Der PALIO, das Pferderennen von Siena -Ausgangspunkt für Modelle von Auswahlprozessen

Einstieg zum Thema "Markoff-Ketten"

Hans HUMENBERGER, Universität Dortmund

Zusammenfassung Bei jedem "Palio" müssen die jeweiligen 10 Teilnehmer aus 17 möglichen Kandidaten gewählt werden. Es wird gezeigt, wie mögliche Auswahlvorgänge modelliert werden können und wie diese Fragestellung in natürlicher Weise das Tor zu Markoff-Ketten öffnet. CAS-Einsatz ermöglicht den Schülerinnen und Schülern selbständiges Entdecken einiger Phänomene, wodurch in ihnen ein Begründungsbedürfnis geweckt werden kann.

1 Einleitung In Siena (Toskana, Norditalien) findet jährlich ein sehr berühmtes Pferderennen mit einer schon jahrhundertelangen Tradition statt, der soge­nannte "Palio di Siena" (kurz: Palio): Ein wag­halsiges Rennen auf ungesattelten Pferden rund um die Piazza del Campo; es dauert jeweils nur ca. 1 ~ Minuten, wobei allerdings dies~s Rennen von zahlreichen traditionellen (tagelangen!) Ze­remonien umrahmt wird (vgl. Abb. 1).

Abb. 1: Der Palio

Vorformen reichen bis ins 11. Jhdt. zurück; seit ungefähr der Mitte des 17. Jhdt. findet der Pa­lio in einer zur heutigen ähnlichen Form statt (jeweils am 2. Juli), seit 1802 sogar zweimal pro Jahr l (2. Juli und 16. August), wobei aber die Juli-Rennen und die August-Rennen zwei ei­genständige" Schienen" darstellen. Das J uli- und das August-Rennen des selben Jahres hängen

IGenaueres zur Geschichte findet man z. B. unter http://vwv.comune.siena.it

2

nicht zusammen, wohl aber die einzelnen Juli­Rennen verschiedener Jahre bzw. die A ugust­Rennen verschiedener Jahre in einem noch ge­nauer zu beschreibenden Sinn.

In Siena gibt es (seit 1729) 17 Stadtbezir­ke ("Contraden"), und jeder Stadtbezirk wird durch ein Gespann Reiter-Pferd vertreten: Doch dabei ergibt sich eine gewisse "Misere": Die Platzverhältnisse auf der genau festgelegten "Renn-Strecke" im alten Siena sind so eng, dass es zu gefährlich wäre, das Rennen mit 17 Pfer­den zu bestreiten. Man hat sich schon seit sehr langer Zeit darauf geeinigt, bei jedem Palio nur 10 Reitergespanne (und damit nur 10 Contra­den ) gegeneinander antreten zu lassen.

Damit erhebt sich natürlich die Frage, welche 10 der 17 Contraden je ein Reiter-Pferd-Gespann zum Palio entsenden dürfen (es ist also ein ge­rechtes Auswahlverfahren nötig!), um die Chan­ce zu haben, die beliebte Trophäe für sich und den Heimatbezirk zu erobern: sie ist ein Ban­ner, das früher aus wertvollem roten Samt ge­macht wurde und "Pallium" hieß, woraus der Name "Palio" für das Rennen resultiert.

2 Modelle für die Auswahl -mögliche Schülervorschläge

Schülerinnen und Schüler werden hier schnell an ihre Kinderzeit erinnert, wo es sicher oft Situa­tionen gab, in denen eine bestimmte Anzahl von Kindern vorhanden war, aber ein geplantes Spiel

Stochastik in der Schule 22(2002)2 S. 2-13

nur weniger Teilnehmer zuließ: man brauchte ein geeignetes Auswahl- bzw. Auslosungsverfahren, wer denn nun zu den (glücklichen) Teilnehmern und wer zunächst zum Zuschauer verurteilt war.

Aufgabe: Mache konkrete Vorschläge für ein Auswahlverfahren und berechne die Wahrschein­lichkeit, mit der eine bestimmte Contrade am Palio teilnimmt.

Die Aufgabe fordert also dazu auf, den Wahl­vorgang zu modellieren, und eignet sich sehr gut für Gruppenarbeit. Im Folgenden seien ei­nige mögliche Schülerantworten (samt stocha­stischer Analyse) relativ ausführlich dargestellt: die Schüleraktivitäten (selbständiges Bearbeiten - dabei gute Wiederholungsmöglichkeit elemen­tarer Stochastik) sollen dabei im Vordergrund stehen2!

2.1

2.1.1

Die 17 Contraden "liegen" in ei­ner Urne

10 einzelne Ziehungen ohne Zurücklegen

17 Kugeln liegen in einer Urne; die Kugeln enthalten zusammengerollte Zettel als "Innenle­ben", auf denen die Namen der 17 Contraden stehen (darunter unsere Heimat-Contrade C). Eine "Glücksfee" (Kinder, Politiker, Prominen­te) zieht aus der Urne ohne Zurücklegen (vgl. z. B. die Auslosung zur fußball WM). Dabei inter­essiert uns wohl am meisten, mit welcher Wahr­scheinlichkeit wir am Palio bei diesem Auswahl­verfahren teilnehmen dürfen.

Zi = C bedeutet: "bei der i-ten Ziehung wird C gezogen."

C kann bei der 1. Ziehung, 2. Ziehung, ... , 10. Ziehung drankommen, wobei dies einander aus­schließende Ereignisse sind.

Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten P(Zi = C) für i = 1, ... , 10 ?

Man "sieht" in Tabelle 1: alle Werte P(Zi = C) können zu 1\ gekürzt werden! Die Bedeu­tung der involvierten Brüche (Wahrscheinlich­keiten) sollte unmittelbar klar sein: z. B. bedeu­tet "Z2 = C", dass beim ersten Mal nicht C

2 Auch im Abschnitt über Markoff-Ketten werden mögliche selbständige Schüleraktivitäten immer wieder hervorgehoben.

P(ZI = C) P(Z2 = C) P(Z3 = C)

P(ZlO = C)

Tab. 1: Wahrscheinlichkeiten f'tir die Ziehung von C bei den einzelnen Ziehungen

(Wahrscheinlichkeit i~) und beim zweiten Mal C gezogen wird (116); analog bei den anderen Zeilen.

Für die Wahrscheinlichkeit, dass C "überhaupt gezogen wird", ergibt sich daher:

. 1 1 10 P(C wIrd gezogen) = - + ... + - = -

17 17 17

Ebenso wäre denkbar, zuerst jene 7 Contraden zu ziehen, die NICHT teilnehmen; die restlichen 10 in der Urne verbleibenden nehmen am Palio teil:

P(C nimmt teil) = 1 - (117

+ ... + 117

) = ~~ , " ...

