Ecuaciones en Derivadas Parciales.

1. Introducción.

Una ecuación diferencial en derivadas parciales (PDE), por su semejanza con las ODE, es una ecuación donde una cierta función incógnita u viene definida por una relación entre sus derivadas parciales con respecto a las variables independientes.

Si u = u(x,y,z), una ecuación diferencial en derivadas parciales sería

F x y z uux

uy

uz

ux

uy

uz

ux y

, , , , , , , , , , ,...∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

2

2

2

2

2

2

2

0

=

Se denomina orden de la PDE al más alto grado de derivación parcial que aparece en la expresión.

Así

∂∂

∂∂

2

2

2

2 0u

xu

y+ = (1)

es una PDE de 2 orden, mientras que

uux

uy

·∂∂

∂∂

+ = 0 (2)

es una PDE de primer orden.

La ecuación (1) es lineal ya que u y sus derivadas aparecen sin multiplicarse y no aparecen elevadas a potencias. La ecuación (2) es, en cambio, no lineal.

Se podrían hacer algunas consideraciones acerca de las PDE. Mientras que el número de constantes que hay que eliminar en una familia de curvas definen el orden de la ecuación diferencial ordinaria de la que es solución, aquí la génesis se puede considerar vista de otro modo.

Sea una función de (x,y) que verifica que es de la forma

u(x,y) = f(x + y)·g(x - y)

donde f y g son funciones arbitrarias. Entonces

∂∂ux

f g g f= ′ + ′· ·

∂∂

uy

f g g f= ′ − ′· ·

a su vez

∂∂

2

22

ux

f g f g f g= ′′ + ′ ′ + ′′· · · ·

2

∂∂

2

2 2u

yf g f g f g= ′′ − ′ ′ + ′′· · · ·

∂

∂ ∂

2ux y

f g f g f g f g f g f g= ′′ − ′ ′ − ′′ + ′ ′ = ′′ − ′′· · · · · ·

de donde se deduce que

∂∂

∂∂

2

2

2

2 4u

xu

yf g− = ′ ′· ·

Pero

∂∂

∂∂

ux

uy

f g+ = ′2 · ·

∂∂

∂∂

ux

uy

f g− = ′2 · ·

∂∂

∂∂

ux

uy

f g u

−

= ′ ′

2 2

4 • • •

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2

2

2 2u

xu

yu

ux

uy

−

=

−

•

Se ha llegado a una ecuación diferencial de 2° orden en derivadas parciales cuya solución tiene la forma

u(x,y) = f(x + y)·g(x - y)

Considérese otro ejemplo:

u = x·f(y)

∂∂ux

f x= ( )

u xux

= ·∂∂

es la ecuación diferencial de primer orden cuya solución tiene la forma

u = x·f(y)

donde f es una función arbitraria.

Otro ejemplo es el siguiente:

( )u f x y= +2 2

3

∂∂ux

x f= ′2 · ·

∂∂

uy

y f= ′2 · ·

yux

xuy

· ·∂∂

∂∂

− = 0

Otro ejemplo:

u = f(x + y) + g(x - y)

∂∂ux

f g= ′ + ′

∂∂

uy

f g= ′ − ′

∂∂

2

2

ux

f g= ′′ + ′′

∂∂

2

2

uy

f g= ′′ + ′′

∂∂

∂∂

2

2

2

2

ux

uy

=

Repárese que según los resutados obtenidos existen infinitas soluciones posibles de la PDE. Pero ahora la arbitrariedad de la solución general viene dada en términos de funciones, apareciendo tantas como el orden de la ecuación.

Desde el punto de vista de la Matemática puede parecer más preciso obtener en cualquier caso la solución general, sin embargo, se van a buscar soluciones dentro del campo de la Física por lo que sólo interesará una solución particular concreta. Estas soluciones particulares van a satisfacer unas determinadas condiciones de contorno y de valor inicial.

Es decir, se va a tratar de obtener la solución de una cierta PDE que verifique unas condiciones en el contorno del dominio en que está definida (condiciones de contorno), y si además una variable es el tiempo "t" las condiciones en t = 0 se darán como dato (condiciones iniciales).

Por último, y por lo que respecta a la clasificación, cuando cada término de la ecuación diferencial contiene la función o sus derivadas esta ecuación se dice homogénea.

