Der (Brouwer’sche) Fixpunktsatz, sein Beweis und eine mögliche Verlaufs-motivierung

Fixpunktsatz. Sei f : [a; b]→ [a; b] stetig. Dann besitzt f einen Fixpunkt.

Beweis:

Wir definieren folgende Hilfsfunktion: H(x) := f(x)− x.H ist stetig und es gilt:H(a) ≥ 0 und H(b) ≤ 0.Aufgrund des Nullstellensatzes gibt es ein ξ ∈ [a; b] mit H(ξ) = 0⇒f(ξ) = ξ ist. w.z.b.w.

Hauptproblem: Wie kommt man auf die Hilfsfunktion?Das muss in der Verlaufsmotivierung des Beweises deutlich werden.

Verlaufsmotivierung für den Beweis:Man überlegt sich zuerst, in welches Themengebiet der Satz gehört. Der Satz gehört zum Themen-gebiet „Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften“. Jetzt überlegt man sich, welche Sätze einem zudiesem Thema einfallen, die vielleicht für den Beweis hilfreich sein könnten. Die passenden Antwor-ten sind: Nullstellensatz, Zwischenwertsatz, Satz vom Minimum und Maximum. Welcher dieser Sätzekönnte helfen? Wahrscheinlich einer der ersten beiden Sätze, da sie schon ähnlich wie der zu zeigendeSatz klingen (Existenz einer ausgezeichneten Stelle ξ). Da der Nullstellensatz einfacher ist, versuchenwir erstmal diesen irgendwie anzuwenden. Das liefert die zentrale Idee: Wir machen den Fixpunktzur Nullstelle. Die Funktion, die diese Transformation durchführt ist genau unsere Hilfsfunktion H.Damit ist die Beweisidee klar. Der Rest ist nur ein simples Nachrechnen, dass H die Voraussetzungenfür den Nullstellensatz erfüllt.Den Beweis könnte man fragend-entwickelnd machen oder man gibt ein Raster mit Denkfragen vor(z.B. auf einem Blatt ausgeteilt), welche die Schüler auf den richtigen Weg bringen ohne die Beweis-idee zu verraten.

Mögliche Fragen:1) Zu welcher Thematik gehört dieser Satz?2) Welche Sätze fallen dir zu dieser Thematik ein?3) Welcher dieser Sätze könnte hier hilfreich sein und warum?4) Erzeuge dir einen Ausdruck, auf den du diesen Satz so anwenden kannst, dass daraus bereits dieBehauptung folgt5) Zeige, dass die Voraussetzungen dieses Satzes wirklich erfüllt sind