derivadas parciais
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Disciplina: Cálculo II
UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
BACHARELADO DE ANÁLISE DE SISTEMAS
UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
BACHARELADO DE ANÁLISE DE SISTEMAS
Derivadas ParciaisDerivadas Parciais
Derivadas Parciais
Introdução
Derivadas Parciais de funções a duas variáveis
Derivadas parciais de funções a n variáveis
Técnicas para o cálculo de derivadas parciais
Aplicação das Derivadas Parciais
IntroduçãoIntrodução
Introdução a Derivadas Parciais
• Consideremos, por hora como se a variável “y” fosse uma constante e a diferenciemos da primeira variável “x”. Por conseguinte, tendo “y” como constante
Disso Temos,
;0²4 333 ydx
deyx
dx
dyxy
dx
d
.32032²43², yxyxydx
dxy
dx
dx
dx
dyxf
dx
d
Introdução a Derivadas Parciais
• A Fim de enfatizar que apenas “x” pode variar, ou seja
que “y” deve ser mantido temporariamente constante
quando a derivada é calculada, é usual substituir-se o
símbolo d/dx por ∂/∂x. (O símbolo é chamado de “d
round”). Portanto da Equação acima, teremos,
yxyxyxx
yxfx
32²43²,
• A derivada calculada em relação a “x” pode variar, ou seja, que
“y” é mantido temporariamente constante é denominada derivada
parcial em relação a “x” e ∂/∂x é chamado de operador derivada
parcial em relação a “x”. Analogamente, se desejarmos manter a
variável “x” como constante e diferenciarmos em relação a “y”,
usamos o símbolo ∂/∂y desse modo para a função abaixo,
²43², yxyxyxf Temos,
.83830²43²²43², yxyxyy
xyy
xy
yxyxy
yxfy
Introdução a Derivadas Parciais
Derivadas parciais de Derivadas parciais de funções a duas variáveisfunções a duas variáveis
Derivadas parciais de funções a duas variáveis
existiam. limites os que contanto , ),(),(
lim),(
e
),()(
lim),(
por definidas são variávelsegunda à e primeira à
relação em ),( em de ),(
e ),(
parciais derivadas as então
, de domínio no ponto um é ),( e variáveisduas a função uma é Se
0
0
y
yxfxyxf
y
yxf
x
yxfxxf
x
yxf
yxfy
yxf
x
yxf
fyxf
y
x
Diferenciação Parcial
Derivadas parciais de funções a duas variáveis
É conveniente se ter uma notação para derivadas parciais que seja análoga à notação
para funções de uma variável.
)(' xf
. a
relação em de parcial derivada a para ),(ou z
de invés ao
),(ou ),( escreve se entefrequentem ,),( Se21
x
fyxfxx
yxyxyxfz ff
Derivadas parciais de funções a duas variáveis
A notação do operador Df para derivadas ordinárias pode ser adaptada para derivadas parciais, e teremos
).,(),(),(),(),(11
yxfyxfyxyxyxfxx
zDDff xx
Analogamente, para a derivada parcial em relação a y teremos
).,(),(),(),(),(22
yxfyxfyxyxyxfyy
zDDff yy
Derivadas parciais de funções a duas variáveis
• EXEMPLO – Use a definição 1 para encontrar
22 275),( se e yxyxyxfzy
z
x
z
Derivadas parciais de funções a duas variáveis
SOLUÇÃO
.710)5710(lim7)(510
lim
)275277)(2(5lim
)275(2)(7)(5lim
),(),(lim
0
2
0
22222
0
2222
0
0
yxxyxx
xyxxx
x
yxyxyxyxyxxxx
x
yxyxyyxxxx
x
yxfyxxf
x
z
xx
x
x
x
Derivadas parciais de funções a duas variáveis
SOLUÇÃO
yxyyx
y
yxyxyyyyxx
y
yxfyyxf
y
z
y
y
y
47)247(lim
...
)275()(2)(75lim
),(),(lim
0
2222
0
0
Derivadas parciais de Derivadas parciais de funções a funções a nn variáveis variáveis
Derivadas parciais de funções a n variáveis
Segue Williams
Técnicas para o cálculo Técnicas para o cálculo de derivadas parciaisde derivadas parciais
Técnicas para o cálculo de derivadas parciais
Segue Wanderley
Aplicação das Derivadas Aplicação das Derivadas ParciaisParciais
Aplicações da Derivada Parcial
Segue Tairone
Referências
• MUNEM, Mustafa A; FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: Guanabara, c1978. 2 v. ISBN 85-216-1093-9