2. DERET FOURIER

Fungsi PeriodikDeret Fourier Trigonometri

Identitas Parseval Terapan Deret Fourier

2.1. Fungsi Periodik

Definisi 1

Suatu fungsi f disebut fungsi periodik jika terdapat bilangan

real positif 2p, sehingga untuk setiap t berlaku

f(t+2p) = f(t)

Bilangan positif 2p dinamakan perioda fungsi f.

Gambar 1 : Contoh grafik suatu fungsi periodik dengan perioda 2p

Bila 2p merupakan perioda fungsi f, maka :

f(t) = f(t+2p) = f[(t+2p)+2p] = f(t+4p).

Jadi 4p juga perioda fungsi f. Dengan cara serupa, akan diperoleh

perioda-perioda fungsi f, yaitu 4p, 6p, 8p,.... Secara umum dapat

dikatakan bila 2p adalah perioda fungsi f, maka 2np (n=1,2,3,...)

juga merupakan perioda f.

Perioda terkecil suatu fungsi disebut Perioda Dasar

(fundamental period). Tidak semua fungsi periodik mempunyai

perioda dasar (misalnya fungsi konstan y=k).

Deret Fourier 1

0

y

t

y=f(t)

2p 4p 6p

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Contoh 1

1. f(t) = k , k konstan.

Setiap bilangan real positif 2p merupakan perioda fungsi f

sebab f(t+2p) = k = f(t).

Mengingat tidak ada nilai 2p terkecil untuk f tersebut, maka

fungsi f tidak mempunyai perioda dasar.

2. g(t)=sin(t), dengan suatu bilangan real positif, maka

perioda dasar fungsi g adalah 2/.

3. h(t)=tan(t), adalah suatu fungsi periodik dengan perioda dasar

, meskipun =tidak terdefinisi untuk n=1,2,3,...

4. y(x)=sin(3x)+cos(2x) adalah fungsi periodik dengan perioda

dasar 2, sebab :

sin(3x), perioda dasar T1=2/3

cos(2x), perioda dasar T2=, maka

Perioda dasar sin(3x)+cos(2x), T=KPK{T1,T2}=2

(KPK=Kelipatan Persekutuan terKecil)

Grafik fungsi y(x) dapat dilihat pada gambar berikut

Gambar 2 : Grafik y(x)=sin(3x)+cos(2x)

5. , p konstan. Perioda dasar f adalah

T=KPK{2p ,2p/2 ,2p/3 ,

2p/4 ,}=2p.

Untuk selanjutnya, perioda dasar disebut perioda saja.

2.2. Deret Fourier Trigonometri

Deret Fourier 2

Definisi 2

Diketahui fungsi f terdefinisi pada interval (-p,p) sedemikian

hingga integral-integral :

ada, untuk n=0,1,2,...

Deret Fourier (Trigonometri) fungsi f pada interval (-p,p)

didefinisikan oleh :

dengan

, n=0,1,2,3,....

, n=1,2,3,....

an dan bn disebut Koefisien Fourier fungsi f.

Contoh 2:

Diketahui f fungsi periodik dengan definisi pada satu perioda

Akan dicari deret fourier f

Penyelesaian

Perioda f adalah 2p=-(-)=2, jadi p=

=

=

= , n1

untuk n=1

Deret Fourier 3

= , n1

untuk n=1

Jadi diperoleh deret fourier fungsi f :

Gambar 3 : Grafik ekspansi fourier fungsi f pada Contoh 2, masing-masing untuk 2 dan 3 suku pertama.

Sifat 1

a. Jika f suatu fungsi ganjil, yaitu f(-x)=-f(x), x maka deret

fourier fungsi f hanya memuat suku-suku sinus saja

(konstanta fourier an=0, n). Deret yang terjadi disebut Deret

Sinus.

b. Jika f suatu fungsi genap, yaitu f(-x)=f(x), x maka deret

fourier fungsi f hanya memuat suku-suku cosinus saja

Deret Fourier 4

y=f(t)

(konstanta fourier bn=0, n). Deret yang terjadi disebut Deret

Cosinus.

Contoh 3

1. Akan dicari deret fourier fungsi periodik f(x)=x , -4<x<4.

Penyelesaian

Karena f(-x)=-x=f(x), x berarti f fungsi ganjil, maka menurut

sifat di atas konstanta fourier an=0. Jadi hanya dicari bn saja

Diperoleh

Berikut grafik y=f(x) untuk 7 suku pertama:

Gambar 4: Grafik fungsi f dan hasil ekspansi fourier f untuk 7 suku pertama dari Contoh 3

2. Akan dicari deret fourier fungsi periodik f(t)=4-t2 , -2<t<2

Penyelesaian

Karena f(-t)=4-(-t)2=4-t2=f(t), t berarti f fungsi genap, maka

menurut sifat di atas konstanta fourier bn=0. Jadi hanya dicari

an saja.

Deret Fourier 5

untuk

n=0

Diperoleh

Hasil lain yang diperoleh dari ekspansi fourier f tersebut adalah

jika diambil t=0, maka :

4=

Berikut adalah teorema yang menyatakan syarat cukup

kekonvergenan deret fourier suatu fungsi.

Teorema 1

Diketahui fungsi f terdefinisi pada interval (-p,p).

Jika

(a). f periodik dengan perioda 2p

(b). f dan kontinu sepotong-sepotong (piecewise

continue) pada interval (-p,p)

maka deret fourier fungsi f akan konvergen ke :

1. f(x) , bila f kontinu di x.

2. , bila f diskontinu di x.

