que involucran los conectivos lógicos, simplificando y obteniendo tautoloǵıas.

Problema1. [36] Suponiendo quep y r son falsas yq y s son verdaderas determine el valor de verdad de

s⇒ (p∧ ∼ r) ∧ ((p⇒ (r ∨ q)) ∧ s).

Problema2. [36] Determine siP ≡ Q cuandoP ≡ (p⇒ q) ∧ (q ⇒ r) y Q ≡ p⇒ r.

2. Diseña y analiza circuitos lógicos simples.

Problema 1. Un comit́e formado por cuatro miembros requiere de mayorı́a para aprobar una moción,

siempre que tenga el voto del presidente (poder de veto). Diseñe un circuito para indicar cuándo una

moción es aprobada.

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Problema2. Demuestre que los circuitos de la figura son equivalentes.

3. Comprende el significado de los cuantificadores lógicos determinando el valor de verdad de propo-

siciones que los contengan. Realiza operaciones de negación con ellos.

Problema1. a) Determine el valor de verdad de la siguiente expresión, donde las variables son números

reales:∀y ∃x tal quex2 + y2 ≥ 9.

b) Obtenga la negación de la proposición ena).

Problema2. (*)1 La definicíon de ĺımite de una funcíon real de variable real en un punto es:

f tiene ĺımite l ena si ∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que∀x ∈ R, si 0 0” por una condicíon más d́ebil: “∀ε ∈ (0, 1)”?¿Por qúe?

c) Para la funcíon f : R → R definida porf(x) = x2, el siguiente argumento demuestra que el lı́mitedef en0 es0: Dado0 < ε < 1 se consideraδ = ε y se tiene que|x| < δ = ε⇒ x2 < ε2 < ε.Si se toma ahorax ∈ R con |x| ≥ δ = ε ¿se tiene|f(x)| ≥ ε? ¿Existe alguna elección deδ enfunción deε tal que si|x| ≥ δ ⇒ |f(x)| ≥ ε?

d) Para una función f cualquiera, sil es el ĺımite def ena ¿Es posible elegir unδ en funcíon deε tal

que|x− a| ≥ δ ⇒ |f(x)− l| ≥ ε?

4. Demuestra teoremas simples usando un argumento por contradicción.

Problema 1. Considere la siguiente proposición: Para todo par de números realesx e y se tiene que

x+ y ≥ 2 implica quex ≥ 1 o y ≥ 1, que se puede escribir como:∀x, y ∈ R P .

a) Escriba la proposiciónP usando conectivos lógicos.

b) Escriba la rećıproca y la contrarrecı́proca deP .

1En los siguientes tres indicadores, los problemas que se marcan con (*) son ejemplos del indicador correspondiente, pero el contenidoest́a presente en otro Eje o Nivel. Los hemos dejado en este lugar para enfatizar la necesidad que el alumno domine el aspecto lógico deéstos.

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c) Muestre que la recı́proca deP es falsa.

d) Muestre que la contrarrecı́proca deP es verdadera.

e) ¿Qúe puede concluir acerca del valor de verdad deP?

Problema2. [33] Demuestre por contradicción la siguiente proposición: Los123 residentes de un edificiotienen edades que suman3813 años. Entonces existen100 de ellos, cuyas edades suman al menos3100.

Problema3. (*) Demuestre, por contradicción, que la cantidad de números primos es infinita (Euclides).

Problema4. (*) Demuestre, por contradicción, que√

2 no puede ser un número racional.

5. Utiliza contraejemplos para probar la falsedad de una afirmacíon.

Problema 1. Demuestre que la siguiente afirmación no es cierta: Si dos esferas se intersectan en más de

un punto, la intersección es una circunferencia.

Problema2. (*) Demuestre que la siguiente afirmación es falsa: Para toda sucesión{Xn} que converge acero enR, la sucesíon de sumas parcialesSn = X1 +X2 + ...+Xn es convergente.

6. Demuestra equivalencias ĺogicas.

Problema1. (*) Demuestre que una función linealf es inyectiva si y śolo siKer(f) = {0}.

Problema2. (*) Fijados los puntosF1 = (−c, 0) y F2 = (c, 0) conc > 0 y constantesA > 2c, a = A2 sedefinen los conjuntos:

E1 = {(x, y) ∈ R2/ d((x, y), F1) + d((x, y), F2) = A},

E2 ={

(x, y) ∈ R2/ x2

a2+

y2

a2 − c2= 1},

E3 = {(x, y) ∈ R2/√

(x+ c)2 + y2 +√

(x− c)2 + y2 = 2a}.

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Demuestre queE1 = E2 = E3. En la definicíon deE1 d(P,Q) representa la distancia entre los puntosPy Q.

Problema3. (*) Dados vectoresp, q ∈ R3, compruebe la equivalencia de los siguientes enunciados:

a) p y q son linealmente independientes.

b)

∣∣∣∣∣ p · p p · qq · p q · q∣∣∣∣∣ 6= 0.

c) La matriz

(p

q

), cuyas filas sonp y q, tiene rango mayor o igual a dos.

Problema4. (*) SeaV un espacio vectorial sobre un cuerpoK y seaL ⊂ V no vaćıo. Demuestre que lassiguientes condiciones son equivalentes:

a) L es subespacio vectorial de V (espacio vectorial con las leyes de composición internas y externas

de V).

b) Para todou, v ∈ L,α, β ∈ K ⇒ α · u+ β · v ∈ L.

c) Para todou, v ∈ L⇒ u+ v ∈ L y para todou ∈ L, α ∈ K ⇒ α · u ∈ L.

7. Determina el valor de verdad de proposiciones que involucran conjuntos y demuestra propiedades.

Problema 1. [36] En cada una de las siguientes afirmaciones demuestre si es verdadera u obtenga un

contraejemplo si es falsa:

a) (X \ Y ) ∩ (Y \X) = ∅ para todo conjuntoX eY .

b) X ∩ (Y × Z) = (X ∩ Y )× (X ∩ Z) para todo conjuntoX, Y y Z.

Problema2. [36] Demuestre que siX1, ..., Xn y X son conjuntos entonces

X ∩n⋃

i=1

Xi =n⋃

i=1

(X ∩Xi).

8. Conoce ejemplos de relaciones de orden y de equivalencia. En casos concretos determina si una

relación es de orden o de equivalencia.

Problema 1. [12] Determine si las siguientes relaciones son de equivalencia o de orden. Demuestre sus

afirmaciones:

a) A ∼ B si y śolo siA ⊂ B.

b) A ∼ B si y śolo si existe una biyección entreA y B.

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9. Encuentra las clases de una relación de equivalencia.

Problema1. [36] SeanR1 y R2 relaciones de equivalencia enX.

a) Muestre queR1 ∩R2 es una relación de equivalencia enX.

b) Describa las clases de equivalencia deR1 ∩R2 en t́erminos de las clases de equivalencia deR1 y deR2.

Problema 2. [36] Seaf : X → Y una funcíon epiyectiva yS = {f−1({y}) / y ∈ Y }. Muestre queS esuna particíon deX. Defina una relación de equivalencia que tenga aS como su conjunto cuociente.

10. Representa relaciones entre conjuntos finitos usando matrices.

Problema1. Considere una relación en el conjunto{w, x, y, z} cuya matriz asociada es

w x y z

w 1 0 1 0x 0 0 0 0y 1 0 1 0z 0 0 0 1

Determine si esta relación es siḿetrica, refleja y/o transitiva.

Problema 2. Dada la matriz asociada a una relación de equivalencia ¿Ćomo puede determinar fácilmente

la clase de equivalencia de un elementox?

11. Demuestra propiedades de conjuntos y funciones.

Problema 1. Seaf : X → Y . Demuestre quef es inyectiva si y śolo si f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) paratodoA,B ⊂ X.

Problema2. Seaf : X → Y una funcíon.

a) Si f no es sobreyectiva, se puede modificar el conjunto de llegadaY para definir una nueva función

que śı es sobreyectiva. Indique cómo hacerlo.

b) Si f no es inyectiva, se puede modificar el conjunto de partida para definir una nueva función que

śı es inyectiva. Indique ćomo hacerlo.

