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CAPITULO IV

Joseph Lagrange (1736 1813)

Matemtico del siglo XVIII conocido como uno de los dos ms grandes matemticos de ese siglo junto con Euler. Naci en Italia y de sangre Francesa a los 16 aos de edad fue nombrado Profesor de Matemticas en la Real Escuela de Artillera de Turn su mayor contribucin al lgebra est en la memoria que escribi en Berln en el ao 1.767, Sobre la Resolucin de las Ecuaciones Numricas . Pero su obra fundamental fue la Mecnica Analtica - Durante el periodo de la Revolucin Francesa, estuvo al cargo de la comisin para el establecimiento de un nuevo sistema de pesos y medidas (ver Sistema mtrico decimal). Despus de la Revolucin, fue profesor de la nueva cole Normale y con Napolen fue miembro del Senado y recibi el ttulo de conde. Fue uno de los matemticos ms importantes del siglo XVIII; cre el clculo de variaciones, sistematiz el campo de las ecuaciones diferenciales y trabaj en la teora de nmeros. Lagrange se caracteriz como el primer analista verdadero en el sentido de que trat de escribir con vigor y concisin. Napolen Bonaparte dijo de Lagrange que era La pirmide ms alta de la historia de las matemticas. Fue el primero en usar la notacin f

(x) y f (x) para las derivadas. En esta seccin trata del mtodo de los multiplicadores de Lagrange para optimizar funciones. Lagrange consideraba su profunda obra acerca de los problemas de Mximos y Mnimo como su mejor trabajo en Matemtica. Este trabajo que continuo durante toda su vida, se remonta a una carta a Euler, escrita por Lagrange desde Turn, cuando solo contaba con 19 aos. Esta carta tena el esquema de un nuevo mtodo para resolver ciertas clases de problemas de optimatizacin que comprende el Clculo de Variaciones. En esta seccin trata del mtodo de los multiplicadores de Lagrange para optimizar funciones.

129

DERIVADAS PARCIALES.

Recordemos la derivada de una funcin f de una variable x

x

xfxxfxf

x +

=

)()(lim)(0

| si el limite existe.

4.1Derivadas Parciales.

Definicin 4.1.1: (Derivada Parcial con respeto a x).

Sea f una funcin de dos variables x e y . La derivada parcial (primera) de

f con respecto a x es la funcin que se denota por fDx , tal que su valor en

cualquier punto ( x , y ) en el dominio de f viene dada por

x

yxfyxxffDx

x +

=

),(),(lim0

si el limite existe.

Definicin 4.1.2: (Derivada Parcial con respeto a y ).

La derivada parcial de f con respecto a y que se denota por fDy , viene

dada por

yyxfyyxffD

yy +

=

),(),(lim0

si el limita existe.

Nota: Para n variable tenemos que si f es una funcin de varias variables la

derivada parcial de f con respecto a 1x que se denota por fDx1 viene dada por

130

1

212110

),...,,(),...,,(lim1

1 x

xxxfxxxxffD nnx

x +

=

si el limite existe.

Ejemplo:

Calcular fDx si 2),( 22 += xyyxyxf .

Solucin:

x

xyyxyxxyxxfDx

x ++++

=

)2(2)()(lim2222

0

x

xyyxxyxyyxxxxfDx

x +++++

=

)2(2))(2(lim222222

0

x

xyyxxyxyxyxxyyxfDx

x +++++

=

22)(2lim222222

0

[ ]x

yxyxyxfDx

x ++

=

2

0

2lim

yxyyxyxyfDx

x +=++=

22lim 20

22 yxyfDx +=

La derivada parcial con respecto a x en una funcin de dos variables, se

halla aplicando los teoremas de la derivada ordinaria (vista en Clculo Diferencial)

considerando a y como una constante. Anlogamente la derivada parcial con

respecto a y se halla derivando a la funcin ),( yxf con respecto a y y

considerando a x como constante.

131

Ejemplo:

Calcular fDx y fDy si yxxyyxyxf 43),( 223 ++=

Solucin:

Aplicando los teoremas y aplicando a y constante podemos calcular a

33 222 += yyxfDx

Ahora para fDy , x es constante

422 3 ++= xyyxfDy

Usando el software MAPLE V ,utiliza la instruccin Diff que solo representa

a la derivada sin resolver y luego la instruccin diff que nos da la derivada

correspondiente. La sintaxis de la instruccin Diff es Diff (funcin , variable); De

igual forma para diff.