Keterangan

Untuk h>0, maka :

.

Contoh 4

Diambil ekspansi fourier dari , yaitu

Deret Fourier 6

.

Diperhatikan bahwa f kontinu pada interval (-,) kecuali di

titik t=0. Jadi f kontinu sepotong-sepotong pada interval

tersebut. Berdasarkan teorema disimpulkan bahwa deret :

konvergen ke f(t) untuk setiap t(-,)\{0} dan konvergen ke

di titik x=0, meskipun f(0) = ½ .

Hingga di sini fungsi yang diperderetkan ke deret fourier

adalah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada suatu interval bentuk (-

p,p). Kenyataannya, ada fungsi-fungsi yang terdefinisi pada interval

bentuk (0,p). Untuk memperoleh ekspansi fourier fungsi semacam

ini dapat dilakukan dengan mendefinisikan fungsi f pada interval (-

p,0), sehingga f terdefinisi pada (-p,p). Ada tiga cara yang dapat

dilakukan untuk tujuan ini :

1. Didefinisikan fungsi f pada interval (-p,0) dengan aturan f(-

t)=f(t), jadi diperoleh suatu fungsi genap pada interval (-p,p).

Dengan demikian f dapat diperderetkan ke Deret Cosinus

2. Didefinisikan fungsi f pada interval (-p,0) dengan aturan f(-t)=-

f(t), jadi diperoleh suatu fungsi ganjil pada interval (-p,p).

Dengan demikian f dapat diperderetkan ke Deret Sinus.

3. Didefinisikan fungsi f pada interval (-p,0) dengan aturan

f(t)=f(t+p). Dengan demikian f dapat diperderetkan ke deret

fourier pada interval (-p,p).

Deret cosinus atau deret sinus yang diperoleh dengan cara di atas

dikenal sebagai half-range expansions.

Contoh 5

Deret Fourier 72p

Ekspansikan f(t)=t2 , 0<t<2 ke dalam

(a). Deret cosinus

(b). Deret sinus, dan (c). Deret Fourier lengkap

Penyelesaian

(a). Diambil f(t)=t2 , -2<t<2 yaitu f fungsi genap,

diperoleh deret

(b). Diambil yaitu f fungsi ganjil,

diperoleh deret :

(c). Diambil ,

diperoleh deret

2.3. Identitas Parseval

Teorema 2:

Bila fungsi f dapat diekspansikan ke dalam deret fourier yang

konvergen seragam (uniformly convergence) ke f(t) pada

interval (-p,p), maka :

Bukti:

Deret Fourier 8

2-2

2-2

2-2

t

erbukti.

Sifat 2:

1.

2.

3.

2.4. Terapan Deret Fourier

Ditinjau balok lurus seragam, panjang L, berbeban w(x) dan

kedua ujungnya ditumpu sederhana (perhatikan gambar 5) dengan

model matematis lendutan :

..................................... ()

EI adalah angka kekakuan-lentur balok (flexural rigidity).

w(x)L

x

Deret Fourier 9

y

Gambar 5 : Balok seragam dengan tumpuan sederhana dan beban w(x)

Mengingat kedua ujung ditumpu sederhana, maka berlaku :

1. Lendutan di titik-titik ujung balok nol, yaitu : y(0)=y(L)=0.

2. Momen (bending momen) di titik-titik ujung balok nol, yaitu :

Untuk mendapatkan penyelesaian persamaan () dengan deret

Fourier, maka dapat diasumsikan y(x) suatu deret sinus, yaitu

............................. ()

Dengan demikian beban w(x) menjadi

, dengan ........ ()

Jika persamaan () dan () disubstitusikan ke (), diperoleh

.

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Perderetkan fungsi-fungsi berikut ke dalam deret fourier

a. f(x)=x+ , -<x<

b.

Kunci : a).

b).

2. Tinjau suatu balok panjang L dengan kedua ujung ditumpu

sederhana. Bila beban per satuan panjang diberikan oleh

persamaan w(x)=w0x/L, 0<x<L maka diperoleh persamaan

lendutan y(x), yaitu :

Deret Fourier 10

a. Ekspansikan w(x) ke dalam deret sinus

b. Tentukan persamaan lendutan y(x)

Kunci: a).

b).

3. Tentukan perioda dasar fungsi periodik berikut

a. f(x)=sin(3x/4)

b. g(x)=sin(2x)+3cos(5x)

4. Diketahui fungsi periodik dengan definisi pada satu perioda

f(x)=x2 , 0<x<2

Perderetkan fungsi f ke dalam

a) deret Fourier Sinus

b) deret Fourier Cosinus

c) deret Fourier lengkap (sinus dan cosinus)

5. Diketahui fungsi periodik dengan definisi satu periode :

a). Sketsalah grafik f(x) tersebut

b). Hitung f(-6)+f(6)=....

c). Andai f(x) diperderetkan ke dalam Deret Fourier, apakah

akan menghasilkan Deret Sinus, Deret Cosinus atau bukan

kedua-duanya

6. Buatlah sketsa grafik dan tentukan perioda dasar fungsi-fungsi

periodik berikut :

a. f(x)=sin(2x)

b. g(x)=cos(3x)+1

c. h(x)=2sin(x/2)

7. Pandang grafik fungsi periodik berikut:

Deret Fourier 11

0 2

3

5

yy=f(x)

x

(a). Tentukan rumus f(x) pada 0<x<5

(b). Berapakah periode fungsi f di atas?

(c). Hitunglah f(-3)+f(11)=...?

Deret Fourier 12