12. Estudia funciones en situaciones especı́ficas.

Problema 1. Considere la relación en[−1, 1] × [−1, 1] dada porC = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y2 = 1}. ¿Esposible encontrarF ⊂ C de modo que

a) F sea una función par?

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b) F sea una función inyectiva en[−1, 1]× [−1, 1]?c) F sea una función sobreyectiva en[−1, 1]× [−1, 1]?

13. Aplica el Principio de Inducción Matemática para demostrar propiedades que involucran ńumeros

naturales.

Problema1. [57] Un grupo de personas hacen cola a la entrada de un cine. La primera persona en la cola

es una mujer y láultima es un hombre. Demuestre que en algún lugar de la cola hay un hombre junto a

una mujer.

Problema2. Demuestre que para todon ∈ N, (1 +√

2)n + (1−√

2)n es un ńumero natural.

Problema3. [36] Teniendo en cuenta la serie telescópica intuya una f́ormula para

4(

12 · 3

)+ 8

(2

3 · 4

)+ · · ·+ 2n+1

(n

(n+ 1) · (n+ 2)

)y demúestrela.

Problema 4. [33] Considere un ‘tablero de ajedrez’ con2n × 2n cuadrados en el cual se ha sacado uncuadrado. Demuestre que este tablero puede ser cubierto de manera exacta por triminoes de la forma

14. Aplica el Principio de Inducción Fuerte.

Problema1. Los ńumeros de Fibonacci satisfacen la relación de recurrencia

Fn+1 = Fn−1 + Fn, con F1 = F0 = 1.

a) Demuestre que para todon ∈ N se tiene

n∑i=0

Fi = Fn+2 − 1.

b) Demuestre que para todon ∈ N se tiene

n∑j=0

(n− jj

)= Fn.

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15. Aplica el Teorema del Binomio de Newton.

Problema1. Evalúe la siguiente expresión

n∑k=0

(−1)k(n

k

).

Problema2. Demuestre que

n(1 + x)n−1 =n∑

k=1

(n

k

)kxk−1.

16. Realiza una investigacíon histórica sobre el origen de la Teoŕıa de Conjuntos.

Problema 1. La Teoŕıa de Conjuntos provee a la Matemática de un lenguaje que hoy nos parece muy

natural. Esta teorı́a es reciente, si consideramos toda la historia de la Matemática. Averig̈ue cúando aparece

esta teoŕıa por primera vez, quién fúe su inventor y qúe problemas estaba estudiando cuándo la créo.

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Nivel 2

Enunciado.El alumno es capaz de resolver ecuaciones en diferencias sencillas. Usa ecuaciones en diferencias

para modelar ciertas situaciones de la vida real, como la dinámica de una población. Analiza el comportamiento

de largo plazo de un sistema dinámico discreto unidimensional y conoce el sistema logı́stico y su relacíon con la

Teoŕıa del Caos.

El estudiante entiende el concepto de algoritmo y lo aplica para resolver problemas sencillos. Analiza un algo-

ritmo en t́erminos del ńumero de operaciones que este requiere.

El alumno conoce la estructura de grafos y se familiariza con dos problemas paradigmáticos de la Teorı́a de

Grafos como el de los puentes de Königsberg y el coloreado de mapas. El alumno modela problemas de la

realidad usando grafos yárboles. Conoce y aplica algoritmos para resolver dichos problemas.


1. Es capaz de plantear modelos con ecuaciones en diferencias y de resolverlos en situaciones simples.

Problema1. Resuelva la ecuación

un = 2un−1 + un−2, con u1 = 1 y u2 = 2.

Problema 2. Una persona ahorra mensualmente $50.000 y los deposita en un banco a una tasa de interés

del 1, 2 % compuesto mensualmente. SiAn representa la cantidad al final den meses, encuentre unarelacíon de recurrencia y condición inicial para determinar la sucesión{An}.

¿Cúanto tiempo deberá ahorrar para comprar un auto que vale $2.250.000?

Problema3. La poblacíon de una especie de ciervo que vive en Estados Unidos se comporta de modo que

el crecimiento desde el añon− 1 al ãnon es dos veces el crecimiento desde el añon− 2 al ãnon− 1.

Escriba una relación de recurrencia que describa el comportamiento de la población de ciervos. Si en el

año1990 la poblacíon era de200 ciervos y en1991 la poblacíon era de220 ciervos, ¿ćual seŕa la poblacíonel ãno2011?

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2. Analiza el comportamiento de largo plazo de un sistema discreto unidimensional.

Problema1. Considere los siguientes tres modelos que describen el comportamiento de una población:

Modelo de Malthus:xk+1 = xk + d xk.

Modelo de Velhurst:xk+1 = xk + d xk(1− xk).

Modelo loǵıstico de May:xk+1 = c xk(1− xk).

Discuta el significado de los diferentes términos de los modelos. En particular interprete los parámetrosc

y d.

Problema 2. En el caso del modelo logı́stico y para los valores dec = 1, 5; c = 2, 5 y c = 3, 5 encuentrelos puntos de equilibrio del sistema y analice su estabilidad. Haga el gráfico de iteraciones en cada caso.

Problema 3. Para el modelo loǵıstico considerec > 1. Encuentre los puntos de perı́odo dos y determinesu estabilidad (analice en términos de los distintos valores del parámetroc).

3. Conoce los elementos de un sistema caótico en relacíon al sistema loǵıstico.

Problema1. Explique, en el contexto del modelo logı́stico, el significado de:

a) Sensibilidad en los datos iniciales.

b) Densidad de orbitas periódicas.

4. Diseña algoritmos para resolver problemas.

Problema1. a) Disẽne un algoritmo para determinar si un número natural dado es primo.

b) Disẽne un algoritmo para determinar un primo mayor que un natural dado.

Problema 2. Disẽne un algoritmo que tome como entrada una lista den palabras y entregue como resul-

tado:

a) La lista en orden inverso.

b) La lista ordenada alfabéticamente.

Problema3. Disẽne un algoritmo para multiplicar dos enteros.

Problema4. Disẽne un algoritmo que a partir de la matriz de incidencia de un grafo determine si el grafo

es conexo.

5. Diseña y analiza algoritmos recursivos.

Problema1. Describa el problema de las torres de Hanoi y un algoritmo recursivo para resolverlo. Deter-

mine el ńumero de operaciones necesarias.

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Problema2. Construya un algoritmo recursivo para evaluar un polinomio de gradon

p(t) =n∑

i=0

citi,

ent = t0. Seabn el número de multiplicaciones requerido para calcularp(t0). Encuentre una relación derecurrencia para determinarbn y resúelvala.

Construya un segundo algoritmo que evalúe directamente el polinomiop en t0 multiplicandot0 i veces

para calcularti0. Determine el ńumero de multiplicaciones para calcularp(t0). ¿Cúal algoritmo es ḿasconveniente?

Problema 3. Construya un algoritmo recursivo para encontrar un cierto valor en una lista ordenada. Los

datos del problema son: una listas1, s2, . . . , sn ordenada y un valor ‘clave’. La salida del algoritmo es:

el sub́ındice de ‘clave’, si ‘clave’ está en la lista,

N si ‘clave’ no est́a en la lista.

Determine el ńumero de veces que su algoritmo es requerido para resolver el problema en el peor de los

casos.

6. Conoce problemas paradigḿaticos de la Teoŕıa de Grafos.

Problema1. a) Describa el problema de los Puentes de Königsberg.

b) Indique cúal es la solucíon dada por Euler al problema de los Puentes de Königsberg.

c) Verifique si el grafo de la figura tiene un ciclo Euleriano.

Problema2. a) Explique la relacíon entre el Problema de los Cuatro Colores y la Teorı́a de Grafos.

b) Cada semestre la Facultad dedica dos semanas a los exámenes de los alumnos. Estos exámenes tienen

una duracíon de dos horas y su programación debe ser tal que un alumno no tenga dos exámenes a la

misma hora. Modele este problema como uno de colorear un grafo. ¿Es deseable que el número de

colores sea ḿınimo?