Algunos ejemplos típicos de ecuaciones en derivadas parciales son:

Ecuación de difusión:

∂∂

∂∂

ut

cu

x= 2

2

2·

4

Es la clásica ecuación unidimensional de difusión del calor, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

Ecuación de onda:

∂∂

∂∂

2

22

2

2

ut

cu

x= ·

Es la clásica ecuación de onda unidimensional, que describe fenómenos de tipo oscilatorios y es también de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

Ecuación de Laplace:

∂∂

∂∂

2

2

2

2 0u

xu

y+ =

Esta es una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes, describiendo potenciales eléctricos o gravitatorios o procesos de difusión en los que se ha alcanzado un equilibrio térmico.

Ecuación de Poisson:

∂∂

∂∂

2

2

2

2

ux

uy

f x y+ = ( , )

Es también una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, de coeficientes constantes, pero no homogénea.

Este curso se va a centrar exclusivamente en el estudio de las ecuaciones diferenciales de 2 orden lineales con coeficientes constantes, que son las más habituales en distintos campos de la física.

2. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN LINEALES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuación de 2 orden en derivadas parciales lineal, homogénea, con coeficientes constantes tiene la forma (supuesto dos variables independientes):

au

xh

ux y

bu

yf

ux

guy

c u· · · · · · · · ·∂∂

∂∂ ∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2 2

22 2 2 0+ + + + + =

donde

a,h,b,f,g,c son constantes. Por comparación con una cónica

( )x ya h fh b gf g c

xy11

0

=

5

a x b y h x y f x g y c· · · · · · · · ·2 2 2 2 2 0+ + + + + =

se puede decir que estas ecuaciones se clasifican en elípticas, parabólicas e hiperbólicas de igual modo que las cónicas. Esto es, si

a b h· − 2 > 0 la ecuación es elíptica

a b h· − 2 = 0 la ecuación es parabólica

a b h· − 2 < 0 la ecuación es hiperbólica

Según esto, las clásicas ecuaciones de difusión, de ondas y de Laplace pertenecen a los tipos

Ecuación de difusión: parabólica

Ecuación de onda: hiperbólica

Ecuación de Laplace: elíptica

Nota: Esta clasificación sigue siendo válida incluso cuando los coeficientes de la ecuación a, b, h, f, g, c so funciones variables de x e y. En estos casos la ecuación puede cambiar de tipo al pasar de un cuadrante a otro. Por ejemplo la ecuación

yu

xx

ux y

yu

y· · · ·∂∂

∂∂ ∂

∂∂

2

2

2 2

22 0+ + =

es elíptica en la región y x2 2− > 0, parabólica a lo largo de las rectas y x2 2− = 0, e hiperbólica en la región y x2 2− < 0.

En el caso de más variables independientes la forma general de una ecuación diferencial lineal de segundo orden en derivadas parciales es:

)x,......x,x(fu)x,......x,x(cxu

)x,......x,x(bxxu

)x,......x,x(a n21n21n

1k kn21k

n

1r

n

1k kr

2n21rk =⋅+

∂∂

⋅+∂∂

∂⋅ ∑∑ ∑

== = Se denomina parte principal de la ecuación diferencial al primer sumando simbólico. Considérese la matriz cuadrada nxn cosntituida por los coefiecientes de la parte principal de la ecuación diferencial. Por ser una matriz simétrica en el campo real, tiene autovalores reales.

a) Si todos los autovalores fueran del mismo signo (ninguno nulo), la ecuación se denomina elíptica.

b) Si un autovalor fuera de signo opuesto a los otros, no siendo nulo ninguno, la ecuación es hiperbólica.

c) Si algún autovalor es nulo, se denomina parabólica. d) En el resto de casos se denomina ultrahiperbólica.

