DERIVADAS Muchos de los jóvenes que en el Colegio estudiaron derivadas e integrales, nunca terminaron de entender qué eran o para qué servían. Dichos ejercicios matemáticos se resolvían casi siempre de manera metódica y a veces "de memoria", pero sin comprender cuál era su función. Con el tiempo, poca gente recuerda el significado de dichas operaciones matemáticas, seguramente, porque nunca llegaron a comprenderlo completamente y también porque en la vida cotidiana no resulta tan necesario de recordar como las simples sumas y multiplicaciones. En realidad, no resulta extraño que se entiendan con dificultad, porque la mayoría de los textos especializados están escritos por expertos matemáticos, cuyo lenguaje resulta muy confuso para el público en general. Veamos cómo explica la "Wikipedia" lo que es una derivada: "En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función, en un cierto intervalo…" Este párrafo sigue resultando casi incomprensible para el profano en matemáticas, a pesar de que la Wikipedia redacte sus artículos para lectores poco expertos. Por eso vamos a proponer otra manera de explicarlo, huyendo de la "jerga" de los matemáticos y empleando ejemplos muy sencillos. Una vez que consigamos entender qué son las derivadas, estaremos en disposición de admirar la belleza de este maravilloso "invento" matemático, porque efectivamente, es una auténtica genialidad surgida de la mente de sus creadores: Newton y Leibniz, entre otros. EXPLICACIÓN SENCILLA DE DERIVADAS E INTEGRALES: Si sólo nos interesa recordar muy superficialmente la noción de derivada e integral, podríamos conformarnos con estas dos explicaciones básicas: DERIVADA: Es la inclinación que tiene una curva, en un punto dado INTEGRAL: Es la superficie que existe entre un tramo de una curva y la base de la misma Gráficamente: DERIVADA: Si marcamos un punto cualquiera en una curva (punto A), se puede conocer el valor de su derivada, calculando la inclinación que tiene la tangente a dicha curva, que pasa por el punto "A". Sólo hay que dividir su elevación vertical (v = 4), entre su avance horizontal (h = 5). En este caso, la derivada de la curva en el punto "A", es v/h = 4/5 = 0.8 INTEGRAL: La "integral" de la curva, entre los puntos "A" y "B", es la superficie que queda bajo la curva, hasta el eje horizontal del gráfico (Superficie de la zona azul "S") Con estas explicaciones, ya es posible "hacerse una idea" de lo que son las derivadas y las integrales, pero aún se puede profundizar un poco más para comprender qué fórmulas o métodos resultan idóneos para completar o precisar los cálculos necesarios. Esto puede resultar útil para calcular, por ejemplo, inclinaciones de carreteras, superficies

de fincas, trazado de estructuras en ingeniería, o incluso, evolución de tendencias económicas. DERIVADAS

La inclinación de una curva se puede calcular fácilmente con herramientas de dibujo. Fijémonos en la curva punteada del siguiente dibujo (Curva "C"). Es una línea dibujada en un diagrama muy popular, conocido como "sistema de coordenadas cartesianas", donde el eje horizontal se llama "abscisa" y el eje vertical se llama "ordenada". Dibujar la curva en un sistema cartesiano nos facilita calcular la posición exacta de cada punto de la línea curva. Imaginemos que nos interesa calcular la inclinación de la curva "C", en un punto cualquiera de la misma, al que llamaremos punto "A". Comprobamos que se puede trazar fácilmente (casi "a ojo"), una línea que roce la curva por el punto "A". Una línea así, que sólo toca a la curva en un punto, se llama "línea tangente". Finalmente, usando una regla especial para medir ángulos (transportador), podemos determinar aproximadamente, el ángulo que forma la línea tangente, con el eje horizontal "X" de abscisas. ¿Y para qué podría interesarnos calcular la inclinación de esta curva? En la vida cotidiana, practicamente para nada, pero hay ocasiones más profesionales, en las que resulta de suma importancia. Por ejemplo, si fuéramos agricultores y tuviéramos una enorme finca de forma irregular, saber derivar e integrar nos permitiría conocer con exactitud la superficie de nuestra finca. Un cálculo exacto de dicha superficie podría indicarnos la cantidad justa de semilla necesaria para cultivar el terreno, sin miedo a perder dinero por comprar semilla de más o a "quedar cortos" por haber comprado de menos, desaprovechando terreno. En otras profesiones, como economía, ingeniería, física, etc,

Podríamos decir que la "derivada" es una fórmula matemática que permite

calcular la inclinación de una curva en un punto de la misma.