45

7. Encuentra ciclos Hamiltoniano y conoce el Problema del Vendedor Viajero.

Problema1. a) Encuentre un ciclo Hamiltoniano en el grafo de la figura

b) Demuestre que el grafo cuya matriz de incidencia es

0 1 0 0 1 0 0 1 01 0 1 1 1 1 1 1 10 1 0 0 1 1 0 1 10 1 0 0 1 0 0 1 01 1 1 1 0 1 1 1 10 1 1 0 1 0 0 1 10 1 0 0 1 0 0 1 01 1 1 1 1 1 1 0 10 1 1 0 1 1 0 1 0

no tiene ciclo Hamiltoniano.

c) Describa el Problema del Vendedor Viajero.

8. Conoce y aplica la f́ormula de Euler para grafos planares.

Problema1. a) Los grafosK3,3 y K5 no son planares. Use la fórmula de Euler para demostrarlo.

b) ¿Cúal es la importancia de estos dos grafos en el estudio de grafos planares?

c) Dé una interpretación tomada de la ‘vida real’ paraK3,3 y K5.

9. Conoce el problema deĺarbol de peso ḿaximo en un grafo. Conoce y aplica el algoritmo de Kruskal

para encontrar un árbol de peso ḿaximo en un grafo. Modela problemas usandóarboles de peso

máximo.

Problema 1. Una empresa forestal iniciará la explotacíon de 8 plantaciones de pinos. Estas plantaciones

est́an distribuidas geográficamente de acuerdo a la tabla adjunta de distancias relativas.

46


1 2 3 4 5 6

1 / 2,6 4,2 1,8 1,4 3,6

2 2,6 / 1,8 3,6 2,4 5,2

3 4,2 1,8 / 5,2 3,4 5,0

4 1,8 3,6 5,2 / 1,4 3,2

5 1,4 2,4 3,4 1,4 / 1,8

6 3,6 5,2 5,0 3,2 1,8 /

7 4,0 4,6 3,8 3,0 2,1 1,2

8 3,0 2,2 2,0 1,8 1,6 2,0

Para la explotación de estos recursos es necesario construir caminos que permitan conectar completamente

todas las plantaciones. El costo de construcción de estos caminos es proporcional a su longitud. Determine

la manera ḿas barata de construir los caminos requeridos.

10. Conoce y aplica el algoritmo de Dijstra para encontrar el camino ḿas corto entre dos nodos de un

grafo.

Problema 1. [63] El siguiente grafo muestra el camino aléxito (desde la cuna (C) al Ministerio de Edu-

cacíon (M)). En cada arista se indica el número de ãnos que toma recorrerlo y el número de enemigos que

se gana.

a) Determine el camino ḿas ŕapido aléxito.

b) Determine el camino ḿas ŕapido aléxito evitando los nodosc, g y k.

c) Determine el camino aĺexito que minimiza el ńumero de enemigos que gana.

11. Investiga sobre la relacíon entre el conjunto de Cantor y el sistema loǵıstico.

Problema1. Averigüe qúe relacíon tiene el conjunto de Cantor con el comportamiento caótico del sistema

loǵıstico para valores grandes del parámetroc.

47

Problema2. Averigüe en qúe consiste el Shift de Bernoulli. Comprenda cómo se codifica la dińamica del

sistema loǵıstico sobre el conjunto de Cantor (parac grande) para relacionarla con el Shift de Bernoulli.

12. Averigua sobre el estado actual del Problema de los Cuatro Colores.

Problema 1. Investigue el estado actual del Problema de los Cuatro Colores. En particular discuta el

significado de una demostración por computador y la polémica que se crea en torno aésta.

13. Realiza una investigacíon bibliogr áfica sobre el concepto de complejidad de algoritmos.

Problema 1. El concepto de complejidad de algoritmos aparece en el estudio de los lı́mites de la compu-

tación. En este trabajo se pide realizar una investigación para definir y describir los principales conceptos

relacionados con la complejidad. En particular, determinar el significado de problemas polinomiales, NP

y NP completos.

48


Nivel 3

Enunciado.Comprende el concepto de cardinalidad de un conjunto y entiende el significado de conjunto enume-

rable. El alumno es capaz de determinar la cardinalidad de un conjunto, usando las propiedades básicas. Entiende

el rol hist́orico que el concepto de infinito ha jugado en el desarrollo de la Matemática.

El alumno utiliza los axiomas de cuerpo y de orden para construir los números reales. Usa el axioma del supre-

mo para demostrar la existencia de números irracionales, como√

2 y para introducir la noción de completitudde los ńumeros reales de manera rigurosa. El alumno comprende las nociones topológicas elementales de con-

junto abierto, cerrado, de puntos de acumulación. En particular el alumno demuestra el Teorema de Bolzano-

Weierstrass. Comprende la noción de conjunto compacto y reconoce el conjunto de Cantor como uno de ellos.


1. Es capaz de demostrar que un conjunto es enumerable.

Problema1. Demuestre que el conjuntoL = {(x, y) ∈ R2 / x, y ∈ Z} es enumerable.

Problema2. Se dice que un ńumero es algebraico si es solución de una ecuación polinomial de la forma

n∑i=0

aixi = 0,

donden ∈ N y ai ∈ Q. Demuestre que el conjunto de todos los números algebraicos es enumerable.

2. Determina la cardinalidad de conjuntos de cardinalidadℵo y c.

Problema1. Indique qúe cardinalidad tienen los siguientes conjuntos:

a) [0, 1]× [0, 1].

b) El conjunto de ńumeros trascendentales.

c) El conjunto de los ńumeros algebraicos que además son irracionales.

49

Problema2. Seaf : R → R. ¿Cúal es la cardinalidad del gráfico def , es decir del conjunto de puntos dela forma{(x, f(x)) ∈ R2 / x ∈ R}?

Problema3. ¿Cúal es la cardinalidad de la esfera enRN? Demuestre su afirmación.

Problema4. Indique la cardinalidad del conjunto de las partes deN y del conjunto de las partes finitas deN. Demuestre sus respuestas.

Problema5. a) Defina, a trav́es de f́ormulas expĺıcitas, tres funcionesf : N → N tales quef(1) = 1,f(2) = 2 y f(3) = 3.

b) ¿Cúantas sucesiones{xn} de ńumeros naturales tales quex1 = 1, x2 = 2 y x3 = 3 existen?

3. Usa los axiomas de Cuerpo y de Orden para deducir propiedades de los números reales.

Problema 1. En la formulacíon axioḿatica de los ńumeros reales el conjuntoR, al igual que la suma y lamultiplicación, es un t́ermino t́ecnico no definido.

a) ¿Ćomo se asegura queR es no vaćıo?

b) ¿Ćomo se asegura que los números naturales están contenidos enR?

c) ¿Ćomo se asegura que los números racionales están contenidos enR?

Problema2. Usando solamente los axiomas de cuerpo demuestre que:

a) ∀a ∈ R a · 0 = 0.

b) ∀a, b ∈ R a · b = (−a) · (−b).

c) Si a ∈ R satisfacea · a = a entoncesa = 0 o a = 1.

Problema3. Usando solamente los axiomas de cuerpo y de orden demuestre que:

a) Si a ∈ R, a 6= 0 entoncesa2 > 0.

b) 1 > 0.

4. Demuestra propiedades del supremo éınfimo de un conjunto de ńumeros reales.

Problema1. Demuestre que siA yB son subconjuntos acotados deR entoncesA∪B es tambíen acotadoy quesup(A ∪B) = sup{supA, supB}.

5. Usa el Axioma del Supremo para deducir propiedades de los números.

Problema1. Demuestre la Propiedad Arquimediana a partir del axioma del supremo.

Problema2. Usando el Axioma del Supremo demuestre que existe un número realx tal quex3 = 2.

