DERIVACE- SOUČINU a PODÍLU FUNKCÍ- SLOŽENÉ FUNKCE

Autor: RNDr. Věra FreiováGymnázium K. V. Raise, Hlinsko, Adámkova

55

Derivace součinu a podílu funkcí

V: Jestliže funkce u(x), v(x) mají v bodě x0 derivaci, má v tomto bodě derivaci i součin funkcí u(x), v(x), a pro v(x) ≠ 0 i podíl těchto funkcí a platí:

2

´´´

´´´

v

uvvu

v

u

uvvuvu

Př.: Derivujte následující funkce:

xxyf

x

xye

xxxxeyd

xxxycx

xxyb

x

xxya

x

2

11)

1)

5,0ln)

cossin)

)

32)

2

2

4

22

2

3

3

Pozn.: Pomocí derivace podílu funkcí lze odvodit vzorce pro derivaci funkcí tg x, cotg x:

xx

xx

x

xxxx

x

xx

xx

xx

x

xxxx

x

xx

22

22

2

22

22

2

sin

1

sin

cossin

sin

´sincos´sincos´

sin

cos´cot

cos

1

cos

sincos

cos

´cossin´cossin´

cos

sin´tan

Derivace složené funkce

Def.: Jestliže funkce z = g(x) má derivaci v bodě x0 a jestliže funkce y = f(z) má derivaci v bodě z0 = g(x0), má složená funkce y = f(g(x)) derivaci v bodě x0 a platí:

000 ´´´ xgxgfxgf

Př. Derivujte složené funkce:

4 3

3232

21

232

323

122

234

12

2ln)1)

4)35)

))

2cot)1ln)

)3tan)

cos)sin)

2

2

x

xxylxxyk

xxyjyi

exyhexyg

xyfxye

eydxyc

xybxya

x

xx

xx

Zdroje:

Hrubý D., Kubát J.: Matematika pro gymnázia (Diferenciální a integrální počet), Prometheus, Praha 2005