3. ECUACIONES DE EULER

Se llama ecuación de Euler a una ecuación de la forma

au

xh

ux y

bu

y· · · ·∂∂

∂∂ ∂

∂∂

2

2

2 2

22 0+ + =

La solución general se puede obtener del siguiente modo, haciendo el cambio

6

α∂α∂

∂α∂

= + = =p x q yx

py

q· ·

β∂β∂

∂β∂

= + = =r x s yx

ry

s· ·

donde p,q,r y s son constantes

∂∂

∂∂α

∂α∂

∂∂β

∂β∂

∂∂α

∂∂β

ux

ux

ux

pu

ru

= + = +· · · ·

∂∂

∂∂α

∂∂

∂α∂

∂∂β

∂∂

∂β∂

2

2

ux

ux x

ux x

=

+

=• •

= +

+ +

p pu

ru

r pu

ru

• • • • • •∂∂α

∂∂α∂β

∂∂α∂β

∂∂β

2

2

2 2 2

2

= + +pu

r pu

ru2

2

2

22

2

22· · · · ·∂∂α

∂∂α∂β

∂∂β

de igual modo

∂∂

∂∂α

∂∂α∂β

∂∂β

2

22

2

2

22

2

22u

yq

uq s

us

u= + +· · · · ·

por último

∂∂ ∂

∂∂

∂∂

∂∂α

∂∂

∂α∂

∂∂β

∂∂

∂β∂

2ux y y

ux

ux y

ux y

=

=

+

• •

= +

+ +

=

∂∂α

∂∂α

∂∂β

∂∂β

∂∂α

∂∂β

pu

ru

q pu

ru

s• • • • • •

= + + +p qu

q r p su

r su

· · ( · · ) · · ·∂∂α

∂∂α∂β

∂∂β

2

2

2 2

2

Sustituyendo en la ecuación diferencial

a pu

r pu

ru

• • • • • •22

2

22

2

22∂∂α

∂∂α∂β

∂∂β

+ +

+

+ + + +

+2

2

2

2 2

2• • • • ( • • ) • • •h p qu

q r p su

r su∂

∂α∂

∂α∂β∂∂β

+ + +

=b q

uq s

us

u• • • • • •2

2

2

22

2

22 0∂∂α

∂∂α∂β

∂∂β

7

( ) ( )∂∂α

∂∂β

2

22 2

2

22 22 2

ua p h p q b q

ua r h r s b s• • • • • • • • • • • •+ + + + + +

( )+ + + + =2 02

• • • • • • • • •a p r h q r h p s b q su∂

∂α∂β (3)

Ahora se elige p = r = 1 de modo que q y s sean raíces de la ecuación

a h x b x+ + =2 02· · ·

es decir, de modo que los coeficientes de la ∂∂α

2

2

u y

∂∂β

2

2

u sean cero.

Por tanto, llamando a las raíces x1, x2 quedaría la ecuación:

a h x x b x xu

+ + + =· ( ) · ·1 2 1 2

2

0∂

∂α∂β

Ahora bien

x xh

b1 22

+ =− ·

y x xab1 2· =

por lo que la ecuación puede expresarse

( )202

2

ba b h

u• • •− =

∂∂α∂β

Si a b h· − ≠2 0, es decir la ecuación es elíptica o hiperbólica ⇒

∂

∂α∂β

2

0u

=

cuya solución general se reduce a

u = F(α) + G(β)

donde F y G son funciones arbitrarias, pero

α = +x x y1 ·

β = +x x y2 ·

luego la solución general de las ecuaciones elípticas e hiperbólicas es de la forma:

( ) ( )u F x x y G x x y= + + +1 2• •

x1 y x2 son reales si la ecuación es hiperbólica, pero si es elíptica, son complejas.

8

Si la ecuación es parabólica:

a b h· − =2 0

volviendo a la ecuación (3) y haciendo sólo p = 1

( ) ( )∂∂α

∂∂β

2

22

2

22 22 2

ua h q b q

ua r h r s b s• • • • • • • • • •+ + + + + +

( )+ + + + =2 02

• • • • • • •a r h q r h s b q su∂

∂α∂β (4)

Se busca q tal que

a h q b q+ + =2 02· · ·

qh h a c

bhb

=− ± −

= −2 ·

(raíz doble)

Llevando este valor a (4)

( )a r h r s b su

a rh r

bh s h s

u• • • • • • • •

•• •2 2

2

2

2 2

2 2 0+ + + + + −

=

∂∂β

∂∂α∂β

pero como h2 = ab, sustituyendo el valor de "a" despejado de esta igualdad, la ecuación queda

h r

bh r s b s

u2 22

2

22 0•

• • • • •+ +

=

∂∂β

( )102

2

2bh r b s

u• • • •+ =

∂∂β

con tal que r y s no sean cero simultáneamente, la ecuación resultante es

∂∂β

2

2 0u

=

cuya solución general es de la forma

u F G= +β α α· ( ) ( )

con F y G funciones arbitrarias, pero

α = −xhb

y·

β = +r x s y· ·

con r y s arbitrarios, pero no simultáneamente ceros.

9

Luego, la solución general de una ecuación parabólica es

( )u r x s y F xhb

y G xhb

y= + −

+ −

• • • • •

Aunque se ha resuelto, desde el punto de vista matemático, las ecuaciones de Euler, estas soluciones tienen muy poco valor cuando se imponen unas condiciones de contorno dadas y una condición de valor inicial. Suele resultar muy difícil obtener la expresión de las funciones F y G. Por ello, este procedimiento más académico que útil va a dar paso a otro más eficaz que, además, nos va a ayudar a ver el sentido físico de lo que se trata de resolver. Este método se conoce con el nombre de método de separación de variables.