Problema3. Demuestre que los siguientes conjuntos son densos enR:

50


a) Los ńumeros racionales.

b) Los ńumeros irracionales.

c) Los ńumeros algebraicos.

d) Los ńumeros trascendentales.

6. Demuestra propiedades que involucran conceptos de topologı́a en R: conjunto abierto, conjuntocerrado, interior de un conjunto, adherencia de un conjunto, frontera de un conjunto.

Problema1. a) Demuestre que una condición necesaria y suficiente para que un conjunto sea cerrado

es que contenga a todos sus puntos frontera.

b) Use lo anterior para dar una caracterización de conjunto abierto en términos de sus puntos frontera.

Problema2. Si int(A) denota el interior del conjuntoA ⊂ R. Demuestre que

a) int(int(A)) = int(A).

b) int(A ∩B) = int(A) ∩ int(B)

c) int(A) ∪ int(B) ⊂ int(A ∪ B) y mediante un ejemplo demuestre que la inclusión contraria no esválida.

7. Caracteriza nociones topoĺogicas usando sucesiones.

Problema1. SeaF un conjunto de ńumeros reales. Demuestre que las siguientes proposiciones son equi-

valentes:

a) F es un subconjunto cerrado deR.

b) Si {xn} es cualquier sucesión convergente de números reales, cuyos elementos pertenecen aF ,entoncesĺımxn ∈ F .

Problema 2. SeaA un subconjunto deR. Demuestre quex es un punto frontera deA si y śolo si existensucesiones de números reales{xn} ⊂ A e{yn} ⊂ Ac tales queĺımxn = ĺım yn = x.

8. Conoce y aplica el Teorema de Bolzano-Weierstrass.

Problema1. Sea{xn} una sucesión acotada de ńumeros reales. Suponga que existex ∈ R con la siguien-te propiedad: Toda subsucesión de{xn} tiene una subsucesión que converge ax. Demuestre que{xn}converge ax.

Problema 2. Considere una sucesión de intervalos realesIn con la propiedadIn ⊂ In−1 para todon. Sedice que estos intervalos están encajonados.

a) Muestre que existen intervalos cerrados encajonadosIn tales que∩∞n=1In = ∅.

51

b) Muestre que existen intervalos acotados encajonadosIn tales que∩∞n=1In = ∅.

c) Usando el Teorema de Bolzano-Weierstrass demuestre que si los intervalos encajonadosIn son ce-

rrados y acotados entonces∩∞n=1In 6= ∅.

9. Realiza una investigacíon sobre las discusiones en cuanto al significado del infinito en la Matemática

y las contribuciones de Cantor a su comprensión.

Problema 1. Investigue sobre el significado y las discusiones sobre la naturaleza del infinito durante la

última parte del siglo XIX y las fuertes crı́ticas que recibío el trabajo de Cantor. ¿Cuáles fueron los princi-

pales elementos de esta crı́tica?

10. Investiga sobre la Hiṕotesis del Continuo.

Problema 1. Realice una investigación sobre la Hiṕotesis del Continuo ¿Cuál es su importancia en el

desarrollo de la Mateḿatica? Describa el trabajo de Gödel y de Cohen en relación a la hiṕotesis del

continuo.

52


Nivel 4

Enunciado.El alumno formaliza el Ḿetodo Axioḿatico como ḿetodo para construir la Matemática. Recono-

ce el Método Axioḿatico en geometrı́a. Conoce los elementos básicos de la Teorı́a de Conjuntos siguiendo la

axiomática de Zermelo, en particular conoce el significado del Axioma de Elección y algunas de sus consecuen-

cias vistosas como que ‘todo espacio vectorial posee una base’. El alumno conoce la paradoja de Russell.

El alumno comprende la construcción del conjunto de los ńumeros naturales a partir de la Teorı́a de Conjuntos. Y

a partir de aqúı la construccíon de los ńumeros reales usando las Cortaduras de Dedekind, como una alternativa

a la construccíon axioḿatica basada en el Axioma del Supremo.

El alumno critica el ḿetodo axioḿatico y conoce el enfoque del método constructivista como una alternativa

para la fundamentación y construccíon de la Mateḿatica.


1. Conoce los postulados de Euclides para la geometrı́a. Entiende la importancia del 5◦ Postulado,tanto desde el punto de vista de la geometrı́a como de la Mateḿatica, y conoce formas equivalentes

de formularlo.

Problema1. a) En su af́an por demostrar el5◦ postulado de Euclides en términos de los otros cuatro,numerosos mateḿaticos encontraron formulaciones equivalentes. Indique al menos dos de ellas.

b) ¿Porqúe era importante saber si el5◦ postulado era consecuencia de los otros postulados? ¿Qué con-secuencia tuvo finalmente este esfuerzo para la humanidad?

c) Investigue sobre los primeros matemáticos que concibieron geometrı́as no-euclideanas.

2. Conoce una Teoŕıa Axiomática para las geometŕıas euclideana plana, hiperb́olica y esf́erica.

Problema 1. [8] Realice una investigación bibliogŕafica sobre la formulación axioḿatica de la geometrı́a

euclideana plana en el contexto de espacios métricos completos. Haga lo mismo para la geometrı́a hi-

perb́olica y la esf́erica. ¿Cúales axiomas son comunes? ¿Cuáles axiomas distinguen las tres geometrı́as?

53

3. Comprende los elementos b́asicos de una teoŕıa axiomática. Entiende la necesidad de una Teorı́a

Axiomática de Conjuntos.

Problema1. [8] Desde el punto de vista de la teorı́a axioḿatica moderna ¿Cuál es la cŕıtica que se le hace

a los Postulados de Euclides? ¿Constituyen un ejemplo de sistema axiomático?

Problema 2. [8] Explique los conceptos de: sistema axiomático consistente, axioma independiente y sis-

tema axioḿatico completo. D́e ejemplos.

4. Comprende la Paradoja de Russell y la forma de evitarla.

Problema1. a) Muy conocida es la historia del barbero: “En Sevilla hay un barbero que afeita a todos

los hombres del pueblo que no se afeitan a sı́ mismos”. ¿Quíen afeita al barbero?

b) Relacione esta paradoja con la paradoja de Russell: Se dice que el conjuntoX es ordinario siX 6∈ X.SeaA el conjunto de todos los conjuntos ordinarios. ¿EsA ordinario?

c) Explique ćomo se resuelve esta paradoja.

5. Conoce los axiomas de la Teorı́a de Conjuntos.

Problema1. [67] En la teoŕıa axioḿatica de conjuntos:

a) ¿Qúe axioma garantiza que existe al menos un conjunto?

b) ¿Qúe axioma garantiza que existe un conjunto infinito?

c) ¿Qúe axioma garantiza que existen conjuntos no enumerables?

6. Comprende la construccíon de los naturales a partir de los axiomas de la Teorı́a de Conjuntos.

Conoce los Axiomas de Peano.

Problema1. [67] Demuestre las siguientes propiedades de los números naturales:

a) Todo ńumero natural es un conjunto ordinario.

b) N no es un ńumero natural.

c) N es un conjunto ordinario.

d) Si n y m son ńumeros naturales entoncesn 6∈ m om 6∈ n.

(El Axioma de Infinito dice “Existe un conjunto, denotado porN, que tiene a todos los números naturalescomo sus elementos”).

54


7. Conoce el Lema de Zorn y sabe que es equivalente al axioma de Elección. Demuestra teoremas como

consecuencias del Lema de Zorn.

Problema 1. SeaX subespacio vectorial del espacio vectorialV . Demuestre que existe un subespacio

complementario deX.

Problema 2. Demuestre que en un anillo conmutativo con unidad, todo ideal está contenido en un ideal

maximal.

8. Comprende las cortaduras de Dedekind y demuestra propiedades de los números reales definidos

de esta manera.

