dergi2006 v21 no4 _sayfa 759-779_

5/17/2018 DERGI2006 V21 NO4 _sayfa 759-779_ - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/dergi2006-v21-no4-sayfa-759-779 1/22

Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. J. Fac. Eng. Arch. Gazi Univ.Cilt 21, No 4, 759-779, 2006 Vol 21, No 4, 759-779, 2006

KAOTİK ZAMAN SER İSİNİN ANALİZİ ÜZER İNE BİR ARAŞTIRMA

Derya YILMAZ ve Nihal Fatma GÜLER *

Teknik Bilimler Meslek Yüksekokulu, Başkent Üniversitesi, Bağlıca Kampusü, Ankara*Elektronik-Bilgisayar Eğitimi Bölümü, Teknik Eğitim Fakültesi, Gazi Üniversitesi, Teknikokullar, Ankara,[email protected], [email protected]

(Geliş/Received: 03.10.2005; Kabul/Accepted: 27.02.2006)

ÖZET

Bu güne kadar yapılan çalışmalarda, dinamik sistemler doğrusal ve/veya doğrusal olmayan metotlar kullanılarak incelenmişlerdir. Kararlı doğrusal sistemler için kullanılan doğrusal metotlar, doğrusal olmayan analizlerde

genellikle başar ısız olmakla beraber, yol gösterici olarak kullanılabilmektedir. Dinamik bir sistemi tanımlayanfark denklemlerindeki doğrusal olmayan bir değişkenden dolayı, önceden bilinemeyen dinamikler meydanagelebilir. Kaos teorisi veya doğrusal olmayan analiz metotlar ı bu tür dinamik sistemleri incelemek içinkullanılmaktadır. Düzensiz bir durumu ifade eden kaos, “başlangıç koşullar ına hassas duyarlılık” olarak tarif edilebilir. Eğer dinamik sistemin fark denklemleri biliniyor ise başlangıç şartlar ındaki değişimlerin sistemindinamiğine etkisi kolaylıkla tespit edilebilir. Deneysel zaman serisi için başlangıç şartının bilinememesi, buölçümlerin alındığı sistemlerin analizlerini zorlaştırmaktadır. Bu çalışmada, zaman içinde değişen herhangi bir

büyüklüğün belirli aralıklarla ya da sürekli olarak ölçülmesi ile elde edilen zaman serisinin kaotik analizi içinkullanılan metotlar açıklanmıştır. Açıklanan metotlar ın çeşitli dinamik sistemlere ait zaman serileri üzerindeuygulamalar ı yapılmıştır. Özellikle fizyolojik sistemlerden elde edilen zaman serileri üzerinde bu zamana kadar yapılan bazı çalışmalar özetlenmiştir.

Anahtar Kelimeler: Kaotik analiz, zaman serisi analizi, doğrusal olmayan analiz.

A STUDY ON THE CHAOTIC TIME SERIES ANALYSIS

ABSTRACT

The dynamic systems are analyzed by using linear and/or nonlinear methods in the previous studies. Althoughthe linear methods used for stable linear systems, generally fails at the nonlinear analysis, however, they giveintuition about the problem. Due to a nonlinear variable in the difference equations describing the dynamicsystems, unpredictable dynamics may occur. The chaos theory or nonlinear analysis methods are used toexamine such dynamics systems. The chaos that expresses an irregular condition can be characterized by“sensitive dependence on initial conditions”. If the difference equations of a dynamic system are known, it can

be easily found how can behave the system dynamics due to initial conditions. However since the initialconditions of the experimental time series are not exactly known, analysis of such systems those are measured isdifficult. In this study, the methods for the chaotic analysis of the time series, obtained based on the discrete or

continuous measurements of a variable are investigated. The chaotic analysis methods have been applied on thetime series of various systems. Particularly, some previous studies on the time series obtained from physiologicsystems are summarized in the study.

Keywords: Chaotic analysis, time series analysis, nonlinear analysis.

1. GİR İŞ (INTRODUCTION)

Kaos, deterministik bir sistemin düzensiz yani hiç beklenmedik bir şekilde davranabilmesidir. Örneğin,düzgün bir borudan akan bir sıvının ak ışında bazen

kaotik durumlar görülebilir. Newton kanunlar ındanelde edilen dinamik denklemler düzgün ak ışlar ı ifadeedebilirken, ak ışkanın ak ış hızı belirli bir değeriaştıktan sonra ak ışta girdaplar oluşur ve Newtonkanunlar ı geçerliliğini yitirir. Yani artık ak ış kaotiktir.



D. Yılmaz ve N. F. Güler Kaotik Zaman Serisinin Analizi Üzerine Bir Araştırma

760 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 21, No 4, 2006

Kaosun meydana gelmesi, belirli parametrelere bağlı olduğu gibi sistemin yapısına da bağlıdır. Kaosgenellikle kararsız, karmaşık ve doğrusal olmayansistemlerde ortaya çıkmaktadır. Karmaşık sistemler,çok sayıda elemanın birbiriyle etkileştiği, pek çok serbestlik derecesi olan yani çeşitli davranış şekillerigösterebilen, genellikle de dışar ıyla madde ve enerji

alı

şverişi yapan, incelenmesi zor sistemlerdir.Doğrusal olmayan bir sistem, değişim anında değişimkurallar ının da değiştiği bir sistemdir ve sistem,dışar ıdan gelebilecek etkilere kar şı açıksa sistemden

beklenmeyen davranış biçimleri görülebilir. Örneğinhava direncinin hızın küpüyle değiştiği bir sarkaçdeneyinde, dışar ıdan periyodik bir kuvvetin etkisiylesürtünme katsayısının belli bir değerinden sonrakaotik bir davranış görülmektedir [1, 2].

Kaotik sistemlerin en önemli özelliği başlangıç şartla-r ına hassas duyarlılıklar ıdır. Deterministik bir sistemin

başlangıç durumu ve denklemleri biliniyorsa, sisteminsonraki davranışı belirlenebilir. Kaotik sistemlerde,

sistemin zaman içindeki gelişimini tam olarak belirle-yebilmek için başlangıç değerlerini sonsuz hassa-

siyetle bilmek gerekmektedir. Çünkü kaotik sistemler doğrusal olmadıklar ı için hata zamanla üstel olarak artacaktır [3-5].

Teoride, gerçekte zamana göre oluşan her şey örneğin; polen üretimi, nüfus artışı, ekonomik değişimler, dün-ya buz kütlesi vb... kaotik olabilir. Fizik, kimya, mate-matik, iletişim, biyoloji, fizyoloji, sosyoloji, ekonomi,tarih, ekoloji, astronomi, hidrolik, atmosferik, ulus-lararası ilişkiler, solar sistemler, mühendislik gibialanlarda kaotik çalışmalar görülmektedir [2, 4, 5].

Bu çalışmada, Bölüm 2’de kaotik zaman serisi anali-zinin nasıl yapılacağı, kullanılan yöntemler k ısacaaçıklanarak ve çeşitli dinamik sistemler üzerinde uy-gulamalar ı yapılarak açıklanmıştır. Bölüm 3’te fizyo-lojik sistemlere ait zaman serileri üzerinde yapılankaotik analizlere ilişkin literatürde yer alan çalışmalar özetlenmiştir. Bölüm 4’te ise yapılan çalışmalar değer-lendirilerek, kaotik analizin medikal alanlarda nasıl kulla-nıldığı ve kullanılabileceği üzerinde görüş bildirilmiştir.

2. KAOTİK ZAMAN SER İSİNİN ANALİZİ (CAOTIC TIME SERIES ANALYSIS)

Doğal olaylar zamana bağlı olarak, sürekli ve ayr ık olmak üzere iki şekilde meydana gelir. Sürekli olaylar

devamlı olarak ölçülmelidir. Bir ölçüm ayr ık zamanaralıklar ında alınabilir ya da ayr ık zamanlı ölçümler sürekli ölçümlerin örneklenmesi ile de oluşturulabilir.Zamanla gelişen olaylarda ayr ık zamanlı değişimler fark denklemleri ile ve tekrarlama yoluyla çözülür.Tekrarlama, ayr ık zamanlı gelişmelerin gösterilme-sinin matematiksel bir yoludur ya da bir işlemin üstüste yinelenmesidir. Sürekli zamanlı değişimler (sü-rekli ölçümler) için de türevsel denklemler kullanılır [4]. Zaman içinde değişen herhangi bir büyüklüğün

belirli aralıklarla ya da sürekli olarak ölçülmesi ile

oluşan zaman serilerinin analizinde ise çoğunluklaelimizde ne fark ne de türevsel denklemler vardır.

Bir sistemden ölçülmüş olan sinyale çevresel şartlar taraf ından, sinyal kaynağındaki düzensizlikler veölçüm cihazlar ının özellikleri sebebiyle gürültükar ışır. Gürültü problemi, üzerinde ölçüm yapılan tüm

sistemler için ortaktı

r. Sisteme ait dinamiklerin en iyişekilde analiz edilebilmesi için sistemden alınanverinin mümkün olduğu ölçüde az gürültüye sahipolması gerekir. Bu nedenle gürültü bastır ılmalıdır.Kaotik sinyaller gürültü gibi geniş güç spektrumlar ınasahip olduklar ından, gürültüden ayr ılmalar ı oldukçazordur. Geniş güç spektrumu kaosun bir işaretiolabilir fakat tek başına kaosu tanımlayamaz. Bunedenle doğrusal analiz geniş güç spektrumuna sahipsinyaller için iyi bir analiz değildir. Kararsız dinamik sistemlere ait sinyallerin özelliği periyodik bir duru-mun olmamasıdır. Yine de sinyaldeki kararsızlığınveya değişimin kaynağını açıklayabilecek gizli bir

periyodik durumu araştırmak için, ilk olarak spektral

analiz uygulanabilir [6].Doğrusal olmayan analize başlarken ilk yapılması gereken, skaler veri şeklindeki sinyalin faz uzayındayeniden oluşturulmasıdır. Skaler ölçüm

)()( 0 n xnt x s =+ τ olarak gösterilir. Burada t0 başlan-

gıç zamanı, τs deneyde kullanılan cihazın örneklemezamanıdır. x(n), doğrusal olmayan devredeki bir gerilim ya da ak ım veya bir ak ışkan dinamiğindekihız ya da yoğunluk olabilir [7].

Sinyalin ölçüldüğü sisteme ait dinamikleri modelle-mek için iki yaklaşım vardır: Birincisi, x(n) koordi-natlar ında fiziksel modelin yapılmasıdır. Modelin,

çeşitli deneyler veya deneyin farklı özellikleri ilegerçekleştirilmesi gerekir fakat modelin tasar ımçalışması oldukça zordur. Eğer, sistemin başlangıçkoşullar ına hassas duyarlılığının bir ölçüsünü verenLyapunov üstellerinden (Lyapunov exponents) birisisıf ır ise dinamikleri belirlemek için türevsel denk-lemler düzenlenebilir çünkü türevsel bir denklem,sistemin sonlu bir zaman uzayındaki gösterimindendaha kesindir [7].

İkinci yaklaşım hız, basınç, sıcaklık, gerilim gibideğerlerdeki değişimler için matematiksel modellerinyapılmasına dayanır. Faz uzayı içinde hareketeşitliklerinin çözümlenmesi sonucu konumlanan (bir

nokta, kapalı

bir eğri veya bir görünüş) çekerin(attractor) boyutlar ı ve sistemin Lyapunov üstellerigibi nicelikler için modelin durumlar ı araştır ılır [7].

Şekil 1’de, doğrusal olmayan zaman serilerininanalizlerine ait işlemler taslak olarak gösterilmektedir.Doğrusal sinyal analizi zorunlu olmamakla birliktekaotik sinyaller için de uygulanabilir. Burada kabacaifade edilen kaotik işlemlerin hepsinin aynı andakullanılması gerekmez ancak her biri bir diğerinidestekler nitelikte sonuçlar üretir.



Kaotik Zaman Serisinin Analizi Üzerine Bir Araştırma D. Yılmaz ve N. F. Güler

Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 21, No 4, 2006 761

2.1. Gürültünün Azaltılması (Noise Reduction)

Deneysel veri genellikle gürültü sinyali içermektedir.Eğer deneysel verinin kaynağı doğrusal bir sistem isedeneysel verinin frekans spektrumu belirgin spektraltepelere sahiptir ve istenen bilgi sinyali arka plandakiistenmeyen gürültülerden kolaylıkla ayr ılabilir. Bununiçin bilgi taşıyan sinyalle gürültü arasındaki farklara

bak ılmalıdır ve eğer sinyal ile gürültü frekansspektrumunda farklı bantlarda ise bu Fourier analiziile tespit edilebilir. Sinyalin kaynağı kaotikse, bilgisinyali de arka plandaki sinyal de geniş bantlıdır veFourier analizi bu ayır ımı yapmak için yeterlideğildir. Bu durumu ifade etmek amacıyla Şekil 2’de,

bir sinüs sinyali, kaotik sistemlerin en bilinenlerinden biri olan Lorenz [8] denklem sisteminden üretilenkaotik sinyal ve rastgele üretilmiş bir gürültü sinyaliile bunlara ait güç spektrumlar ı ve iki boyutlu fazuzayındaki çekerleri gösterilmiştir (sinyaller iki

boyutlu faz uzayında yeniden oluşturulurken zamangecikmesi, sinüs için T=7, Lorenz sinyali için T=16,gürültü için de T=1 olarak alınmıştır). Eşitlik 1, 2 ve 3ile ifade edilen Lorenz denklemlerinde yer alan üç

parametrenin değerleri değiştirilerek periyodik, yar ı periyodik ve kaotik sinyaller elde edilebilir. Buradakikaotik sinyal, σ =10; b =8/3; r=28 yapılarak ve x=2,y=0, z=2 başlangıç şartı için Matlab “ode45”fonksiyonu kullanılarak üretilmiştir. Şekil 2’de yer alan

bu üç sinyalin güç spektrumlar ına bak ılacak olursa, periyodik sinüs sinyalinin tek bir frekans bileşenine

sahip olduğu, kaotik sinyal ile gürültünün güç spek-trumlar ının da oldukça geniş olduğu görülmektedir.Yine bu sinyallerin faz uzayındaki durumlar ına

bak ıldığında, özellikle kaotik sinyale ait çeker belirli bir bölgede ve yapıda iken, gürültü sinyaline aitçekerin belirgin bir yapısının olmadığı görülmektedir.

)( x ydt

dx−= σ (1)

yrx xzdt

dy−+−= (2)

bz xydt

dz−= (3)

Skaler sinyalin gürültüden ayr ılması işlemine “gürültüazaltma” denir. Doğrusal olmayan sinyalin alındığı sistemin denklemleri biliniyorsa, bu bilgi, sinyaligürültülü sinyalden çıkarmak için kullanılabilir.Sistemin denklemleri bilinmiyorsa fakat sistemin dahaönceden ölçülmüş gürültüsüz sinyali mevcutsa ya da

biliniyorsa bu, gürültü azaltma işlemi için referanssinyal olarak kullanılabilir. Eğer sistem denklemlerive referans sinyal olmaksızın yalnızca sinyal varsa,sinyalin modelleri (yerel ya da genel) yapılmalıdır ve

bu sayede gürültü bastır ılabilir [7]. Gürültününazaltılması için kullanılabilecek başka bir yol isegürültü kaynağının tespit edilmesi olabilir. Bu,özellikle dar bantlı gürültüler için mümkündür.

Örneğin, fizyolojik bir ölçüm sinyaline kar ı

şmı

ş olanşehir şebeke sinyali gürültüsü varsa bu gürültününfrekansı bilindiğinden sinyalden kolaylıkla ayr ılabilir.