7 17

Ein weiterer möglicher Auswahlvorschlag3 : Die Contraden der 1., 3., 5., 7., 9., 10., 11., 13., 15., 17. Ziehung sollen teilnehmen (oder einer be­liebigen anderen vorgegebenen Auswahl von 10 aus den 17 Ziehungen).

2.1.2 Eine Ziehung - ,,10 Kugeln mit einem Griff"

Dies ist mathematisch natürlich äquivalent zu den einzelnen Ziehungen; trotzdem sei diese Möglichkeit extra erwähnt, denn:

• der Vorgang ist doch ein anderer,

• Schüler kommen zum Wert i~ eventuell auf einem anderen Weg.

Es gibt G~) Möglichkeiten, 10 Kugeln (Contra­den) aus den 17 mit einem Griff auszuwählen.

3 Auch dieser wäre gerecht; jede Contrade hätte eine Teilnahmewahrscheinlichkeit von t%.

3

Wie viele davon enthalten die Contrade C? (-+ "hypergeometrische Verteilung"; aber auch ohne diesen Begriff, d. h. ohne (i) im Zähler, kann leicht begründet werden):

10 =-

17

Ein analoger Schülervorschlag: mit einem Griff 7 aus den 17 Kugeln ( Contraden) herausziehen, die nicht teilnehmen:

P(C nimmt teil) = 1 _ (i) . C66) 10

Ci) 17

Bei den bis jetzt angesprochenen Auswahlver­fahren gibt es wahrscheinlich keine Diskussionen über mögliche Ungerechtigkeiten, bei der folgen­den vielleicht aber doch.

2.2 Die Urne enthält "Lose" - Zie­hen ohne Zurücklegen

Eine andere Möglichkeit der Auslosung wäre: In einer Urne sind wieder 17 Kugeln. 10 davon enthalten einen Zettel mit der Aufschrift" Teil­nahme" (T) und 7 einen Zettel mit "Nicht-Teil­nahme" (,T), also 10 Gewinnlose und 7 Nieten. Jede Contrade zieht eine Kugel (T oder ,T; oh­ne Zurücklegen!) aus der Urne.

Die Contraden "liegen" hier also nicht (passiv) in der Urne, sondern sie (d. h. ein jeweiliger Ver­treter) ziehen selbst ein Los.

Hierbei sind nun aber Streitigkeiten durchaus denkbar: Welche Contrade darf als erste ziehen? Welche muss als letzte ziehen?

Da ohne Zurücklegen gezogen wird, finden die einzelnen Contraden bei ihren Ziehungen ver­schieden bestückte Urnen vor, was die Frage nach der Gerechtigkeit aufwirft.

Wir setzen "Ci = T" ... "die an i-ter Stelle ziehende Contrade zieht ein T, d. h. nimmt teil. "

und wollen die Wahrscheinlichkeiten I P(Ci = T) I für 1 ~ i ~ 17 berechnen.

Klarerweise ist 1 P(CI = T) = -W I·

4

Abb. 2: Baumdiagramm f'ür die 2. Ziehung

Die Contrade C2 kann nun 2 verschieden bestückte Urnen vorfinden, je nach Cl = T oder Cl = ,T - siehe Abb. 2.

Es liegt nun die Vermutung nahe, dass nicht nur P(CI = T) = P(C2 = T) = }~ , sondern sogar P(Ci = T) = i~ für alle 1 ~ i ~ 17 ist. Dann bräuchten sich die Contraden keinerlei Gedan­ken um die Ziehungsreihenfolge zu machen, je­der Streit wäre sinnlos und unbegründet!

Aus einem 3-stufigen Baumdiagramm wie in Abb. 3 erhält man unmittelbar:

10 9 8 10 7 9 7 10 9 P( C3 = T) = 17' 16 '15 + 17 '16 '15 + 17 '16 '15 +

7 6 10 10 + 17 . 16 . 15 = 17

Abb. 3: Baumdiagramm f'ür die 3. Ziehung

Die Vermutung hat sich also bestätigt, aber in dieser Art weiter zu machen scheint ein mühsa­mes Unterfangen zu werden ... ??

Ein einfaches "Symmetrieargument" kann schnell Klarheit verschaffen: Da bei den Zie­hungen kein T- bzw. ,T-Los "bevorzugt" ist,

wird an jeder festen Stelle i jedes Los mit der selben4 Wahrscheinlichkeit gezogen (für alle 1 :::; i :::; 17). Daher ist P(Ci = T) = P(Ci =

Tl) + ... +P(Ci = TlO) = i~ für alle 1:::; i :::; 17.

Durch Umdeutung des Ziehungsvorganges der 17 Kugeln kann auch so argumentiert werden:

Das Ziehen der 17 Kugeln (Lose: 10 T, 7 -,T) durch die 17 Contraden Cl, ... ,C17 bedeutet:

die lOT-Kugeln und die 7 -,T-Kugeln in eine bestimmte Reihenfolge zu bringen, eine speziel­le Anordnung der 17 Kugeln zu erzeugen (siehe Abb.4).

~ ~ ~ ~ ~ 00 ci> 6b0

Abb. 4: Umdeutung des Ziehungsvorganges als Anordnungsproblem

Es ergibt sich die Äquivalenz:

Ci nimmt teil {:} an der Stelle i ist ein T.

Für die weitere Argumentation gibt es zwei Möglichkeiten:

• Da bei Anordnungen keine Stelle bevorzugt ist, gibt es genau so viele Anordnungen mit einem T an 1. Stelle wie mit einem T an jeder anderen Stelle 1 :::; i :::; 17. Daher ist wegen P( Cl = T) = i~ (siehe oben) für alle 1:::; i:::; 17 klar: P(Ci = T) = P(CI = T) = i~ . • Konkrete Berechnung: Für P (Ci = T) zählen wir die Möglichkeiten, wie viele Anordnungen es überhaupt gibt ("möglich") und wie viele davon ein T an der Stelle i haben ("günstig").

#{mögliche Anordnungen}: (i~) (10 von 17 Stellen mit T belegen)

#{günstige Anordnungen}: (T an der Stelle i, 9 von den 16 weiteren Stellen mit T belegen): Cg6) , d. h.

P(C. = T) = (~6) = 10 V· 1 17 z G~) 17 2 = , ... , .

4Nämlich, da es 17 Lose gibt, klarerweise -Ir.