Problema1. [67] Sea(L,U) un ńumero real (es decir una cortadura de Dedekind). Demuestre que:

a) Si α ∈ L y β ∈ U , entoncesα < β.

b) Si α1 ∈ L y α2 < α1, entoncesα2 ∈ L.

c) Si β1 ∈ U y β1 < β2, entoncesβ2 ∈ U .

d) Si α1 ∈ L, entonces existe algúnα2 ∈ L tal queα1 < α2.

Problema2. [67] Demuestre la propiedad Arquimediana:

Para todo par de números reales positivos(L1, U1), (L2, U2) tales que(L1, U1) < (L2, U2) existe unnaturalN tal que

N(L1, U1) > (L2, U2).

Aqúı N en śı mismo es considerado una cortadura de Dedekind, con la inclusión cańonica.

Problema3. Usando cortaduras de Dedekind demuestre que existe un número realx tal quex3 = 2.

Problema 4. En la construccíon de Dedekind ¿qué axiomas de la Teorı́a de Conjuntos se requieren para

garantizar la existencia de los números reales?

9. Averigua sobre las contribuciones de David Hilbert a la Mateḿatica y sus fundamentos.

Problema1. a) Averigüe sobre las investigaciones de Hilbert en geometrı́a. ¿Qúe importancia tienen

en el desarrollo de los fundamentos de la Matemática?

b) ¿Ćomo se distingue el enfoque de Hilbert con el enfoque constructivista?

Problema2. Averigüe sobre la presentación de Hilbert en Paris el año1900. ¿Existe algo parecido para elaño2000?

55

10. Realiza una investigacíon bibliogr áfica sobre las contribuciones de Russell a la comprensión de la

Teorı́a de Conjuntos y la Lógica.

Problema1. Investigue sobre la vida y contribuciones matemáticas de Bertrand Russell.

Problema2. Investigue sobre la relación entre el trabajo de Bertrand Russell y el de Kurt Gödel.

11. Conoce el Ḿetodo Constructivista.

Problema1. Investigue sobre el ḿetodo constructivista en la Matemática.

a) ¿Cúales son los fundamentos de este método?

b) ¿Cúales son las principales crı́ticas que los constructivistas hacen al método axioḿatico?

c) ¿Porqúe, a la larga, el ḿetodo axioḿatico se ha impuesto frente al método constructivista?

d) Investigue sobre los aportes de Luitzen Brouwer al método constructivista.

56

Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Bibliograf́ıa

Nota bibliogr áfica para el Eje de Fundamentos y Algoritmos

En los temas de matemática finita el libro de Richard Johnsonbaugh [36] es bastante bueno y adecuado para los

niveles inferiores. En esta lı́nea tambíen podemos citar el libro de Kolman [38].

Para el Nivel 4 mencionamos el libro de Leonard Blumenthal [8], donde podemos encontrar una visión de la

axiomática en un lenguaje accesible y de la geometrı́a desde el punto de vista de los axiomas. En cuanto a la

teoŕıa axioḿatica de conjuntos mencionamos el libro de Paul Halmos [28], donde hay una exposición intuitiva

de la axioḿatica. Esta exposición no es en modo alguno simple, pero se acerca a lo que se requiere en estos

est́andares. Un libro con un rigor mucho mayor pero que, con una adecuada selección de temas, permite una

lectura al nivel de estos estándares, es el libro de Martin Zuckerman [67]. Este libro tiene además numerosos

ejercicios, muchos de ellos de dificultad baja.

Sobre aspectos históricos de la Mateḿatica resalta el libro de Howard Eves [21], donde se presenta la Matemática

desde sus orı́genes hasta la actualidad. Este libro posee incluso algunos ejercicio matemáticos para el lector.

El libro de Richard Courant y Herbert Robbins [13] representa una fuente muy interesante de ideas matemáticas

y de historia de la Mateḿatica. Es altamente recomendable para un estudiante de pedagogı́a en Mateḿatica.

Un libro un poco ḿas avanzado es el de Grattan-Guinness [25], que tiene un desarrollo muy profundo de los

fundamentos de la Mateḿatica, partiendo desde el cálculo, pasando por la teorı́a de funciones y el problema del

infinito.

Sugerencias para la implementacíon curricular

De los siete ejes presentados en este documento, es tal vez este eje el que puede tener implementaciones curri-

culares ḿas variadas. No queremos sugerir los cursos que integrarán estas materias, pero el tema de la lógica

y algoritmos nos merecen un comentario especial. No nos parece conveniente tener estos temas separados del

resto de los temas de matemáticas aisĺandolos en cursos, si no más bien integrados en el material de otros cursos.

En particular la ĺogica debeŕıa estar presente en todos los temas y niveles.

Finalmente, el Nivel 4 también requiere de un comentario. El tema de la construcción de la mateḿatica nos

parece de gran importancia para comprender la matemática moderna, pero a la vez es un tema muy complejo y

profundo que, para su cabal comprensión, requiere de mucho trabajo y tiempo. La implementación curricular de

este nivel debe ser cuidadosa con el objeto de no caer en la anécdota ni en un excesivo formalismo y rigor. En

los indicadores hemos querido reflejar un adecuado balance entre estos dos aspectos.

57

Bibliograf ı́a para el eje

[8] Blumenthal, Leonard,A modern view of geometry. W. H Freeman and Company, USA, 1961.

[12] Burton, David,Introduction to Modern Abstract Algebra. Addison-Wesley Publishing Company, 1967.

[14] Courant, Richard y Robbins, Herbert,What is Mathematics?Oxford University Press, 1996.

[21] Eves, H.,Introduç̃ao á hist́oria da mateḿatica. Editorial Unicamp, 2004. Brasil.

[25] Grattan-Guinness, I.,From the Calculus to Set Theory, 1630-1910. Princeton University Press, 2000.

[28] Halmos, Paul,Naive set theory. D. Van Nostrand Company Inc, 1965.

[33] Ivanov, O.A.,Easy asπ?: An introduction to higher mathematics. Springer Verlag, New York Inc., 1999.

[36] Johnsonbaugh, Richard,Discrete Mathematicas. Macmillan Publishing Co. Inc. New York, 1993.

[57] Scheinerman, Edward,Mateḿaticas Discretas. Thomson Learning, 2001.

[63] Tucker, A.,Applied Combinatorics. John Wiley & Sons, Inc. 1995.

[67] Zuckerman, Martin,Sets and Transfinite Numbers. Macmillan Publishing Co. Inc. New York, 1974.

58

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Matemática .:. Estructuras algebraicas

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Descripción General

El Profesor de Mateḿatica conoce las diferentes estructuras algebraicas, las propiedades fundamentales que les

son comunes y también aquellas que las distinguen.

Las estructuras concretas que un profesor conoce son: el anillo de los enteros, los polinomios con coeficientes en

Q, R, C y Zp, el cuerpo de los ńumeros racionales, de los reales, de los números complejos, los cuerpos finitos,los grupos de transformaciones geométricas tanto del plano como del espacio y los grupos de permutaciones de

un conjunto. Adeḿas trabaja con las estructuras desde un punto de vista abstracto lo que le permite conocer los

alcances y limitaciones del ḿetodo axioḿatico, aśı como conocer y aplicar las técnicas b́asicas de demostración.

El Profesor de Mateḿatica entiende que una de las herramientas fundamentales en el estudio de las estructuras

algebraicas es el concepto del homomorfismo el cual permite establecer relaciones entre las diversas estructuras.

El Profesor de Mateḿatica conoce las extensiones de cuerpos y las herramientas propias de la Teorı́a de Galois,

que le son necesarias. Con este conocimiento puede dar respuesta a problemas clásicos como la duplicación del

cubo, la cuadratura del cı́rculo y la triseccíon de uńangulo.

Finalmente es importante que el Profesor de Matemática comprenda y aplique la acción de grupos sobre con-

juntos, en particular para demostrar los Teoremas de Sylow. Relacionandoéstos con las extensiones finitas de

cuerpos demuestra el Teorema Fundamental del Algebra.

61

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Matemática .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 1

Nivel 1

Enunciado.El estudiante comprende la teorı́a de la divisibilidad en los ńumeros enteros y en el conjunto de los

polinomios con coeficientes reales. Aplica el concepto de polinomio irreducible como el análogo al de ńumero

primo en los enteros.

