Derivada – Escola Naval 1. EN– A derivada f ’ (1) da função f (x) = 2ogl x3 é: (A) nl 2 (B) 0 (C) 3 (D) 3 nl 2 (E) 3/ nl 2.

2. EN– Se

f (x) =

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−≤

<<−

<≤≥−

1se1

0x1sex1

1x0sex1xse|2x|

2

tem-se que: I - f (x) só não é derivável para x = –1, x = 0 e x = 1. II - f (x) só não é contínua para x = 0. III - f (x) só não é derivável para x = –1, x = 0, x = 1 e x = 2. IV - f (x) é contínua em todo o seu domínio mas não é derivável para x = 1, x = 0 e x = –1. Pode-se concluir que: (A) somente a afirmação I é falsa; (B) todas as afirmações são verdadeiras; (C) as afirmações II e III são verdadeiras; (D) as afirmações I e III são falsas; (E) somente a afirmação IV é verdadeira. 3. EN– A derivada de ordem n da função f(x) = x . ex para x = 1 é: (A) e (B) ne (C) 2ne (D) nen (E) (n + 1) e.

4. EN– O brilho de uma fonte luminosa de intensidade I a uma distância d é dada por 2dI

. Suponha que haja uma fonte de intensidade A na

origem e outra de intensidade B no ponto (1, 0). A razão BA

que torna o ponto (31

, 0) o menos iluminado de todos é:

(A) 1 (B) 31

(C) 32

(D) 81

(E) 23

.

5. EN– Se f ’ (x) = cos2 (ex+1), f (0) = 3, g (x)= f (x – 1) e g-1 é a inversa de g, o valor de (g-1)1 (3) é: (A) cos2e (B) sec2e (C) tge (D) e3 (E) 1.

6. EN– Os valores mínimo e máximo de f(x) = 2xxe− no intervalo [ ]10 são respectivamente:

(A) 0 e e1

(B) 0 e e2

1 (C)

e21e

e1

(D) 0 e 4e21

(E) 0 e e.

7. EN– O valor de a para o qual as curvas de equações y = a – x2 e xy = 16 são tangentes é: (A) 12 (B) –4 (C) 4 (D) 2 (E) 1. 8. EN– Para x > 0, o valor mínimo de xx é obtido para x igual a:

(A) 101

(B) 31

(C) e1

(D) 21

(E) 1.

9. EN–A equação da reta que é tangente à curva y = 1x3x2

−+

e que contém o ponto (3, 2) é:

(A) y = –5x + 17 (B) y = –4x + 14 (C) y = –3x + 11 (D) y = –2x + 8 (E) y = –x + 5. 10. EN– No intervalo [ ]2,1− o menor valor e o maior valor da função f(x) = x4 – 3x2 + 1 são, respectivamente: (A) –1,25 e 5 (B) –1,25 e 1 (C) –1 e 1 (D) –1 e 5 (E) 1 e 5. 11. EN– Considere o gráfico da função f, dado abaixo, onde f é contínua

(A) ∀ x ε R e derivável ∀ x ε R, x ≠ 0; (B) e derivável ∀ x ε R, x ≠ 0; (C) ∀ x ε R, x ≠ 0 e derivável ∀ x ε R, x ≠ 0 e x ≠ 2; (D) e derivável ∀ x ε R, x ≠ 2; (E) ∀ x ε R, x ≠ 2 e x ≠ 0 e derivável ∀ x ε R, x ≠ 0.

12. EN– Se f(x) = tg3 2x podemos afirmar que f” ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π8

é igual a

(A) 0 (B) 72 (C) 144 (D) 96 (E) 24.

13. EN– A derivada da função f(x) = xex é:

(A) f ’(x) = xe1 (B) f ’(x) = xe

1x − (C) f ’(x) = xex1− (D) f ’(x) = x2e

x (E) f ’(x) = x + x2e1

14. EN– As tangentes à curva de equação y = x2 que passam pelo ponto P (–2, 0) formam ângulo α. Determine tg α. (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8.

15. EN– Se f(x) = 1x

x2 +

então f’(2) vale

(A) –0,4 (B) – 0,12 (C) 0 (D) 0,12 (E) 0,4 . 16. EN– A área do triângulo formado pelos eixos coordenados e pela tangente à curva y = 4x2 no ponto (1, 4) vale:

(A) 8; (B) 4; (C) 2; (D) 1; (E) 21 .

17. EN– A menor distância entre um ponto da parábola 2x1y −= e a origem é igual a:

(A) 1 (B)47 (C)

41 (D)

23 (E)

43 .

