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DES-FEC-UNICAMP
IC301- MECÂNICA DAS ESTRUTURAS I
RELAÇÕES CONSTITUTIVAS(TENSÃO-DEFORMAÇÃO)
PROF. DR. NILSON TADEU MASCIA
2005
2
RELAÇÕES CONSTITUTIVAS(TENSÃO-DEFORMAÇÃO)
INTRODUÇÃO
Condições a serem satisfeitas na resolução de problemas de elasticidade
1- Equações de equilíbrio ou de movimento;
2- Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações;
3- Relações tensões-deformações.
FIGURA 01 - Inter-relações das variáveis na mecânica dos sólidos
0F
nT
ij,ij
;jiji
=+
=
σ
σ
0
);(21
,,,,
,,
=−−+
+=
ikjljlikijklklij
ijjiij uu
εεεε
ε
3
Incognitas x Equações
6 3 equações de equilíbrio
6 6 equações desloc/deform.
3 6 equações constitutivas
Hípoteses Básicas
1- Comportamento do material é independente do tempo;
2- Condições isotérmicas são consideradas;
3- Pequenos deslocamentos.
ESTADO DE TENSÃO EM UM PONTO
FIGURA 02 - Componentes de um vetor tensão .
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
333231
232221
131211
3
2
1
σσσσσσσσσ
σTTT
ij
ESTADO DE DEFORMAÇÃO EM UM PONTO
333231
232221
131211
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
εεεεεεεεε
ε ij
4
ELASTICIDADE
Todo sólido quando submetido a ações externas apresenta, como resposta a
nível interno, tensões e deformações. Se essas ações cessarem e se o sólido
voltar as suas condições iniciais, ou seja, tamanho e forma idênticos àqueles
antes das ações atuarem sobre ele, não guardando deformações residuais, o
sólido é chamado elástico.
A função resposta do material pode ser linear ou não linear como é
mostrada pelos gráficos tensão-deformação:
FIGURA 03 - Gráficos função resposta do material. (a) resposta não linear (b) resposta linear
Pode-se concluir, então, que as tensões e as deformações nestes sólidos são totalmente reversíveis. Além disto, baseando-se em hipóteses que as ações são independentes de tempo e estes sólidos estão sob condições adiabáticas e isotérmicas, (Love), é possível defini-los matematicamente como:
)( klijij F εσ =
onde Fij é uma função resposta do material.
5
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
Considerando este sólido elástico sob ação de forças, conforme mostra a figura
09, e impondo ao mesmo deslocamentos virtuais infinitesimais δUi , compatíveis
com as condições.de equilíbrio, é possível, através do princípio dos trabalhos
virtuais (P.T.V.) inter-relacionar uma série de equilíbrios iii u T F δ , , com uma série
de compatibilidade virtual iji u δεδ , .
FIGURA 04 - Sólido elástico em equilíbrio.
Assim,
dVdVuFdAuT ijijViiViiA δεσδδ ∫=∫+∫
onde o conjunto de termos, à esquerda na equação , exprime o trabalho externo δW , e o conjunto de termos, à direita, o trabalho interno δU . Então:
UW δδ =
e
dVU ijijV δεσδ ∫=
6
Mas, simplificando:
dVUU V 0δδ ∫= ,
deste modo tem-se:
ijijU δεσδ =0
Como U0 é função somente das componentes de deformação:
ijij
UU δε
∂ε∂
δ 00 =
substituindo-se δU0 , tem-se:
ijij
U∂ε∂
σ 0=
Esta equação é conhecida como Modelo Elástico de Green ou lei constitutiva hiperelástica. (Desai)
Em contrapartida, pode-se relacionar σ εij ij U, , 0 por variações de δσ δ δij i iF T , , . Assim a equação do P.T.V. torna-se:
dVdVuFdAuT ijijViiViiA εδσδδ ∫=∫+∫
ou:
WU δδ =
Assim:
dVdVU ijijVcoV εδσδ ∫=∫
então:
ijijcoU δσεδ =
7
Sendo Uco função das componentes de tensão σij e conhecida como
energia complementar de deformação tem-se:
ijij
coco
UU δσ
∂σ∂
δ =
Portanto:
ij
coij
U∂σ∂
ε = .
A figura mostra as quantidades Uco e U0 .