Gürültünün azaltılabilmesi için doğrusal süzgeçler veçeşitli doğrusal olmayan gürültü azaltma metotlar ı kullanılır. Kaotik sinyallerin süzgeçlenmesinde doğrusalsüzgeçleme teknikleri kullanılacak ise doğrusal süz-geçlerin kaotik sinyaller üzerindeki etkileri dikkatealınmalıdır [9, 10]. Çünkü doğrusal süzgeçler sisteminkaotik dinamiklerinde değişikliklere sebep olabilirler.Eğer fiziksel sistemden alınan sinyalin bulunduğufrekans aralığı bilinmiyor ise veya gürültü geniş bantlı

bir frekans aralığını kaplıyor ise standart süzgeçlemeteknikleri çok az kullanılmıştır. Bunlar ın yerine, gü-rültü azaltma tekniği olarak, Wiener veya Kalmansüzgeçleri ile son yıllarda dalgacık (wavelet) analizikullanılmaktadır [11,12]. Doğrusal olmayan sinyallereuygulanan diğer gürültü azaltma teknikleri için [13-15] numaralı kaynaklara bak ılabilir.

2.2. Faz Uzayının Yeniden Oluşturulması (Phase Space Reconstruction)

)()( 0 snt xn x τ += ile ifade edilen skaler ölçüm

üzerindeki bilgiden sistemin faz uzayını yeniden

Gürültü azaltma

Doğrusal Sinyal İşleme

Fourier analizi, parametrik ve parametrik olmayanmetotlarla sinyalin güç yoğunluk spektrumlar ının bulunması vb.

Faz Uzayının Yeniden Oluşturulması

[ ]))1((),...,(),()( T mn xT n xn xn y −++=

Zaman gecikmesinin (T ) ve gömülü boyutun ( m )tespiti

Sinyalin Sınıflandırılması Lyapunov üstelleri, çekerlerin fraktal boyutlar ı, kararsız priyodik yörünge (KPY) sayılar ının bulunması, poincareharitalar ın elde edilmesi.

Modelleme, Tahmin

)1()( +→ n yn y zaman gecikmeli kopyası olmak

üzere; paaan yF n y ,...,,),()1( 21=+

sabit sınıflayıcılarla (Lyapunov üstelleri, fraktal boyutlar) birbirine uyan a j parametrelerinin bulunması [7]

Doğrusalsızlığın Tespiti

Sinyalin periyodik, kaotik, rastgele vb…olupolmadığının belirlenmesi.

Sistemden elde edilen zaman

serisi; n x x x x x ,...,,, 321=

Şekil 1. Kaotik zaman serisinin analizine ait işlemler (The processes relating to analysis of chaotic time series)





oluşturmak için türev koordinatlar ı ve zaman gecik-meli koordinatlar metotlar ı kullanılabilir. Türev koor-dinatlar ı Packard ve ark. [16] taraf ından kullanılmıştır ve bir zaman serisinin yüksek dereceli türevlerindenibarettir. Eğer ölçülmüş değişkenlerin zaman türevleri

bulunabilirse, türevler üzerindeki çeşitli bağlantılar vedurum değişkenleri saptanabilir. Ölçümler yalnızcaher bir τs’de olduğundan türev yaklaşımı:

s

ss

nt t

nt xnt x

dt

t dxn x

s

τ

τ τ τ

)())1(()()( 00

0

+−++≈=

+=

−

(4)

şeklindedir [7]. Türevler gürültüye kar şı duyarlı ol-duğu için, türev koordinatlar ı metodu deneysel veriiçin kullanışlı olmaz [10]. Zaman gecikmeli koordi-natlar metodu, dinamik bir sisteme ait skaler veridençok boyutlu faz uzayına geçiş için kullanılan tek sistematik metottur ve literatürde en çok kullanılanmetottur [7]. Takens [17] taraf ından sunulan bumetoda göre, eğer zaman boyunca bir sistemdeyalnızca tek bir değişken izleniyorsa, orijinal sinyalin

bir veya daha fazla zaman gecikmeli kopyalar ı kulla-nılarak, bu değişkenden sistemin mevcut dinamik-lerini hesaplamak mümkündür. Bu teorem Sauer veark. [18] taraf ından geliştirilmiştir. Buna göre; eğer

bir zaman serisi d boyutlu (d bir tamsayı) bir çekerinelemanı ise çekerin topolojik özellikleri (boyutlar ı,Lyapunov üstelleri gibi), m boyutlu faz uzayı vektör-leri taraf ından ( 12 +≥ d m ) şekillendirilen topolo-

jiksel özelliklere eşdeğerdir. Sinyale ait çeker, Takens[17] teoremi ile sinyalin zaman gecikmeli kopyalar ı kullanılarak m boyutlu faz uzayında oluşturulur (Eşitlik 5).

)))1((),...,2(),(),(( T mt i xT t i xT t i xt i x yi −+Δ+Δ+ΔΔ=→

(5)

Bu eşitlikte, T zaman gecikmesi (time delay), m gömülü boyuttur (embedding dimension). Faz uza-yında oluşan bu d-boyutlu şekle “çeker” adı verilir.Farklı T ve m seçimleri farklı çekerleri oluştururlar [19].

a)Periyodik (sinüs) Sinyal b)Kaotik (Lorenz) Sinyal c)Gürültü (rastgele) Sinyali

Şekil 2. Periyodik (sinüs) (a), kaotik (Lorenz) (b) ve gürültü (rastgele) (c) sinyallerinin güç spektrumlar ı ve fazuzayındaki çekerleri. Yukar ıdan aşağıya her bir sütun, zaman serisi şeklindeki sinyali, sinyalin güç spektral

yoğunluğunu ve iki boyutlu faz uzayındaki çekerini göstermektedir (Periodic (Sinus) (a), chaotic (Lorenz) (b) and noise(random) signals power spectrums and attractors in the phase space. From top to bottom the each column shows the time series signal,ower s ectral densit and attractor of the si nal in two dimensional hase s ace)





Kararlı periyodik sistemlerin zaman içindeki davra-nışlar ı kestirilebilir ve faz uzayındaki eğriler kapalı

bir göz şeklindedir (limit döngü). Eğer zaman seri-sinde iki frekans bileşeni varsa, çeker bir simiti göste-recektir. Daha fazla frekans bileşeninin olması duru-munda, çeker bir n boyutlu simit olarak şekillenir. Fazuzayında kapalı bir göz olarak ortaya çıkan limit

döngüler düzenli modeller olduğundan, bu eğrilerin birbirine yak ınsama ve ıraksamasının ortalama üsteloranı (Lyapunov üsteli) sıf ır olacaktır. Doğrusalolmayan kaotik bir sisteme ait çeker, simit ve limitdöngüden oldukça farklı dinamiklere sahiptir. Budurumda çeker, sonsuz sayıda gözden meydana gelenkarmaşık bir şekil olarak ortaya çıkar. Yörüngeler aslaaynı nokta üzerinden birden fazla geçmezler,

periyodik olmayan bir durumu ifade ederler ve bütünfaz uzayını doldurmazlar [6]. Eğriler birbirini izlemezfakat sıf ırdan büyük bir ortalama üstel ıraksamaoranına sahiptir. Ayr ıca doğrusal olmayan kaotik

sistemlerin çekerleri fraktal (kesirli) bir geometriyesahiptir ve genel olarak “garip çeker” (strangeattractor) olarak isimlendirilir [1]. Şekil 3’te doğrusalolmayan dinamik bir sistemin örneklerinden olan veEşitlik 6 ile verilen Van der Pol osilatör denkleminin,değişik parametre değerlerinde ürettiği çeşitlisinyallere ait faz uzaylar ı görülmektedir [20].

)cos()1( 22

2

wt a xdt

dx xb

dt

xd =+−− (6)

Burada a sürme kuvveti, b negatif doğrusal yavaşlat-ma katsayısı ve w harici sürme frekansıdır. Budenklem üç adet birinci dereceden denkleme dönüştü-rülüp Matlab “Ode45” fonksiyonu kullanarak çözüm-lenmiştir. Osilatörün başlangıç şartlar ı ve parametredeğerleri değiştikçe ürettiği sinyal değişmektedir.Ürettiği her sinyal kaotik olmamakla birlikte bazı

a)Periyodik hareket

b)Yar ı-periyodik hareket

c)Kaotik hareketŞekil 3. Van der Pol osilatörün a) a =0, b=0.05, w=0.1, b) a =0.32, b=0.2, w=1.15, c) a =3,

b=5, w=1.788, parametre değerleri için ürettiği sinyaller ve bunlar ın zaman gecikmesi T=1için üç boyutlu faz uzayında yeniden oluşturulmuş çekerleri (The signals are produced by Van der Poloscillator for parameters a) a =0, b=0.05, w=0.1, b) a =0.32, b=0.2, w=1.15, c) a =5, b=3, w=1.788, and phase spacereconstructions of these signals with time delay T=1 and dimension is three)





parametre değerleri veya başlangıç şartlar ı için sinyalkaotikleşmektedir. x1, x2, x3 başlangıç değerlerisırasıyla 1, 0, 0 yapılarak ve çeşitli parametredeğerlerinde osilatörün ürettiği sinyaller, zamangecikmesi T=1 seçilerek üç boyutlu faz uzayındayeniden oluşturulmuştur. Buna göre Şekil 3a’da

periyodik bir hareket ve faz uzayında bir limit döngü,

Şekil 3b’de yar ı

periyodik bir hareket ve faz uzayı

nda bir simit, Şekil 3c’de kaotik bir hareket ve fazuzayında bir garip çeker görülmektedir.

2.3. Zaman Gecikmesinin Belirlenmesi(Determining of the Time Delay)

Faz uzayının yeniden oluşturulması için seçilecek her hangi bir zaman aralığı (T), veriden istenilen bilgileriçıkarmak için uygun olmayabilir. Eğer T çok küçük seçilirse x(n+jT) ve x(n+(j+1)T) koordinatlar ı birbirineçok yak ın olacağından birbirinden ayırt edilemezler.Eğer T çok büyük seçilirse x(n+jT) ve x(n+(j+1)T)istatistiksel anlamda tamamen birbirinden bağımsızolacağından çeker üzerindeki bir yörüngenin izdü-şümü birbirinden tamamen bağımsız iki yön üzerindeoluşur. Bu nedenle T’nin seçimi önemlidir [21].Bunun için x(n) zaman serisinin dağılımlar ından ve

bu serideki ölçüm değerlerinin birbirleri ile olanilişkilerinden yararlanılır. Bu aşamada doğrusal özilinti fonksiyonu kullanılabilir (Eşitlik 7).

∑

∑

=

−

=

−−

−

−−+

= N

n

N

n L

xn x N

xn x xT n x N

T C

1

2

1

])([1

])(][)([1

)( (7)

Burada ∑=

−

= N

n

n x N

x

1

)(1

’dir ve zaman gecikmesi için

CL(T) fonksiyon eğrisinin sıf ırdan ilk olarak geçtiğiyere bak ılır ve bu bize x(n) ve x(n+T)’nin doğrusalolarak serbestliğini verir. Ancak doğrusal olmayansistemlerde T bu şekilde seçilmemelidir. Bu nedenleortalama kar şılıklı bilgi fonksiyonu kullanılır [7].

A ve B gibi iki sistemden alınan ölçümlerden (ai ve bk ) bk ’nın ölçümü ile ai’nin ölçümü hakk ında öğreni-lebileceklerin miktar ına, ai ve bk ölçümlerinin kar şı-lıklı bilgisi denir. Ortalama kar şılıklı bilgi, olası bütünölçümlerin ortalamasıdır ve şu şekilde verilir [7, 21];

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑ )()(

),(log),()( 2

, k Bi A

k i AB

ba

k i AB ABbPaP

baPbaPT I

k i

. (8)

Bu ifade fiziksel sistemden alınan ölçümlereuygulanırsa; ölçüm değerleri x(n) A kümesi olarak, Tkadar bir zaman gecikmesi sonra alınan ölçümler de,x(n+T), B kümesi olarak düşünülebilir. n ve(n+T)’deki ölçümler arasındaki ortalama kar şılıklı

bilgi Eşitlik 9 kullanılarak bulunur [21];

∑=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

++=

N

nT n xPn xP

T n xn xPT n xn xPT I

1

2))(())((

))(),((log))(),(()( 0)( ≥T I . (9)

I(T) değerinin nasıl seçileceği ise şöyle açıklanabilir.Eğer T çok küçükse x(n) ve x(n+T) ölçümleri

birbirleri hakk ında çok fazla bir şey söyleyemez ve

her iki ölçümün de yapı

lması

na gerek yoktur. Eğer Tçok büyükse I(T) sıf ıra yaklaşır ve x(n) ile x(n+T)arasında bağlantı yoktur [7]. Zaman gecikmesi T,I(T)’nin ilk minimum olduğu yer olarak seçilirse çok uygun olarak seçilmiş olur. Çünkü bu durumdaölçümler bir dereceye kadar bağımsız fakat istatis-tiksel olarak bağımsız değillerdir [22].

2.4. Gömülü Boyutun Belirlenmesi(Determining of the Embedding Dimension)

Sinyalin faz uzayında yeniden oluşturulmasında amaç,yeteri kadar büyük bir öklit uzayı (R m) sağlayarak,sisteme ait çekerin yapısını herhangi bir belirsizlik olmadan görebilmektir. Böylece m boyutunda birbiri-ne çok yak ın olan iki nokta, m’nin daha büyük değer-lerine sahip bir uzay içinde görünür hale gelir [7].Örneğin, eğer çeker bir boyutlu ise ve iki boyutluuzayda çizdirilmişse, çeker kendi üzerine katlanır yaniayır ım noktalar ında kendini kesen bir boyutlu çizgidir [21]. Bu ayır ım noktalar ında bir belirsizlik vardır çünkü noktalar ın komşu olduğu diğer noktalar ınhangileri olduğu belirlenemez. Bu belirsizlik, çekerinüç boyutlu uzay içinde çizdirilmesiyle tamamen çözü-lür. Bu durumda kesişim noktalar ı görünür hale gelir.Eğer dört boyutlu uzayda çizdirilirse daha da iyi ola-caktır. Bütün belirsizliklerin çözüldüğü R m uzayı,çekerin gömülü boyutunu verir [7]. Eğer verinin ge-rektirdiğinden çok daha büyük boyutlarda çalışılırsa,veriden istenilen özelliklerin çıkartılması için yapılanhesaplamalar ın sayısı artar ve gereksiz zaman harcanır.

Veriden, gerekli gömülü boyutu tespit edebilmek içinçeşitli metotlar kullanılmıştır. Tekil değer analizi me-todu, çekerin dikey yönler üzerine düşen izdüşümü-nün varyanslar ının büyüklüğüne bağlı olarak gömülü

boyuttaki dikey yönleri tanımlar. Faz uzayındaçizdirilen çeker taraf ından bu yönlerin ziyaret edilmesayılar ı (büyük tekil değerler olarak gösterilir), çekeriiçeren çok küçük bir alandaki boyutun bir hesabıdır [23,24]. Sistem niceliklerinin doyumu metodu, çekereait bazı niceliklerin hesaplanmasını içerir. Hesaplananniceliğin değer değişimi durana kadar gömülü boyut

arttır ılarak hesaplamalar tekrarlanır. Verinin uzunluğu,subjektif olması ve çok zaman alması dezavantaj-lar ıdır [24]. Doğru vektör alanlar ı metodu ise sistemindinamikleri için istatistiksel yöntemlerle güvenilir bir vektör alanının tekliğini inceler [25].

