Cmo se calculan derivadas segundas de funciones definidas

implcitamente?

Supongamos que en un entorno de cierto punto ),,( 000 zyxP la ecuacin

0),,( zyxF

define z como funcin de x e y , o sea ),( yxfz .

Se supone que se chequearon todas las hiptesis del Teorema de la Funcin

Implcita y se cumplen:

1. 0)( PF ,

2. ),,( zyxF tiene gradiente continuo en un entorno de P,

3. 0)(' PFz .

Entonces se sabe que ),( yxfz es diferenciable en ),( 00 yx y adems resultan

),,(

),,(),(),(

000'

000'

00'

00'

zyxF

zyxFyxfyxz

z

xxx

),,(

),,(),(),(

000'

000'

00'

00'

zyxF

zyxFyxfyxz

z

y

yy

Qu ocurre si queremos calcular las derivadas segundas de ),( yxf , suponiendo

que se cumplieran las condiciones necesarias para garantizar su existencia? (vale

decir, nos tendran que garantizar que ),,( zyxF es, al menos, 2C en un entorno

de P) Cmo calculamos, por ejemplo, '' xyf ?

Para poder hacerlo debemos suponer que ),,( zyx es un punto cercano a P donde

se siguen cumpliendo las hiptesis del Teorema.

Si es as, podramos escribir:

),,(

),,(),(

'

''

zyxF

zxxFyxf

z

xx

Entonces:

'

'

'''

),,(

),,(),(

yz

xxy

zyxF

zxxFyxf

Ahora, para calcular la derivada hay que tener en cuenta:

1. que es la derivada de un cociente,

2. que tanto funcin F como sus derivadas dependen de y en forma

directa pero tambin a travs de z pues ),( yxfz .

x

''' ,,, zyx FFFF y x

z

y

Entonces:

2''

'

'''''''''''

2'

'

'

''''''

'

'

''''

2'

''''''''''''

2'

''''''''''''

2'

'''''''

'

'''

),,(

),,(),(

x

z

y

zzzyxyxzzxy

x

z

y

zzzyxz

z

y

xzxy

x

yzzzyxzyxzxy

x

yzzzyxzyxzxy

x

yzxzyx

yz

xxy

F

F

FFFFFFFF

F

F

FFFFF

F

FFF

F

fFFFFfFF

F

zFFFFzFF

F

FFFF

zyxF

zxxFyxf