FIGURA 05 - Energia de deformação e energia complementar de deformação no gráfico tensão - deformação .
Por outro lado, é possível observar que em um modelo linear, a energia de deformação U0 é igual à energia complementar de deformação Uco .
8
RELAÇÕES TENSÃO DEFORMAÇÃO OU LEIS CONSTITUTIVAS DOS MATERIAIS ELASTICAMENTE ANISOTRÓPICOS
Sendo assim, com o uso de uma série polinomial:
klijijklijijijCU εεβεαδ ++= 00 ,
onde C ij ijkl0 , ,α β são constantes. Aplicando-se a equação relativa à do modelo
elástico de Green, e considerando que a energia de deformação tenha um valor estacionário em relação ao tensor de deformação, tem-se:
klklijijklijij εββασ )( ++= .
Da expressão anterior, designando ( )β βijkl klij+ de Cijkl e, além disto,
supondo que as tensões estão associadas e atuando em todo sólido, ou seja, αij = 0, tem-se:
klijklij C εσ =
Desta expressão, sendo Cijkl uma matriz não singular, pode-se escrever:
klijklij S σε =
Caracterizando-se que C S= −1,
)(21
jrisjsirijrsklrsijkl SC δδδδδ +==
e também
ijrsklrsijkl CS δ=
onde: δij é o delta de Kroneker, e δijkl é um tensor unitário.
9
Com os índices i j k l, , , , variando de 1 a 3, pode-se discretizar um dos termos. Por exemplo σ13:
331333321332311331231323221322
21132113131312131211131113
εεεεεεεεεσ
CCCCCCCCC
+++++++++=
Como os tensores Cijkl e Sijkl são tensores de 4ª ordem, é de se prever
que sejam constituídos de 81 (oitenta e um) elementos (coeficientes elásticos). Mas este número de elementos pode ser reduzido pela seguinte análise:
Derivando a equação :
klijklij C εσ =
tem-se:
ijklijklkl
ij CU
==∂ε∂ε
∂∂ε∂σ 0
2
e alterando a ordem de derivação:
ijklklij
UU∂ε∂ε
∂∂ε∂ε
∂ 022
=
Pode-se concluir, portanto,que:
klijijkl CC =
demonstrando-se, assim, a existência da simetria nos pares de índices ( )(i j k l, , ) do tensor Cijkl .Semelhante análise pode ser feita para os termos Sijkl :
klijijkl SS =
• Em primeiro lugar,a simetria de tensores de deformação εij , ou
10
jiij εε =
desta maneira obtém-se:
klijkllkijklij CC εεσ ==
resultando em:
ijlkijkl CC =
Ou seja, dos 81 (oitenta e um) elementos em Cijkl sobraram 54
(cinquenta e quatro) diferentes (independentes).
• Em segundo lugar, devido a simetria dos tensores de tensão σij ,
ou:
jiij σσ =
desta maneira obtém-se:
kljikljiklijklij CC εσεσ ===
resultando em:
jiklijkl CC =
Ou seja, dos 54 (cinquenta e quatro) elementos em Cijkl passa-se a ter
36 (trinta e seis) elementos diferentes.
• Em terceiro lugar,como foi mencionado, o tensor Cijkl é simétrico em relação aos pares de índices,(i j, ) e (k l, ).
11
Então, em lugar dos 36 (trinta e seis) elementos existem apenas 21 (vinte e um) elementos diferentes no tensor Cijkl , e também no tensor Sijkl .
Na forma matricial, tem-se:
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
31
23
12
33
22
11
313131233112313331223111
233123232312233323222311
123112231212123312221211
333133233312333333223311
223122232212223322222211
113111231112113311221111
31
23
12
33
22
11
222
εεε
εεε
σσσσσσ
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
De modo análogo:
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
σσσσσσ
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
εεε
εεε
31
23
12
33
22
11
313131233112313331223111
233123232312233323222311
123112231212123312221211
333133233312333333223311
223122232212223322222211
113111231112113311221111
31
23
12
33
22
11
444222444222444222222222222
222
SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS
Com o objetivo de simplificar as operações com os elementos dos tensores aqui mencionados, pode-se utilizar uma notação indicial reduzida, apresentada por Lekhnitskii, onde a simetria dos tensores ε σij kl ijklC , e permite
a redução dos seus índices, os quais podem ser contraídos da seguinte maneira:
σ σij m= → para quaisquer índices
ε εij m m= → =se 1,2,3
2ε εij m m= → =se 4,5,6
C ijkl mnC= → para quaisquer índices
12
S S m nijkl mn= → =se , 1,2,3
2S S m nijkl mn= → =se , 4,5,6
4S S m nijkl mn= → =se , 4,5,6.