Wir haben damit mehrfach begründet: Die Ziehungsreihenfolge ist wirklich irrelevant, auch für die als letzte ziehende Contrade C17

gilt P(C17 = T) = i~, obwohl C17 gar keine Wahlmöglichkeit mehr hat und die in der Urne verbleibende Kugel nehmen muss!

Alle bis jetzt beschriebenen Modelle des Auswählens haben gemeinsam:

• Für jede Contrade beträgt die Teilnahme­wahrscheinlichkeit (bei jedem Wahlvorgang, je­des Jahr) i~ - das Auswahlverfahren ist in die­sem Sinn also gerecht, keine Contrade wird be­vorzugt . • Die Auslosung geschieht jedes Mal "neu" un­ter den selben Bedingungen: Die K onstellatio­nen des Vorjahres (z. B. ob eine Contrade am Palio teilgenommen hat oder nicht, ob sie viel­leicht sogar gewonnen hat etc.) beeinflusst die Teilnahmewahrscheinlichkeit einer Contrade am diesjährigen Palio nicht. Jede Contrade stellt sich jedes Jahr der Wahl "neu" (Unabhängig­keit der einzelnen Wahlvorgängej "BERNOULLI­Kette").

3 Oftmalige Nicht-Teilnahme hintereinander erzeugt Fru­stration - ein möglicher Ein­stieg zu "Markoff-Ketten"

Die beschriebene Unabhängigkeit der jährli­chen Auswahlvorgänge ("Bernoulli-Kette") ist ein entscheidender Nachteil in den obigen Mo­dellen: Wenn jedes Jahr nach dem Prinzip "neu­es Jahr, neues Rennen, neues Glück" verfahren würde, bestünde durchaus die Möglichkeit, dass eine bestimmte Contrade über mehrere (u. U. sogar sehr viele) Jahre am Palio nicht teilneh­men könnte, was natürlich zu einer sehr hohen Frustration führte.

Wie könnte diese für alle beteiligten Contraden unerwünschte Frustrationsmöglichkeit beseitigt werden?

Hier werden die Schülerinnen und Schüler schnell naheliegende Modelle vorschlagen: Man könnte die 7 Nichtteilnehmer eines Rennens zu Fixstartern für das nächste Rennen erklären! Wie könnten dann die restlichen 3 Startplätze

5

für den nächsten Palio gerecht vergeben wer­den? Auf diese Frage könnten verschiedene Vor­schläge kommen:

• Die Contraden auf den ersten 3 Plätzen ei­nes Palio sollen auch im nächsten starten dürfen: Belohnung für gute Leistung.

Oder: Die Contraden auf den letzten 3 Plätzen eines Palio sollen auch im nächsten starten dürfen: Trost für verpatzte Rennen.

• Aus den 10 Teilnehmern eines Palio sollen (unabhängig von ihren Erfolgen) 3 gewählt werden, die auch am nächsten teilnehmen dürfen. Dies kann z. B. nach einem Ver­fahren des Abschnitts 2 geschehen: jede an einem Palio teilnehmende Contrade hätte dann eine 1~ -Chance, auch beim nächsten Mal dabei zu sein.

Dieses letzte Modell wird in Siena gewählt! In dieser Weise hängen die Juli-Rennen unterein­ander und die August-Rennen untereinander zu­sammen. Die Juli- und die August-Rennen sind aber zwei voneinander unabhängige ,: Stränge" 5

.

Dadurch wird erreicht, dass keine Contrade zweimal hintereinander pausieren muss: nach einer Nicht-Teilnahme folgt mit Sicherheit ei­ne Teilnahme6 ; nach einer Teilnahme folgt mit Wahrscheinlichkeit 130 eine erneute Teil­nahme (mit Wahrscheinlichkeit 170 eine Nicht­Teilnahme ).

Dieses Auswahlverfahren ist keine Bernoulli­Kette mehr, sondern eine so genannte "MARKoFF-Kette": Die Teilnahmewahr­scheinlichkeiten einer Contrade C am Rennen

5Für eine prinzipiell andere (und eher hochschulma­thematisch gehaltene) Analyse dieses Auswahlverfahrens siehe GÖTZ/GROSSER 1999.

6 Auch folgendes System würde dies leisten (möglicher Schülervorschlag): Man nummeriert die Contraden von 1-17, schreibt die Zahlen 1-17 (also den "Block aus 17 Contraden") oft hintereinander und nimmt jedes Jahr "der Reihe nach" 10 Contraden (1-10; 11-3; 4-13; 14-6; 7-16; 17-9; " .). Dadurch wäre nichts Zufälliges mehr im System, sondern jede Contrade hätte ihre vollständig de­terminierte 17-Jahre-periodische T-,T-Folge auf " ewig " Ueweils bestehend aus 10 T's und 7 ,T's in einer be­stimmten Abfolge); jene der Contrade 1 wäre z. B. ~~~~~~~~~~~~~~~~~I T, T, ... ) ; die der anderen Contraden wären analog, nur entsprechend "versetzt".

6

n + 1 hängen (nur) davon ab, ob C beim Rennen n dabei war oder nicht.

Bemerkung: In das Thema "Markoff-Ketten" fließen die drei klassischen Gebiete der Ober­stufenmathematik (Stochastik, Lineare Algebra, Analysis) ein, was insbesondere im Hinblick auf das Prinzip der "Vernetzung" Bedeutung hat: neben Wahrscheinlichkeiten (Stochastik) wer­den auch Matrizen und Vektoren (Lineare Al­gebra) und der Grenzwertbegriff (Analysis) eine Rolle spielen .

Ein Großteil des Folgenden dient der Beantwor­tung der Frage: Ist die Palio-Auswahl "ge­recht"? Mit welcher Wahrscheinlichkeit nehmen wir (die Contrade C) am Palio nach 1 (3, 10, 100, ... ) Jahren teil?

Dabei liegt es nahe, unter "gerecht" zu verste­hen, dass sich auf lange Sicht, d. h. itir große n, für jede Contrade die selbe Teilnahme­wahrscheinlichkeit ergibt, und zwar unabhängig davon, ob die Contrade beim ersten Rennen (das n.ach diesem System abläuft) teilgenom­men hat oder nicht. Andernfalls bedeutete eine (Nicht-) Teilnahme von C beim ersten Rennen ei­ne Verbesserung (bzw. Verschlechterung) ihrer Teilnahmechancen "auf ewig", was klarerweise nicht wünschenswert wäre. Von so einer gerech­ten, für je zwei Contraden gleichen Teilnahme­wahrscheinlichkeit auf lange Sicht erwarten wir natürlich, dass sie den Wert i~ hat, auch aus fol­gender Überlegung über die relative Teilnah­mehäufigkeit bei den ersten n Rennen: Bei n Rennen (n groß) gibt es insgesamt 10· n Renn­teilnahmen, so dass im "gerechten" Fall bei 17 Konkurrenten jedem i~ . n Rennteilnahmen zu­stehen.

