DERIVADAS E DIFERENCIAIS IV

Nice Maria Americano da Costa

Introdução

Nesta aula, discutiremos um conjunto de teoremas relativos às funções deriváveis: Teorema de Rolle

Teorema de Lagrange

Teorema de Cauchy

Teorema de L´Hospital

Teoremas sobre extremos

Estes teorema são úteis à análise do comportamento das funções:

FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS: TEOREMAS

Teorema de Rolle. Se a função é contínua no intervalo [a,b], derivável em todos os pontos interiores do intervalo e se anula nas extremidades dele, então existe, ao menos um ponto intermediário x=c, a<c<b, onde a derivada se anula, i. e., f’(x)=0, para x=c

Demonstração. Suponha que a função atinja, ao menos uma vez, seu limite superior, M, no ponto x=c. Temos então que f(c )=M. Se f(c ) é o limite superior da função, dando um acréscimo à variável x, x, teremos, f(c+ x)-f(c )<0, independente de x ser positivo ou negativo:

( ) ( )0 0

( ) ( )0 0

f c x f cpara x

xf c x f c

para xx

cc-x

M

c+x

0

0

( ) ( )lim 0 0

( ) ( )lim 0 0

então

0

x

x

f c x f cf c para x

xf c x f c

f c para xx

f c

Aplicando, agora limite às expressões anteriores, teremos

O teorema de Rolle vale também para o caso de uma função que não se anula nos extremos do intervalo [a,b], mas que, nestes pontos, se tem f(a)=f(b).

a

y

b

f(a)=f(b)

c1 c2 x

Demonstração.Consideremos a equação da reta secante à curva nos pontos A e B

Teorema de Lagrange. Se a função é contínua no intervalo [a,b] e derivável em todo ponto interior do intervalo, existe então, ao menos, um ponto c, a<c<b, tal que f(b)-f(a)=f’(c )[b-a].

ca

A

bx

C

By

f(a)

f(b)

x

B

N

M( ) ( )( ) ( )

f b f ay x a f a

b a

Construamos agora a função F(x) que mede a diferença entre a curva y=f(x) e esta reta secante

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

f b f aF x f x x a f a

b a

Nos extremos do intervalo [a,b], esta nova função se anula, porque a diferença entre a secante e a curva, ai é zero. Temos então

( ) ( ) 0F a F b

Então a função F(x) satisfaz à hipótese dos Teorema de Cauchy. Logo, podemos escrever para ela:

( ) 0

( ) ( )( ) ( )

log

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

F c

Mas

f b f aF x f x

b ao

f b f aF c f c

b af b f a

f cb a

f b f a b a f c

Teorema de Cauchy. Sejam f(x) e (x) duas funções continuas no intervalo [a,b], deriváveis nele, e seja (x) tal ’(x) não se anula em nenhum ponto deste intervalo. Então existe um ponto x=c no interior do intervalo, a<c<b, tal que :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

f b f a f c

b a c

Teorema de L’Hospital . Sejam f(x) e (x) duas funções satisfazendo às condições do teorema de Cauchy e se anulando no ponto a, i. e., f(a)= (a). Se, por outro lado a relação entre as derivadas de f e de (x) existe, quando x tende a z, então o limite da relação entre as derivadas existe e é igual ao limite da relação entre estas duas funções.

( ) ( )lim lim

( ) ( )x a x a

f x f x

x x