deret dan aproksimasi -...
TRANSCRIPT
Deret dan
Aproksimasi
Deret MacLaurin
Deret Taylor
Tujuan
• Kenapa perlu perkiraan?
– Perkiraan dibentuk dari fungsi paling sederhana –
polynomial.
– Kita bisa mengintegrasikan dan mendiferensiasi dengan – Kita bisa mengintegrasikan dan mendiferensiasi dengan
mudah.
– Kita bisa gunakan saat kita tidak tahu fungsi sebenarnya.
Polynomial Approximations
• Misalkan kita ingin membuat perkiraan untuk sebuah fungsi
yang kompleks pada sekitar x = 0;
• Perkiraan paling simple adalah menentukan sebuah konstanta,
sehingga:
00 )( axp =• Catatan: perkiraan di atas disebut sebagai zero’th order
polynomial approximation;
• Lalu, nilai berapa yang harus kita berikan pada konstanta itu?
00 )( axp =
Polynomial Approximations
• Kita inginkan angka paling akurat pada x = 0.
• Sehingga: )0()(0 fxp =
2 f(x)
-1 -0.5 0 0.50.5
1
1.5
x
y
p(x)
Polynomial Approximations
• Contoh
xxf
−=
1
1)(
1)(11
1)0( 0 =⇒== xpf
Polynomial Approximations
1.5
2 f(x )
Kurang akuratTidak akurat
-1 -0 .5 0 0 .50.5
1
x
y
p0
(x )
Sangat
akurat
Polynomial Approximations
• Sekarang kita tingkatkan dengan perkiraan dengan
menggunakan aproksimasi linier (1st order
approximation);
xaaxp 101 )( +=
• Sekarang kita pilih nilai sehingga perpotongan dan
garis nya semirip mungkin dengan fungsi sebenarnya.
Polynomial Approximations
• Menyamakan perpotongan:
• Menyamakan slope:
)0(
)0(0)0()0(
0
101
fa
faafp
=⇒
=×+⇒=
• Menyamakan slope:
• Sehingga polinom nya:
)0()0()0( 11 fafp ′=⇒′=′
xffp )0()0()0(1′+=
Polynomial Approximations
• Contoh
xxf
−=
1
1)(
xaaxp 101 )( +=
11)0(1
01
1)0( 0 ==⇒=
−= faf
( )1)0(1
1
1)0( 12
=′=⇒=−
=′ fax
f
xxp +=⇒ 1)(1
Ingat, Metode Newton Raphson
( ) ( )
tangent = =
=−
dy
dxf
f xf xi
'
'0
f(xi)
tangent
( ) ( )
( )( )
=−
−
= −
+
+
f xf x
x x
rearrange
x xf x
f x
i
i
i i
i i
i
i
'
'
0
1
1
xixi+1
1.5
2 f(x)
Polynomial Approximations
1.5
2 f(x)
p1(x)
Masih ‘lumayan’ sampai disini
-1 -0.5 0 0.50.5
1
x
y
p0(x)
-1 -0.5 0 0.50.5
1
x
y
p0(x)
Polynomial Approximations
• Sekarang coba dengan perkiraan kuadratik:
• Kita inginkan perpotongan, gradient dan kurva
2
2102 )( xaxaaxp ++=
• Kita inginkan perpotongan, gradient dan kurva
(turunan kedua) dari perkiraan kita dapat match
dengan fungsi sebenarnya pada x = 0.
Polynomial Approximations
• Menyamakan perpotongan:
• Menyamakan kemiringan:
)0(
)0(00)0()0(
0
2
2102
fa
faaafp
=⇒
=×+×+⇒=
• Menyamakan kemiringan:
)0(02)0()0( 212 faafp ′=×+⇒′=′
Polynomial Approximations
• Mencocokkan kurva (turunan ke 2):
• Memberikan polinom
)0(2
1
)0(2)0()0(
2
22
fa
fafp
′′=⇒
′′=⇒′′=′′
• Memberikan polinom
2
2 )0(2
1)0()0()( xfxffxp ′′+′+=
Polynomial Approximations
• Contoh
• Dari sebelumnya:
xxf
−=
1
1)(
2
2102 )( xaxaaxp ++=
1,1 == aa• Dari sebelumnya: 1,1 10 == aa
( )1
2)0(21
2)(
2
23
=⇒
=′=⇒−
=′′
a
fax
xf
2
2 1)( xxxp ++=⇒
Polynomial Approximations
1.5
2 f(x)
p1(x)
1.5
2
y
f(x)
p1(x)
p2(x)
Lebih ‘lumayan’ lagi ya..