18. EN– Sejam a, b ∈ IR tal que P(x) = 2x3 – 3x2 + ax + b e P’(x) a derivada de P(x). Sabendo-se que P(x) + 3 é divisível por (x + 1) e P’(x) – 5 é divisível por (x – 2) então (a + b) é igual a: (A) –14 (B) –12 (C) –10 (D) –8 (E) –6. 19. EN– A derivada de y = 1/2 tg2 x + ln (cos x) é

(A) sen2 x – tg x (B)xcos

1xcos2−

(C) tg3 x (D)xcos

xcosxsen3

2− (E) 0.

20. EN– Considere r a reta tangente ao gráfico da função y = f(x) no ponto (1, f(1)). Sejam f(1) = 3 e f’(1) = 2.Se r intercepta o gráfico da função g(x) = x2 – 3x + 7 nos pontos (x1, y1) e (x2, y2) então os valores de y1 e y2 são respectivamente (A) 1 e 2 (B) 2 e 3 (C) 3 e 5 (D) 5 e 7 (E) 7 e 9.

21. EN– A derivada da função f(x) = arctg ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x1

é

(A)1x

x2

2

+ (B) 2x1

1+

(C) 2x11

+−

(D))x1(x

122 +

− (E)

x1

.

22. EN– A função f(x) = x e1/x é decrescente no intervalo (A) ] 1, ∞ [ (B) ] –∞ , 1[ (C) ] –∞ , 0[ (D) ] 0, +∞ [ (E) ] 0, 1[. 23. EN– Seja y = x3 – 3x + 5, onde x = g(t), g’(2) = 3 e g(2) = 4. A derivada de y no ponto t = 2 é (A) 9 (B) 27 (C) 45 (D) 90 (E) 135. 24. EN–A reta S passa pelo ponto (3, 0) e é normal ao gráfico de f(x) = x2 no ponto P(x, y). As coordenadas x e y de P, são, respectivamente:

(A) 2 e 4; (B) 41e

21 (C) 1 e 1 (D)

91e

31 (E)

425e

25 .

25. EN– Na confecção da raia de tiro para navios da Marinha, verificou-se que o alvo ideal seria um retângulo. As dimensões de um retângulo de área máxima com base no eixo x e vértices superiores sobre a parábola y = 12 – x2 pertencem ao intervalo: (A) [2, 5] (B) [0, 3] (C) ]3, 7] (D) [4, 9[ (E) [0, 6[. 26. EN– Sejam f e g funções definidas em R e deriváveis em x = 0, tais que f(0) = 3, f’(0) = 4, g(0) = 1 e g’(0) = -1. Então

'

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

gfg2f (0)

é igual a: (A) 21/6 (B) 7/5 (C) –21/4 (D) –21/2.

27. EN– De um ponto P do cais, João observa um barco AB ancorado. Para um sistema de eixos ortogonais os pontos A e B têm

coordenadas respectivamente iguais a (0,20) e (0,40), enquanto P encontra-se no semi-eixo positivo das abscissas. Se o ângulo A P̂ B de

observação é máximo, então a abscissa de P é igual a:

(A) 20 2 (B) 20 3 (C) 20 (D) 15 (E) 10.

28. EN– Seja )x(g uma função real, derivável até a 3ª ordem para todo x real, tal que 0(0)g'g(0) == e 16(0)g" = . Se )x(f uma função real definida por:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠=

0xse0

0xsex2

)x(g)x(f ,

então )0('f é igual a: (A) 16. (B) 12. (C) 8. (D) 4. (E) 0. 29. EN– A função real )(xf satisfaz a seguinte equação:

32x)x(fx)x(f

2xsen +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + .

Considere a função g, definida por x(x)f

kg(x) = com 0x ≠ e R∈k . Sabendo que 1f(2) −= , podemos afirmar que o valor da

constante real k para que g’(2) = f’(2) é:

(A) 21

. (B) 43

. (C) 34

. (D) 58

. (E) 2.

30. EN– O valor das constantes reais a e b para as quais a função real ⎪⎩

⎪⎨⎧

−>++

−≤+=

1xse2bxxa

1xsebxa(x)g 3 seja derivável para todo x é:

(A) 21a = e 1b = .

(B) 1a = e 21b −= .

(C) 21a −= e 1b = .

(D) 1a −= e 21b −= .

(E) 21a = e 1b −=

31. EN– A equação da reta que passa pelo centro da curva 04y4xy4x 22 =+−+ e é normal ao gráfico da função real

xsenarc(x)f =

no ponto de abscissa 21x = é:

(A) 03x2y2 =+− . (B) 03xy =+− . (C) 01xy =++ . (D) 03x2y2 =++ . (E) 01xy =−− .

32. EN– Sabendo-se que (x)y é uma função derivável em todo o seu domínio e que 3x1

122xx

1e(x)y2

3x

−+

+++=′ e

34

4π(0)y += , pode-se afirmar que 1)(y − é igual a:

(A)3

2n2e 3 l−−.

(B)4

5e4 3 +−.

(C)3

32n3e 3 ++− l.

(D)3

e2n23 3−+− l.