Yanlış en yak ın komşular metodu (YEK), (False Nearest Neighborhood - FNN) Kennel ve ark. [26]taraf ından sunulan ve sıkça kullanılan bir metottur.Bu metodu k ısaca tanımlarsak: m boyutundaki her bir vektör;





[ ]))1((),...,(),()( T mk xT k xk xk y −++= (10)

bir en yak ın komşuya (y NN(k)) sahiptir. y(k) iley NN(k) arasında m boyutundaki öklit fark ise şöyleifade edilebilir ( R m(k)):

[ ] [ ] ...)()()()()(222

++−++−= T k xT k xk xk xk RNN NN

m

[ ]2))1(())1((... −+−−++ mT k xmT k x NN (11)

m+1 boyutta bu en yak ın komşu fark ı (m+1)’incikoordinatlarda x(k+mT) ve x NN(k+mT) bağlı olarak değişir,

[ ]2221 )()()()( mT k xmT k xk Rk R NN

mm +−++=+ . (12)

Komşular ın yanlış olduğu karar ını vermek için bir eşik değeri (R T) gerekir. Eğer,

T

m

NN

Rk R

Tmk xTmk x>

+−+

)(

)()((13)

ise k (veya t0+k τs) zaman noktasındaki en yak ınkomşular yanlış olarak değerlendirilir [7, 26]. Değilse

bu noktaya ait olarak hesaplanmış en yak ın komşular doğrudur ve bu noktadaki boyut, gömülü boyut olarak kabul edilebilir. Bu metotta, bu eşik değerinin (R T)

belirlenmesini sağlayan herhangi bir kuralın olmayışı dezavantajdır. Eşik değerinin subjektif olarak seçimi,özellikle zaman serilerinin analizlerinde, farklı gömülü boyut değerlerinin elde edilmesine sebep

olmaktadır.

Cao [24] taraf ından geliştirilen ve Cao’nun minimumgömülü boyut metodu olarak bilinen bir başka metottaise, YEK metotu bir eşik değeri belirleme kriteriönerilerek geliştirilmiştir. Bu metoda göre: )(m yi m

gömülü boyutuna, )1( +m y i ise m+1 boyutuna ve T

zaman gecikmesine sahip faz uzayındaki i’incivektörler ve ),( min i ve m’ye bağlı bir sayaç

)),(1( mT N min −≤≤ olmak üzere, YEK metodunda

olduğu gibi en yak ın komşu çiftler arasındaki fark

Eşitlik 14 ile tespit edilir. Burada ... gösterimi,

Eşitlik 15’ deki gibi belirlenen öklit fark ıdır [24].

mT N im ym y

m ym ymia

mini

mini−=

−

+−+= ,...,2,1,

)()(

)1()1(),(

),(

),((14)

jT l x

jT k x

d jd

l yd

k y +−+

−≤≤=−

10max)()( (15)

Eğer m, iyi belirlenmişse m boyutta birbirine yak ınolan herhangi iki nokta m+1 boyutta oluşturulan fazuzayında da birbirine yak ın olacaktır. Bu tür noktaçiftlerine doğru komşular, böyle değilse yanlış kom-şular denir. Eğer sinyal faz uzayına iyi bir biçimdegömülmüşse yanlış komşu olmayacaktır. YEK metoduna göre, eğer bir yanlış komşu varsa, a(i,m)

belirlenmiş bir eşik değerinden çok farklı

olacaktı

r.Burada, bu eşik değerinin seçimi önemlidir çünküfarklı sinyaller için farklı eşik değerleri gerekir [24].Bu problemi çözmek için Cao’nun metodunda bütüna(i,m)’lerin ortalama değeri kullanılır (Eşitlik 16).

∑−

=−

=mT N

i

miamT N

m E

1

),(1

)( (16)

E(m) yalnızca m boyutuna ve T zaman gecikmesine bağlıdır. Bunun m’den m+1’e değişimini incelemek için )(/)1()(1 m E m E m E += bulunur. Eğer zaman

serisi bir çeker haline gelmişse E1(m)’nin değişimi, m(boyut sayısı) bir m0 değerinden daha büyük olduğunda duracaktır. m0+1 ise minimum gömülü

boyut olarak alınır [24].

z ydt

dx−−= (17)

ay xdt

dy+= (18)

)( c x zbdt

dz−+= (19)

Şekil 4’de Eşitlik 17, 18 ve 19 ile verilen Rössler denklemlerinden [20], a=0.2, b=0.2, c=5.7 ve -9, 0, 0 başlangıç şartı için üretilen zaman serisi (Şekil 4a),ortalama kar şılıklı bilgi fonksiyonu (Şekil 4b) vegömülü boyutunun belirlenmesi için kullanılanCao’nun metoduna ait sonuçlar (Şekil 4c) görül-mektedir. Kar şılıklı bilgi fonksiyonun ilk minimumolduğu noktadaki değeri zaman gecikmesi olarak

belirlenir (T=10). Şekil 4c’de ise E1(m)’in değişimiikinci boyuttan itibaren bir azalma göstermekle birliktedördüncü boyuttan sonra neredeyse durmaktadır.Bunlara göre Rössler çekerini yeniden oluşturmak için gerekli olan faz uzayının boyutu dört olarak

belirlenebilir.

Şekil 5’te, Şekil 4a’daki Rössler verisi zamangecikmesi T=10, gömülü boyut m=2 (Şekil 5a) vedört boyuttaki yeniden oluşturma görsel olarak çekerin yapısını sergilemediğinden bir kar şılaştırmayapabilmek amacıyla m=3 (Şekil 5b) seçilerek fazuzayında yeniden oluşturulmuştur. Burada üç

boyuttaki yeniden oluşturma ile çekerin yapısı, iki boyuttakine göre, daha iyi anlaşılmaktadır.





2.5. Poincare Kesit (Poincare Section)

Faz uzayı içindeki takriben bütün yörüngelere kar şılık gelen eğriler planına poincare kesit denir. Dinamik

birsistemin faz uzayındaki davranışı, faz uzayı belirli bir düzlemle kesilerek (Poincare kesit), yörüngelerin udüzlemi kestiği noktalar ın oluşturduğu bir geometrik harita şeklinde de gözlemlenebilir. Poincare kesittekinoktalar ın dağılımı tek ve küçük bir bölgede sonlusayıda ise hareket periyodik, kapalı bir eğri isehareket yar ı periyodik, belirli alanlarda yoğunlaşmış kümeler şeklinde ise hareket kaotiktir [27].

Şekil 6a’da, üç boyutlu faz uzayında iki boyutlu bir

poincare kesitin nasıl oluşturulduğu gösterilmektedir.Şekil 6b’de, Şekil 3b’deki yar ı periyodik harekete aitsimitin iki boyutlu poincare kesiti, Şekil 6c’de ise üç

boyutta yeniden oluşturulan Rössler verisinin iki boyutlu poincare kesiti görülmektedir.

Şekil 7’de, normal hızlı ve düzenli bir atriyal ritimolan normal sinüs ritmini1 (Şekil 7a) ve aşır ı hızlı ve

1: Normal sinüs ritmi ve venriküler fibrilasyona ait EKG verileriDaniel Kaplan’ın internet sayfasından alınmıştır.(http://www.macalester.edu/~kaplan)

(a) (b) (c)Şekil 4. Rössler zaman serisi için zaman gecikmesinin ve gömülü boyutun belirlenmesi a)Rössler denklemleri kullanılarak üretilen zaman serisi b)Ortalama kar şılıklı bilgi fonksiyonu c)Cao’nun metodunaait sonuç (Determining of the time delay and embedding dimension for Rössler time series a)The time series produced by using theRössler e uations b)Avera e amutual information function b)The result of Cao’s method)

(a) (b)Şekil 5. Rössler verisinin faz uzayında yeniden oluşturulması (T=10) a) İki boyutlu faz uzayındaki çeker b)Üç boyutlu faz uzayındaki çeker (The phase space reconstruction of Rössler data (T=10) a) The attractor in the two dimensional phase space b) The attractor in the three dimensional phase space)

(a) (b) (c)

Şekil 6. Poincare kesit a)Üç boyutlu faz uzayındaki iki boyutlu (x-y) poincare yüzeyi [28] b)Şekil 3b’dekisimite ait iki boyutlu poincare kesit c)Şekil 5b’deki Rössler çekerinin iki boyutlu poincare kesiti (Poincaresection a)Two dimensional poincare surface in the three dimensional phase space [28] b)Two dimensional poincare section belong totorus in the Figure 3b c)Two dimensional poincare section of the Rössler attractor in the Figure 5b)





düzensiz bir ventiküler ritim olan ventriküler fibrilas-yonu1 (Şekil 7b) içeren EKG zaman serileri üzerindeyukar ıda açıklanan uygulamalar gerçekleştirilmiştir.Yukar ıdan aşağıya her bir sütunda sırasıyla; zamanserileri, kar şılıklı bilgi fonksiyonu, Cao’nun metoduile gömülü boyutun belirlenmesine ilişkin fonksiyoneğrisi, zaman serilerinin üç boyutlu faz uzayındayeniden oluşturulmuş çekerleri ile üç boyutlu poincarekesitleri (zaman serisi dört boyutlu faz uzayında yeni-

den oluşturularak) gösterilmiştir. Zaman gecikmesi,ortalama kar şılıklı bilgi fonksiyonundan, normal sinüsritmi için T=2, ventriküler fibrilasyon için T=14olarak bulunmuştur. Cao’nun minimum gömülü boyutmetodu ile gömülü boyut; normal sinüs ritmi içinm=7, ventriküler fibrilasyon için m=8 olarak

belirlenmiştir. Bu zaman serilerine ait çekerler, görselolması açısından, üç boyutlu faz uzayında yenidenoluşturulmuştur. Poincare kesit faz uzayı boyutunun

Şekil 7. Yukar ıda açıklanan metotlar ın normal sinüs ritmi (a) ve ventriküler fibrilasyona (b) ait EKG zamanserileri üzerindeki uygulamalar ı. Yukar ıdan aşağıya her bir sütun: zaman serisi veri, ortalama kar şılıklı bilgifonksiyonu, Cao’nun metodu, üç boyutlu faz uzayındaki garip çeker, üç boyutlu poincare kesit (The application of the methods that explained above on the ECG time series that contains the normal sinus rhythm (a) and ventricular fibrillation. Up to bottomeach column: time series data, average amutual information function, Cao’s method, the strange attractor in the three dimensional phasespace, three dimensional Poincare section)

(a) (b)





bir eksiğine sahip olacağından üç boyutlu poincarekesitler, zaman serileri dört boyutlu faz uzayında ye-niden oluşturularak elde edilmiştir.

2.6. Lyapunov Üstelleri (Lyapunov Exponents)

Kaotik sistemlerin periyodik olmayan dinamikler

göstermesinin sebebi, faz uzayı

eğrilerinin her birininneredeyse aynı başlangıç şartlar ında farklı üstel artış oranlar ına sahip olmalar ıdır. Bu duruma başlangıçkoşullar ına hassas duyarlılık denir. Lyapunov üsteli λ,

başlangıç şartlar ına olan duyarlılığın bir ölçüsünüverir ve faz uzayı içindeki komşu eğrilerin yerelayr ılma derecelerinin ortalaması olarak tanımlanır [29]. Eğer λ negatif ise farklı başlangıç şartlar ı aynı çık ış değerlerini vermeye meyillidir ve dolayısıylagelişme kaotik değildir. Eğer λ pozitif ise farklı

başlangıç değerleri farklı çık ış değerleri verir yanihareket kaotiktir.

Biri referans olmak üzere iki yak ın eğri üzerinde yer alan birbirine en yak ın iki nokta (x1 ve x2) arasında

başlangıçta δx(0) gibi çok küçük bir fark vardır. Bir tzamanı sonunda bu noktalar birbirlerindenuzaklaşırlar ve arasındaki fark δx(t) olur. Lyapunovüsteli, ... ifadesi öklit fark ını göstermek üzere,

aşağıdaki şekilde bulunur [28, 30];

t t e x x

λ δ δ )0()( = (20)

)0(

)(log

1lim)(

i

i

t x

t x

t i

δ

δ λ

→∞= . (21)

Faz uzayında her bir boyuttaki ıraksama ve yak ın-samayı bir λ temsil ettiğinden, d boyutlu dinamik bir sisteme (R d) ait Lyapunov üsteli spektrumu, λ1 en

büyük olmak üzere d λ λ λ ≥≥≥ ...21 şeklinde elde

edilir. Kaotik bir sistem en az bir pozitif Lyapunovüsteline sahip olacağı için herhangi bir sistemde en

büyük Lyapunov üsteli λ1>0 ise davranış kaotik, λ1<0ise davranış kararlıdır. Örneğin üç boyutlu bir fazuzayında kar şılaşılabilecek Lyapunov üstelleri(λ1,λ2,λ3) şöyledir; (-,-,-): sabit nokta, (0,-,-): limitdöngü, (0,0,-): simit, (+,0,-): garip çeker (kaos) [31]. +üstel çeker içinde kaos olduğunu, 0 üstel bir yörünge

boyunca üstelden daha yavaş bir gelişme olduğunu ve – üstel de uzayın bir çeker içerdiğini ifade eder [27].

2.6.1. Zaman serisinden Lyapunov üstellerininhesaplanması (Calculating of the Lyapunovexponents from time series)

Zaman serisinden Lyapunov üstellerinin hesaplanması için geliştirilen metotlar temelde iki sınıfa ayr ılırlar:Jacobian tabanlı metotlar ve direkt metotlar. Jacobiantabanlı metotlarda, ilk olarak veriye uygun bir modeloluşturulur ve Lyapunov üstellerinin hesaplanmasındamodel eşitliklerinin Jacobian matrisleri kullanılır. Bualgoritmalar dinamik sistemin eşitliklerinin bilindiğidurumlar için tasarlanmışlardır [29, 32].

Jacobian tabanlı algoritmalar ın bazılar ı sabit bir komşu nokta sayısı veya referans noktasının etraf ında

belirlenmiş bir yar ıçap ya da herhangi iki yar ıçapdeğeri arasında kalan noktalar için hesaplama yaparlar [33, 34]. Gencay ve Dechert [35] Lyapunov üstelle-rinin hesabı için yapay sinir ağlar ı tabanlı bir algo-ritma; Abarbanel ve ark. [36] doğrusal olmayan çok

terimli yaklaşı

mlar sunmuşlardı

r. Brown ve ark. [21], Lyapunov spektrumunun hesabı için, yüksek dereceliTaylor serileri ile uyguladıklar ı yak ın komşudan -yak ın komşuya eşlemeleri kullanmışlar ve bununyerel doğrusal eşlemelerden daha iyi olduğunu ifadeetmişlerdir. Briggs [37] taraf ından sunulan metotta iseen küçük karelerin kullanıldığı çok terimli uygun-laştırma yapılarak Jacobian matrisleri gürültülü veridurumunda en iyi şekilde bulunmuştur ve bu yöntemdoğrusal uygunlaştırma yöntemlerine göre dahaüstündür. Oiwa ve Fiedler-Ferrara [38] taraf ındanhazırlanan başka bir algoritmada, faz uzayı, çekeringeometrisine uygun olarak kutulara (üç boyuttaküplere) bölünmüş ve Lyapunov üstelleri her bir kutu

için hesaplanan Jacobianlar ı

n ortalamalar ı

alı

narak hesaplanmıştır. Bu metodun işlem zamanı Sano veSawada [39] taraf ından sunulan metotla kar şılaştır ıl-dığında oldukça k ısadır.