las derivadas y las integrales son tan frecuentes y necesarias como las sumas o las multiplicaciones. Como decíamos, calcular la inclinación de esa recta tangente, que roza la curva, se puede conseguir aproximadamente, usando un transportador de ángulos. Pero esto no siempre es posible: imaginemos que la curva es el perfil de una gran montaña. No disponemos de una transportador de ángulos tan grande y por eso es necesario calcular dicha inclinación usando exclusivamente fórmulas matemáticas. Además, el método del transportador de ángulos, nos indica una inclinación "aproximada" de la tangente, pero el método de la derivada, nos marca el valor de la inclinación con una completa exactitud. LA INCLINACIÓN DE LA CURVA: Existen varias maneras de indicar la "inclinación" de la tangente del dibujo de más arriba. Una de ellas es señalando el ángulo que forma la línea tangente, con el eje horizontal

(eje de abscisas). A ese ángulo lo vamos a llamar "α" (alfa), que en nuestro caso, puede medir más o menos unos 39 grados

Ángulo "α" = 39º Sin embargo, las "derivadas" se miden de otra forma, porque trabajar con ángulos resulta muy complicado. La inclinación de la tangente en el caso de cálculo de derivadas, se indica dividiendo la altura vertical que se eleva la línea, entre la distancia que avanza en horizontal. Por ejemplo en nuestro caso, podríamos medir la altura vertical ("v") de un punto cualquiera de nuestra tangente (marcamos un punto llamado "B"), posteriormente medimos su avance horizontal ("h") y dividimos lo primero entre lo segundo, como expresamos en el siguiente dibujo: Supongamos que la medida vertical es de 4 metros (v = 4) y que la medida horizontal es de 5 metros (h = 5). En este caso, la pendiente de nuestra tangente es igual a 4 dividido entre 5, es decir, escribiéndolo con notación matemática, y llamando "P" a la "Pendiente", diremos que

P = v/h = 4/5 = 0,8

Por tanto, ya estamos en disposición de decir que:

Porque recordemos que:

Si nos fijamos bien, el segmento tangente "A,B" , junto con los tramos que hemos llamado "v" y "h", forman un triángulo rectángulo. Conociendo los valores de "v" y "h", se

puede calcular fácilmente la medida del ángulo "α". Además, el resultado de dividir "v" entre "h" ( v / h), que en nuestro caso habíamos calculado como 0,8 , resulta tener siempre el mismo valor, independientemente de dónde marquemos el punto "B". Esto último es lógico, porque la relación entre los catetos (v / h), siempre es proporcional al

ángulo "α", por muy grande que queramos hacer el triángulo.

En realidad, la tangente de un ángulo ("α") se obtiene dividiendo el cateto vertical "v", entre el cateto horizontal "h", por lo que se puede decir que la "pendiente" de dicho ángulo tiene exactamente el mismo valor que su tangente. Observemos el siguiente ejemplo: Supongamos que debemos construir una carretera que recorra una montaña, cuyo perfil conocemos. Aparte de los problemas económicos que pudieran surgir con los materiales necesarios para construir la carretera, la mano de obra, cuestiones geológicas, excavaciones, etc, se plantea otro asunto crucial: la pendiente de dicha carretera no debe superar ciertos límites, porque si fuera muy pronunciada, los vehículos no podrían subir las cuestas. Por otra parte, excavar túneles para que la pendiente de la carretera fuera muy suave, implicaría encarecer la obra. Hay que hacer una serie de cálculos previos, porque tenemos un presupuesto limitado. Aquí es donde un ingeniero necesita dominar el cálculo de derivadas. De hecho, hay numerosos factores que están relacionados con la pendiente de la montaña, es decir, con la derivada de la curva que dibuja su contorno. Dicha pendiente influye, como ya hemos indicado antes, en la potencia que requiere un vehículo para superarla. Las pendientes negativas, es decir "cuesta abajo", influyen en la seguridad de los conductores, ya que

LA DERIVADA DE LA CURVA "C" EN EL PUNTO "A" ES 0,8

La derivada de una curva en un punto dado, es la inclinación de la tangente que corta a la curva en dicho punto.

