derivate - esercizi con soluzioni

ESERCITAZIONE: IL CALCOLO DELLE DERIVATE Data:10/12/2014

Calcola la derivata delle seguenti funzioni.

1) x2e2y x ; 2) 3xxlnxy ;

3) xlnexy x ; 4) 1x3xx2y 34 ;

5) 43 x4x3xy ; 6) xlnxx2xy 23 ;

7) 3x

3xxy

4

2

; 8)

2

x

x

xlnxe2y

.


1) 3 2 3x2xy 2) xln

2xy

2

3) xlnxey 4)

x2ln

1x2lny

Rappresenta la funzione assegnata e determina gli intervalli in cui f(x) è continua e quelli in cui è

derivabile.

2xlnxf

Determina i punti stazionari della seguente funzione.

22 xxln4y

Calcola la derivata prima, seconda e terza delle seguenti funzioni.

1xlnxey 2x2 xlnx2y 2

Risolvi il seguente problema:

Date le funzioni

altrimenti xx

2x0 se x3xxf

2

2

e

altrimentix3x

2x0 sexxxg

2

2

a) calcola le derivate f x e g x e le relative condizioni di esistenza;

b) disegnato il grafico delle due funzioni, indica i valori di x per i quali le funzioni non sono derivabili precisando se per tali valori le funzioni sono però continue;

c) trova gli eventuali valori di x per i quali f(x) e g(x) hanno tangenti parallele.

SOLUZIONI


1) x2e2y x ;

2e2y x

2) 3xxlnxy ;

xlnx

32x2

xlnxx

313x

1xlnx3xx

11y

3) xlnexxlnexy xx ;

1xlnx1e

exlnx1ex

1exxlnexe1y

x

xx

xxx

4) 1x3xx2y 34 ;

3x3x8y 23

5) 4

1

3

1

2

1

43 x4x3xx4x3xy ;

4 33 2

4

3

3

2

2

1

x

1

x

1

x2

1

x4

14x

3

13x

2

1y

6) xlnxx2xy 23 ;

1x2xxln1x4x3

x

1xx2xxln1x4x3y

22

232

7) 3x

3xxy

4

2

;

24

345

24

34545

24

324

3x

3x6x12x3x2

3x

x12x4x43xx6x2

3x

x43xx3x1x2y

8) 2

x

x

xlnxe2y

.

4

2xx2

4

2x2x2

4

x2x

x

xlnx2xxxe4ex2x

xlnx2x2xe4xxex2x

x2xlnxe2xx

11e2

y


1) 31

23 2 3x2x3x2xy

3 22

3

22

3x2x3

1x2

2x23x2x3

1y

2) 2

122

xln

2x

xln

2xy

xlnx

2xxlnx2

2x

xln

2

1

xlnx

2xxlnx2

xln

2x2

1

xlnx

12xxlnx2

xln

2x

2

1y

2

22

2

2

22

2

2

22

12

3) xlnxey

1xlney xlnx

4)

x2ln

1x2lny

x2lnx21x2

1x2ln1x2x2lnx22x2ln

1x2lnx2

1x2ln

1x2

2

y

2

2

Rappresenta la funzione assegnata e determina gli intervalli in cui f(x) è continua e quelli in cui è derivabile.

2xlnxf

DOMINIO

02x

02xln →

2x

e2x 0

→

2x

3x → 3x D = ;3

ZERI

3x e2x 02xln 02xln 0 La funzione ha uno zero in x = 3

SEGNO

Essendo una irrazionale di indice 2 è positiva ;3x

COMPORTAMENTO AGLI ESTREMI DEL DOMINIO

023ln2xlnlim3x

;

2ln2xlnlimx

La funzione è continua in tutto il dominio.

DERIVATA PRIMA

21

2xln2xlnxf

2xln2x2

1

2x

1

2xln2

1xf

DOMINIO DELLA DERIVATA PRIMA

f(x) di dominio Nel

02xln

02x

D’= ;3

ZERI DERIVATA PRIMA

Non esistono.

SEGNO

Sempre positiva in D’. COMPORTAMENTO AGLI ESTREMI

0

1

23ln232

1

2xln2x2

1lim

3x;

0

1

ln2

1

2xln2x2

1lim

x

Il punto x = 3 è un punto a tangente verticale. GRAFICO

Determina i punti stazionari della seguente funzione.

22 xxln4y

I punti stazionari sono i punti a tangente orizzontale cioè i punti in cui la derivata prima è 0. DERIVATA PRIMA

x

4x2

x

x28x2

x

8x2x2

x

14y

22

2

.

I punti in cui si annulla sono:

2x 4x 04x 0

x

4x2 222

A =

55,144ln422ln4y

2x22

B =

55,144ln422ln4y

2x22

Calcola la derivata prima, seconda e terza delle seguenti funzioni.

1xlnxey 2x2

1x

1x2e2y x2

2x2

1x

12e4y

3x2

1x

2e8y

xlnx2y 2

x2xlnx4y

6xln424xln4y

x

4y

Risolvi il seguente problema:

Date le funzioni

altrimenti xx

2x0 se x3xxf

2

2

e

altrimentix3x

2x0 sexxxg

2

2

a) calcola le derivate xf e xg e le relative condizioni di esistenza;

2x0x se 1x2

2x0 se 3x2xf

2x0x se3x2

2x0 se1x2xg

31x2lim

13x2lim

33x2lim

11x2lim

2x

2x

0x

0x

13x2lim

31x2lim

11x2lim

33x2lim

2x

2x

0x

0x

Le due funzioni non sono derivabili in x = 0 e in x = 2 che risultano punti angolosi.

b) disegnato il grafico delle due funzioni, indica i valori di x per i quali le funzioni non sono derivabili precisando se per tali valori le funzioni sono però continue;

In x = 0 e x = 2 le funzioni sono continue.

c) trova gli eventuali valori di x per i quali f(x) e g(x) hanno tangenti parallele.

I valori per i quali le tangenti sono parallele sono quelli in cui le derivate sono uguali (le tangenti hanno la stessa inclinazione!) o si annullano (punti stazionari a tangente orizzontale)

f’(x) = g’(x) –2x + 3 = 2x – 1 x = 1

f’(x) = 0 –2x + 3 = 0 x = 2

3

g’(x) = 0 2x – 1 = 0 x = 2

1

Le funzioni hanno tangenti parallele nei punti stazionari x = 2

1, x =

2

3 e in x = 1.

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