> Diff(x^3*y^2+x*y^2-3*x+4*y,x);

x

( ) + + x3 y2 x y2 3 x 4 y

> diff(x^3*y^2+x*y^2-3*x+4*y,x);#La derivada parcial con respecto a x.

+ 3 x2 y2 y2 3

Tambin se puede realizar con un solo comando combinando las instrucciones

Diff y diff.

> Diff(x^3*y^2+x*y^2-3*x+4*y,y)=diff(x^3*y^2+x*y^2-3*x+4*y,y);# Derivada parcial con respecto a y.

= y

( ) + + x3 y2 x y2 3 x 4 y + + 2 x3 y 2 x y 4

132

Notacin:

xxxx fyxffDyxfDfDyxfD ===== ),(),(),( 11x

fx

yxffyxf

=

===

),(),( 11

yyyy fyxffDyxfDfDyxfD ===== ),(),(),( 22 yf

yyxffyxf

=

===

),(),( 22

Los valores de las derivadas parciales de ),( yxf en el punto ),( ba se denota

por.

)b,a(f)b,a(fyf)b,a(f)b,a(f

x

f2Y

)b,a(1x

b)(a,==

==

Ejemplo:

1. Si )3(),( 32 yxsenxyxf +=

a) Calcular ( )0,3en pixf b) Calcular ( )0,3en y pif

Solucin:

a) 3)yx3cos(x)yx3(xsen2x

f 323 +++=

( ) 3033cos3033323

23

0,3

+

+

+=

pipipipi

pi senx

f

133

3

)1(3

)0(32

3cos93

2

2

2

pipipipi

pipipipipipipipi

pipipipipipipipi

pipipipipipipipi

=

+=

+= sen

b) 232 3)3cos( yyxxf y +=

( ) 0)0(3033cos323

2

0,3=

+

=

pipipiyf

Ahora resolviendo el ejercicio con la ayuda del software MAPLE V , se utiliza una

sola instruccin que combina dos comandos que son: el subs para sustituir los

valores de x e y y el dic para resolver la derivada y nos da la solucin

directamente.

a) > subs(x=(pi/3),y=0,diff(x^2*sin(3*x+y^3),x));

+ 23 pi ( )sin pi

13 pi

2 ( )cos pi

b) > subs(x=(pi/3),y=0,diff(x^2*sin(3*x+y^3),y));

0

2. Si xyzyzxyzyxzyxf +++= 3222 22),,(

Calcular zyx fff y ,

134

Solucin:

xyyzyfxzzxyyzf

yzyxf

z

y

x

+=

++=

+=

22

3

2

32

4422

3. Una curva de la superficie 22 3 yxyxz ++= contiene al punto )2,2(p .

Encontrar x

z

y yz

en p.

Solucin:

Sea 22 3 yxyxz ++= Tomemos la derivada parcial a z con respecto a x y

con respecto a y.

yxyz

yxx

z

23

32

+=

+=

caso particular tenemos que para )2,2(p

10)2(2)2(3

10)2(3)2(2

)2,2(

)2,2(

=+=

=+=

dydzdxdz

Definicin 4.1.3: (La Derivada Parcial como pendiente de la recta tangente.)

135

La recta paralela al plano xz y tangente a la superficie ),( yxfz = en el

punto ),,( 0000 zyxp tiene pendiente ).,( 00 yxf x Tambin de forma anloga

tenemos que, la tangente a la superficie en 0p paralela al plano yz tiene pendiente

).,( 00 yxf y

Ejemplo:

1. - Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva 322 yxyxz ++= en

)3 ,1,1(p .

Solucin:

22 yxf x +=

3)1()1(2 2)1,1( =+=xf luego la pendiente en 3.