una cuesta abajo muy pronunciada podría estropear los frenos de un camión. Una pendiente "nula" (un tramo llano, sin cuesta) permite un tipo de cimentación menos robusta que un tramo con pendiente elevada. Los factores meteorológicos como la lluvia o el hielo, también pueden resultar peligrosos en tramos de mucha pendiente. Y cómo no, si la carretera fuera muy larga y tuviera pendientes muy pronunciadas, influiría en el consumo de combustible de los vehículos, por lo que sería necesario instalar una gasolinera en un punto intermedio. Todas estas cuestiones pueden valorarse antes de construir la carretera, si se hacen los pertinentes cálculos previos, y ello obliga a saber "derivar". Como ya sabemos que la "derivada" de una curva es la inclinación que tiene en un punto determinado, y que dicha inclinación se calcula dividiendo su elevación vertical entre su avance horizontal, podemos comprobar que el valor de dicha derivada puede adoptar casi cualquier cantidad, desde cero hasta infinito en positivo, pero también en negativo. Veamos estos posibles valores usando el dibujo de los triángulos rectángulos, en varios casos: Pendiente finita positiva: En este plano inclinado, la pendiente vale v / h , es decir, 4/5, o lo que es lo mismo 0,8. Por tanto, la derivada de este tramo es 0,8 que es una cantidad finita y positiva. Pendiente "positiva" significa que el plano asciende, a medida que avanza hacia la derecha (es cuesta arriba si circulamos de izquierda a derecha). Pendiente finita negativa: Cuando el valor de la vertical "v" es negativo, la pendiente también resulta negativa. Esto significa que el valor de "v" está por debajo de la línea horizontal, o lo que es lo mismo, se circula cuesta abajo: En este caso, la derivada de la cuesta es "-0,8", porque la pendiente P es igual a -4/5. En realidad, un valor negativo sólo indica que la pendiente desciende Pendiente nula: En un tramo llano, comprobamos cómo los vehículos no ascienden nada a medida que avanzan. Es decir, la vertical "v" es cero y al dividir cero entre otro número, nos da como resultado, cero. La derivada de un tramo llano es v/h, o sea, 0/5=0 Pendiente infinita: Este caso se da cuando nos hallamos ante una pared vertical. Efectivamente, si el avance horizontal "h" es cero, y la pared asciende 5 metros, cuando dividimos "v" entre "h", obtenemos 5/0, que es infinito. Puede ser infinito positivo si la pared asciende en vertical, e infinito negativo si la pared "cae". Entonces diremos que la derivada de la carretera en un tramo vertical, es infinito.

RECAPITULANDO: La derivada de una curva adquiere un valor positivo en los tramos donde asciende y un valor negativo, en los tramos donde desciende. La derivada es cero en los tramos llanos y es infinito en los tramos verticales

FUNCIONES MATEMÁTICAS: FÓRMULAS PARA CALCULAR DATOS Hasta aquí ya tenemos más o menos claro lo que es una derivada, que no es otra cosa que la pendiente de una curva. Calcular la pendiente de una curva en un determinado punto es sencillo: se divide el ascenso vertical entre el avance horizontal. El resultado de dividir esas dos medidas, puede ser positivo, negativo, cero o infinito, según si nos encontramos ante curvas ascendentes, descendentes, completamente llanas o completamente verticales. Pero lo interesante de esta sencilla definición, comienza cuando somos capaces de expresar el trazado de una curva con fórmulas matemáticas. Por ejemplo, es bien sabido que desde muy antiguo, la gente halló una fórmula matemática para calcular la longitud de una circunferencia, con solo medir su "radio". Dicha fórmula es C = 2 x π x r , donde "C" es la longitud de la circunferencia, " π"  es el

famosísimo número "pi" (= 3,141592…)  y  "r"  es la longitud del radio de dicha circunferencia. Pues bien, de igual forma que existen métodos matemáticos para calcular la longitud de una circunferencia conociendo tan sólo la medida de su radio, también existen métodos para trazar una curva irregular, o hallar la "elevación" de un punto cualquiera de dichas curvas, conociendo su "avance". A este tipo de fórmulas matemáticas se les suele llamar "funciones". Por tanto, desde un punto de vista geométrico, una "función" es una fórmula matemática que permite calcular el valor de algún dato de una figura, conociendo otro dato diferente. Esto es importante comprenderlo, porque las derivadas y las integrales son datos que determinan algunas características de las "funciones" matemáticas. Es lógico pensar que si queremos conocer las propiedades de las curvas y otras figuras geométricas, nos interesa disponer de fórmulas con las que poder calcular el mayor número posible de propiedades de las mismas. Así, podemos intuir que una curva dispone de una longitud determinada, o una posición concreta dentro de un espacio. Si la curva está completamente cerrada, su superficie puede también resultar interesante, así como los ángulos que trace, la disposición de sus tramos rectos, el ángulo que dibujen los contornos, etc. Una "función" matemática nos permite calcular todas esas propiedades, con sólo conocer alguna de ellas, de igual forma que se puede saber la longitud de una circunferencia, conociendo exclusivamente el radio de la misma.