Zunächst definieren wir Zufallsgrößen X n mit den beiden möglichen Ausprägungen T und -,T:

Xn = {T, -,T,

falls C am Rennen n teilnimmt falls C am Rennen n nicht teilnimmt

und interessieren uns für die Wahrscheinlich­keitsverteilungen von X n .

Bemerkung: Die Übergangswahrscheinlichkei­ten zwischen den beiden Zuständen T ++ -,T (von einem Rennen zum nächsten) lassen sich z. B. auch in einem gerichteten Graphen sehr über­sichtlich darstellen - siehe Abb. 5.

Mit der Abkürzung

G 7/10

3/10 .'0-. --~@ 1

Abb. 5: Gerichteter Graph

Pn := P(Xn = T), qn:= 1 - Pn = P(Xn = --, T)

interessiert uns also die Folge (Pn)nEN (damit ist auch die Folge (qn)nEN festgelegt).

Für große n sollte Pn ~ i~ sein, und zwar un­abhängig davon, ob C beim Anfangsrennen da­bei war oder nicht - siehe oben.

So ohne weiteres können wir über die Werte Pn bzw. qn keine direkten Aussagen machen, hängen sie doch davon ab, ob C beim Rennen davor teilgenommen hat oder nicht. Der "Me­chanismus" dieser Abhängigkeit von einem Ren­nen n zum nächsten Rennen n + 1 ist uns be­kannt und für alle n der selbe; er ist im Baum­diagramm in Abb. 6 dargestellt.

p. q.

Xn T)

~ 3/10 7/10 1/ 0 / \

X n+1 0 ,T o @ Abb. 6: 2-stufiges Baumdiagramm itir die Zu­fallsgrößen X n bzw. X n +1

Die Pfadregeln ergeben:

3 Pn+l = 10· Pn + 1 . qn (1)

7 qn+l = 10· Pn + 0 . qn (2)

Mit Hilfe dieser beiden Iterationsformeln können wir nun ausgehend von einem bestimmten An­fangsrennen, an dem wir teilgenommen haben (oder auch nicht: je nachdem ist dann Po = 1 oder Po = 0) schrittweise die Teilnahmewahr­scheinlichkeiten Pi bzw. qi konkret berechnen: (po, qo) -+ (PI, qI) -+ (P2, q2) -+ (P3, q3) -+ .... Dies sollten Schülerinnen und Schüler (noch oh­ne Computer) bis zum Index 3 oder 4 wirklich ausführen. Sie merken schnell, dass hierbei wie­derholt das selbe zu tun ist, was immer ein An­zeichen dafür ist, dass Computer gut einsetzbar sein müssten.

Obiges Gleichungssystem kann man auch mittels einer Matrix schreiben:

(% ~) (::) (:::~) (3) ------- ---..-.- '-..--' :=A :=7rn :=7i'n+l

Nun werden die Verbindungen zur Linearen Al­gebra schon deutlich.

Bemerkungen:

• Matrizenrechnung wird ab nun vorausge­setzt, obwohl sie nicht an jeder Oberstufe un­terrichtet wird (es wäre u. U. auch möglich, sie an dieser Stelle einzuführen).

• Es ist nicht denknotwendig, hier Matrizen­rechnung und Markoff-Ketten ins Spiel zu brin­gen, man fande bei Prozessen mit nur 2 mögli­chen Zuständen auch das Auslangen mit einfa­chen Rekursionsgleichungen (hier: lineare Diffe­renzengleichungen 1. Ordnung), um die Konver­genz Pn -+ i~ bzw. eine explizite Darstellung für Pn herauszufinden; dies wird hier aber absicht­lich nicht im Detail verfolgt 7 . Obwohl es im 2 x 2-Fall also "einfacher" ginge (siehe Fußnote), blei­ben wir hier bei "Markoff-Ketten in Matrixdar­stellung", weil wir einen möglichen Einstieg in das in Rede stehende allgemeine Thema bieten

7Hier nur eine Kurzfassung: Aus der Gleichung (1) folgt mit qn = 1 - Pn unmittelbar pn+l = - !öPn + 1 (*) , eine lineare Differenzengleichung 1. Ordnung, de­ren klassische Lösung, d. h. explizite Darstellung für pn, mit der Summenformel für geometrische Reihen zu tun hat; alternativ dazu könnte kürzer auch folgendermaßen argumentiert werden: der einzig mögliche (dadurch noch nicht nachgewiesene!) Grenzwert P ergibt sich aus der Gleichung P = -!öP + 1, also P = f%. Daher liegt es be­sonders nahe, die Abweichungen pn - f% zu untersuchen (und als Nullfolge zu entlarven): Aus (*) erhält man so­fort (Pn+l - f%) = (- 4) . (Pn - f%), wodurch klar ist, dass die Differenzen pn - f% eine geometrische Folge mit dem Faktor _.L bilden. Dadurch ist nicht nur die Kon­vergenz pn -+ ~, sondern auch die Konvergenzgeschwin­digkeit klar, und dass die Werte pn abwechselnd über bzw. unter dem Grenzwert P = ~ liegen. Wem nur an der Klärung Pn -+ P bei 2 möglichen Zuständen gelegen ist, kann nach der fußnote die Lektüre abbrechen, denn der Rest widmet sich dem Matrizenkalkül, der auch bei mehr als 2 Zuständen anwendbar ist. Analoges könnte man nämlich bei allen solchen "Prozessen" mit nur 2 mögli­chen Zuständen machen: aus pn+l = a . pn + b mit a '" 1

folgt allgemein: (Pn+l - l~a) = a· (Pn - l~a)' woraus

die Konvergenz von (Pn) gegen l~a für lai < 1 ables­bar ist. Die explizite Darstellung für Pn ergibt sich - falls

gewünscht - unmittelbar als Pn = an . (po - l~a) + l~a·

7

wollen und dort eben Matrizen nötig sind (die "einfache" matrixfreie Methode funktioniert bei n ~ 3 Zuständen eben nicht mehr so einfach). Die im 2 x 2-Fall erworbenen und verstandenen Erkenntnisse können dann unmittelbar auch auf n ~ 3 "Zustände" übertragen werden (nur n x n­statt 2 x 2-Matrizen). Außerdem wird dadurch eine Vernetzung Stochastik - Lineare Algebra (auch Analysis) erreicht (weitere Argumente für diesen Zugang - siehe unten: selbständiges Ent­decken von Phänomenen, CAS-Einsatz etc.).