Direkt metotlar, veriye uygun bir model olmaksızın,faz uzayında oluşturulan çekerlere ait eğrilerin ırak-sama/yak ınsama durumlar ının direkt olarak hesaplan-masına dayanır. Bir zaman serisinden direkt olarak Lyapunov üstellerinin hesaplanmasına yönelik ilk algoritmalar Wolf ve ark. [31] ve Sano ve Sawada[39] taraf ından 1985’de sunulmuştur. Bu metotlar ilk olarak, yukar ıda açıklanan zaman gecikmeli koordi-natlar metodunu kullanarak zaman serisinin faz uza-yındaki çekerini oluştururlar. Wolf ve ark.’nın [31]algoritmasına göre, faz uzayında oluşturulan çeker üzerinden en büyük Lyapunov üsteli şöyle hesap-lanabilir (Şekil 8): x(t0) referans noktası ve y(t0) enyak ın komşu nokta seçilerek, bu noktalar arasındakiayr ılma mesafesi f(t0) bu iki nokta arasındaki öklitfark ı ile bulunur;

)()()( 000 t yt xt f −= . (22)

Bu noktalar ın ait olduklar ı eğrilerin (x ve y eğrileri) t1 zamanı sonrasındaki değerleri kullanılarak da f ’(t1)fark ı yine aynı şekilde hesaplanır. Referans eğrinin t1

noktası

nda x(t1), ilk seçilen eğri (y eğrisi) ile yaklaşı

k olarak aynı yöne sahip yeni bir eğri (z eğrisi) seçilir kiz(t1) noktası x(t1) noktasına en yak ın olandır vearalar ındaki öklit fark ı f(t1) bulunur. Bir t2 zamanı içinyine bu eğrilere (x ve z) ait noktalar arasındaki fark daf ’(t2) olarak bulunur. Bu arada elde edilen öklitfarklar ının oranı f ’(t1)/f(t0) veya f ’(t2)/f(t1) her bir nokta çifti arasındaki genişlemeyi verir. log(f’(ti+1)/f(ti))/(ti+1-ti) eğrinin bir noktadan itibaren üstelgenişlemesini verir.





Yukar ıda açıklanan işlem N defa tekrar edilir ve en büyük Lyapunov üsteli şöyle hesaplanır [31];

∑= −−

= N

i i

i

N t f

t f

t t 1 10 )(

)('log

1λ . (23)

Bu metotta, aynı eğri üzerindeki bitişik noktalar ınseçilmesinden kaçınmak gerekir çünkü böyleseçilirse, bunlar arasındaki mesafe zaman gecik-mesinden daha küçük olacaktır. Bu nedenle t1,...,t N zamanlar ı zaman gecikmesinden büyük ancak üstelayr ılmalar ı elde etmeye yetecek kadar küçük olmalıdır [19]. Bu algoritma gürültü bozulması olmayan geniş

bilgi kümeleriyle iyi çalışır fakat k ısa ve/veyagürültülü bilgi kümelerinin bulunduğu durumlarda

başar ılı olamayabilir [40]. Bu sınırlamalar ın üstesindengelebilmek için çeşitli algoritmalar [21,33,41-43]geliştirilmiştir.

Rosenstein ve ark.’nın [41] algoritmalar ı en büyük

Lyapunov üstelinin bulunmasına yöneliktir ve küçük,gürültülü veri kümeleri için kolayca uygulanabilir.Yine ilk olarak zaman serisi şeklindeki veri fazuzayında yeniden oluşturulur ve Lyapunov üsteliaşağıdaki gibi hesaplanır.

∑−

=−Δ

=i M

j j

j

id

id

i M t i1

)(1)0(

)(ln

1

.

1λ (24)

Burada d j(i), i ayr ık zaman adımlar ında en yak ınkomşular ın j. çifti arasındaki fark, t Δ zaman serisininörnekleme periyodu, t i Δ. ’de saniyedir. M, faz uzayında

oluşturulan noktalar ın sayısıdır. )(1)( t i

j j

eC id Δ≈ λ olarak

bulunur, burada C j başlangıçtaki ayr ılma mesafesidir.Her iki taraf ın logaritması alınırsa,

).(ln)(ln 1 t iC id j j Δ+≈ λ ile j=1,2,…,M için eğimleri

1λ ile orantılı olan, yaklaşık olarak paralel eğriler kü-

mesi elde edilir. En büyük Lyapunov üsteli de eğriyeen küçük kareler metodu uygulanarak şöyle hesaplanır;

)(ln1

)( id t

i y jΔ

= . (25)

Burada ... ifadesi, j’nin tüm değerlerinin ortalaması-

nı gösterir. Bu algoritma bir başka direkt metot olanSato ve ark.’nın [44] çalışmalar ı temel alınarak oluş-turulmuştur.

Sato ve ark. [44] taraf ından geliştirilen metot, daha az parametreye ihtiyaç duyduğundan basittir. Yine

komşu eğriler arasındaki uzaklığın ortalama üstelgelişmesi logaritmik bir eksen üzerinde incelenmiştir.

∑=

++

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

N

nnnn

k nnk n

s y y

y y

Nt k p

1

2log1

)( (26)

Buradann

y ,n

y ’in en yak ın komşusudur. p(k), tah-

min hatasıdır ve p(k)’ya kar şılık k’nın çizdirildiğieğrinin doğrusal k ısmının eğimi en büyük Lyapunovüstelini verir. [44].

Lyapunov üstelinin hesabı için, çoğunlukla yukar ıdaaçıklanan algoritmalar kullanılmakla birlikte sonyıllarda geliştirilen başka algoritmalar da vardır [45-51]. Bu algoritmalar ın bir k ısmı varolan algoritma-lar ın daha da geliştirilmiş hali iken, bir k ısmı oldukçafarklı yöntemlerle oluşturulmuştur ve özellikle de gü-rültülü veri durumlar ında çalışırlar. Grond ve ark. [45,46], Wolf’un [31] algoritması üzerinde güçlü yerel bir algoritma geliştirmişlerdir. Wolf’un [31] algoritması-nın temel özellikleri korunarak bir standart sapma kri-teri eklenmiştir. Bu değişiklik ile tekdüze olmayanetmenler (yani Lyapunov üstellerinin standart sapması)hesaplanarak, doğrusal olmayan ak ışın yerel davra-nışlar ı belirlenebilmektedir. Stefanski ve ark. [47],zaman gecikmeli dinamik sistemler için geliştirilmiş,hem ak ış hem de ayr ık eşlemelere uygulanabilen, bir en büyük Lyapunov üsteli hesabı algoritması sunmuş-lardır. Bu metot birleştirilmiş özdeş sistemlerin senkroni-zasyonuna dayanan bir metottur. Senkronizasyon ko-layca tespit edilebildiğinden bu metot diğer gelenek-sel metotlara göre önemli bir kullanım avantajınasahiptir. Lyapunov vektörleri metodu olarak isim-lendirilen ve sürekli dinamik sistemlerin Lyapunovüstellerini hesaplayan başka bir algoritmada ise, bir dikgen vektörler kümesinin gelişiminin izlenmesiyoluyla Lyapunov üstelleri çıkar ılır [48]. Metot, Wolf’un

Referans Eğri, x(t)

Komşu Eğri, y(t)Komşu Eğri, z(t)

Komşu Eğri, v(t)

x(t0)

f(t2)f ’(t1)

f(t1)

f ’(t2)

x(t1)

x(t2)

y(t0)

y(t1)

z(t1)

z(t2)

v(t2)

v(t3)

f ’(t3)

f(t0)

x(t3)

Şekil 8. Lyapunov üstelinin hesaplanması (Calculating the Lyapunov exponent)





[31] algoritmasından daha doğru sonuçlar vermekteve çok güçlü doğrusal olmayan sistemler için bilekararlı davranmaktadır. Yonemoto ve Yanagawa [49]taraf ından, dinamik gürültüye sahip zaman serileriiçin geliştirilen algoritmada ise, zaman gecikmesi vegömülü boyut değerleri kullanılarak zaman serisininiskeleti hesaplanmakta ve bir başlangıç vektörü

verilerek hesaplanmı

ş iskeletten üretilen veri ilehesaplanmış iskeletin parçalı türevleri kullanılarak Lyapunov üsteli hesap edilmektedir. Liu ve ark. [50] dagürültü dağılımından etkilenmeden en büyük Lyapunovüstelini hesaplayan bir algoritma sunmuşlardır.Bünner ve ark. [51] taraf ından geliştirilen başka bir algoritma ise özellikle yüksek boyutlu faz uzayınagömülü sistemler için Lyapunov spektrumunun yerelmodeller kullanılarak hesaplanmasına yöneliktir.

Lyapunov üsteli hesabında seçilen parametrelerin vegürültünün etkisi için [52-55] numaralı kaynaklara ba-k ılabilir. Ayr ıca Lyapunov üstelleri kullanılarak zamanserisi tahmini ve düzenli veya kaotik yörüngelerin

tespiti üzerine sunulan çalı

şmalar da vardı

r [56, 57].2.7. Fraktal Boyutlar (Fractal Dimensions)

Fraktal geometri, bilimsel literatürde Mandelbrot [58]taraf ından ortaya konan bir terimdir. Mandelbrot, doğalobjelerin yapısal bütünlüğünü incelemiştir. Bir nokta,

bir çizgi, bir kare veya bir küp gibi matematikselobjeler sırasıyla sıf ır, bir, iki veya üç boyutlu objeler olarak bilinirler. Toplam boyut sayısı objenin geo-metrik yapısı hakk ında bize bilgi verir. Mandelbrot,tamsayı ile ifade edilen boyutlar ın kaotik yapılarauygun olmadığını göstermiştir. Doğrusal sistem çe-kerleri tamsayı boyutlarla ifade edilebilirken, kaotik sistem çekerleri fraktal (kesirli) boyutlara sahiptir.

Bir geometrik obje, m’nin objedeki her bir noktanın pozisyonunu en iyi şekilde belirlemeye yetecek kadar büyük olduğu bir öklit uzayında (R m), tamamiyle bir noktalar kümesi taraf ından oluşturulmuş olabilir. R m içindeki her bir küme [0,m] aralığındaki bir tamsayı değerine sahip topolojiksel bir d boyutuna sahiptir.R m’nin tamamı bir küme ise d=m’dir. Öklitgeometride noktalar d=0, eğriler d=1, alanlar d=2, üç

boyutlu cisimler d=3 vb. boyutuna sahiptirler [19]. Bir fraktal boyut D, tamsayı olmayan değerlere izin veren

bir boyut ölçümüdür [58]. Kaotik yapının fazuzayında bir göstergesi olan garip çekerlerin kao-tikliğinin derecesini bunlara ait fraktal boyutlar verir.

Dinamik bir sistemin sahip olduğu çekeri temsil edenayr ıntılı boyut hesaplar ı vardır. Bunlar ın tamamı

boyut spektrumu Dq olarak adlandır ılabilir. Hentschelve Procaccia [59] taraf ından tanımlanan boyutspektrumu Eşitlik 27 ile verilmiştir. q değeri arttıkçayüksek dereceli ilintilerin hesaba katıldığı fraktal

boyut değerleri elde edilir. Eşitlik 27’de N(r), kümeyiörtmesi gereken r büyüklüğündeki (r kenarlı hiperküpler) m boyutlu hücrelerin sayısıdır ve

H

H p

j

j = , küme içinde bulunan bir noktanın j

hiperküpünde olma olasılığıdır. H, küme içindekinoktalar ın toplam sayısıdır ve H j, j hiperküpündekikümenin noktalar ının sayısıdır.

,...2,1,0,log

loglim1

1

)(

1

0=

−= ∑

=

→q

r

p

q D

r N

j

q

j

r q (27)

Verilen bir küme için boyutlar genellikle...210 ≥≥≥ D D D şeklinde sıralanır. Eğer küme

homojen bir çekerse bütün boyutlar (Dq) eşittir. D0 kutu-sayma (box-counting) boyutu, D1 bilgi boyutu veD2 ilinti boyutu olarak isimlendirilir.

Bir kümenin boyutunu hesaplamak için iki farklı metot kullanılır. Birincisi kutu-sayma (box-counting)metodudur. Buna kutu-sayma boyutu (box-countingdimension) da denilir [58]. Kutu-sayma boyutu

Haussdorff-Besicovitch boyutun basitleştirilmiş bir halidir [29]. Ancak kutu-sayma boyutu yalnızca düşük boyutlu kümeler için hesaplanabilir [60]. Bu metotta,faz uzayındaki eğriyi oluşturan noktalar kümesi, r

boyutlu N(r) tane küçük hücre ile kaplanmıştır (iki boyut için kareler, üç boyutta için küplerle). Boyuthesabı yapılırken kümenin bir parçasını kapsayan yaniçok ya da az sayıda noktasını içeren her kutu hesabakatılır ve Eşitlik 28’de verildiği gibi tespit edilir.Boyut spektrumu Dq’nun hesaplanmasındaki zorluk kümenin çok küçük boyutlu hücrelerle kaplanmasındaortaya çıkar ve bu büyük bir bilgisayar belleği vezaman gerektirir. D boyutu, log(N(r))’nin log(1/r)’yekar şılık gelen eksenleri arasında çizdirilen eğrinin

doğru olan parçası

nı

n eğimi olarak hesaplanı

r. D0 boyutu sık sık “kapasite boyutu (D0)” ya da “fraktal boyut” olarak da isimlendirilir.

)1

log(

))(log(lim

0

r

r N D

r →= (28)

D1 boyutu bilgi boyutudur [19];

r

p p

D D

r N

jj j

r q log

loglimlim

)(

1

02

11

∑ =

→→== . (29)

Kaplan ve Yorke’un [61] çalışmalar ı bilgi boyutununLyapunov üstelleri ile ilişkili olduğunu göstermiştir.Bu nedenle bilgi boyutu Kaplan-Yorke boyutu (DKY)veya Lyapunov boyutu (DL) olarak da bilinir.

1

11

+

=∑+===

j

j

ii

LKY j D D Dλ

λ (30)





D2 boyutu ilinti boyutu olarak isimlendirilir ve şöyleifade edilir;

r

r C D

r log

)(loglim

02

→= , (31)

burada ∑=

=)(

1

2

)(

r N

j j pr C ilinti toplam

ı

dı

r ve kümenin

iki noktasının aynı hücre içinde olma olasılığıdır [62].

Veri kümesinin fraktal boyutlar ının hesaplanmasındayaygın olarak kullanılan ikinci metot, ilinti integralininhesaplanmasını gerektiren Grassberger ve Procaccia [62]algoritmasıdır. Bu algoritmaya göre; bir kümenin ikinoktasının (Xi, X j ve i≠ j) aynı r boyutlu hücrede olmaolasılığı, iki noktanın r’ye eşit veya r’den küçük bir uzaklıkla ayr ılmış olma olasılığına yaklaşık olarak eşittir.

2

1lim)(

N r C

N ∞→≈ { r X X

ji≤−

ifadesini sağlayan (i,j) çiftlerinin sayısı} (32)

∑ ∑= +=∞→≤−

−

=N

i

N

i jji

N r X X

N N

r C 1 1

)()1(

2

11

lim)( ρ (33)

Burada ∑ =−=−

m

k ji ji k X k X X X

1

2))()(( öklit

fark ı olarak hesap edilir. )(l ρ ise l şartı sağlandığın-

da 1, sağlanmadığında 0 değerini alan bir göstergefonksiyonudur (Heaviside fonksiyonu). r’nin değer aralıklar ı için C(r) hesaplanır ve ilinti boyutu D2,log(C(r))’nin log(r)’ye kar şılık çizdirilmesi ile oluşan

eğrinin doğru parçasının eğimi olarak hesaplanır. İlintiintegralinden D2’nin hesaplanmasına yönelik algorit-malar [62-64] oldukça sık kullanılmakla beraber ge-liştirilen bazı yeni algoritmalar da mevcuttur [65, 66].