En el primer ejemplo que hemos puesto al inicio, se ha utilizado un sistema de posicionamiento geométrico llamado "sistema de coordenadas cartesianas". Este método facilita localizar la posición exacta de cualquier punto, conociendo el valor de su "avance" horizontal (abscisa) y el de su elevación vertical (ordenada). Con este sistema, podemos saber dónde se encuentra un punto, y podemos dibujarlo en su posición exacta, si conocemos su abscisa y su ordenada. En este gráfico, comprobamos que existe un punto llamado "P", dentro de un sistema de coordenadas cartesianas. La regla horizontal es el eje de abscisas y se llama "X". La regla vertical es el eje de ordenadas y se llama "Y". Teniendo en cuenta la numeración de los ejes, comprobamos cómo el punto "P" se encuentra sobre la medida "6" del eje horizontal (abscisa) y a la altura de la medida "2", con respecto a la vertical (ordenada). Esto puede escribirse como P (6,2), que indica que el punto "P" está en la posició 6 del eje "X" y en la posición 2, del eje "Y" (tras la letra "P", se coloca entre paréntesis el valor de su abscisa primero = 6, y seguido el valor de su ordenada =2, siempre en este orden). Con este dato de "posición", ya podemos deducir una fórmula matemática que nos indique cómo se relacionan entre sí la posición vertical con la posición horizontal del punto "P". Como sabemos que P tiene una "X" de 6, y una "Y" de 2, podemos decir sin miedo a equivocarnos, que Y es igual a X menos 4 en el punto "P", o sea: Y = X – 4 , porque 2 = 6 - 4 Con esta fórmula (Y=X-4), y con sólo conocer el valor de "X", podemos calcular el valor de Y, aunque no tengamos una regla para medirlo. Siempre que hallemos una fórmula matemática con la que podamos hallar un valor que nos interese (la medida de "Y"), partiendo exclusivamente de la medida de otro valor conocido (la medida de "X"), nos encontraremos ante una FUNCIÓN MATEMÁTICA. Y se llama "función", porque la medida "Y" adquiere un determinado valor, "en función" de la medida conocida "X". Por ello, es habitual escribir la fórmula con las letras F(x), que significa "La función F depende del valor de X". Por tanto, la fórmula Y=X-4 puede escribirse como F(x)=X-4. Curiosamente, también es cierto decir que Y = X/3, porque 2=6/3, así que hemos encontrado una segunda fórmula para calcular el valor de Y, conociendo el valor de X. Por eso, de igual manera que pueden hallarse varias fórmulas (funciones) para representar un punto, también pueden existir multitud de puntos que cumplan las condiciones de esa misma fórmula. Por ejemplo, la función F(x)=X-4 se cumple con todos estos puntos:

Efectivamente, en el punto P1, su valor "Y" es cero, porque su valor de "X" es 4, que cumple la función Y=X-4 , O sea, Y=4-4=0. Y lo mismo sucede con los puntos P2, P3, P4, etc… Uniendo todos esos puntos que cumplen la fórmula Y=X-4 (o la función F(x)=X-4) , acabaremos obteniendo una línea contínua similar a la siguiente: Ya podemos afirmar que: Una función es una fórmula matemática que permite hallar cualquier valor desconocido

de una variable, partiendo del valor conocido de otra variable distinta.

Las funciones matemáticas pueden representarse en un diagrama de coordenadas cartesianas por medio de puntos, que unidos, pueden dibujar una línea.

Todos los puntos de un diagrama cartesiano, que cumplen las condiciones de una

función matemática, pueden formar una línea, llamada "curva de función"

EJEMPLO DE UNA CURVA DE FUNCIÓN Vamos a dibujar una curva de función cualquiera. Supongamos que nos dan la "fórmula" de dicha función, diciéndonos que todos los puntos de la misma tienen una particularidad: que cada vez que un punto avanza en horizontal una posición (su valor de "X" aumenta una posición), el valor de "Y", su ordenada, asciende en vertical tanto como el cuadrado de su abscisa. Esto es lo mismo que decir que cada punto se eleva tanto como su abscisa al cuadrado O sea, la "Y" de un punto, es igual a su "X" al cuadrado. Matemáticamente, se escribe así: F(x) = X2 y podemos calcular el valor de todas las ordenadas "Y" de todos los puntos de la curva de función, partiendo de tantos valores de "X" como queramos utilizar. Calculamos los seis primeros valores de cada punto de la curva en la siguiente tabla:

PUNTO X F(x) = X2 Y=

P1 0 F(x) = 02 0

P2 1 F(x) = 12 1

P3 2 F(x) = 22 4

P4 3 F(x) = 32 9

P5 4 F(x) = 42 16

P6 5 F(x) = 52 25

Dibujamos un eje de coordenadas y marcamos los seis puntos obtenidos en su posición correspondiente: * Nota: Hemos dibujado la regla horizontal de las abscisas mucho más ancha que la regla vertical

de las ordenadas, para poder encajar el dibujo dentro de la hoja Y finalmente, unimos los seis puntos, por medio de una curva: Todos los puntos de esta curva cumplen la condición de que el valor de "Y" es igual al valor de "X", elevado al cuadrado (Y= X2) CALCULANDO LA PENDIENTE DE UNA CURVA Una vez que tenemos claro lo que es una función, y cómo se traza la tangente de dicha función en un punto determinado, vamos a tratar de explicar la manera de calcular la inclinación de dicha tangente, usando métodos matemáticos. Tomemos una función, donde todas las ordenadas de sus puntos (Y) valgan lo mismo que cuatro veces "X" menos "X" al cuadrado partido por dos.

• Esta función se escribe así F(x) = 4X – X2/2 • O sea, que todas las ordenadas "Y" valen Y = 4X – X2/2

Como ya sabemos, para obtener el valor de la ordenada de un punto, conociendo lo que vale su abscisa, sólo hay que calcular 4X – X2/2 . y su resultado será lo que vale la ordenada "Y" de ese punto. Hagamos una tabla con 9 valores de "X", del cero al ocho donde calcularemos los valores correspondientes de sus respectivas "Y", para obtener nueve puntos:

PUNTO X F(x) = 4X – X2/2 Y=

P1 0 F(x) = 4*0 – 02/2 = 0 0

P2 1 F(x) = 4*1 - 12/2= 3.5 3.5

P3 2 F(x) = 4*2 - 22/2= 6 6

P4 3 F(x) = 4*3 - 32/2= 7.5 7.5

P5 4 F(x) = 4*4 - 42/2= 8 8

P6 5 F(x) = 4*5 - 52/2= 7.5 7.5

P7 6 F(x) = 4*6 - 62/2= 6 6

P8 7 F(x) =4*7 - 72/2= 3.5 3.5

P9 8 F(x) =4*8 - 82/2= 0 0

Ahora dibujaremos la curva, en un sistema cartesiamo, posicionando los puntos hallados:

Vamos a calcular ahora, una pendiente "aproximada" de la curva, entre los puntos P3 y P4. Para ello, ampliaremos la zona, y trazaremos una tangente aproximada en un punto intermedio, al que llamaremos "PI" (punto intermedio): La tangente que acabamos de dibujar, en realidad no es muy exacta, ya que no corta a la curva en un sólo punto, sino en dos (P3 y P4): En realidad es una "secante" pero nos vale para explicar el ejercicio. La pendiente de esta "tangente aproximada", que pasa aproximadamente por el punto "PI" se puede calcular fácilmente, dividiendo su ascenso vertical, entre su avance horizontal, es decir:

Pendiente = v / h Comprobamos que es sencillo calcular el valor de "v" y el de "h", con sólo observarlos:

• "h" mide exactamente la abscisa del punto P4, menos la de P3, esto es: 3-2 = 1 • "v" mide exacatamente la ordenada de P4 menos la de P3, o sea: 7.5 – 6 = 1.5

Por tanto, v/h = 1.5 / 1 = 1.5

Y Ya podemos afirmar (aproximadamente) que:

LA PENDIENTE DE LA CURVA EN EL PUNTO "PI" ES 1.5 O lo que es igual:

LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN F(x) = 4X – X2/2 EN EL PUNTO "PI" ES APROXIMADAMENTE 1.5

Nota: Una pendiente de 1.5, equivale a un ángulo de inclinación aproximado de 56.3º