• Der Patio bietet zudem inhaltlich einige Vor­teile: Realitätsbezug; die Markoff-Bedingungen sind wirklich erfüllt und ändern sich über Jahr­hunderte nicht ("homogene Markoff-Kette"), so dass die Untersuchung des "Langzeitverhaltens" wirklich Sinn macht (im Gegensatz zu manchen anderen Anwendungsbeispielen).

Zurück zur Matrixdarstellung (3):

Der (Spalten-) Vektor ifn := ( ~: ) beschreibt

offenbar die Teilnahmewahrscheinlichkeit der Contrade beim n-ten Rennen: m. a. W. er be­schreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X n (die ja nur zwei mögliche Aus­prägungen hat). Der Vektor ifn heißt deshalb auch" Wahrscheinlichkeitsvektor zum Zeitpunkt n" oder "Verteilung zum Zeitpunkt n".

Multipliziert man ihn (von links) mit der Ma­trix A, so erhält man den Vektor 7rn +1 , der die Teilnahmewahrscheinlichkeiten am (n + 1)-ten Rennen beschreibt.

Die Matrix A sorgt für den Vektor-Übergang ifn -+ ifn+1 und heißt deshalb Übergangsmatrix.

Was hat man von dieser Erkenntnis, dass das Gleichungssystem in Matrixform geschrieben werden kann? Es eröffnet eine Möglichkeit, aus-

gehend von ifo = (~~) direkt zu if n =

( ~: ) zu kommen, ohne n-mal die mühselige

Iteration durchführen zu müssen:

ifl = A· ifo if2 = A . ifl = A . (A . ifo) = A 2 . ifo if3 = A . if2 = A . (A2 . ifo) = A3 . ifo

8

Um ifn zu erhalten, muss man also "nur" An bilden und mit ifo multiplizieren.

Bemerkung: Diese Arbeit wird vom Compu­ter - natürlich auch iterativ (schrittweise) - er­ledigt. Durch die Matrix-Darstellung wird al­so nicht Rechenarbeit erspart, sondern nur ei­ne "CAS-taugliche" Form gewählt, so dass das Mühselige an den Computer übertragen werden kann, ohne selbst ein Programm dafür schreiben zu müssen.

Man "erlebt" die Bedeutung der Matrizen­multiplikation, des Potenzierens von Matrizen, der Matrix-Vektor-Multiplikation, der Assozia­tivität. Ohne Computer kann man natürlich kei­ne hohen Matrixpotenzen berechnen, sondern nur solche von sehr niederer Ordnung; mit einem CAS (diese haben alle die Möglichkeit, Matrizen in Sekundenbruchteilen zu potenzieren) steht hingegen einer weitgehend selbständigen Ent­deckung einiger Phänomene durch die Schülerin­nen und Schüler nichts im Wege (im Folgenden genauer beschrieben, z. B. spezielle Eigenschaf­ten von An bzw. ifn für große n).

Zurück zu unserer Contrade: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie in 3 Jahren teil­nehmen / nicht teilnehmen wird?

W · b h d für' A3 (0.45 0.79) ( Ir raue en a :::= 0.55 0.21 gro-

be 2-stellige Rechnung, d. h. 2 signifikante Zif­fern, genügt einstweilen).

Sie habe im Palio dieses Jahres teilgenommen,

d. h. ifo = ( ~~ ) = ( ~ ) ; dann ergibt sich:

- ( P3 ) A3-11"3 = q3 = . 11"0 :::=

. ( ~ ) = ( ~::~ ) .

( 0.45 0.79). 0.55 0.21

Die gesuchte Teilnahmewahrscheinlichkeit be­trägt also P3 :::= 0.45 .

Welche Werte haben P3 bzw. q3, wenn die Con­trade in diesem Jahr nicht teilgenommen hat,

d. h. bei ifo = ( ~~ ) = ( ~ ) ? Analog:

i a = ( :: ) ~ (~::~ ~:~i)' ( ~ ) = ( ~:;i ) . Die Teilnahmewahrscheinlichkeit beträgt hier P3 :::= 0.79 und unterscheidet sich von obiger

doch beträchtlich. Die diesjährige Teilnahme bzw. Nicht-Teilnahme wirkt sich also noch stark auf die Teilnahmechancen in drei Jahren, d. h. auf den Wahrscheinlichkeitsvektor 7r3 aus.

Die selben Fragen für 10 Jahre (nur noch mit

CAS · 11) A10....., (0.60 0.57) smnvo: ....., 0.40 0.43 .

Teilnahme in diesem Jahr, d. h. 7r0 = ( ~ )

7rlO = ( :~: ) ~ (~:~~ ~:!~)- ( ~ ) = ( ~:~~ )

Keine Teilnahme in diesem Jahr, 7r0 = ( ~ ) :

7r1O = ( :~: ) ~ (~:~~ ~:!~)- ( ~ ) = ( ~:!~ ) Nach 10 Jahren unterscheiden sich die bei­den Teilnahmewahrscheinlichkeiten P10 bzw. die beiden Wahrscheinlichkeitsvektoren 7r1O

(in Bezug auf diesjährige Teilnahme/Nicht­Teilnahme) nur mehr wenig: P10 ~ 0.60 und PlO ~ 0.57. Wird dieser Unterschied mit wach­sendem n tatsächlich immer geringer? Um diese Vermutung experimentell zu bestätigen, wählen wir bei größeren n vorsichtshalber eine höhere Genauigkeit, z. B. die CAS-Standardeinstellung mit 6 signifikanten Ziffern:

Obige Fragen für z. B. n = 100 Jahre: A 100 ~ (0.588235 0.588235)

0.411765 0.411765

- = ( P100 ) = A lOO • ( 1 ) '" ( 0.588235 ) 7T100 Q100 0 '" 0.411765

7r100 = ( :~~~ ) = A100 . ( ~ ) ~ ( ~:!~~;~~ ) Nach 100 Jahren unterscheiden sich die beiden Wahrscheinlichkeitsvektoren 7r100 (in Bezug auf dieses Jahr T bzw. -.T) praktisch nicht mehr!