-1 -0.5 0 0.50.5
1
x
y
p0(x)
-1 -0.5 0 0.50.5
1
x
y
p0(x)
Polynomial Approximations
• Kita bisa teruskan penaksiran secara polinom hingga
n derajad.
• Kalau kita teruskan, kita akan mendapatkan rumus:
)0()0()()( xffxpxf ′+=≈
!)0(
!2)0(
)0()0()()(
)(2
n
xf
xf
xffxpxf
nn
n
++′′+
′+=≈
K
Polynomial Approximations
• Akurasi perkiraan akan bertambah seiring dengan
penambahan polinom;
• Kita lihat polinom derajad 0, 1, 2 dan 6 (warna hijau),
dibanding fungsi asli nya f(x) (warna biru).
Polynomial Approximations
1.5
2
y
f(x)
p1(x)
p2(x)
p6(x)
-1 -0.5 0 0.50.5
1
x
p0(x)
Maclaurin (Power) Series
• Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajad tak
hingga
KK +++′′+
′+=
!)0(
!2)0(
)0()0()(
)(2
n
xf
xf
xffxf
nn
• Notice: Deret infinite (tak hingga) menyatakan bahwa
akhirnya deret ini sama dengan fungsi sebenarnya, bukan
penaksiran lagi!
!!2 n
Taylor Series
• Sesungguhnya, kita bisa membuat
deret polinom yang berasal dari titik
• Dari awal kita selalu memulai
perkiraan pada nilai 0=x
deret polinom yang berasal dari titik
manapun. 0xx =
• Ini disebut Taylor Series.
• Jadi, Deret MacLaurin merupakan
Deret Taylor yang berpusat pada x0=0
Taylor Series
• Rumus umum Deret Taylor:
−
−′′+−′+=
)(
!2
)()())(()()(
2
00000
xx
xxxfxxxfxfxf
n
KK +−
++!
)()( 0
0
)(
n
xxxf
nn
∑∞
=
−=
0
00
)(
!
)()(
n
nn
n
xxxf
Taylor Series
• Approximate function? Copy derivatives!
0.0
0.5
1.0
f(x)=
sin
(2πx
) What is f(x) near x=0.35?
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
-1.0
-0.5
0.0
X
f(x)=
sin
(2
0.0
0.5
1.0
f(x)=
sin
(2πx
)Taylor Series
• Approximate function? Copy derivatives!
What is f(x) near x=0.35?
0 ( ) (0.35)T x f=
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
-1.0
-0.5
0.0
X
f(x)=
sin
(2
0
0.0
0.5
1.0
f(x)=
sin
(2πx
)Taylor Series
• Approximate function? Copy derivatives!
( )1( ) (0.35)T x f=What is f(x) near x=0.35?
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
-1.0
-0.5
0.0
X
f(x)=
sin
(2
( )'(0.35) 0.35f x+ −
0.0
0.5
1.0
f(x)=
sin
(2πx
)Taylor Series
• Approximate function? Copy derivatives!
( )2 ( ) (0.35)T x f=
What is f(x) near x=0.35?
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
-1.0
-0.5
0.0
X
f(x)=
sin
(2
( )
( )212
'(0.35) 0.35
''(0.35) 0.35
f x
f x
+ −
+ −
0.0
0.5
1.0
f(x)=
sin
(2πx
)Taylor Series
• Approximate function? Copy derivatives!
10 ( )T x
( )2 ( ) (0.35)T x f=What is f(x) near x=0.35?
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
-1.0
-0.5
0.0
X
f(x)=
sin
(2
( )( )( )
0
( )!
iiN
N
i
f a x aT x
i=
−=∑
( )
( )212
'(0.35) 0.35
''(0.35) 0.35
f x
f x
+ −
+ − K
0.0
0.5
1.0
f(x)=
sin
(2πx
)Taylor Series
• Approximate function? Copy derivatives!