La tangente de 56.3º es aproximadamente 1.5 Este sistema nos ha permitido calcular con cierta aproximación, la derivada de la curva en el punto "PI" (es decir, la inclinación de su línea tangente). Pero a veces, resulta necesario calcular dicha inclinación de manera exacta. Es fácil comprender que si, en vez de habernos fijado en los puntos P3 y P4, hubiéramos escogido dos puntos más próximos entre sí, la exactitud del cálculo se hubiera incrementado. De hecho, cuanto más próximos son los puntos escogidos, más exacto es el valor hallado. Es posible aproximar dos puntos entre sí, tanto que la distancia entre ellos sea igual a cero, mediante un "truco" matemático conocido como "Límite al cero". LÍMITE AL CERO Cuando dos puntos están tan cerca entre sí, que la distancia existente entre ellos es cero, se puede decir que ambos puntos se encuentran en la misma posición y por tanto, que esos dos puntos se convierten en uno solo. Una secante es la recta que corta a una curva en dos puntos, pero cuando esos dos puntos están tan cerca que se acaban solapando el uno sobre el otro, la secante tiende a tocar la curva en un solo punto, y por tanto, se convierte en una tangente. El "límite al cero" es un método matemático que permite hacer cálculos entre puntos tan próximos entre sí, que se distancian uno del otro en cero.

En la siguiente figura hemos marcado 4 puntos (A, B, C, D). Vamos a trazar en primer lugar, una tangente en el punto "A", a la que llamamos Ta (Tangente en A). A continuación marcamos secantes que pasen por dos puntos, por ejemplo entre A y D, A y C, A y B, a las que llamaremos Sad, Sac y Sab respectivamente, y comprobamos cómo estas tres secantes se aproximan o sevparecen más a la tangente Ta, cuanto más próximos están los puntos entre sí. De hecho, la secante Sab es más parecida a la tangente Ta, que las otras dos secantes Sac y Sad. Con esto podemos asegurar que:

LA SECANTE ENTRE DOS PUNTOS SE ASEMEJA CADA VEZ MÁS A LA TANGENTE DE UNO DE DICHOS PUNTOS, A MEDIDA QUE LA DISTANCIA

ENTRE AMBOS PUNTOS SE REDUCE.

Resulta más fácil calcular los valores de una secante que los de una tangente y por eso, si queremos hallar la inclinación de una tangente, bastará con hallar la inclinación de una secante que pase por dos puntos "que ocupen la misma posición" . Lo veremos con el siguiente ejemplo:

• En la figura de la derecha trazamos la tangente que pasa por el punto A, cuya abscisa es Xa y su ordenada Ya.

• Todos los puntos de esta curva cumplen la siguiente ecuación: F(x) = 4X – X2/2

• Marcamos un punto muy cercano

llamado B cuya posición es (Xb,Yb).

• Si conseguimos que "B" se acerque a "A" hasta que se toquen, podremos afirmar que la secante que toca ambos puntos, es igual a la tangente que pasa por el punto "A".

Analizando la curva, distinguimos a simple vista el valor de algunos de los segmentos o datos que nos interesan, como son:

DEL PUNTO

"B"

DEL PUNTO

"A" DESCRIPCIÓN

Xa Es la abscisa del punto A

Ya Es la ordenada del punto A

h Es lo que avanza el punto "A", en horizontal, hasta el punto "B"

Su longitud es igual a Xb-Xa

v Es lo que se eleva el punto "A", hasta la altura del punto "B"

Su longitud es igual a Yb-Ya

Xb Es la abscisa del punto B

Su longitud es igual a Xa+h

Yb Es la ordenada del punto B

Nos interesa calcular la pendiente de la tangente en el punto "A" (Pte), lo que se obtiene dividiendo "v" entre "h". Sabemos que v= Yb-Ya (observando la figura de arriba), por tanto:

v Yb - Ya Pte =

h =

h Para poder resolver esta división, vamos a relacionar todo con el valor de "h", ya que este es el dato que posteriormente vamos a reducir a cero para conseguir juntar los puntos A y B lo más posible. En primer lugar, averiguamos lo que vale Yb (ordenada del punto B), aplicando para ello la fórmula de la función de la curva:

Yb = 4Xb – Xb2/2

Y en esta igualdad, sustituimos "Xb" por su equivalencia "Xa+h" como hemos visto en la tabla de arriba

Yb = 4(Xa+h) – (Xa+h)2/2

Simplificamos esta última igualdad para reducirla:

Yb = 4(Xa+h) – (Xa+h)2/2

Yb = (4Xa + 4h) – ( Xa2 + 2*Xa*h + h2)/2 Yb = 4Xa + 4h - Xa2/2 - Xa*h - h2/2 Yb =

