derivada

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Qu es una derivada?Si tenemos una funcin definida por

La mayora contestara: su derivada es: Introduccin a la Derivada1Algunos conceptos bsicos.Introduccin a la DerivadaLa recta secante y la recta tangenteen trminos geomtricosRecta secanteRecta tangentees una recta queintersecta un crculoen dos puntoses una recta quetiene un punto en comn con un circuloapliquemos lo anterior en una funcin..2Algunos conceptos bsicos.Introduccin a la DerivadaLa recta secante y la recta tangenteen una funcin

Funcin original3

Algunos conceptos bsicos.Introduccin a la DerivadaLa recta secante y la recta tangenteen una funcinFuncin originalRecta secante4

Algunos conceptos bsicos.Introduccin a la DerivadaLa recta secante y la recta tangenteen una funcinFuncin originalRecta tangente5Algunos conceptos bsicos.Introduccin a la DerivadaSabemos que una de las caractersticasprincipales de una recta es su pendiente (m)En trminos muy simples la pendiente de una recta esun valor numrico que representa la inclinacin de dicha recta

Muy sencillo de obtener si tienes dos puntos sobre una recta!6

Algunos conceptos bsicos.Introduccin a la DerivadaFuncin originalRecta secanteDe acuerdo a lo anterior, la obtencin de la pendiente de una rectasecante en la curva de una funcin es:

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Algunos conceptos bsicos.Introduccin a la DerivadaRecta tangentePero.. y como obtener anlogamente la pendiente de una rectatangente si solo conoce un punto?

8Algo de historia.Introduccin a la DerivadaEsta cuestin se origin con los matemticos griegos hace dos mil aos, y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemticos ilustres, entre los que se encuentran :

Pierre de Fermat

Rene Descartes

Gottfried Wilhelm Leibniz Leibniz, llamado por muchos el padre del ClculoModerno, en 1684 propuso un mtodo general para encontrar las tangentes a unacurva a travs de lo que el llamo smbolos.

Cmo?

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La derivada.Introduccin a la DerivadaRecuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTESupongamos que deseamosconocer la pendiente de larecta tangente en X=1Observe que si hacemosdiversas aproximaciones de rectassecantes, podemos hacer unamuy buena estimacin de la Pendiente de la recta tangente

10La derivada.Introduccin a la Derivada

Ahora recordemos el comportamientode las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuir

Presiona para observar nuevamente el comportamiento(utiliza el botn atajo para regresar a esta diapositiva)

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La derivada.Introduccin a la DerivadaRecuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

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Observa que el punto

Cada vez se acercams al punto

AtajoVolver amostrarContinuar

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Ahora, como expresar elcomportamiento anterioren trminos matemticos?22

La derivada.Introduccin a la Derivada

Aprox.

Procedemosa sustituir:

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Considerando:

Procedemosa sustituir: 24La derivada.Introduccin a la Derivada

AhoraConsideremos:


Ahora recordemos el comportamientode las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuir

Presiona para observar nuevamente el comportamiento(utiliza el botn atajo para regresar a esta diapositiva)


Podemos expresar lo anterior as:lim

Analizando dicho comportamiento,procedemos a aplicar un lmite as:Se puede observarque el punto cada vez se aproximams al puntopero no llegar a tocarlo


Finalmente considerando lo siguiente:lim

La expresin nos queda as:

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Finalmente considerando lo siguiente:lim

La expresin nos queda as:


lim

Este lmite (el cual genera otra funcin), representa la pendiente de las diversas rectas tangentes a lagrfica de una funcin..Y se le conoce comnmente como:La DerivadaMisma, que en honor a Leibniz puede ser representada as:

Por su origen basado enincrementos=31La derivada.Introduccin a la Derivadalim

=Y precisamente por esta frmula es que lo siguiente, ahora si, tiene sentido:Si tenemos una funcin definida por

Entonces su derivada es:

Comprobemos lo anterior conuna breve prctica..Y gracias a esta funcin que se deriva de la original, podemos obtener las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la funcin original32Aplicacin del lmite obtenido.Introduccin a la DerivadaProcederemos a la aplicacindel lmite deducido paraobtener la derivada de la funcin:

Recordemos que laderivada esta definidapor el lmite:Al evaluar el trmino

se puede observar que:

Al sustituirlo obtenemos:33Aplicacin del lmite obtenido.Introduccin a la Derivada

Al desarrollar el binomioal cuadrado obtenemos:

Reduciendo trminos:

Aplicando los teoremassobre lmites tenemos losiguiente:34Aplicacin del lmite obtenido.Introduccin a la Derivada

Al evaluar dichos lmites llegamos a la conclusin que:Si tenemos una funcin definida por

Entonces su derivada es:

Y gracias al desarrollo del lmite anterior podemos generalizar su aplicacin en diversas funciones,tal como se muestra en la siguiente tabla:035

Tomada de El Clculopor Louis LeitholdAhora apliquemos la derivada para obtener las pendientes de las rectas tangentes

Representacin grfica de:

La funcin querepresenta suderivada es:

Suponga que deseamos conocer la pendiente de la recta tangente mostradaRepresentacin grfica de:


Al sustituiren la derivadael valor de X:

Observe que:



De esta manera podemos obtener las pendientes de diversas rectas tangenteslocalizadas en la grfica de una funcin



De esta manera podemos obtener las pendientes de diversas rectas tangenteslocalizadas en la grfica de una funcin

derivada

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