En este nivel el alumno opera con los números enteros ḿodulon. Demuestra propiedades de la función ϕ de

Euler y propiedades de los números primos. Conoce propiedades de los números de FermatFn = 22n

+ 1 y delos ńumeros de MerseneMp = 2p − 1, conp primo.

Resuelve ecuaciones diofánticas lineales. Usa el Teorema Chino de los restos en los enteros para la resolución

de congruencias. Conoce las propiedades algebraicas del cuerpo de los números complejos y su forma trigo-

nométrica. Aplica la f́ormula de De Moivre para calcular raı́ces de ńumeros complejos.


1. Aplica el concepto de la divisibilidad enZ.

Problema 1. Para los siguientes números enteros:23789045, 7543951 y 87659430 use criterios para de-terminar si ellos son divisibles por2, 3 y 5.

Problema2. Determine un criterio relativo a los dı́gitos de un ńumero entero para establecer su divisibili-

dad por11.

2. Usa la descomposición de los enteros en producto de ńumeros primos.

Problema1. Determine el ḿaximo coḿun divisor entre los ńumeros224711 y 3266.

Problema2. Pruebe que√

3 no es un ńumero racional.

3. Utiliza el algoritmo de Euclides para la divisíon en los enteros.

Problema 1. Seana, b números naturales. Pruebe que el entero más pequẽno de la formaax + by dondex ey son ńumeros naturales, es el máximo coḿun divisor dea y b.

67

Problema2. Exprese el ḿaximo coḿun divisor entre los ńumeros224711 y 3266 en la forma224711x+3266y.

Problema3. Demuestre que(n, n+ 1) = 1, para todo ńumero naturaln.

Problema 4. Seana, b, c números naturales. Sic es un divisor deab y (c, a) = 1, pruebe quec es undivisor deb.

4. Utiliza el algoritmo de Euclides para dividir polinomios.

Problema 1. Encuentre el cuociente y el resto obtenidos al dividir los polinomiosp(x) = x5 + 3x4 −12x

3 + 8x− 122 y h(x) = 3x3 − 5x2 + 34.

Problema 2. Encuentre el valor dem para que el polinomio2x4 + 9x3 + 2x2 − 6x+ 3m tenga resto 12al dividirlo porx+ 12.

Problema 3. Determine un ḿaximo coḿun divisor enQ[x] entre los polinomiosp(x) = x2 − 2x +1, h(x) = x2 + x− 2 y f(x) = 2x3 + 3x2 − 3x− 2.

5. Demuestra propiedades de los ńumeros primos, de los ńumeros de FermatFn = 22n

+ 1 y de losnúmeros de MerseneMp = 2p − 1, conp primo.

Problema1. Demuestre que todo número primo impar es de la forma4k − 1 o 4k + 1.

Problema 2. Seap un ńumero primo. Demuestre que los númerosp, p + 2 y p + 4 no pueden ser todosprimos.

Problema3. [29] Pruebe que dos números de Fermat no tienen un máximo coḿun divisor mayor que1.

Problema4. [29]

a) Si a ≥ 2 y si an + 1 es primo, entoncesa es impar yn = 2m.

b) Si n > 1 y si an − 1 es primo, entoncesa = 2 y n es primo.

6. Demuestra propiedades de la funcíonϕ de Euler y de los ńumeros perfectos.

Problema1. [29] Demuestre que para todon ≥ 1, se cumple que∑

d/n ϕ(d) = n.

Problema2. [4]

a) Seann = pα11 · · · pαkk , descomposición den en factores primos distintos. Pruebe queϕ(n) = n(1−

1p1

) · · · (1− 1pk ).

b) Pruebe queϕ(n) > n6 para todon número natural con a lo ḿas8 factores primos distintos.

Problema3. Seaa entero positivo. Pruebe que si2a− 1 es primo entonces2a−1(2a− 1) es perfecto. Conesto se prueba que a todo primo de Mersene le corresponde un número perfecto.

68


Problema 4. SiN = 2np es perfecto, conp primo, entonces pruebe que la suma de los divisores deN es(2n+1 − 1)(p + 1). Es decir por cada ńumero perfecto de la formaN = 2np hay un primo de Mersenep = 2n+1 − 1.

7. Demuestra propiedades de la funcíon µ de Möbius y la relaciona con la funcíonϕ de Euler.

Problema1. [29]

a) Demuestre queµ es multiplicativa, es decir,µ(nm) = µ(n)µ(m) ∀ n,m ∈ N.

b) Demuestre que para todon ≥ 2, se tiene∑

d/n µ(d) = 0.

Problema2. Pruebe que para todon ≥ 1, se tieneϕ(n) =∑

d/n µ(d)nd .

Problema3. Fórmula de inversión de Möbius.[29] Seanf y g funciones de ńumeros naturales tales que

g(n) =∑

d/n f(d). Pruebe quef(n) =∑

d/n µ(nd )g(d).

8. Opera con los ńumeros enteros ḿodulo n.

Problema1. Si hoy d́ıa es Martes7 de Abril, ¿qúe d́ıa de la semana será en100 d́ıas ḿas?

Problema2. EnZ11, pruebe que para todo[x] 6= [0] existe[y] 6= [0] tal que[x][y] = [1].

Problema3. a) Encuentre todos los divisores de cero enZ12.

b) Resuelva la ecuaciónx2 − 5x+ 6 = 0 enZ12.

Problema4. Pruebe que el ńumero de elementos deZ∗n es igual aϕ(n).

9. Demuestra y usa criterios de irreducibilidad de polinomios enQ[x] y enZp[x], conp primo.

Problema 1. SeaF = Q o Zp. Demuestre que un polinomio de grado 2 o 3 con coeficientes enF esreducible si y śolo si tiene una ráız enF.

Problema2. Pruebe quex3 + 3x+ 2 es irreducible enZ5[x].

Problema3. Seap(x) = anxn+· · ·+a0 un polinomio con coeficientes enteros tal quean 6= 0.Demuestreque las ráıces racionales dep(x) son de la formar = mq , dondem es un divisor dea0 y q es un divisor dean.

Problema4. Encuentre las raı́ces racionales, si las hay, dex4 + x3 + 2x− 11.

10. Resuelve ecuaciones diofánticas lineales.

Problema1. a) ¿Tiene solucíon la ecuacíon diof́antica 15x+ 27y = 1?

b) Resuelva la ecuación diof́antica 2x+ 3y = 17.

69

Problema 2. [3] Sea(x0, y0) solucíon de la ecuación diof́antica ax − by = 1. Pruebe que eĺarea deltriángulo de v́ertices(x0, y0), (b, a) y (0, 0) es igual a12 .

11. Usa el Teorema Chino de los restos en los enteros.

Problema 1. ¿Tiene solucíon el siguiente sistema de congruenciasx ≡ 5(mod 4) y x ≡ 7(mod 8)?Justifique.

Problema 2. Determine un enterox que al ser dividido por25 deja resto10, al ser dividido por12 dejaresto5 y al ser dividido por13 deja resto6.

12. Utiliza las propiedades algebraicas y la forma trigonoḿetrica de los ńumeros complejos. Encuentra

raı́ces de ńumeros complejos.

Problema1. Escriba la forma trigonoḿetrica de los siguientes números complejos. Dibuje.

a) z = 4(1−√

3i).

b) z =(−1− i)(√

3− i).

Problema 2. Utilize la fórmula de De Moivre para calcular la potencia indicada. Expresar el resultado

como pares ordenados de números reales.

a) 2(√

3 + i)7.

b)[cos(

5π4

)+ i sen

(5π4

)]10.

Problema 3. Calcule las ráıces que se especifican, represéntelas en el plano complejo y exprese cada una

de las ráıces en forma cartesiana.

a) Ráıces cuartas de16[cos(

4π3

)+ i sen

(4π3

)].

b) Ráıces ćubicas de− 1252 (1 +√

3i).