8 + 4h – 2 - 2h - h2/2

Yb = 6 + 2h - h2/2 . Y finalmente, sustituimos este valor de Yb en la pendiente que queremos calcular:

v Yb - 6 Pte =

h =

h

6 + 2h - h2/2 - 6 Pte =

h

2h - h2/2 Pte =

h

Pte = 2 - h/2

Y es en este instante, en el que hemos reducido toda la fórmula de la pendiente a un valor donde aparece exclusivamente la "h" (el avance horizontal), cuando aplicamos el límite al cero, que no es otra cosa que CONVERTIR "H" EN CERO, porque nos interesa que ese avance horizontal sea tan pequeño como sea posible, para que los puntos A y B terminen solapados uno encima del otro. Matemáticamente, esto se dice "límite de la función cuando "h" tiende a cero". Y se escribe así:

Lim h 0

Así que en el valor de la pendiente de la curva v/h = 2 - h/2 , hacemos que h=0 y queda:

v/h = 2 – 0/2 = 2 – 0

Pte = v/h = 2 .

Decimos que la pendiente de la curva en el punto "A" es igual a 2, cuando el avance horizontal "h", vale cero. (Una pendiente de "2", equivale aproximadamente a un ángulo de 64º). Cuando el avance tiende a cero, la pendiente de la curva es exactamente su derivada. Por tanto, la Derivada de la curva F(x) = 4X – X2/2 en el punto "A", es 2. La fórmula de la derivada de una función se escribe F´(x).

Finalmente, reordenando todo el proceso que hemos descrito hasta aquí, sólo queda escribir con notación matemática la fórmula del cálculo de una derivada en un punto "A":

F(a+h) – F(a) F´(x) =

Lim h 0

h

Siendo:

F´(x) Es el símbolo de la "derivada de la función F(x)"

Lim h 0

Es el símbolo del Límite, cuando h se convierte en cero

F(a+h) Es el valor de la ordenada cuya abscisa vale a+h

y se obtiene sustituyendo la "x" de la fórmula de la función, por el valor "a+h"

F(a) Es el valor de la ordenada cuya abscisa vale a

h Es el avance horizontal de la tangente, que finalmente adquirirá el

valor de cero Con esta fórmula ya simplificada, podemos calcular la derivada de cualquier función sin necesidad de dibujar la curva, el punto que nos interesa y su tangente. Obviamente, es mucho más rápido que todos los cálculos que hemos hecho hasta aquí, pero estos resultan necesarios para saber de dónde procede la mencionada fórmula .

EJEMPLOS DE CÁLCULO DE UNA DERIVADA EJEMPLO 1: A modo de ejemplo, vamos a aplicar la anterior fórmula rápida, para calcular la derivada de una función en un punto: Tomemos la función : F(x) = 9X – X2 +8 Calculemos la derivada de esta función en el punto "A", cuyas abscisa es a=4 Usamos la fórmula simplificada de la derivada:

F(a+h) – F(a) F´(x) =

Lim h 0

h

Hallamos lo que vale cada término, sabiendo que a=4: F(a+h) = 9(a+h) – (a+h)2 + 8 = 9(4+h) – (4+h)2 + 8 = 36 + 9h – (4+h)2 + 8 = 36 + 9h – (16+8h+h2) + 8 = 36 + 9h – 16 -8h - h2 + 8 = 28 + h - h2

F(a) = 9.4 – 42 + 8 = 36 – 16 + 8 = 28 F(a+h) – F(a) = (28 + h - h2) – 28 = h - h2

F(a+h) – F(a) h - h2 h h2

h =

h =

h -

h = 1 - h

Lim h 0 = 1 – h = 1 - 0 = 1

Así que la derivada de F(x) = 9X – X2 +8 en el punto cuya abscisa "a" es igual a 4, vale 1

EJEMPLO 2: Calcular la derivada de la siguiente función, en un punto "A", cuya abscisa es 4 F(x) = 2X2 Nuevamente usamos la fórmula simplificada de la derivada:

F(a+h) – F(a) F´(x) =

Lim h 0

h

Hallamos lo que vale cada término, sabiendo que a=4:

F(a+h) = 2(a+h)2

= 2(4+h)2 = 2(42+2*4*h + h2)