Auch bei jedem anderen" Wahrscheinlichkeits-

Startvektor" (Po )

qo=l-po , der

die Anfangs-Teilnahmewahrscheinlichkeit be­schreibt, hätte sich - weil jede Zeile in A 100 aus (fast) identischen Werten besteht und qo = I-po ist - der selbe Vektor 7r100 ergeben:

7r100 = ( P100 ) = A 100 . ( Po ) ~ ( 0.588235 ) Q100 Qo 0.411765

Berechnet man auch A 101 und 7r101, so sieht man, dass sich A 100 von A 101 bzw. 7r100 von 7rlOI

(bei 6 signifikanten Ziffern) nicht mehr unter­scheiden.

Der experimentelle Befund lässt vermuten, dass die Folge der Matrixpotenzen (An) gegen eine Grenzrnatrix G konvergiert, deren Eigenschaft man in A 100 ~ G schon ablesen kann:

• G hat Zeilen aus jeweils gleichen Werten;

• oder: G hat identische Spalten.

Wenn dies richtig ist, dann konvergieren auch die Wahrscheinlichkeitsvektoren 7rn gegen einen eindeutig bestimmten Grenzvektor 7r ~

( 0.588235) d . h d . I . 0.411765 ' er nIC ts an eres 1st a seme

Spalte von G; diese Konvergenz 7rn -t 7r ist dann sogar unabhängig vom Startvektor 7r0

(siehe oben).

Diese spezielle Konvergenz der 7rn (Unabhängig­keit von 7r0 8; genaue Bedingungen dafür: siehe unten) können Schülerinnen und Schüler einfach durch Probieren am Computer selbständig ent­decken und diesbezügliche Vermutungen äußern.

Es bleibt die Frage, was es mit den Werten 0.588235 und 0.411765 auf sich hat?

Auf lange Sicht hatten wir doch (bei Gerech­tigkeit des Auswahlverfahrens) eine Teilnahme­wahrscheinlichkeit von i~ erwartet; tatsächlich gilt: i~ ~ 0.588235 und 17 ~ 0.411765.

Dadurch drängt sich natürlich sofort die Ver­mutung auf, dass diese Werte des Grenzvektors 7r ~ ?r100 vielleicht auch einfacher zu bekommen sein müssten, ohne die Grenzmatrix G ~ A 100

zu berechnen.

Tatsächlich, allein die gesicherte Existenz einer Grenzmatrix G = lim An mit Zeilen aus je-

n-too weils gleichen Werten, ohne sie konkret zu ken-nen, hat entscheidende Konsequenzen (deswe­gen drängt sich die Frage nach Bedingungen dafür ja geradezu auf - Exaktifizierung später):

Wenn es nämlich eine solche Grenzmatrix G gibt, so gibt es "klarerweise"g auch den Grenz­vektor 7r, und zwar eindeutig (unabhängig von 7r0 !) - siehe oben.

8Das Entdecken dieser Unabhängigkeit erfordert mehr als das bloße Sehen, dass die Matrixpotenzen gegen eine spezielle Grenzmatrix zu konvergieren scheinen.

9Formal gezeigt im nächsten Abschnitt.

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Weiters ist "klar" (kann auch formal exak­tifiziert werden - nächster Abschnitt): dieser Grenzvektor if darf sich durch Multiplikation mit A natürlich nicht mehr verändern, d. h. es muss gelten: A . if = if; if muss also "Fixvektor" von A sein. Dies führt zur Fixvektorgleichung

wobei für die Wahrscheinlichkeiten p, q ~ 0 noch P + q = 1 gelten muss. Die leicht verifizierbare Lösung ist

In diesem Zusammenhang geben wir folgende

Definition: Ein Vektor mit nichtnegativen Ein­trägen und Spaltensumme 1 heißt "stochasti­scher Vektor" (wie z. B. die Vektoren ifo, ifn bzw. if). Eine n x n-Matrix mit nichtnegativen Einträgen und alle Spaltensummen = 1 heißt "stochastische Matrix" (wie z. B. die Matrizen A, An, G) 10.

Eine entscheidende Frage ist nun: kann es ande­re stochastische Fixvektoren als den gesuchten Grenzvektor if geben? Wenn nicht, so könnten wir if einfach als den stochastischen Fixvektor berechnen.

Diese Frage kann mit einem "erlösenden NEIN" beantwortet werden: denn jeder stochastische Fixvektor s ist klarerweise auch Grenzvektor -nämlich bei Startvektor ifo = s - und der Grenz­vektor if ist ja eindeutig (unabhängig vom sto­chastischen Startvektor ifo - siehe oben; formal wieder im nächsten Abschnitt).

Wir haben dadurch nun die Absicherung: der unbekannte (stochastische) Grenzvektor if ist einfach zu bestimmen, nämlich als der (eindeu­tig existierende, stochastische) Fixvektor von A.

Für den Palio bedeutet dies: wie auch im­mer der Startvektor bzw. die Startverteilung

ifo = (1 Po ) "aussieht", beim Palio-- Po = qo

Auswahlmodus ist die Teilnahmewahrschein-lichkeit nach "vielen" Jahren davon (nahezu) unabhängig und nähert sich dem Wert i~.

lOEs ist eine einfache Übungsaufgabe zu zeigen: Wenn A, B, x stochastisch sind, so auch y = A· x und C = A· B!

10

Die Frage nach der Gerechtigkeit des Palio­Auswahlverfahrens kann also positiv beant­wortet werden.

4 Übergangsmatrizen und For­males zu den obigen Plausi­bilitäts betrachtungen

4.1 Aufstellen von Übergangsmatri­zen

Die Elemente Pij der Übergangsmatrix A = (Pij) (" Übergangswahrscheinlichkeiten") sind nicht nur im 2 x 2-Fall durch folgendes Schema leicht zu erhalten (nur zwei mögliche Zustände Z1 = T und Z2 = -,T):

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Ivon! T -,T

T 10 1

I nach I -,T 7 0 10

A = (~ 1) = (pn P12) 10 0 P21 P22

Genau so bekäme man auch die entsprechende k x k-Übergangsmatrix A bei k ~ 2 Zuständen {Z1,"" Zk}:

P1k

Pkk

Pij ist die Wahrscheinlichkeit, dass "sich der Prozess im Zustand Zi befindet, wenn er sich davor im Zustand Zj befunden hat"; man be­achte die Rückwärtsrichtung des Pfeiles m: Pij := P(Zi t- Zj) [ kurz: P(i t- j) 1 .

4.2 Obige Plausibilitätsbetrachtun­gen in formaler Sichtweise

Die Inhalte der in den letzten Absätzen sa­lopp formulierten Plausibilitätsbetrachtungen

können auch formalisiert (exaktifiziert) werden; Vier einfache Lemmata werden schließlich zu dem Satz " zusammengefügt " , der die formali­sierte Rechtfertigung dafür ist, im Fall der Exi­stenz von G mit Zeilen aus jeweils gleichen Wer­ten, den unbekannten (stochastischen) Grenz­vektor * einfach zu bestimmen, nämlich als den (eindeutig existierenden, stochastischen) Fixvektor von A.

