deret taylor dan maclaurin_matek
TRANSCRIPT
![Page 1: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/1.jpg)
Kelompok 9:Benhard J.H (35139)
Akhmad Faizal Khabibi (35266)Kevin Gausultan H. M (35103)
Luthfi Rizal Listyandi (35285)Aginta Ramadhanu A. (35387)
![Page 2: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/2.jpg)
Deret Taylor
• Deret Taylor adalah representasi
fungsi matematika sebagai jumlahan tak
hingga dari suku-suku yang nilainya
dihitung dari turunan fungsi tersebut di
suatu titik.
![Page 3: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/3.jpg)
• Deret Taylor menyediakan sarana untuk
menetukan nilai fungsi pada suatu titik dalam
bentuk nilai fungsi dan turunannya pada titik
yang lain. Sebelum memulai dengan penggunaan
deret Taylor untuk menentukan nilai fungsi
diingatkan kembali dengan Teorema Taylor.
![Page 4: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/4.jpg)
• Teorema Taylor akan disebut deret Taylor untuk n mendekati tak berhingga dengan yaitu :
• Dengan
![Page 5: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/5.jpg)
• Sehingga diperoleh
• *Note: Deret Taylor dengan fungsi saat x0=a )(xf
![Page 6: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/6.jpg)
Deret Maclaurin
• Pada dasarnya rumus untuk deret maclaurin sama
dengan deret taylor hanya saja Deret maclaurin
berpusat pada x0=0 sedangkan deret taylor x0=a .
Jadi diawal kita perkirakan x=0 untuk menentukan
deret maclaurin.
![Page 7: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/7.jpg)
• Misal f(x) dapat diturunkan sampai n kali pada x0 = a dan a = 0 . Maka
f(x) dapat diperderetkan menjadi menjadi deret kuasa dalam bentuk
dibawah ini yaitu:
• dengan
![Page 8: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/8.jpg)
• Sehingga diperoleh Deret Maclaurin:
• Note: Deret Taylor dengan fungsi saat x=0 disebut Deret Maclaurin
)(xf
![Page 9: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/9.jpg)
Menentukan Nilai Pendekatan dengan Metode Taylor
• menentukan nilai pendekatan suatu fungsi
dengan menggunakan deret Taylor, yaitu
dengan memperhatikan satu suku pertama
yang disebut dengan pendekatan orde nol,
memperhatikan dua suku pertama disebut
dengan pendekatan orde pertama dan
seterusnya.
![Page 10: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/10.jpg)
• Aproksimasi orde ke nol
)()( 1 ii xfxf
• Aproksimasi orde ke satu
!1)()()( 1
xxfxfxf iii
• Aproksimasi orde ke dua
!2)(
!1)()()(
2
1
xxf
xxfxfxf iiii
![Page 11: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/11.jpg)
Deret Taylor Terpotong
• Karena suku-suku pada deret Taylor tidak berhingga jumlahnya, maka
untuk alasan kepraktisan, deret Taylor dipotong sampai suku orde
tertentu. (Dr. M. Sarosa, Dipl. Ing. MT)
• Deret Taylor terpotong adalah deret Taylor yang dipotong sampai
suku orde ke-n.
dengan
disebut galat atau sisa (residu)
)()()(
!
)0(...)(!2
)0( 2
)(!1
)0()()( 0000 xRnxf n
nxx n
xf iixx
xf ixx
xfxf
xcdengancn xfxx
Rn
n
n
)(
0
)1(0
1
),()!1(
![Page 12: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/12.jpg)
Deret Taylor Terpotong (lanjutan 1)
• Deret Taylor yang terpotong dapat dituliskan :
dengan
n
n
n
n
n xfxxP n
x1
0
)(0 )(
!)(
)(
)()()( xRxPxf nn
xcdengancn xfxx
Rn
n
n
)(
0
)1(0
1
),()!1(
![Page 13: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/13.jpg)
*Contoh Soal 11. The Taylor series for sin x at x=0. Show that the Taylor series for sin x at x=0
converges for all x.
![Page 14: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/14.jpg)
Since →0 as k→∞, whatever the value
of x, →0, and the Maclaurin series for sin x
converges to sin for every x. Thus,
)()!12(
0 )12(
12
12
)(c
kfxx
Rk
k
k
R xk )(12
![Page 15: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/15.jpg)
Hukum Mean
• Jika f dan turunannya adalah kontinu pada [a,b] dan terdapat
(x), maka sedikitnya terdapat c pada (a,b).
Sehingga….
![Page 16: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/16.jpg)
• Bila b diganti dengan x
![Page 17: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/17.jpg)
Fungsi Rn(x) ditentukan oleh nilai dari turunan
pada titik c diantara a dan x untuk nilai n
yang diinginkan.
![Page 18: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/18.jpg)
• Ingat Kembali!!!
• Ini disebut rumus taylor dengan sisa
• Rn(x) disebut suku sisa dari deret n (error) untuk f mendekati fungsi f(x)
oleh P(n) melebihi interval I. Jika Rn(x) →0 dan n→∞ untuk semua
kita katakan Deret Taylor dari fugsi f(x) saat x=a konvergen ke f(x) pada
interval I. Sehingga…
![Page 19: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/19.jpg)
*Contoh Soal
1. Carilah deret Taylor dan Taylor
polinomialnya dari
saat
xxf cos)(
0x
![Page 20: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/20.jpg)
Jawab
![Page 21: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/21.jpg)
• Deret Taylornya:
• Taylor Polinomialnya:
![Page 22: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/22.jpg)
Contoh Grafiknnya
• Grafik xxf cos)(
![Page 23: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/23.jpg)
*Contoh Soal
Hitunglah nilai pendekatan cos(0,2) dengan deret
Maclaurin sampai orde n=6
cos(0,2)=1-0,22/2+0,24/24-0,26/720=0,9800667
![Page 24: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/24.jpg)
*Contoh Soal
1. Cari deret Taylor dari f(x) = sin x untuk x= 0 !
![Page 25: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/25.jpg)
Jawabxxf sin)(
![Page 26: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/26.jpg)
• Deret Taylornya:
• Taylor Polinomialnya:
![Page 27: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/27.jpg)
*Contoh Soal
• Cari deret Taylor dari saat X=0
![Page 28: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/28.jpg)
Jawab
![Page 29: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/29.jpg)
• Deret Taylornya:
• Taylor Polinomialnya:
![Page 30: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/30.jpg)
Grafik saat x=0 dengan hampiran Taylor
![Page 31: Deret Taylor Dan Maclaurin_MATEK](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102401/5571f3b249795947648e72e8/html5/thumbnails/31.jpg)