2. - Dado r

t

t

rsenu ln+= Verificar 0=

+

r

ur

t

ut

Prueba:

Primero calcular t

u

y r

u

tt

r

t

r

rt

r

t

r

t

r

t

u 1cos

1cos 22 +

=

+

=

y

rtt

r

r

t

t

r

tt

r

r

u 11cos

1cos 2

=

+

=

136

Ahora 01cos1cos1 2 =

+

rt

r

tr

t

r

t

r

tt

01coscos1 =+t

r

t

r

t

r

t

r

Ejemplo: Dada la funcin 22

23),(yxyxyxg

+= ; Calcular la derivada por definicin con respecto a

x, usando el software MAPLE V. Solucin: Se realizan los siguientes pasos: 1) Lo primero que realizamos es etiquetera a la funcin con el comando (g: = ( x , y ) ( la funcin o expresin ). 2) En la funcin g se incrementa la variable con el comando (g(x+h,y)). 3) Se simplifica con el comando (simplify(%)),el smbolo % significa que toma la instruccin anterior.

4) Se etiqueta a h

yxfyhxf ),(),( +

5) Se simplifica. 6) Se calcula el limite y la instruccin es ( limite (expresin, la variable)) Auque se ve muchos pasos, el usuario se elimina el algoritmo algebraico. Luego el usuario lo puede comprobar con el comando ( diff ) . > g:=(x,y)->(3*x^2*y)/(x^2+y^2);

:= g ( ),x y 3 x2 y

+ x2 y2

> g(x+h,y); 3 ( ) + x h 2 y

+ ( ) + x h 2 y2

> simplify(%); 3 ( ) + x h 2 y

+ + + x2 2 x h h2 y2

> k:=((3*(x+h)^2*y/(x^2+2*x*h+h^2+y^2))-((3*x^2*y)/(x^2+y^2)))/h;

:= k

3 ( ) + x h 2 y + + + x2 2 x h h2 y2

3 x2 y + x2 y2

h

> simplify(%); 3 y3 ( ) + 2 x h

( ) + + + x2 2 x h h2 y2 ( ) + x2 y2

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> limit(3*y^3*(2*x+h)/(x^2+2*x*h+h^2+y^2)/(x^2+y^2),h=0); 6 y3 x

( ) + x2 y2 2

> diff((3*x^2*y)/(x^2+y^2),x);

6 x y + x2 y2

6 x3 y

( ) + x2 y2 2

> simplify(%); 6 y3 x

( ) + x2 y2 2

EJERCICIOS PROPUESTOS.

Resuelva los ejercicios primero de forma manual usando la teora aprendida y luego resuelva los ejercicios asistido con el software MAPLE V.

1. Aplicando la definicin de derivada parcial por limite. a) Si 2234),( yxyyxf ++= encontrar yx ff , b) Si ),(

22xy

yxyxf+

+= encontrar fDx

c) Si 2),( 2 yxyxyxf

+= encontrar fDfD 21 y

d) Si 3223),( yxyyxxyxf +++= encontrar fDfD 21 y

Repuestas:

a) 12 22

2

22 yx

yyfyx

xf yx+

+=+

=

b) ( ) 232222

xy

xxyfDx

+=

c) 222

1 )()2(

yxxyxfD

= 22

2

2 )(2

yxxxfD

+=

d) 222221 32 23 yxyxfDyxyxfD ++=++=

138

2. Hallar las derivadas parciales indicadas manteniendo todas las variables constantes excepto una y aplicando los teoremas para diferenciacin ordinaria.

a) Si zx ffzyxzyxf y encontrar )ln(),,( 32 ++= Respuesta:

32

2

323

,

1zyx

zfzyx

f yx++

=

++=

b) yx ffyxyxf y encontrar 3),( 42 += Respuesta:

42

3

42 32

,

33

yx

yfyx

xf yx+

=

+=

c) Si yx ffxysenyxf , encontrar )(),( 1= Respuesta:

2222 1 ,

1 yxxf

yx

yf yx

=

=

d) Si fDfD y exyxf yx 212 y encontrar cos),( += Respuesta: )(cos cos)2( 221 senyyexfDyexxfD yxyx =+= ++

e) Si yf

yx

eyxf xy

= encontrar ln),(2

Respuesta:

=

xyxlny

xye

yx

2xy

f) Si ( )z

f zyxzyxf

++= encontrar ),,( 21-222 Respuesta:

( ) 23222 zyxz

z

f++

=

g) Si 3 calcular )2ln(4),,( fxyzxyzzyxf += Respuesta:

zxyf 143 +=

139

h) Si 221 calcular 3),,( fz

xytgezyxf xyz

+=

Respuesta:

224

2

2 93

yxzxz

xzef xyz+

+=

3. Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva 825

22

2

+

= yxz en el

punto (1, 2, 4).