Lemma 1::3 lim An =: G (nicht notwendig n-+oo

mit identischen Spalten) => Konvergenz der Folge (in) (für verschiedene Startvektoren i o möglicherweise verschiedene Grenzvektoren i) !

Beweis: (io ist ein konstanter Vektor !)

lim in = lim (An. i o) n-+oo n-+oo

= G· i o =: i. •

( lim An) ·io = n-+oo

'-...--' G

Definition: Ein Vektor s heißt Fixvektor von A, wenn A· s= sgilt.

Lemma 2: Jeder Grenzvektor i ist auch Fix­vektor.

Beweis: (A ist konstant!) 1 A·i 1=

A· (G· io) = (A· G)· i o = (A. lim An) . i o = n-+oo

CI.!..~ An+1

) ·io = G· i o = 1 i I· • '-..,-'

G

Lemma 3: Jeder Fixvektor sist auch Grenzvek­tor (bei Startvektor i o = S).

Beweis: A· s = s => A 2 . S = S => ... => An. S = s (\:In E N). Daher ist

I nl.!..~ (An. S) = s I und salso Grenzvektor. •

Lemma 4::3 lim An =: G mit Zeilen aus je-n-+oo

weils gleichen Werten => der Grenzvektor * ist unabhängig von *0, d. h. eindeutig! ( i o, i beide stochastisch)

Beweis: :3 i = G . i o nach Lemma 1.

i = G . i o = (~ ~). ( 1 ~opo ) = ( ~ ) => i ist immer eine G-Spalte - unabhängig vom konkreten Wert 0 ::; Po ::; 1. •

Aus diesen vier Lemmata setzt sich der Beweis des folgenden Satzes zusammen:

Satz 1: :3 lim An =: G mit Zeilen aus n-+oo

jeweils gleichen Werten =>

eindeutiger Grenzvektor * = eindeutiger Fixvektor s (i, S, i o stochastisch)

Beweis: Nach Lemma 4 existiert der Grenzvek­tor i für alle io, sogar unabhängig von i o, d. h. er ist eindeutig. Nach Lemma 2 ist i auch Fixvektor. Umgekehrt ist nach Lemma 3 jeder Fixvektor s auch Grenzvektor, der nach Lemma 4 eindeutig i ist: s = i! •

Bemerkungen: • Andere mögliche Zugänge und Vertiefun­gen innerhalb des Matrix-Kalküls (Eigenwerte, Eigenvektoren, Diagonalisierung etc.) seien hier absichtlich ausgeblendet, um das Elementare im Vordergrund zu lassen. • Man kann Markoff-Ketten auch in Verbin­dung mit gerichteten Graphen betrachten (vgl. Abb. 5), wobei diese eine ebenfalls sehr über­sichtliche Form der Darstellung jenes Informati­onsgehaltes sind, der auch in der Übergangsma­trix (durch die Übergangswahrscheinlichkeiten) steckt. Man könnte Markoff-Ketten sogar aus­schließlich durch gerichtete Graphen darstellen und bearbeiten (z. B. ENGEL 1976), wobei dann allerdings die Verbindung zur Linearen Algebra nicht gegeben wäre.

5 Der Satz von Markoff

Dies alles erhielten wir unter der Voraussetzung, dass eine wie oben beschriebene Grenzmatrix G existiert, so dass die Frage auf der Hand liegt: Wie kann man es einer stochastischen Matrix A ansehen, ob die Matrixpotenzen An gegen ei­ne Grenzrnatrix G mit Zeilen aus jeweils glei­chen Werten konvergieren? (Hinreichendes Kri­terium?)

Bemerkung: Hier eröffnet sich mit CAS ein weites Probierfeld mit stochastischen Matrizen (insbesondere 2 x 2, evtl. auch 3 x 3, 4 x 4, ... ): Finde stochastische Matrizen, so dass An ge­gen eine solche Grenzmatrix G konvergiert (bzw. nicht konvergiert). Besonders für den Fall von 2 x 2-Matrizen ist eine Vermutung leicht zu er­halten: bis auf zwei (leicht zu findende) A us­nahmen konvergiert (An) für alle stochastischen

11

2 x 2-Matrizen A gegen eine Grenzmatrix G mit den genannten Eigenschaften. Dazu nun der "entscheidende"

Satz von Markoff: Sei A eine stochastische Matrix. Dann gilt:

:3 n ~ 1: An hat (mindestens) eine Zeile mit nur positiven Elementen (d. h. keine Nullen)

:3 lim An =: G n-too

mit Zeilen aus jeweils gleichen Werten

Der allgemeine Beweis dieses Satzes ist im Schulunterricht nicht sinnvoll; die Formulierung, die Diskussion seiner Bedeutung und seine Ver­wendung jedoch sehr wohl! Für den Spezialfall von 2 x 2-Matrizen gibt es verschiedene einfache Beweise; ein besonders einfacher ist hier darge­stelltll .

Zur Vorbereitung des Beweises is~ es günstig, die ersten Potenzen einer stochastischen 2 x 2-

M . A (0, 30 0, 60 ) atnx = 0, 70 0,40 etwas genauer zu

betrachten A2, A3, A4 und die Entwicklung der "Zeilenintervalle" etwas genauer zu beobachten:

( 0,51 0,42) (0,447 0,474) (0,466 0,458) 0,49 0,58 ' 0,553 0,526 ' 0,534 0,542

Man kann dabei schon einiges über die einzel­nen Zeilen in den Matrixpotenzen ablesen und dadurch auf genauer zu untersuchende Vermu­tungen kommen, die den Beweis schon" vorweg­nehmen":

Die "Zeilenintervalle" scheinen sich zusammen­zuziehen:

• das Intervall der 1. Zeile von A n+1 ist ganz im 1. Zeilenintervall von An enthalten: [0,30; 0, 60] ;2 [0,42; 0, 51] ;2 [0,447; 0, 474] ;2 [0,458; 0, 466] !

• sucht man nach einem bestimmten Muster, nach dem sich diese Intervalle entwickeln, so

111ch danke Herrn W. Hansen (Universität Bielefeld) für Anregungen zu diesem Beweis. Es ist damit auch schon der Weg zum Beweis des allgemeinen Falls ange­deutet: "Intervallschachtelung".