Boyut hesaplamalar ının doğruluğu çeşitli faktörlere bağlı olarak değişkenlik gösterebilir. Hesaplamada kul-lanılan nokta sayısı, örnekleme frekansı, faz uzayınınoluşturulması için gereken zaman gecikmesi ve gö-mülü boyut ve sinyaldeki gürültü [15, 55] boyut hesap-lamalar ında etkili olan parametrelerdir [67]. Bu para-metrelerin belirlenmesindeki farklılıklar aynı zamanserisi üzerinde değişik sonuçlar verebilmektedir. Bunedenle, yapılan hesaplamalara uygulanabilecek bazı

test algoritmalar ı geliştirilmiştir [67, 68]. Casaleggiove Corana [67] ilinti boyutu ve diğer boyut hesap-lamalar ına kolayca uygulanabilen ve D2’nin gömülü

boyuta bağlılığını ve log-log alandaki eğrinin doğru-sallık derecesini belirten iki nicelik hesabını içeren bir test metodu sunmuşlardır.

Şekil 9’da, Şekil 4a’daki Rössler verisinin ilinti boyu-tu hesabı gösterilmiştir. Bu aynı zamanda, Rössler verisinin gömülü boyutunu bulmak için sistem nice-liklerinden biri olan ilinti boyutunun doyum durumu-

nu da ifade eder. Veri kümesi küçük olduğunda tercihedilen bu yöntem (sistem niceliklerinin doyumu) ile1’den 7’ye kadar boyut arttır ılarak, her bir boyut içinilinti boyutu hesabı yapılmıştır. Şekil 9a’da her bir

boyut için log C(r)’nin log r’ye kar şı çizdirilmesi ileoluşan eğriler görülmektedir. Bu eğrilerin doğrusal

parçalar ının eğimi olarak hesaplanan ilinti boyutlar ı Şekil 9b’de gömülü boyuta kar şılık gelecek şekildeçizdirilmiştir. Burada, dördüncü boyuttan sonra ilinti

boyutu değerinin doyuma gittiği görülmektedir. Dola-yısıyla Rössler verisinin gömülü boyutunun dört, ilinti

boyutunun da D2 ≅ 1,8 civar ında olduğu söylenebilir.

Tablo 1’de, bu çalışmada çeşitli şekilde uygulamalar ı yapılan bazı dinamik sistemlere ait denklemlerle üre-tilen zaman serileri ve normal sinüs ritmi ve ventrikü-ler fibrilasyona ait EKG zaman serileri için hesapla-nan Lyapunov üstelleri, Lyapunov (bilgi) ve ilinti

boyutlar ı verilmiştir.

2.8. Modelleme ve Tahmin (Modelling and Prediction)

Mekanik sistemler için Newton Kanunlar ı, ak ışkandinamikleri için Navier-Stokes, elektromanyetik içinde Maxwell’in denklemleri, kullanılan önemli model-lerdir ve sistemlerin çalışmalar ını etkileyen birçok pa-rametre bu modellerde yer alır. Ancak bu modellerinde ifade edemediği bazı durumlar olabilir ya da uygu-lamalar ı sırasında bazı k ısıtlamalar söz konusudur. Bir de deneysel modellemeler vardır ki bunlar determi-nistik veya stokastik olarak sınıflandır ılabilirler ve

(a)

(b)Şekil 9. Şekil 4a’daki Rössler verisinin ilinti boyutua)log C(r)’ye kar şı log(r)’nin grafiği b)Gömülü boyutakar şı çizilen ilinti boyutu grafiği (The correlation dimensionof Rössler data in the Figure 4a a)The graph of log c(r) versuslog(r) b)The graph of embedding dimension versus correlationdimension)





deneysel veri üzerine uygulanırlar. Birçok durum içinfiziksel modelin yapılma olasılığı yoktur ve budurumlarda deneysel modelleme daha iyi bir yaklaşımolur. Geleneksel olarak kullanılan deneysel modeller,doğrusal istatistiki teknikleri kullanır ancak doğadakihiçbir gelişme doğrusal değildir. Doğrusal olmayanmodellemede doğrusal olmayan terimler içeren doğru-sal gerileme, çok terimli (polinomal) gerileme, yar ıça-

pı temel alan fonksiyonlar, Markov modelleri veözellikle son yıllarda yapay sinir ağlar ı kullanılmıştır.

Entropi kavramı kabaca, bir sistemin düzensizliğe olaneğilimidir. Sistemin rastgelelik ve önceden bilinebi-lirliğini ifade eder. Başka bir deyişle entropi, x’inölçümü ile x sinyalinin kaynağı hakk ında öğrenilen

bilgilerin miktar ını belirtir. Kolmogorov (1958) veSinai (1959) taraf ından formüle edilmiştir ve KS entropiolarak bilinir. Büyük veri kümeleri için KS entropidirekt olarak ilinti integralinden hesap edilebilir [69].KS entropi aynı zamanda pozitif Lyapunov üstelle-rinin toplamıdır. Periyodik sistemler için sıf ır, kaotik sistemler için sıf ırdan büyük, rastgele sistemler içinde sonsuz değerini verir. Bir sinyalin entropisi, zamanserilerinin gelecek bir zamandaki gelişiminin kestiri-mi ile ilgilidir [40]. Doğrusal olmayan kestirim, dina-mik sistemlerin eğrileri hakk ında k ısa dönemli tah-minler yapmak için geliştirilen bir yaklaşımdır. Buyaklaşımda genellikle, zaman serisinin yerel ve genelmodeller kullanılarak tahmin edilen gelişimi ile gerçek gelişme kar şılaştır ılır, aralar ındaki fark normalleştiri-lerek tahmin hatası tespit edilir [7, 70]. Böylece dina-miklerin yapısı karakterize edilebilir [40]. Yerel doğ-rusal modeller tüm bilinmeyenleri açıklayamaz fakatgenel doğrusal modellemeler doğrusal olmayan sin-yallerin modellenmesinde önemli derecede gelişmiş

bir performansa sahiptir [7]. Yerel yaklaşımlardayalnızca verilen bir noktanın komşuluk durumlar ı kul-lanılarak yerel olarak geçerli parametreler hesaplanır [10]. Örneğin yerel doğrusal yaklaşımlar ı içeren çok terimli (polinomal) [71] veya yar ıçapı temel alanfonksiyonlar ın kullanıldığı [72] modeller mevcuttur.Zaman serisi veriye uygulanan farklı modelleme tek-nikleri için detaylı bilgi [70, 73, 74] numaralı kaynak-larda bulunabilir. Kaotik zaman serisinden sisteme aitdinamik denklemlerin çıkar ılması ile ilgili çalışmalar için de [75, 76] numaralı kaynaklara bak ılabilir.

2.9. Kararsız Periyodik Yörüngeler(Unstable Periodic Orbits)

Kararsız periyodik yörüngeler (KPY) topolojik bir özelliktir ve dinamik sisteme ait garip çekerin iskele-tini gösterir. KPY’ler faz uzayında yeniden oluşturul-muş çekerden çıkar ılırlar ve KPY’nin özellikleri bili-

niyorsa, fraktal boyut, Lyapunov üsteli ve entropi gibikaosu karakterize eden nicelikler saptanabilir. Periyo-dik yörüngeler bir sistemin deterministik dinamik-lerini yansıtır fakat KPY'ler kararsızdır yani pozitif Lyapunov ifadesine sahiptir ve bundan dolayı kaotik sistem için tipikseldirler [77]. KPY’lerin tespitinde engenel yaklaşım Pierson ve Moss [78] taraf ından su-nulmuştur ve faz uzayındaki şekillerin tekrar ına daya-nır. Bu yaklaşım başka çalışmalarca da geliştirilmiştir [79,80] ve dinamik bir sistemin tahmin ve kontrolündekullanılır [81-83]. Örneğin Narayanan ve ark. [77],normal ve farklı patolojik durumlardaki EKG zamanserisini, ilinti boyutu ve Lyapunov üstellerini hesapla-yarak analiz ettiklerinde önemli farklar bulamamışlar

fakat KPY analizi yaptıklar ında, KPY’lerin sayı vedağılımlar ının oldukça farklı olduğunu görmüşlerdir.

2.10. Doğrusalsızlığın Tespiti (Detecting of Nonlinearity)

Zaman serileri fizyolojik, biyolojik, mekanik gibi ger-çek yaşamsal sistemlerden elde edilen bilgilerle oluş-turulurlar. Bu sinyallerin periyodik, yar ı periyodik,kaotik veya rastgele ya da tamamiyle gürültülerdenibaret olup olmadığı yukar ıda açıklanan hesaplamalar yapılarak ortaya çıkar ılabilir ancak bu zor bir süreçtir.Kaotik bir sistem düşük boyutlu doğrusal olmayan bir sistemdir ve doğrusalsızlığın tespiti kaos için gerekli

bir şarttır. Bu nedenle verinin doğrusalsızlığını tespit

etmek için çeşitli metotlar geliştirilmiştir [84-88].

En çok kullanılan metot vekil veri (surrogate data)[84] metodudur. Bu metot zaman serisindeki doğru-salsızlığı tespit etmek için istatistiksel bir yaklaşımadayanır. Önce bazı doğrusal işlemler bir hükümsüzhipotez (null hypothesis) olarak belirlenir. Sonra

belirlenen bu hükümsüz hipoteze uygun vekil veriler üretilerek, orijinal veri ile vekil veri kümeleri arasında

bir istatistik fark hesaplanır. Bu istatistiksel kar şılaş-tırma sonucunda, orijinal veri için hesaplanan değer,

Tablo 1. Yukar ıda açıklanan metotlar ın zaman serilerine uygulanması ile elde edilen sonuçlar (The results areobtained with methods explained above have applied to time series)

Zaman gecikmesi(T)

Boyut(m)

Lyapunov Üstelleri

(λ 1,λ 2,λ 3)Lyapunov Boyutu

(DL)İlinti Boyutu

(D2)

Van Der Pol Osilatöra =5, b=3, w=1.788 [1 0 0] 1 3 0.30382, -8,9262e-17, -2.3666 2.1284 1.5146

Rössler Denklemleria=0.2, b=0.2, c=5.7 [-9 0 0]

10 3 0.0732, 0, -5.4824 2.0133 1.7827

Lorenz Denklemleriσ =16; b=4; r =45.92 [1 1 1]

10 3 1.512, 0, -21.334 2.070 2.0054

Normal Sinüs Ritmi* 2 7 0.0424, -0.0032, -0.0260, -0.0630 3.0818 1.783

Ventriküler Fibrilasyon* 14 8 0.0250, 0.0109, 0.0035, -0.0020 6.5245 6.4031*:Normal sinüs ritmi ve ventriküler fibrilasyon verileri için hesaplanan Lyapunov üstellerinden ilk dört tanesi verilmiştir





vekil verilerden hesaplanan değerlerden önemli dere-cede farklı ise hükümsüz hipotez reddedilir ve doğ-rusalsızlık tespit edilir.

Yu ve ark. [88] doğrusalsızlığın tespiti üzerine yaptık-lar ı çalışmada, faz uzayındaki bir eğri boyunca, sabitolmayan dinamikleri zamandaki doğrusal olmayan

istatistiksel dağı

lı

mlar ı

na bağlı

olarak doğrudan tespiteden bir metot sunmuşlardır ve deneysel verinin anali-zinde güvenilir bir test metodu sağladığını göstermişlerdir.

3. FİZYOLOJİK ZAMAN SER İLER İ ÜZER İNDEK İ KAOTİK ANALİZ UYGULAMALARI (CHAOTICANALYSIS APPLICATIONS ON THE PHYSIOLOGICALTIME SERIES)

Kaos teorisi ortaya çık ışı ile beraber, çok sayıdadeğişken taraf ından kontrol edilen fizyolojik sistem-lerden alınan sinyallere uygulanmış ve bu sistemlerinmodellenmesinde de kullanılmıştır. İnsan veya hay-vanlar ın çeşitli fizyolojik sistemlerinden alınan sin-yaller ve görüntüler üzerinde, yukar ıda açıklanan kaotik

hesaplamalar ın bir k ısmı veya tamamı uygulanarak busistemlerin kaotik özellikleri ortaya konmaya çalışıl-mıştır. Bu bölümde kalp damar sistemi, kalp hızı değişkenliği, solunum, beyinsel aktiviteler, kan ak ışı,kan basıncı vb. sistem veya sinyaller üzerinde yapılankaotik uygulamalar ın bazılar ına değinilmiştir.

Kalp damar sistemi kan basıncını, kan ak ışını, kaniyon yoğunluğunu, vücut sıcaklığını vb. düzenleyengeri besleme mekanizmalar ı taraf ından yönetilir. Yanikalbin davranışını bu tür geri besleme mekanizmalar ı

belirler ve kalbin bir dinamik sistem gibi davrandığı ifade edilmiştir [89]. Kalp hızı değişkenliğinin (KHD)(Heart Rate Variability - HRV) ve Elektrokardiyag-

ramlar ın (EKG) doğrusal analizleri, kalbin yeterliliğini belirlemek için yararlı metotlardır. Bunlar üzerindeyapılan doğrusal olmayan analizlerde kaotik davranış-lar tespit edilmiştir. Sağlıklı yetişkinlerde, KHD’dekidoğrusal olmayan dinamiklerin normal statüde görün-dükleri görülür. Ancak, patolojik durumlarda bunlar ınanlaşılması zordur çünkü böyle bir durumda kalp damar sistemi ile solunum sisteminin kar şılıklı etkileşimi

bozulmuş olabilir [40]. Bu nedenle sağlıklı durum,kaosun belirli bir derecesi ile karakterize edilmiştir.Otonom sinir sistemi fonksiyonlar ındaki anormalliklerinkardiyak kaosunu azalttığı bulunmuştur [90]. Kalpdamar sisteminden elde edilen zaman serileri üzerindeyapılan Lyapunov üsteli hesaplamalar ı ile kaotik yapı-

nın varlığı ortaya konmuştur [90, 91]. Kardiyak deği-şimlerde kararsız periyodik yörüngelerin (KPY) tes-

piti yapılarak, bunlar kalp damar sisteminin davranı-şını belirtmek ve sağlıklı kardiyovasküler sistemindurumunu teşhis etmek için kullanılmıştır [77].

Cohen ve ark. [92], bir hayvan modelindeki karaciğer atardamar ı ve toplardamar ından alınan kan ak ış sin-yallerinde periyodik durumlar ın varlığını ve frekans

bileşenlerini incelemişler ve kan ak ışının kaotik özel-likler taşıdığı bilgisine varmışlardır. Yip ve ark. [93],

normal tansiyona sahip ve bir böbrek atardamar ı kesilmiş farelerdeki böbreğe ait kan ak ış ve hidro-statik basınç değişimlerinde kaotik yapının varlığını araştırmışlardır. Basınç bilgisine uygulanan ilinti

boyutu hesabı, düşük boyutlu garip çekerin varlığını göstermiştir. En büyük Lyapunov üsteli de pozitif olarak bulunmuştur. Böylece düzensiz basınç değişim-

lerinde kaosun varlı

ğı

nı

ortaya çı

karmı

şlardı

r. Din-lenme, egzersiz ve egzersiz sonrasında ön koldan lazer doppler ak ış ölçer ile ölçülen kan ak ış sinyallerininfraktal boyutlar ı hesaplandığında ise, egzersiz halindeiken fraktal boyutun diğer durumlardakinden önemliderecede küçük çıktığı görülmüştür [94]. Bu tür bir çalışma, sağlıklı ve hastalıklı verilerle yapılırsa hasta-lıklı kişiler üzerinde egzersizin etkisi ortaya konabilir.