( )1( ) ( )T x f a= +
Most Common: 1st Order
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
-1.0
-0.5
0.0
X
f(x)=
sin
(2
• Look out for “approximate” or “when x is small” or
“small angle” or “close to” %
( )'( )f a x a−
Contoh – Taylor Series
• Bentuklah Deret Taylor untuk:
1),ln()( 0 == xxxf
• Cari nilai fungsi dan turunannya untuk
fungsi pada x0=1
Contoh – Taylor Series
0)1ln()()ln()( 0 ==⇒= xfxxf
11
1)(
1)( 0 ==′⇒=′ xf
xxf
11
1)(
1)(
202−=−=′′⇒−=′′ xf
xxf
11
0
)(
1)(
)1()!1(1
)1()!1()(
)1()!1()(
−−
−
−−=−−
=⇒
−−=
n
n
nn
n
nn
nn
xf
x
nxf
M
21
2)(
2)(
303==′′′⇒=′′′ xf
xxf
Contoh – Taylor Series
• Gunakan Rumus Umum Deret Taylor:
−− )1(!2)1( 32 xx
KK +−
++
−′′+−′+=
!
)()(
!2
)()())(()()(
00
)(
2
00000
n
xxxf
xxxfxxxfxfxf
nn
KK +−
−−++
−+
−−−+=⇒
−
!
)1()1()!1(
!3
)1(!2
!2
)1()1(0)ln(
1
32
n
xn
xxxx
nn
KK +−
−++
−+
−−−=⇒
−
n
x
xxxx
nn )1(
)1(
3
)1(
2
)1()1()ln(
1
32
Truncated Taylor Series
• We cannot evaluate a Taylor series – it is infinite!
• Kita bisa memutuskan untuk membuat perkiraan dari
sebuah fungsi hingga n (derajat) tertentu yang tidak
tak terhingga;
• Kita sebut sebagai Truncated Taylor Series.• Kita sebut sebagai Truncated Taylor Series.
Truncated Taylor Series
• To find an nth order truncated Taylor series
• Note: This is the same concept as the polynomial
!
)()(
!2
)()())(()()(
00
)(
2
00000
n
xxxf
xxxfxxxfxfxf
nn −
++
−′′+−′+≈
K
• Note: This is the same concept as the polynomial
approximations we introduced earlier.
Example – Truncated Taylor Series
• Find a cubic (degree 3) truncated
Taylor series for the function:
)2cos()( xxf =
centered at:
4
π=x
Example – Truncated Taylor Series
• For a degree 3 approximation:
!3
)()(
!2
)()(
))(()()(
3
00
2
00
000
xxxf
xxxf
xxxfxfxf
−′′′+
−′′+
−′+≈
• So we need to evaluate the function
and its first three derivatives at the
center.
!3)(
!2)( 00 xfxf ′′′+′′+
Example – Truncated Taylor Series
• Evaluating these:
22
sin24
)2sin(2)(
02
cos4
)2cos()(
−=
−=
′⇒−=′
=
=
⇒=
ππ
ππ
fxxf
fxxf
82
sin84
)2sin(8)(
02
cos44
)2cos(4)(
22
sin24
)2sin(2)(
=
=
′′′⇒=′′′
=
−=
′′⇒−=′′
−=
−=
′⇒−=′
ππ
ππ
fxxf
fxxf
fxxf
Example – Truncated Taylor Series
• % which gives:
20)(
!3
)()(
!2
)()(
))(()()(
3
00
2
00
000
−×−≈⇒
−′′′+
−′′+
−′+≈
πxxf
xxxf
xxxf
xxxfxfxf
!3
48
!2
40
420)(
32
−×+
−×+
−×−≈⇒
ππxx
xxf
3
43
4
42)(
−+
−−≈⇒ππ
xxxf
Example – Truncated Taylor Series
0.2
0.4
0.6
0.8
1 f(x) t3(x) ππππ/4
)2cos( x)(3 xp
-3 -2 -1 0 1 2 3-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
x
y
40π=x
Series Accuracy
• Kenapa mesti pakai Deret Taylor kalau bisa pakai
Maclaurin?
• Perkiraan kita akan makin jauh dari akurat jika semakin jauh
dari titik awal x0;
• Kita harus selalu memakai titik awal yang dekat dengan titik
yang akan diperkirakan dan juga mudah untuk melakukan yang akan diperkirakan dan juga mudah untuk melakukan
perkiraan.