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kann rasch ins Auge springen, dass alle Zeilenin­tervalllängen ca. das 0,3-fache der vorhergehen­den sind; die Längen der 1. Zeilenintervalle be­tragen der Reihe nach: 0, 3 -+ 0, 09 -+ 0, 027 -+ 0,008. (Beide Punkte analog für die 2. Zeilen)!

Diese Beobachtungen regen zu Vermutungen an, die im Folgenden formuliert und bewiesen wer­den.

Lemma 5: Sei A = ( 1 ~ p 1 ~ q ) eine sto­

chastische 2 x 2-Matrix (d. h. p, q E [0; 1]) und

An =; (:: !:); dann gilt in der "Folge der

Zeilenintervalle" für alle n ~ 1:

1. jedes "neue" Zeilenintervall [an+l, bn+1]

liegt ganz im "alten" [an, bnl und analog: [cn+l,dn+1] ~ [Cn,dn]!

2. die "neuen" Zeilenintervall-Längen in An+1 betragen das (p - q)-Fache der "al­ten" in An !

Beweis: Wir berechnen zunächst

und erhalten dadurch unmittelbar:

1. Zeilenintervalle: an +1, bn+1 sind " konvexe Linearkombinationen" von an, bn:

womit sich an+l, bn+1 E [an, bn] ergibt (analog für die 2. Zeile).

2. Zeilenintervall-Längen: Man errechnet unmittelbar:

bn+1 - an+1 = (p - q)(bn - an) ,

dn+1 - Cn+l = (p - q)(dn - Cn) ,

womit obige Behauptung gezeigt ist. Wen­det man diese Erkenntnis beginnend bei n

schrittweise n-1-mal an, so erhält man dar­aus sogar. weiter gehend

bn - an (p - qt-l (bl - at} = -(p - qt , "-v-"

q-p

dn - Cn = (p - qt-l(dl - cd = (p - qt . ----p-q

Der Satz von Markoff für 2 X 2-Matrizen:

Sei A = ( 1 ~ p 1 ~ q ) eine stochastische

2 x 2-Matrix, d. h. p, q E [0; 1]; dann gilt:

Genau für (p, q) =1= (1,0) und (p, q) =1= (0,1) hat

die Grenzmatrix nl~~ An =: G = (~ ~) Zeilen aus jeweils gleichen Werten.

Beweis:

1. • Für (p, q) = (1,0) ist A = E =

(~ ~) und daher An = E = G, d.

h. G hat nicht die geforderte Gestalt.

• Für (p, q) = (0,1) ist A = (~ ~) und A2n = E bzw. A2n+l = A für alle n; daher existiert G nicht.

2. Sei nun (p, q) =1= (1,0) 1\ (p, q) =1= (0,1) => Ip - ql < 1 .

In An = (:: ~:) liegt nach Lemma 5.1

jedes "neue Zeilenintervall" ganz im vorhe­rigen; nach Lemma 5.2 gehen die Intervall­Längen (Ip - ql < 1!) gegen 0:

lim (bn - an) = lim (_(P - q)n) = ° n-+oo n-+oo

lim (dn - Cn) = lim ((P - q)n) = ° n-+oo n-+oo

Daraus folgt (Intervallschachtelung!) die Existenz und Gleichheit der Limiten:

lim an = lim bn =: a ; n-+oo n-+oo

lim Cn = lim dn =: ß. • n-+oo n-+oo

Bemerkung: Beim allgemeinen Satz ist der Beweis, dass jedes Zeilenintervall ganz im nächsten liegt, ge­nau so einfach ("konvexe Linearkombination")j dass die Zeilenintervall-Längen gegen 0 konvergieren, ist doch aufwändiger zu zeigen.

Erfahrungen aus dem Unterricht:

Herr Florian Rösner hat in einem Leistungskurs der Klasse 12 (wirtschaftlich orientierter Zweig des Friedrich-List-Berufskollegs in Hamm) diesen Zu­gang zu Markoff-Ketten ausprobiert und dem Au­tor nur Positives darüber berichtet (die Schülerin-

• nen und Schüler waren im Rahmen einer Kultur­Woche in der Toskana sogar vor Ort in Siena und haben einen Palio gesehen). Ein anschließender Un­terrichtsschwerpunkt lag vor allem bei selbständi­gem Experimentieren mit GAS. Da die Schülerin­nen und Schüler mit CAS umgehen konnten, ha­ben auch Leistungsschwächere herausgefunden (et­was langsamer als die leistungsstärkeren, aber doch selbständig!), dass die Matrixpotenzen An gegen ei­ne spezielle Grenzmatrix zu konvergieren scheinen, wodurch ein BegrÜlldungsbedürfnis entstanden ist. Dies ist zunächst durch heuristische Plausibilitätsbe­trachtungen und anschließend in Form eines (ande­ren) Beweises für den Fall von 2 x 2-Matrizen gesche­hen. Weitere Anwendungsaufgaben aus dem Bereich Wirtschaft-Marketing ergänzten den Lehrgang.

Literatur:

1. ENGEL, A. (1976): Wahrscheinlichkeitsrech­nung und Statistik (Band 2). Klett, Stuttgart.

2. GÖTZ, S. u. M. GROSSER (1999): Über das Pferderennen in Siena. In: Mathematische Se­mesterberichte 46, 1, 77-92.

3. JACOBS, M. u. H. SORGE (1994): In welchem Laden kaufst Du morgen ein? - Markow-Ketten und Entscheidungen. In: mathematik lehren 63, 47 - 50.

4. LAMBACHER-SCHWEIZER (2001): Leistungs­kurs: Lineare Algebra mit analytischer Geome­trie. Klett, Stuttgart.

5. LEHMANN, E. (1973): Endliche homogene Mar­koffsche Ketten. Beiträge für den mathemati­schen Unterricht (10). Bayerischer Schulbuch­verlag, München.

6. LEHMANN, E. (1986): Markow-Ketten. In: Der Mathematikunterricht 32, 5, 60-92.

7. MEYER, D. (1998): Markoff-Ketten. In: Mathe­matik in der Schule 36, 12, 661-670, 675-680.

8. SCHEID, H. (1986): Stochastik in der Kollegstu­fe. BI, Mannheim Uetzt: Spektrum).

9. WIRTHS, H. (1997): Markow-Ketten - Brücke zwischen Analysis, linearer Algebra und Stocha­stik. In: Math. Schule 35, 11,601-613.

Anschrift des Verfassers: Hans HUMENBERGER, IE­EM, FB Mathematik, Universität Dortmund, D -44221 Dortmund.

Mrul: hans.humenbergerCmath.uni-dortmund.de

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