Kardiyovasküler sistem içindeki kan ak ış dinamikleriüzerinde yapılan bir başka çalışmada [54], çevreselkan ak ışından ölçülen sinyaller üzerinde Lyapunovüsteli hesaplanmış ve bir dolaşım problemi olması durumunda en az bir Lyapunov üsteli sıf ıra eşit çık-

mıştır. Bunun deterministik bir yapının işareti olabi-leceği ve kardiyovasküler sistemin sonlu sayıdakiserbestlik derecelerinde kan ak ışını yönettiği sonucunavar ılmıştır. Hastalıklı ve sağlıklı durumlarda alınanEKG, KHD, solunum, atardamar ve toplardamar basıncı sinyalleri için zaman ve frekans alanında analizler yapılmış, Lyapunov üsteli ve ilinti boyutu hesaplan-mıştır [95]. Değişik patolojik durumlar için hesaplanandeğerlerdeki değişimler, bu durumlar ın tanısı ve tah-mini için kullanılabilir. Başka bir çalışmada koroner atardamar hastalar ı ile sağlıklı kişilerin, on iki kanalEKG ölçümü senkronizeli olarak alınarak Lyapunovüstelleri hesaplanmıştır [96]. En büyük Lyapunov üsteli,koroner atardamar hastalar ında sağlıklı kişilerdekin-

den daha küçük çı

kmı

ştı

r.

Uyku halindeki 15 bebekten alınan solunum bilgi-lerinin doğrusalsızlığı, vekil veri metodu kullanılarak tespit edilmeye çalışılmıştır [97]. Solunum verileridoğrusal sistemlerden farklı olmasına rağmen, doğru-sal olmayan modeller taraf ından üretilen vekiller ile

bu veriler arasında ayır ım yapılamamış ve bundan dolayı da insan solunumunun, yüksek boyutlu dinamikler veya gürültü ile yönetilen, ikiden daha fazla serbestlik derecesine sahip doğrusal olmayan bir sisteme benze-diği sonucuna var ılmıştır. Solunum seslerinin du-rağanlığı, doğrusallığı ve kaotik dinamiklerinin ince-lendiği bir başka çalışmada [98], soluk borusundan ve

akciğerlerden alınan ses sinyalleri için ilinti boyutu,Lyapunov spektrumu ve DKY boyutu hesaplanmıştır.Elde edilen tüm değerler kaotik davranışı göstermek-tedir. Lyapunov üstellerinin toplamı negatif olmakla

beraber en büyük Lyapunov üsteli pozitif çıkmıştır.Veriler üzerinde uygulanan vekil veri test metodusonuçlar ı akciğer seslerinin doğrusalsızlığını göster-memekle birlikte soluk borusundan alınan sesler içinhükümsüz hipotez ne doğrulanmış ne de reddedilmiş-tir. Sağlıklı kişilerin solunum sesleri için yapılan buçalışma patalojik durumlar için de uygulanabilir.





Vekil veri metodu, normal atım, ventriküler taşikardive ventriküler fibrilasyon sırasında kaydedilen insanelektrokardiyogramlar ına yeni bir ilinti boyutu hesabı olan Gaussian Kernel algoritması ile birlikte uygulan-mıştır [99]. Her üçünün de doğrusal olmadığı ve ventri-küler fibrilasyonun diğerlerinden farklı ilinti boyutunasahip olduğu ortaya çıkmıştır. Ventriküler fibrilasyo-

nun başlangı

cı

ndaki geçici karmaşı

klı

k, yine GaussianKernel algoritması kullanılarak yapılan ilinti boyutuve entropi hesaplamalar ı ile de tespit edilmiştir [100].Bu sonuçlara bak ıldığında kaotik analiz ventriküler aritmilerin anlaşılmasında yardımcı olabilir. Vagal vesempatik aktivitelerin kalp atımı üzerindeki etkileri,en büyük Lyapunov üsteli hesabı yapılarak belirlen-meye çalışılmış ve çeşitli kardiyak rahatsızlıklar ına aitzaman serileri üzerinde en büyük Lyapunov üsteli veentropi hesaplamalar ı ile sınıflama çalışması dayapılmıştır [101, 102].

Uyku verisinin doğrusal olmayan analizi, uykununfonksiyonlar ı ile ilgili karakteristikler üzerinde önemli

bilgiler verebilir. Düzensiz uyku yapısı ile karakterizeedilen şizofreni hastalığına sahip kişilerin uyanık durumdaki ve uykunun çeşitli evrelerindeki EEG (Elektro-ensefalogram) zaman serileri sağlıklı kontrol grubu ilekar şılaştır ıldığında, hesaplanan en büyük Lyapunovüsteli hızlı göz hareketi (HGH) (Rapid Eye Movement-REM) uykusunda ve uyanık durumdaki hastalıklı verilerde önemli derecede düşük çıkmıştır [103]. EEGzaman serileri kontrolsüz uyku ataklar ı gösteren kişi-ler için değerlendirildiğinde, elde edilen ilinti boyutudeğeri sağlıklı kişilere göre anlamlı ölçüde farklı çıkmıştır [104]. Sempatik ve parasempatik kontrol me-kanizmalar ı ile ilişkili olan uykunun farklı evrelerinde,sürekli olarak kaydedilen EKG sinyalleri üzerindeilinti boyutu, Lyapunov üsteli, KS entropi, kararsız

periyodik yörünge (KPY) hesaplar ı yapılmıştır [105,106]. HGH uykusu, yavaş dalga uykusu ile kar şı-laştır ıldığında Lyapunov üstelinde artış, ilinti boyu-tunda ise bir azalma tespit edilmiştir. HGH uykusundakaotik durumda ortaya çıkan artış bu sırada KHD’ninde artmış olmasının, ilinti boyutundaki azalma ise busırada solunum etkilerinin azalmasının göstergeleriolarak yorumlanmıştır.

KHD’nin karmaşık özelliklerini tespit etmek için, farklı kardiyak hastalıklar ına ait standartlaştır ılmış periyo-dogramlar üzerinde entropi hesabı yapılmıştır [107].Entropi ölçümleri kalp rahatsızlığı olan hastalar ınkişisel riskinin tahmini için yararlı bir yöntem

olmuştur. Ayr ıca kardiyak hastalıklar ının sınıflandı-r ılmasında, farklı KHD parametrelerinin bir aradadeğerlendirilmesi tek bir parametrenin değerlendiril-mesinden daha yararlı sonuçlar verir. Çocuk, genç, ortayaşlı ve yaşlı olmak üzere dört farklı yaş gurubundanalınan kalp atımı sinyalleri üzerinde yapılan bir başkaçalışmada [108], ortalama değer, standart sapma, güçspektrumu, en büyük Lyapunov üsteli, KS entropi, vefraktal boyut hesaplanarak, KHD’nin düşük boyutlukaotik karakteristiğe sahip olduğu ve ilerleyen yaşla

birlikte kaosun ve standart sapma miktar ının azaldığı

ortaya çıkar ılmıştır. Kardiyomiyopati hastalar ı ile bir kontrol grubundan alınan KHD sinyalleri için, zamangecikmesinin ilinti boyutu hesabı üzerindeki etkisiincelenmiştir [109]. Değişik zaman gecikmesi değer-leri için hesaplanan ilinti boyutu değerleri göstermiştir ki zaman gecikmesi 5 ve 5’den büyük seçilirse ilinti

boyutu değeri doyuma ulaşmaktadır. Sağlıklı gruba ait

ilinti boyutu, hastalı

klı

grup için elde edilenden anlamlı

derecede büyük çıkmıştır. Bu sonuç, kardiyomiyopatihastalar ının 24 saatlik KHD ritmini kaybettiklerinigösterir ve kardiyak hastalıklar ının bir göstergesi ola-rak dikkate alınabilir.

Arteryel kan ak ışının yaşa ve cinsiyete bağlı deği-şimlerinin, orta beyne ait atardamardaki kan ak ışındanalınan Doppler verileriyle incelendiği bir çalışmada,ilinti boyutu ve en büyük Lyapunov üsteli değerlendi-rilmiştir [3]. Cinsiyete bağlı farklar gözlemlenmemiş-se de yaş yükseldikçe en büyük Lyapunov üstelinde

bir azalma ve ilinti boyutunda bir artış görülmüştür.En büyük Lyapunov üstelinin yaşa bağlı azalması R-R

aralı

klar ı

ndaki düzensizliklerin azalması

ile ortayaçıkan periyodikliği ifade eder. Artan ilinti boyutu ise

ileri yaşlarda artan damar duvar ı sertliği sebebiyleoluşan damar duvar ı salınımlar ı ile bağlantılı olabilir sonuçlar ına ulaşılmıştır.

Damar hareketinin dinamikleri de kaotik açıdan ince-lenmiştir. Kan damarlar ının çapındaki (ya da diren-cindeki) ritmik değişiklikler küçük arterlerde meydanageldiği gözlenen bir fizyolojik olaydır. Bir parmağınk ılcal damar ından alınan nabız atışı incelendiğinde en

büyük ve ikinci Lyapunov üstellerinin pozitif olduğugörülmüştür [110]. Dış yüzeye yak ın damarlar otonomsinir sisteminin kontrolü altında olduğundan, elde edi-len sonuçlar sinir sistemi nezdinde doğrusal olmayan

modülasyona dayanarak yorumlanmıştır. Sağlıklı da-marlardaki normal kan ak ışının kaotik özellikler taşı-dığı ortaya konmakla beraber [92], damarlarda mey-dana gelen bir daralma veya tıkanma sonucu ya dakan ak ışının belirli bir hızın üzerine çıkması ile kaotik durumda artış meydana gelir. Bir atardamar daralma-sının önünde ve arkasındaki (ak ışa kar şı ve ak ışınyönünde) girdaplı ak ışı tespit etmek için kaotik ana-lizden yararlanılmıştır [111,112]. Fare karotid atarda-marlar ı hazırlanan uygun bir ortama yerleştirilerek, bir

pompa yardımıyla salınımlı ak ış sağlanmıştır. Daralmadamar ın bağlanması yöntemi ile oluşturularak, daralmamiktar ı 0’dan %95’e kadar arttır ılmış ve daralmanınçeşitli oranlar ında ak ış ölçülmüştür. Elde edilen her bir

ak ış sinyali için ilinti boyutu ve en büyük Lyapunovüsteli hesaplanmıştır. Girdaplı ak ışın derecesinin da-ralma alanıyla ilişkili olduğu görülmüştür. %40-%95oranındaki daralmada girdaplı ak ışta artış görülmüştür.En büyük Lyapunov üsteli tüm ölçümlerde pozitif çık-makla birlikte daralmanın derecesi arttıkça değeri de art-maktadır. Bu şekilde, ak ıştaki girdaplı durumun derece-sinin tespiti ile daralmanın derecesi de belirlenebilir.

Parkinson hastalar ı ile sağlıklı kişilerin denge durum-lar ına ait zaman serileri kaotik analiz yöntemleri kul-





lanılarak incelenmiştir [113]. Veriler, sağlıklı ve par-kinson hastalıklı kişilerin denge durumunu algılayan

bir platform üzerinde 60 saniye süresince ayakta tu-tulması suretiyle alınmıştır. İlinti boyutu ve en büyük Lyapunov üsteli hesabının yapıldığı çalışmada dörtsağlıklı, dört parkinson hastalıklı veri kullanılmıştır.Her iki veri grubu için elde edilen sonuçlar anlamlı bir

fark göstermemekle birlikte kaotik yapı

nı

n varlı

ğı

nı

işaret eder. Parkinson hastalığının denge sistemine zarar verdiğinin bilinmesine rağmen sonuçlarda anlamlı bir fark görülmemesi, bu hastalığın denge sisteminindoğrusal olmayan etmenlerini etkilemediği sonucunuçıkarmaktadır. Ancak, incelenen sistemin kaotik özel-liklerinin ve kaotiklik derecesinin ortaya konduğu butür çalışmalarda veri sayısının arttır ılması sonuçlar ındoğruluğunun artmasında önemli bir faktördür. Bunedenle, parkinson hastalar ının denge durumunailişkin bu çalışma veri sayısı arttır ılarak veya deneykoşullar ı değiştirilerek geliştirilebilir.

Panik bozukluğu olan ve olmayan kişilerden, yatar ve

ayakta durur pozisyonda elde edilen KHD zaman seri-leri üzerinde, minimum gömülü boyut, en büyük Lyapunovüsteli ve doğrusalsızlık ölçümleri yapılarak doğrusalolmayan dinamikler incelenmiştir [114]. Hastalıklı vesağlıklı gruplar için elde edilen sonuçlar arasındaönemli ölçüde fark tespit edilmiştir. Panik bozukluğasahip kişiler için minimum gömülü boyut ve doğrusal-sızlık değerlerindeki artışın kardiyak sempatik aktiviteartışını, en büyük Lyapunov üsteli değerinde görülenazalmanın da kardiyak vagal aktivite azalışını ifadeettiği belirtilmiştir. Kaotik analiz farklı kardiyak oto-nom fonksiyonlar ının incelenmesi için de yararlı bir araç olabilir.

Mide kanseri hastalar ı için yapılan bir çalışmada, kan-

daki mekaniksel yayma (MY) (mechanoemission - ME) bilgisini tespit ve analiz eden bilgisayar kontrollü bir cihaz geliştirilmiş ve kandaki MY kaosu hesaplayan

bir algoritma sunulmuştur [115]. MY, biyolojik yapı-larda mekaniksel bask ı, şekil değişikliği ve sürtün-menin sebep olduğu; elektron, iyon, elektromanyetik ve akustik dalga, ısı, nötr atom ve moleküllerin yayılmaözelliğidir ve bir maddenin mekaniksel enerjisinin diğer enerji şekillerine dönüşümü prensibine dayanır. Midekanseri hastalar ı için hesaplanan MY kaosu, sağlıklı ve mide mukozasında iltihaplanma bulunan kişilerlekar şılaştır ıldığında artış göstermektedir. Buna benzer uygulamalar medikal teşhis sistemlerinde kullanılabilir.

Bunlar ın yanında son yıllarda kaotik analiz metotlar ı yapay sinir ağlar ının (YSA) (Artificial Neural Networks-ANNs) kullanıldığı sınıflama çalışmalar ında da kulla-nılmıştır [102, 116, 117]. Çeşitli kardiyak hastalıklar ınaait KHD zaman serileri için hesaplanan spektral entropi,en büyük Lyapunov üsteli ve poincare kesit geomet-risinden elde edilen standart sapma değerleri, YSA ve

bulanık (fuzzy) sınıflayıcılar kullanılarak yapılan sı-nıflama çalışmalar ında kullanılmıştır [102]. Sınıfla-malarda doğruluk oranı % 80-85 olmuştur. YSA’nınkullanıldığı bir başka çalışmada, iç karotid atardamar

Doppler sinyallerinde daralma ve tıkanıklığın tespitiiçin en büyük Lyapunov üsteli hesabı yapılmış ve eldeedilen değerler sınıflama için çok katmanlı perseptronsinir ağının (Multilayer Perceptron Neural Networks-MLPNNs) girişine uygulanmıştır [116]. Sınıflamadoğruluğu % 96 oranında çıkmıştır. En büyük Lyapunovüsteli hesabı sonuçlar ının yinelemeli sinir ağının

(Recurrent Neural Network-RNNs) girişi olarak alı

n-dığı, EEG sinyalleri kullanılarak sara hastalığının sı-nıflaması için yapılan çalışmada ise % 96,79 doğruluk oranı elde edilmiştir [117]. Sınıflamada yinelemelisinir ağı ile elde edilen doğruluk oranı, çok katmanlı

perseptron sinir ağına göre daha yüksektir. Bu çalış-malar, kaotik analiz yöntemleri ile birlikte YSA sınıf-layıcı kullanımının teşhisi kolaylaştır ıcı, yararlı so-nuçlar verdiğini göstermektedir.