Problema4. Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones:x4 − 81 = 0 y x3 + 64i = 0.

13. Usa la representacíon de los puntos del plano v́ıa los números complejos. Relaciona el producto de

números complejos con rotaciones y homotecias.

Problema1. Describa geoḿetricamente el efecto de multiplicar el complejo2+5i por el complejo12√

3+12 i.

Problema 2. Represente geoḿetricamente el efecto de multiplicar los complejos7 + i, 6 + 3i y 5 + 2ipor el complejo3[cos(30◦) + i sen(30◦)].

70


14. Conoce la evolucíon histórica de los ńumeros de Fermat y de los ńumeros de Mersene aśı como la

conexíon de estośultimos con los ńumeros perfectos.

Problema1. [4] Realice una investigación sobre la primalidad de los números de Fermat y de los números

de Mersene. Investigue los aportes de Euler y de Euclides.

15. Conoce la evolucíon histórica de la conjetura de Goldbach y la relaciona con la conjetura de Erd̈os.

Problema1. [3] [4] Realice una investigación sobre las conjeturas de Goldbach y de Erdös. ¿Cúales fueron

las constribuciones de Vinogradov? ¿Qué relacíon existe entre la conjetura de Goldbach y la conjetura de

Erdös?

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Nivel 2

Enunciado.El estudiante describe en forma algebraica las transformaciones geométricas elementales del pla-

no y del espacio. Descompone transformaciones usando transformaciones geométricas elementales. Maneja el

concepto de simetrı́as en las figuras planas y su relación con las transformaciones geométricas del plano.

En este nivel el estudiante conoce algunos grupos finitos como son: el grupo de permutaciones de un conjunto,

el grupo de las simetrı́as de una figura plana, el grupo afin, el grupo lineal y el grupo especial lineal.

El alumno demuestra propiedades del cuerpo de los números constructibles con regla y compás. Conoce el

problema de la construcción y triseccíon de algunośangulos aśı como la construcción de algunos polı́gonos

regulares.


1. Describe en forma algebraica las transformaciones geoḿetricas del plano.

Problema 1. La función φ~v : R2 → R2, definida por φ~v(~x) = ~x + ~v, representa una traslacióndel plano. Si~v = (2, 5), encuentre las coordenadas de los vértices del cuadrado en que se transforma elcuadrado de v́ertices(1, 0), (0, 1), (−1, 0) y (0,−1). Dibuje ambos cuadrados.

Problema2. La función Rot30◦ : R2 → R2, definida por

Rot30◦(x, y) = (x cos(30◦)− y sen(30◦), x sen(30◦) + y cos(30◦))

representa una rotación de centro el origen ýangulo que mide30◦. Encuentre las coordenadas del triánguloen que se transforma el triángulo de v́ertices(0, 0), (1, 0) y (0, 1). Dibuje ambos tríangulos.

Problema 3. Pruebe que la composición de dos reflexiones cuyos ejes forman unángulo de30◦ es unarotacíonRot60◦ de centro el punto de intersección de esos ejes.

73

2. Describe en forma algebraica las transformaciones geoḿetricas del espacio.

Problema1. Pruebe que

A =

2/3 −1/3 2/32/3 2/3 −1/3−1/3 2/3 2/3

es la matriz de rotación en60◦ alrededor de la recta de ecuaciónx = y = z y centro el origen.

Problema2. a) Calcule las coordenadas en que se trasforman los vértices de un cubo definido por los

puntos de coordenadas(1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), mediante la rotación anterior.

b) Calcule las coordenadas en que se trasforma la pirámide de v́ertices(0, 0, 0) y base el tríangulodefinido por los puntos(1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), mediante la rotación anterior.

3. Interpreta congruencias de figuras planas como composición de transformaciones geoḿetricas ele-

mentales.

Problema 1. Los triángulos de v́ertices(0, 0), (4, 0), (4,−2) y (−3, 0), (−5, 4), (−3, 4) son congruen-tes. Determine una secuencia de transformaciones geométricas elementales del plano que transforman un

triángulo en el otro.

4. Opera con el grupo de permutaciones de un conjunto finito.

Problema1. Considere la permutación deS8 dada por

σ =

(1 2 3 4 5 6 7 82 3 4 5 1 7 6 8

).

Escŕıbala como producto de ciclos disjuntos y luego como producto de transposiciones.

Problema2. Encuentre todos los subgrupos del grupoA4.

Problema 3. Dadas las siguientes afirmaciones, demuéstrelas si son verdaderas o dé un contraejemplo si

son falsas:

a) La inversa de una permutación par es par.

b) Para todaσ, π ∈ Sn, (π ◦ σ)−1 = σ−1 ◦ π−1.

c) Para todaσ, π ∈ Sn, |σ ◦ π| = |σ||π|, donde|σ| denota el orden de la permutaciónσ.

d) Una permutacíonσ es una transposición si y śolo siσ 6= 1 y σ = σ−1.

Problema 4. Seaπ = (1, 2)(3, 4, 5, 6, 7)(8, 9, 10, 11)(12) ∈ S12. Determine el menor entero positivoktal queπk = 1.

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5. Conoce el grupo af́ın, el grupo lineal de ordenn y el grupo especial lineal de ordenn.

Problema1. Considere el conjunto de funciones

A(R2) = {φa,~v : R2 → R2, φa,~v(~x) = a~x+ ~v / a ∈ R− {0}, ~v ∈ R2}.

Pruebe queA(R2) es cerrado para la composición y que constituye un grupo con esta operación (grupoaf́ın del plano).

Problema2. SeaT = Q,R o Zp y K = Z,Q,R o Zp, conp primo. Considere los conjuntos:

GL(n, T ) = {A ∈Mn(T ) / det(A) 6= 0},

SL(n,K) = {A ∈Mn(K) / det(A) = 1},

dondeGL(n, T ) se conoce comogrupo lineal de ordenn y SL(n,K) comogrupo especial lineal deordenn.

a) Pruebe queGL(n, T ) y SL(n,K) son grupos bajo la multiplicación de matrices.

b) Pruebe queGL(n, T ) no es abeliano para todon ≥ 2.

c) Encuentre la tabla de multiplicación del grupoGL(2,Z2).

d) SeaM el conjunto de matrices de la forma

(a b

0 c

), dondea, b, c ∈ R, tales queac 6= 0. Pruebe

queM es un subgrupo deGL(2,R).

e) Sea

H =

{(1 00 1

),

(1 00 −1

),

(−1 0

0 1

),

(−1 0

0 −1

)}.

Pruebe queH es subgrupo deGL(2,R).

6. Conoce el grupo de simetŕıas de una figura plana.

Problema 1. SeaT un triángulo equiĺatero. Determine todas las simetrı́as deT y repreśentelas como

permutaciones de sus vértices. Compare el resultado conS3.

Problema2. Pruebe que el grupoS4 es el grupo de simetrı́as de un tetraedro regular.

Problema3. Encuentre el grupoD8, de las simetŕıas de un cuadrado.

Problema4. ¿Cúal es el grupo de simetrı́as de un cubo?

Problema 5. SeaP un pent́agono regular. Determine todas las simetrı́as deP y repreśentelas como per-

mutaciones de los vértices.

75

7. Demuestra propiedades del cuerpo de los ńumeros constructibles con regla y comṕas.

Problema1. SeaC = {α ∈ R / α es constructible con regla y compás}. Demuestre que:

a) C es un subgrupo deR.

b) C∗ = C − {0} es un subgrupo deR∗.

c) Si α ∈ C, α > 0 entonces√α ∈ C.

8. Construye algunosángulos con regla y comṕas.

Problema1. a) Construya uńangulo que mida30◦ y otro que mida45◦.

b) Construya el coseno de unángulo que mide22, 5◦.

9. Justifica la trisección de algunosángulos y la construccíon de algunos poĺıgonos regulares con regla

y compás.

Problema1. a) Construya un polı́gono regular de 10 lados.

b) Trisecte uńangulo que mide72◦.

c) ¿Es constructible uńangulo que mida3◦?