= 2(16+8h + h2) = 32 +16h + h2 F(a) = 2*a2 = 2*42 = 2*16 = 32

F(a+h) – F(a) = 32 +16h + h2 – 32 = 16h + h2

F(a+h) – F(a) 16h + h2 16h h2

h =

h =

h +

h = 16+h

Lim h 0 = 16+h = 16+0 = 16

Así que la derivada de F(x) = 2X2 en el punto cuya abscisa "a" es igual a 4, vale 16

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN, EN TODOS LOS PUNTOS DE LA CURVA Hasta ahora hemos calculado las pendientes de las curvas en unos puntos que ya conocíamos (por ejemplo, punto A(2, 6). Pero también es posible calcular lo que vale la derivada de una función en cualquier punto que deseemos. En la fórmula que ya hemos conocido para calcular derivadas, vamos a sustituir el dato de la abscisa del punto A, por una incógnita "x". De esta forma, obtendremos una derivada para cualquier punto cuya abscisa sea "x".

F(a+h) – F(a) F´(x) =

Lim h 0

h

Es decir, en vez de marcar un punto con una abscisa conocida A(2, 6), vamos a imaginar un punto cualquiera "P", cuya abscisa es "x" y su ordenada "y": punto P(x, y). De esta manera, obtenemos una fórmula matemática que nos permitirá averiguar la pendiente de la curva en cualquier punto que deseemos, con sólo sustituir la abscisa "x" por cualquier valor. En este caso, la fórmula para derivar quedaría de la siguiente manera:

F(x+h) – F(x) F´(x) =

Lim h 0

h

En el último ejemplo que hemos resuelto anteriormente, F(x) = 2X2 , donde hemos calculado la derivada en un punto cuya abscisa "a" era igual a 4, vamos a repetir la misma operación, pero sustituyendo "4" por una "x", para que la derivada nos sirva con cualquier punto: F(x) = 2X2 Calcularemos la derivada de esta función en cualquier punto cuya abscisa sea igual a "x" Fórmula de las derivadas:

F(x+h) – F(x) F´(x) =

Lim h 0

h

F(x+h) = 2(x+h)2 = 2(x2+2*x*h + h2)

= 2 x2 +4xh + 2h2 F(x) = 2x2

F(x+h) – F(x) = 2 x2 +4xh + 2h2 – 2x2 = 4xh + 2h2

F(x+h) – F(x) 4xh + 2h2 4xh 2h2

h =

h =

h +

h = 4x+2h

Lim h 0 = 4x+2h = 4x+0 = 4x

Así, se dice que, teniendo la función F(x) = 2X2 , su derivada F'(x) (para cualquier punto de su curva), es F'(x) = 4x

Vamos a trazar esta curva determinando diferentes puntos:

FUNCIÓN: F(x) = 2X2 DERIVADA: F'(x) = 4x

PUNTO ABSCISA

X= ORDENADA

Y= DERIVADA

O 0 Y=2*02= 0 4*0=0

A 1 Y=2*12= 2 4*1 = 4

B 2 Y=2*22= 8 4*2 =8

C 3 Y=2*32= 18 4*3 = 12

D 4 Y=2*42= 32 4*4 = 16

Quedando la función representada en un sistema cartesiano, de la siguiente manera: Y en esta función, comprobamos cómo la inclinación de la curva (su pendiente), se va acentuando cada vez más (se va inclinando más hacia la vertical), tal y como indican las diferentes "derivadas" (= pendientes) de los puntos, cuyos valores van aumentando progresivamente desce cero, hasta 16 en el punto más alto.

TRUCOS PARA CALCULAR DERIVADAS RÁPIDAMENTE Terminaremos este monográfico aprendiendo unos trucos para calcular derivadas de funciones de una manera más ágil y rápida. En realidad, el cálculo rápido de derivadas es lo que suele enseñarse en los Institutos, como parte de la asignatura de cálculo. Casi todos los ejercicios y exámenes de la asignatura de cálculo se centran en esta sección, es decir, consisten en calcular derivadas de funciones sin utilizar la fórmula más arriba descrita: Aplicar esta fórmula general a veces resulta bastante complejo, motivo por el cuál, se han ideado una serie de atajos y trucos para calcular derivadas de manera menos complicada. Estos trucos consisten en aprenderse de memoria diversas reglas, que pueden resumirse en una tabla como la siguiente: No es objeto de esta monografía, enseñar a derivar utilizando estos atajos, para lo cuál ya existen multitud de páginas web bien planteadas, así que, finalizaremos aquí este trabajo, cuyo único objetivo era explicar qué son realmente las derivadas.

Jon Álvarez. www.canaldeciencias.com

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