4. SONUÇ (RESULT)

Bu çalışmada, zaman serilerinin doğrusal olmayan di-namiklerini tespit etmek için kullanılan kaotik analizmetotlar ı ve bunlar ın fizyolojik sistemler ve zamanserileri üzerindeki bazı uygulamalar ı açıklanmıştır.Zaman serilerinin kaotik analizlerinde kullanılan me-totlara bak ılacak olursa, birkaç değişik algoritmadışında bunlar ın çoğunluğu ilk olarak üretilen algo-ritmalardır. Kaotik analizler üzerine geliştirilen yenialgoritmalar ın değişik zaman serileri ve/veya kaotik sistemler için uygulamalar ı yapılmamıştır. Bu algo-ritmalar kaotik sistem ya da zaman serileri üzerindeçalıştır ılabilir. Kaotik dinamiklerin hesaplanması üze-rinde etkili olan veri uzunluğu, gürültü durumu, boyutsayısı, zaman gecikmesi gibi parametrelerdeki deği-şimler bu algoritmalar için değerlendirilebilir.

Yapılan çalışmalarda verideki gürültü durumu araştı-

r ılmış, gürültünün azaltılması ve gürültülü veri durum-lar ında düzgün çalışacak algoritmalar üzerinde çalışıl-mıştır. Gürültünün bastır ılmasına yönelik algoritmalar farklı veri kümeleri üzerinde denenerek performans-lar ı kar şılaştır ılabilir.

Kaotik verinin analizinde boyut sayısının artması ile birlikte, gerekli olan veri uzunluğu ve işlem zamanı daartmaktadır. Özellikle yüksek boyutlarda çalışan, veriuzunluğunu ve işlem zamanını azaltmaya yönelik yenialgoritmalar geliştirilebilir veya mevcut olanlar budoğrultuda iyileştirilebilir.

Fizyolojik sistemlere ait kaotik zaman serileri üzerinde

yapılan çalışmalara bak ıldığında ise, kardiyovasküler sistem ve buna bağlı olarak kalp atım ritimleri (EKG),kalp hızı değişkenliği (KHD), solunum sistemi, dolaşımsistemi, damar hareketleri ve damarlardaki kan ak ış hızı ve kan basıncı değişimleri, sinirsel aktiviteler,

beyin sinyalleri (EEG) vb. değişik birçok sisteminsağlıklı ve hastalıklı durumlar ı analiz edilmiştir. Buanalizlerde çoğunlukla Lyapunov üsteli hesabı, ilinti

boyutu hesabı ve vekil veri metodu kullanılmakla birlikte, kararsız periyodik yörünge (KPY), kapasite boyutu (fraktal boyut), bilgi boyutu (DKY, DL), KS





entropi hesaplar ı da yapılmıştır. Lyapunov üsteli veilinti boyutu hesabına göre daha az kullanılmış olandiğer metotlar, uygulanmadıklar ı sistem ve zamanserileri üzerinde uygulanabilir. Yine aynı şekilde kao-tik analize ait tüm metotlar, üzerinde hiç çalışılmamış sistem ve zaman serilerinin doğrusal olmayan davra-nışını tespit ve dinamiklerini hesaplamak için kulla-

nı

labilir. Daha önce kaotik analizleri yapı

lmı

ş olansistem ve zaman serileri üzerindeki kaotik hesaplama-lar, veri uzunluğu, veri sayısı, gömülü boyut, zamangecikmesi gibi parametre değerleri değiştirilerek tekrarlanabilir. Böylelikle bu parametre değerlerininsonuç üzerindeki etkileri araştır ılarak, üzerinde çalışı-lan sistem için parametrelerin doğru değer aralıklar ı

belirlenebilir.

Fizyolojik zaman serileri üzerinde kaotik analizyöntemleri ile YSA’nın birleştirildiği uygulamalarda,sınıflamalardaki doğruluk oranlar ı % 96’lara varmak-la beraber, doğruluk oranının arttır ılmasına yönelik çalışmalar yapılabilir. Bu amaçla, sınıflama sistemleri

için farklı

eğitim algoritmalar ı

ve farklı

ağ yapı

lar ı

denenebilir. Ayr ıca sınıflayıcı girişlerini temsil eden parametreler, eğitim setlerinin kalitesi ve büyüklüğügibi sınıflama sistemlerinin doğruluğunu etkileyenfaktörler iyileştirilebilir.

Fizyolojik sistemlerde kaotik analiz, sağlıklı durumiçin sistemin çalışmasına ait yorumlar ın gelişmesinisağladığı gibi özellikle hastalıklı durumlar ın tespitinikolaylaştıran önemli sonuçlar üretmektedir. Kaotik analiz ile doğrusal analiz yöntemleri, birbirlerini des-tekleyecek şekilde birleştirilip sınıflama sistemlerineuygulanarak, medikal teşhis alanında kullanılacak

programlar organize edilebilir. Ayr ıca gerçek zamanlı kaotik zaman serisi analizi yapan programlar ın oluştu-rulması ve medikal teşhis sistemlerinde kullanılması yararlı olabilir.

KAYNAKLAR (REFERENCES)

1. Strogatz, S.H., Nonlinear Dynamics and Chaoswith Application to Physics, Biology, Chemistryand Engineering, Perseus Books Publishing,Massachusetts, A.B.D., 1994.

2. Adem S., “Kelebek Etkisi”, Sızıntı, No 219, 114-118, 1997.

3. Keunen, R.W.M., Vliegen, J.H.R., Stam, C.J. veTavy D.L.J., “Nonlinear Transcranial Doppler Analysis Demonstrates Age-Related Changes of

Cerebral Hemodynamics”, Ultrasound Med. &Biol., Cilt 22, No 4, 383-390, 1996.

4. Williams, G.P., Chaos Theory Tamed, Taylor &Francis Publisher, London, 1997.

5. Baker, G.L., Chaotic Dynamics an Introduction, Cambridge University Pres., Cambridge, 1990.

6. Yamamoto, Y., “Detection of Chaos and Fractalsfrom Experimental Time Series”, Modern Tech-niques in Neuroscience Research, Editör: Wind-horst, U, ve H. Johansson, Springer-Verlag, BerlinHeidelberg New York Tokyo, 669-687, 1999.

7. Abarbanel, H.D.I., Brown R., Sidorowich J.J. veTsimring L.S., “The Analysis of Observed ChaoticData in Physical Systems”, Reviews of ModernPhysics, Cilt 65, No 4, 1331-1392, 1993.

8. Lorenz E.N., “Dimension of weather and climateattractors”, Nature, Cilt 353, 241-244, 1991.

9. Broomhead, D.S., Huke, J.P. ve Muldoon, M.R.,

“Linear Filters and Nonlinear Systems”, J. Roy.Stat. Soc., Cilt B54, 373-382, 1992.10. Parlitz, U., “Nonlinear Time Series Analysis”,

Nonlinear Modelling-Advanced Black-Box Tech-niques, Editör: Suykens, J.A.K. ve Vandewalle,J., Kluwer Academic Publishers, Boston, 209-239, 1998.

11. Young, R.K., Wavelet Theory and Its Applica-tions, Kluwer Academic Publishers, Boston, A.B.D.,1993.

12. Donoho, D.L., “De-noising by soft-thresholding”,IEEE Trans. Inform. Theory, Cilt 41, No 3,613-627, 1995.

13. Bröcker, J., Parlitz, U. ve Ogorzalek, M.,

“Nonlinear Noise Reduction”,Proceeding of the

IEEE, Cilt 90, No 5, 898-918, 2002.14. Hu, J., Gao, J.B. ve White, K.D., “Estimating

Measurement Noise in A Time Series by Exploit-ing Nonstationarity”, Chaos, Solitions and Fractals,Cilt 22, No 4, 807-819, 2004.

15. Kostelich, E.J. ve Schreiber T., “Noise Reductionin Chaotic Time-Series Data: A Survey of Common Methods”, Phys. Rev. E, Cilt 48, No 2,1752-1763, 1993.

16. Packard, N.H., Crutchfield, J.P., Farmer, J.D. veShaw, R.S., “Geometry from Time Series”, Phys.Rev. Lett., Cilt 45, 712-716, 1980.

17. Takens, F., “Detecting Strange Attractors in Tur- bulence”, Lecture Notes in Mathematics, Cilt898, 366-381, 1981.

18. Sauer, T., Yorke, Y. ve Casdagli, M., “Embedol-ogy”, J. Stat. Phys., Cilt 65, 579-616, 1991.

19. Akay, M., Nonlinear Biomedical Signal Proc-essing, Dynamic Analysis and Modelling, Vol-ume II, IEEE Pres, 2000.

20. Sprott, J.C., Chaos and Time-Series Analysis,Oxford University Pres, 2003.

21. Brown, R., Bryant, P. ve Abarbanel, H.D.I.,“Computing the Lyapunov Spectrum of A Dy-namical System from an Observed Time Series”, Phys. Rev. A, Cilt 43, No 6, 2787-2806, 1991.

22. Fraser, A.M. ve Swinney, H.L., “IndependentCoordinates for Strange Attractors from MutualInformation”, Phys. Rev. A , Cilt 33, 1134, 1986.

23. Broomhead, D.S. ve King, G.P., “ExtractingQualitative Dynamics from Experimental Data”,Physica D, Cilt 20, No 2, 217-236, 1986.

24. Cao, L., “Practical Method for Determinig theMinimum Embedding Dimension of a Scalar TimeSeries”, Physica D, Cilt 110, No 1, 43-50, 1997.

25. Kaplan, D.T. ve Glass, L., “Direct Test for Deter-minism in a Time Series”, Phys. Rev. Lett., Cilt68, 427-430, 1992.





26. Kennel, M.B., Brown R. ve Abarbanel H.D.I.,“Determining Embedding Dimension for Phase-Space Reconstruction Using a GeometricalConstruction”, Phys. Rev. A, Cilt 45, 3403-3411, 1992.

27. Yavaş, Ö., Örgü Titreşimleri ve ÖrgülerdeKaos Analizi, Doktora Tezi, Ankara Üniv., Fen

Bilimleri Enstitüsü, 1992.28. Faure, P. ve Korn, H., “Is There Chaos in theBrain I. Concepts of Nonlinear Dynamics andMethods of Investigation”, Comptes Rendus del'Académie des Sciences - Series III - Sciencesde la Vie, Cilt 324, No 9, 773-793, 2001.

29. Eckmann,J.P. ve Ruelle, D., “Ergodic Theory of Chaos and Strange Attractors”, Reviews of Modern Physics, Cilt 57, No 3, 617-656, 1985.

30. Lillekjendlie, B., Kugiumtzis, D. ve Chiristophersen, N., “Chaotic Time Series - Part II: System Iden-tification and Prediction”, Modeling, Identifica-tion and Control, Cilt 15, No 4, 225-243, 1994.

31. Wolf, A., Swift, J.B., Swinney, H.L. ve Vastano,

J.A., “Determining Lyapunov Exponents from aTime Series”, Physica D, Cilt 16, No 3, 285-317, 1985.

32. Geist, K., Parlitz, U. ve Lauterborn, W., “Comparisonof Different Methods for Computing LyapunovExponents”, Prog. Theor. Phys., Cilt 83, No 5,875-893, 1990.

33. Eckmann, J.P., Kamphorst, S.O., Ruelle, D. veCiliberto, S., “Lyapunov Exponents from TimeSeries”, Phys. Rev. A, Cilt 34, 4971-4979, 1986.

34. Kruel, T.M., Eiswirthy, M. ve Schneider F.W.,“Computation of Lyapunov Spectra: Effect of Interactive Noise and Application to A ChemicalOscillator”, Physica D, Cilt 63, 117-137, 1993.

35. Gencay, R. ve Dechert, W.D., “An Algorithm for the n Lyapunov Exponents from Noisy ChaoticTime Series”, Physica D, Cilt 59,142-157, 1992.

36. Abarbanel, H.D.I., Brown, R. ve Kennel M.B.,“Lyapunov Exponents in Chaotic Systems: Their Importance and Their Evaluation Using ObservedData”, Int. J. Mod. Phys. B, Cilt B5, Sayı 9,1347-1375, 1991.

37. Briggs K., “An Improved Method for EstimatingLiapunov Exponents of Chaotic Time Series”,Physics Letters A, Cilt 151, 27-32, 1990.

38. Oiwa, N.N. ve Fiedler-Ferrara N., “A FastAlgorithm for Estimating Lyapunov Exponentsfrom Time Series”, Physics Letters A, Cilt 246,117-121, 1998.

39. Sano, M. ve Sawada, Y., “Measurement of theLyapunov Spectrum from A Chaotic Time Series”,Phys. Rev. Lett., Cilt 55, 1082-1085, 1985.

40. Wagner, C.D. ve Persson, P.B., “Chaos in theCardiovascular System: An Update”, Cardio-vascular Research, Cilt 40, No 2, 257-264, 1998.

41. Rosenstein, M.T., Collins, J.J. ve De Luca C. J.,“A Practical Method for Calculating LargestLyapunov Exponents from Small Data Sets”, Physica D, Cilt 65, 117, 1993.

42. Brown, R., “Calculating Lyapunov Exponentsfor Short and/or Noisy Data Set”, Phys Rev E,Cilt 47, 3962-3969, 1993.

43. Kantz, H., “A Robust Method to Estimate theMaximal Lyapunov Exponent of a time Series”,Phys. Lett. A, Cilt 185, 77-87, 1994.

44. Sato, S., Sano, M. ve Sawada, Y., “Practical

Methods of Measuring the Generalized Dimensionand Largest Lyapunov Exponent in High Dimen-sional Chaotic Systems”, Prog. Theor. Phys., Cilt 77, No 1, 1-5, 1987.

45. Grond, F., Diebner, H.H., Sahle, S., Mathias, A.,Fischer, S. ve Rössler, O.E., “A Robust, LocallyInterpretable Algorithm for Lyapunov Exponents”,Chaos, Solitons and Fractals, Cilt 16, No 5,841-852, 2003.

46. Grond, F. ve Diebner, H.H., “Local LyapunovExponents for Dissipative Continuous Systems”, Chaos, Solitons and Fractals, Cilt 23, No 5,1809-1817, 2005.

47. Stefanski, A., Dabrowski, A. ve Kapitaniak, T.,

“Evaluation of the Largest Lyapunov Exponentin Dynamical Systems with Time Delay”, Chaos,Solitons and Fractals, Cilt 23, No 5, 1651-1659, 2005.

48. Lu, J., Yang, G., Oh, H. ve Luo, A.C.J., “Com- puting Lyapunov Exponents of ContinuousDynamical Systems: Method of LyapunovVectors”, Chaos, Solitons and Fractals, Cilt23, No 5, 1879-1892, 2005.

49. Yonemoto, K., Yanagawa, T., “Estimating theLyapunov Exponent from Chaotic Time Serieswith Dynamic Noise”, MHF Preprint Series,MHF 2004-1, Kyushu University, 2004.