(E)3

32ne 3 +−− l.

33. EN– Um recipiente cilíndrico que deve ter 3m1 de volume vai ser construído nas oficinas do Arsenal de Marinha, para atender

a um dos navios da MB. Na lateral e na tampa, será utilizado um material cujo preço é R$ 1.000,00 por 2m e, no fundo, um material cujo preço é R$ 2.000,00 por 2m . Que dimensões deve ter o recipiente, para que a MB tenha a menor despesa possível?

(A) m31

3 π e m

31

2π.

(B) m31

3 π e m

9

13 2ππ

.

(C) m3

13π

e m9

13 2π

.

(D) m31

3 π e m93

π.

(E) m31

3 π e m

9

13 2ππ

.

34. EN– Um depósito de óleo diesel existente em uma das organizações militares da MB tem a forma de um prisma hexagonal

regular com altura de 2 metros. Sabendo-se que o comprimento da diagonal maior do depósito vale 9302

do comprimento da

menor diagonal da base, pode-se dizer que o valor da função f, definida por 31

2x(x)f−

= no número V representante do volume do depósito vale:

(A) 932

6. (B)

932 . (C)

92432

6. (D)

52432

6. (E)

32432

6.

35. EN– Sejam f e g duas funções reais e deriváveis tais que )x(cossen(x)f =′ e )(xfg(x) 2= , *x +∈R . Pode-se afirmar que

)(xg 2′ é igual a:

(A) )x(cossenx2 2 .

(B) )x(coscosx2 22 .

(C) )x(cossenx2 22 .

(D) )x(coscosx2 .

(E) )x(cossenx2 2 . 36. EN– Considere f(x)y = uma função rela, de variável real, derivável até 2ª ordem e tal que 0f(x)(x)f =+′′ , Rx∈∀ .

Se xcosxcosf(x)xsen(x)fg(x) 2+−′= , então:

(A) C2

x2sen)x(g += .

(B) C)x(g = .

(C) C2

x2cos)x(g += .

(D) C2

x2cos)x(f2)x(g +−= .

(E) Cxcosxsen)x(g 2 ++= . 37. EN– A função real f, de variável real, é definida por x)x(xnf(x) 35 ++= l . Podemos afirmar que a equação da reta normal ao

gráfico de função inversa 1f − no ponto 3))n(f,3n( 1 ll − é:

(A) 13n3x3y =+− l . (B) 33nxy3 =+− l . (C) 127nx3y =−+ l . (D) 33nxy3 −=−+ l . (E) 33nx3y =−+ l .

38. EN– Sejam 1L a reta tangente ao gráfico da função real 3xx2ef(x) −= no ponto 1))f(,1P( −− e 2L a reta tangente ao gráfico da

função (x)fy ′= no ponto 1))(f,1Q( −′− . A abscissa do ponto de interseção de 1L e 2L é:

(A)91

− . (B)31

− . (C)91

. (D)31

. (E)1.

39. EN– O valor mínimo relativo de função f, de variável real x, definida por xcos

bxsen

af(x)2

2

2

2+= , onde *Rb,a ∈ , vale:

(A) ( )2b2a + .

(B) 22 ba + . (C) ab2 .

(D) ( )2ba + ,

(E) 2)ba(2 + .

40. (EN) A equação 2

2

dxyd =

31 sen5x cos3x é dita uma equação diferencial ordinária de 2a ordem. Quando x

= 0 , dxdy vale

4843 e y vale 2. O

volume do cilindro circular reto, cujo raio da base mede 2 2 m e cuja altura, em metros, é o valor de y quando x = 4π, vale em metros cúbicos (A) 4π(2π + 1) (B) 8π(4π + 1) (C) 4π(4π + 2) (D) 16π(π + 1) (E) 16π(2π + 1).

41. (EN) Cada termo de uma seqüência de números reais é obtido pela expressão ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

1n1

n1 com n ∈ IN*. Se ƒ(x) = x

arcsen ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

6x e Sn é a soma dos n primeiros termos da seqüência dada, então ƒ’ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

300S100301 vale

(A)6

π32 +

(B)30

π556 +

(C)18

π23 +

(D)12

π334 +

(E)3π3 + .

42. (EN) Considere a função real f, de variável real, definida por ƒ(x) = x + ln x, x > 0. Se g é a função inversa de f, então g”(1) vale (A) 1 (B) 0,5 (C) 0,125 (D) 0,25 (E) 0.

Gabarito

1- E 2- B 3- E 4- D 5- B 6- B 7- A 8- B 9- A 10- A 11- C 12- C 13- C 14- E 15- B 16- D 17- D 18- B 19- C 20- D 21- E 22- E 23- E 24- C 25- D 26- C 27- A 28- 29- 30- C 31- D 32- D 33- D 34- C 35- C 36- C 37- C 38- A 39- D 40- E 41- A 42- C