10. Comprende la importancia de las simetŕıas en el estudio de la mateḿatica moderna.

Problema 1. [54] Realice una investigación sobre la importancia de las simetrı́as en la teorı́a de grupos y

las contribuciones de Artin.

76


Nivel 3

Enunciado. El estudiante demuestra propiedades de grupos. Usa el concepto de homomorfismo de grupos y

los teoremas fundamentales para estos homomorfismos. Identifica y trabaja con grupos dados por relaciones.

Encuentra el grupo cuociente de un grupo por un subgrupo normal. Construye grupos vı́a productos directos y

semi-directos.

El alumno usa acciones de grupos sobre conjuntos para demostrar los Teoremas de Sylow. Utiliza estos teoremas

para probar propiedades de grupos finitos.

En este nivel el estudiante trabaja con la estructura de anillos y de ideales. Conoce el concepto de ideal primo e

ideal maximal. Usa los Teoremas de Isomorfı́a para anillos. Aplica el Teorema de Euler-Fermat en la resolución

de congruencias y conoce su aplicación a la Criptograf́ıa.


1. Demuestra propiedades b́asicas de grupos.

Problema1. SeanS, T subgrupos de un grupoG, conS subgrupo normal. Pruebe queST es un subgrupo

deG ¿EsST un subgrupo normal deG?

Problema 2. SeaH un subgrupo déındice 2 de un grupo finitoG. Pruebe que para todog ∈ G, gH =Hg.

2. Demuestra propiedades de los grupos cı́clicos.

Problema 1. Demuestre que un grupo cı́clico de ordenn tiene uno y śolo un subgrupo de ordenm para

cualquierm divisor den.

Problema2. Considere las siguientes matrices

A =

(0 1

−1 0

)y B =

(0 1

−1 −1

),

elementos del grupoSL(2,Z) :

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a) Calcule el orden deA y deB.

b) Pruebe que el subgrupo generado porAB es un subgrupo cı́clico infinito.

c) ¿Es finito el orden del producto de dos elementos de orden finito?

Problema 3. SeaG un grupo ćıclico yH un subgrupo deG de ı́ndicem. Pruebe que el grupo cuociente

G/H es ćıclico de ordenm.

3. Calcula el orden de un elementos de un grupo.

Problema 1. Considere el grupoG1 = U(Z) de las unidades deZ. Encuentre el orden de cada elementodeG1 × Z8.

Problema2. Calcule el orden de cada uno de los elementos del grupoA4 × Z8.

Problema3. [24] Escriba la tabla de multiplicación para el grupo multiplicativo formado por los elementos

deZ12 que son relativamente primos con12. ¿Eséste un grupo ćıclico?

4. Conoce el grupo de Klein.

Problema1. Considere el conjuntoK4, de las permutaciones de orden2 deA4, es decir,

K4 = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.

Pruebe que:

a) K4 es un subgrupo deA4.

b) K4 ' Z2 × Z2.

c) Z2 × Z2 no es isomorfo aZ4.

d) Todo grupo de orden4 es isomorfo aK4 o aZ4.

5. Demuestra propiedades de los grupos de permutaciones.

Problema1. Considere el grupo alternanteAn, conn ≥ 3.

a) Pruebe que está generado por ciclos de longitud3.

b) Pruebe queAn = < (123), (124), . . . , (12n) > .

Problema 2. SeaG un subgrupo deSn, n ≥ 5, que contiene todos los ciclos de longitud3. Demuestreque siH es un subgrupo normal deG tal queG/H es abeliano, entoncesH contiene todos los ciclos de

longitud3.

Problema 3. Seaσ ∈ Sn y c = (i1, . . . , ik) un ciclo de longitudk enSn. Pruebe queσ ◦ c ◦ σ−1 =(σ(i1), . . . , σ(ik)), es decir,σ ◦ c ◦ σ−1 es un ciclo de longitudk deSn.

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Problema4. Pruebe queGL(2,Z2) es isomorfo aS3.

6. Prueba propiedades del grupo diedralD2n y del grupo de cuaternionesQ2n.

Problema1. Pruebe que los grupos

D2n = < a, b : an = 1, b2 = 1, ba = an−1b >,

Q2n = < a, b : an = 1, b2 = a2, ba = an−1b >

son de orden2n y no son abelianos paran > 2.

Problema2. Pruebe queD6 = < a, b : a3 = 1, b2 = 1, ba = a2b > es isomorfo aS3.

Problema 3. Escriba la tabla de multiplicación deD8 y deQ8 y encuentre el orden de cada uno de sus

elementos.

Problema4. Pruebe que el grupoQ8 no es isomorfo al grupoD8.

7. Encuentra grupos cuocientes y usa los Teoremas de Isomorfı́a para grupos.

Problema1. Considere los grupos aditivos infinitosQ y Z. Encuentre el grupo cuocienteQ / Z.

Problema 2. Considere el grupo multiplicativoC∗ y seaU = {z ∈ C∗ / |z| = 1} el ćırculo unitario.Pruebe queU ' R / nZ ∀ n ∈ N.

Problema3. Demuestre queC∗ / R∗ ' U / G, dondeG = {1,−1}.

Problema4. SeaT el conjunto de matrices de la forma

1 a b0 1 c0 0 1

, dondea, b, c ∈ R.Demuestre queZ(T ) ' R y queT / Z(T ) ' R× R, dondeR es grupo bajo la suma.

8. Caracteriza grupos construidos por productos directos y semi-directos.

Problema 1. SeanG1, G2, G3 grupos. ¿Es cierto que el producto directo de los tres grupos es abeliano si

y sólo si cadaGi, i = 1, 2, 3, es abeliano?

Problema2. Caracterice el grupo diedralD2n como un producto semi-directo.

Problema 3. Pruebe que todo grupo de orden25 o es ćıclico o es isomorfo a un producto directo de dosgrupos ćıclicos de orden5.

Problema4. Obtenga la descomposición en producto semi-directo del grupo de simetrı́as del cubo.

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9. Usa acciones de grupos sobre conjuntos finitos.

Problema 1. Demuestre que la acción natural de un grupo sobre las clases laterales de cualquiera de sus

subgrupos es una acción transitiva.

Problema 2. ¿Act́ua transitivamente el grupo de las transformaciones lineales de un espacio vectorial de

dimensíon finita, sobre el conjunto de vectores?

Problema3. Demuestre que el grupo de las traslaciones de un espacio vectorial de dimensión finita act́ua

transitivamente sobre el conjunto de vectores.

Problema 4. SeaG un subgrupo de permutaciones de un conjuntoS. Demuestre queG act́ua sobre el

conjunto formado por los subconjuntos deS de cardinalidad2.

10. Utiliza los Teoremas de Sylow para probar propiedades de grupos finitos.

Problema1. [54]

a) Demuestre que ningún grupo de orden39 es simple.

b) Demuestre que ningún grupo de orden45 es simple.

Problema2. Encuentre todos los3-Sylow deS4 y pruebe que ellos son conjugados.

Problema 3. Demuestre que un grupo diedral de orden2kn, conn número impar, contienen subgruposde Sylow de orden2k.

11. Conoce ejemplos de anillos, subanillos e ideales.

Problema 1. Pruebe que el conjunto de los enteros provisto de las operacionesa ∗ b = a + b − 1 ya ◦ b = a+ b− ab es un anillo. Con esta estructura de anillo ¿es5Z un ideal deZ?

Problema 2. SeaX un conjunto y(A,⊕,�) un anillo. Considere el conjuntoAX = {f : X →A / f función}. Defina(f + g)(x) = f(x)⊕ g(x); (fg)(x) = f(x)� g(x).

a) Pruebe queAX con estas dos operaciones es un anillo.

b) Pruebe que siA es conmutativo entoncesAX es conmutativo.

Problema 3. Considere el anilloC(R) de las funciones reales continuas. Demuestre queH = {f ∈C(R) / f(0)

departamento de ingeniería matemática – fcfmsamartin/estandares_matematica.pdfmatematica .:....

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