50. Liu, H.F., Dai, Z.H., Li, W.F., Gong, X. ve Yu,Z.H., “Noise Robust Estimates of the LargestLyapunov Exponent”, Phys. Lett. A, Cilt 341,119-127, 2005.

51. Bünner, M.J. ve Hegger R., “Estimation of Lyapunov Spectra from Space-Time Data”,Phys. Lett. A, Cilt 258, 25-30, 1999.

52. Eckmann, J.P. ve Ruelle, D., “Fundamental Limi-tations for Estimating Dimension and LyapunovExponents in Dynamical Systems”, Physica D,Cilt 56, 185-187, 1992.

53. Casaleggio, A. ve Braiotta, S., “Estimation of Lyapunov Exponents of ECG Time Series- TheInfluence of Parameters”, Chaos, Solitons andFractals, Cilt 8, No 10, 1591-1599, 1997.

54. Bracic, M. ve Stefanovska, A., “Nonlinear Dynamicsof the Blood Flow Studied by Lyapunov Expo-nents”, Bulletin of Mathematical Biology, Cilt60, 417-433, 1998.

55. Argyris, J., Andreadis, I., Pavlos, G. veAthanasiou, M., “On the Influence of Noise on theLargest Lyapunov Exponent and on the Geomet-ric Structure of Attractors”, Chaos, Solitons andFractals, Cilt 9, No 6, 947-958, 1998.

56. Zhang, J., Lam, K.C., Yan, W.J., Gao, H. ve Li, Y.,“Time Series Prediction Using Lyapunov Exponents





in Embedding Phase Space”, Computers andElectrical Engineering, Cilt 30, 1-15, 2004.

57. Awrejcewicz, J., Dzyubak, L. ve Grebogi, C., “ADirect Numerical Method for QuantifyingRegular and Chaotic Orbits”, Chaos, Solitonsand Fractals, Cilt 19, No 3, 503-507, 2004.

58. Mandelbrot, B.B., Fractals: Form, chance, and

dimension, W.H. Freeman, San Francisco, 1997.59. Hentschel, H.G.E. ve Procaccia, I., “The Infinite Number of Generalized Dimensions of Fractalsand Strange Attractors”, Physica D, Cilt 8, 435-444, 1983.

60. Camastra, F. ve Vinciarelli, A., “Estimating theIntrinsic Dimension of Data with a Fractal-BasedMethod”, IEEE Trans. on Pattern Analysisand Machine Intelligence, Cilt 24, No 10, 2002.

61. Kaplan, J. ve Yorke, J., “Fuctional DifferentialEquations and the Approximation of FixedPoints”, Lecture Notes in Mathematics, No730, Berlin: SpringerVerlag, 1979.

62. Grassberger, P. ve Procaccia, I., “Measuring the

Strangenes of Strange Attractors”Physica D,

Cilt 9, 189-208, 1983.63. Theiler, J., “Estimating Fractal Dimension”, J.

Opt. Soc. Am. A, Cilt 7, 1055-1073, 1990.64. Ding, M., Grebogi, C., Ott, E., Sauer, T. ve

Yorke, J.A., “Estimating Correlation Dimensionfrom Chaotic Time Series: When Does PlateauOnset Occur”, Physica D, Cilt 69, 404-424, 1993.

65. Corana, A., Bortolan, G. ve Casaleggio, A.“Most Probable Dimension Value and MostInterval Methods for Automatic Estimation of Dimension from Time Series”, Chaos, Solitonsand Fractals, Cilt 20, No 4, 779-790, 2004.

66. Radhakrishnan, P., Lian T.L. ve Sagar B.S.D.,“Estimation of Fractal Dimension ThroughMorphological Decomposition”, Chaos, Solitonsand Fractals, Cilt 21, No 3, 563-572, 2004.

67. Casaleggio, A. ve Corana, A., “A PosterioriTests to Validate Dimension Estimates fromTime Series”, Chaos, Solitons and Fractals, Cilt 11, No 13, 2017-2030, 2000.

68. Isliker, H.A., “A Scaling Test for Correlation Di-mensions”, Phys. Lett. A, Cilt 169, 313-322, 1992.

69. Grassberger, P. ve Procaccia, I., “Estimation of theKolmogorov Entropy From a Chaotic Signal”Phys. Rev. A, Cilt 28, 2591-2593, 1983.

70. Abarbanel, H.D.I., Brown, R. ve Kadtke, J.B.,“Prediction in Chaotic Nonlinear Systems: Methodsfor Time Series with Broadband Fourier Spectra”,Phys. Rev. A, Cilt 41, No 4, 1782-1807, 1990.

71. Farmer, J.D. ve Sidorowich, J.J., “PredictingChaotic Time Series”, Phys. Rev. Lett. Cilt 59,

No 8, 845-848, 1987.72. Casdagli, M., “Nonlinear Prediction of Chaotic

Time Series”, Physica D, Cilt 35, 335-356, 1989.73. Brown, R., Rulkov, N.F. ve Tracy, E.R.,

“Modelling and Synchronizing Chaotic Systemsfrom Time-Series Data”, Phys. Rev. E, Cilt 49,

No 5, 3784-3800, 1994.

74. Linsay, P.S., “An Efficient Method of Forecast-ing Chaotic Time Series Using Linear Interpola-tion”, Phys. Lett. A, Cilt 153, 353-356, 1991.

75. Rowlands G. ve Sprott J.C., “Extraction of Dynamical Equations from Chaotic Data”, PhysicaD, Cilt 58, 251-259, 1992.

76. Baker, G.L., Gollub, J.P. ve Blackburn, J.A.,

“Inverting Chaos: Extracting System Parametersfrom Experimental Data”, Chaos, Cilt 6, No 4,528-533, 1996.

77. Narayanan, K., Govindan, R.B. ve Gopinathan,M.S., “Unstable Periodic Orbits in Human CardiacRhythms”, Phys. Rev. E, Cilt 57, No 4, 4594-4603, 1998.

78. Pierson, D. ve Moss, F., “Detecting PeriodicUnstable Points in Noisy Chaotic and LimitCycle Attractors with Applications to Biology”,Phys. Rev. Lett., Cilt 75, 2124-2127, 1995.

79. Lathrop, D.P. ve Kostelich, E.J., “Characterizationof an Experimental Strange Attractor by PeriodicOrbits”, Phys. Rev. A, Cilt 40, 4028-4031, 1989.

80.

So, P., Ott, E., Sauer, T., Gluckman, B.J.,Grebogi, C. ve Schiff, S.J., “Extracting UnstablePeriodic Orbits from Chaotic Time Series Data”,Phys. Rev. E, Cilt 55, 5398-5417, 1997.

81. Ott, E., Grebogi, C. ve Yorke, J.A., “ControllingChaos”, Phys. Rev. Lett., Cilt 64, 1196-1199, 1990.

82. Pawelzik, K. ve Schuster, H.G., “Unstable PeriodicOrbits and Prediction”, Phys. Rev. A, Cilt 43,1808-1812, 1991.

83. Mirus, K.A. ve Sprott J.C., “Controlling Chaosin Low- and High-Dimensional Systems withPeriodic Parametric Perturbations”, Phys. Rev.E, Cilt 59, No 5, 5313-5424, 1999.

84. Thelier, J., Eubank, S., Longtin, A., Galdrikian,B. ve Farmer J.D., “Testing for Nonlinearity inTime Series: The Method of Surrogate Data”,Physica D, Cilt 58, 77-94, 1992.

85. Takens, F., “Detecting Nonlinearities in Station-ary Time Series”, Int. J. Bifurcation andChaos, Cilt 3, No 2, 241-256, 1993.

86. Kaplan, D.T., “Exceptional Events as Evidencefor Determinism”, Physica D, Cilt 73, 38-48, 1994.

87. Schreiber, T. ve Schmitz, A., “Improved Surro-gate Data for Nonlinearity Tests”, Phys. Rev.Lett., Cilt 77, No 4, 635-638, 1996.

88. Yu, D., Lu, W. ve Harrison, R.G., “DetectingDynamical Nonstationarity in Time Series Data”,Chaos, Cilt 9, No 4, 1999.

89. West, B.J., Zhang, R., Sanders, A.W., Miniyar,S., Zuckerman, J.H. ve Levine, B.D., “FractalFluctuations in Cardiac Time Series”, PhysicaA, Cilt 270, 552-566, 1999.

90. Hagerman, I., Berglund, M., Lorin, M., Nowak,J. ve Sylvén C., “Chaos-Related DeterministicRegulation of Heart Rate Variability in Time andFrequency Domains: Effects of AutonomicBlockade and Exercise”, Cardiovascular Research, Cilt 31, No 3, 410-418, 1996.





91. Poon, C-S. ve Merrill, C.K., “Decrease of Cardiac Chaos in Congestive Heart Failure”,Nature, Cilt 389; 492-495, 1997.

92. Cohen, M.E., Hudson, D.L., Anderson, M.F. veVazquez C., “Blood Flow Data Exhibit ChaoticProperties”, Int. J. Microcomputer Applications,Cilt 12, No 3, 82-87, 1994.

93.

Yip, K.P., Holstein-Rathlou, N.H. ve Marsh,D.J., “Chaos in Blood Flow Control in Geneticand Renovascular Hypertensive Rats”, Am. J.Physiol. Soc., Cilt 261, F400-F408, 1991.

94. Carolan-Ress, G., Tweddel, A.C., Naka, K.K. veGriffith, T.M., “Fractal Dimension of Laser Doppler Flowmetry Time Series”, MedicalEngineering and Physics, Cilt 24, 71-76, 2002.

95. Stefanovska, A. ve Bracic, M., “ReconstructingCardiovascular Dynamics”, Control EngineeringPractice, Cilt 7, 161-172, 1999.

96. Wang, Z., Li, Z., Wei, Y.,Ning X. ve Lin, Y.,“Lyapunov Exponents for Synchronous 12-leadECG Signals ”, Chinese Science Bulletin, Cilt

47, No 21, 2002.97. Small, M. ve Judd K., “Detecting Nonlinearity inExperimental Data” Int. Journal of Bifurcationand Chaos, Cilt 8, No 6, 1231-1244, 1998.

98. Ahlstrom, C., Johansson, A., Hult, P. ve Ask, P.,“Chaotic Dynamics of Respiratory Sounds”,Chaos, Solitions and Fractals, Bask ıda, 2005.

99. Small, M., Yu, D., Simonotto, J., Harrison, R.G.,Grubb, N. ve Fox, K.A.A., “Uncovering Non-linear Structure in Human ECG Recordings”,Chaos, Solitions and Fractals, Cilt 13, No 8,1755-1762, 2002.

100. Yu, D., Small M., Harrison, R.G., Robertson, C.,Clegg, G., Holzer, M. ve Sterz, F., “MeasuringTemporal Complexity of Ventricular Fibrillation”,Physics Letters A, Cilt 265, 68-75, 2000.

101. Yeragani, V.K., Radhakrishna, R.K.A., Ramakrishnan,K.R. ve Srinivasan, S.H., “Measures of LLE of Heart Rate in Different Frequency Bands: APossible Measure of Relative Vagal andSympathetic Activity”, Nolinear Analysis: RealWorld Applications, Cilt 5, 441-462, 2004.

102. Acharya, R. U., Kumar, A., Bhat, P.S., Lim, C.M.,Iyengar, S.S., Kannathal, N. ve Krishnan, S.M.,“Classification of Cardiac Abnormalities UsingHeart Rate Signals”, Medical and BiologicalEngineering and Computing, Cilt 42, 288-293, 2004.

103. Keshavan, M.S., Cashmere, J.D., Miewald, J. veYeragani, V.K., “Decreased Nonlinear Complexityand Chaos during Sleep in First Episode Schizo-

phrenia: A Preliminary Report”, SchizophreniaResearch, Cilt 71, 263-272, 2004.

104. Ferri, R., Salvatore, P., Nobili, L., Billiard M. veFerrillo F., ”Correlation Dimension of EEGSlow-Wave Activity During Sleep in NarcolepticPatients Under Bed Rest Conditions”, Int. J.Psychophysiology, Cilt 34, 37-43, 1999.

105. Fell, J., Mann, K., Röschke, J. ve Gopinathan,M.S., “ Nonlinear Analysis of Continuous ECGDuring Sleep I. Reconstruction”, BiologicalCybernetics, Cilt 82, No 6, 477-483, 2000.

106. Fell, J., Mann, K., Röschke, J. ve Gopinathan,M.S., “Nonlinear Analysis of Continuous ECGDuring Sleep II. Dynamical Measures”, Biological

Cybernetics, Cilt 82, No 6, 485-491, 2000.107. Wessel, N., Schumann, A., Schirdewan, A.,Voss, A. ve Kurths, J., “Entropy Measures inHeart Rate Variability Data”, Lecture Notes inComputer Science, Cilt 1933, 78-87, 2000.

108. Yoshikawa, Y. ve Yasuda, Y., “Non-Linear Dynamics in Heart Rate Variability in DifferentGenerations”, Bulletin of Toyohashi College, Cilt 7, 63-78, 2003.

109. Carvajal, R., Wessel, N., Vallverdu, M., Caminal,P. ve Voss, A., “Correlation Dimension Analysisof Heart Rate Variability in Patients with DilatedCardiomyopathy”, Computer Methods andPrograms in Biomedicine, Cilt 78, 133-140, 2005.

110. Tsuda, I., Thara, T. ve Iwanaga, H., “ChaoticPulsation in Human Capillary Vessels and ItsDependence on Mental and Physical Conditions”,Int.J. Bifurc. Chaos, Cilt 2, 313-324, 1992.

111. May, P., Gerbault, O., Arrouvel, C., Revol, M.,Servant, J.M. ve Vicaut, E., “Nonlinear Analysisof Arterial Oscillated Flow in ExperimentalStenosis and Microsurgical Anastomosis”, J.Surgical Research, Cilt 99, 53-60, 2001.

112. May, P., Arrouvel, C., Revol, M., Servant, J.M.ve Vicaut, E., “Detection of Hemodynamic Tur-

bulance in Experimental Stenosis: An in VivoStudy in the Rat Carotid Artery”, J. VascularResearch, Cilt 39, 21-29, 2002.

113. Pascolo, P.B., Marini, A., Carniel R. ve Barazza,F., “Posture as a Chaotic System and an Appli-cation to the Parkinson’s Disease”, Chaos, Solitonsand Fractals, Cilt 24, No 5, 1343-1346, 2005.

114. Radhakrishna, K.A.Rao ve Yeragani, V.K.,“Decreased Chaos and Increased Nonlinearity of Heart Rate Time Series in Patients with PanicDisorder”, Autonomic Neuroscience: Basicand Clinical, Cilt 88, 99-108, 2001.

115. Orel, V.E., Romanov, A.V., Dzyatkovskaya, N.N. ve Mel’nik, Y.I., “The Device and Algorithmfor Estimation of the Mechanoemisson Chaos inBlood of Patients with Gastric Cancer”, MedicalEngineering and Physics, Cilt 24, 365-371, 2002.

116. Güler, İ. ve Übeyli, E.D., “Detecting Variabilityof Internal Carotid Arterial Doppler Signals byLyapunov Exponents”, Medical Engineeringand Physics, Cilt 26, No 9, 763-771, 2004.

117. Güler, N.F., Übeyli, E.D. ve Güler, İ., “Recurrent Neural Networks Employing Lyapunov Exponentsfor EEG Signals Classification”, Expert Systemwith Applications, Cilt 29, 506-514, 2005.

dergi2006 v21 no4 _sayfa 759-779_

Documents