A partir do que demonstrou-se, observa-se que os índices variam de 1 a 6.
Assim:
, , , , , , , , ,,
, , , ,,
113116112315111214113313111212111111
316235124333222111
316235124333222111
2 2 2
CCCCCCCCCCCC ============
======εεεεεεεεεεεεσσσσσσσσσσσσ
Com esta convenção, pode-se escrever:
nmnm C εσ =
e assim:
nmnm S σε = ,
resultando, matricialmente:
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
6
5
4
3
2
1
σσσσσσ
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
6
5
4
3
2
1
εεεεεε
13
SOBRE O NÚMERO DE CONSTANTES INDEPENDENTES NO TENSOR Sij
Lekhnitskii cita que o número de termos independentes no tensor
compliance Sil , para materiais elásticos anisotrópicos, não é 21 (vinte e um) mas
sim 18 (dezoito).
Esta afirmação pode ser comprovada através das seguintes considerações
(Se o tensor εij for diagonalizado, ou seja, referido às novas direções principais,
por meio de uma conveniente mudança de base, ele passa a ter 3 (três)
elementos nulos, ou seja:
0654 === εεε
Nestas condições tem-se:
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
6
5
4
3
2
1
666564536261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
3
2
1
000
σσσσσσ
εεε
SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS
SIMETRIA ELÁSTICA NOS MATERIAIS
TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS
É fato que os tensores constitutivos C Sijkl ijkle são tensores de 4a ordem,
estando assim sujeitos à seguinte lei de transformação de coordenadas,
mnopepkojmimijkl SllllS =′
14
onde ′Sijkl são os coeficientes do tensor compliance no novo sistema da
coordenadas, Sijkl são os coeficientes do tensor compliance no antigo
sistema da coordenadas e lij os cossenos diretores
Os cossenos diretores lij em uma rotação de eixos coordenados, em um
sentido anti-horário, em torno do eixo x3 ,tornam-se:
lij = −⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
cos sensen cos
θ θθ θ
00
0 0 1
FIGURA 06 - Rotação dos eixos x x1 2e de um sistema de eixos ortogonais
Deste modo, pode-se apresentar, por exemplo, o coeficiente ′S11 :
( )( ) ( )
( )[ ]( )[ ]
( )[ ]21312233311
2122231
21111311211
2133333
21212312223
21111231113
2133311
5122211
211233111121312
212
21131311122
212
21123231133
213
21212122233
4133333
4122222
41111111111
2
2
2
22
2
lSSlSlSll
lSlSSlSll
lSlSlSSll
llSSllSS
llSSlSlSlSS
++++
+++++
+++++
+++++
+++++=′
15
Como alternativa, pode-se utilizar os coeficientes com os índices reduzidos ( )S Cij ij e ,para os quais Lekhnitskii apresenta os termos escritos por qij ,
para se efetuar a transformação do tensor constitutivo.
Assim, a lei de transformação torna-se:
mninimij SqqS =′
onde os termos qij estão apresentados na tabela 01, sendo que o primeiro
subscrito indica a linha e, o segundo a coluna na tabela.
Tabela 01 - Relação dos termos qij e os cossenos diretores lij para transformação de coordenadas com subscrito reduzido Fonte: Lekhnitskii
1 2 3 4 5 6
1 l112 l12
2 l132 l l11 12 l l12 13 l l31 11
2 l212 l22
2 l232 l l22 21 l l23 22 l l23 21
3 l312 l32
2 l332 l l32 31 l l33 32 l l33 31
4 2 21 11l l 2 12 22l l 2 13 23l l l l l l11 22 12 21+ l l l l13 22 12 23+ l l l l13 21 11 23+ 5 2 31 21l l 2 32 22l l 2 33 23l l l l l l31 22 32 21+ l l l l33 22 32 23+ l l l l33 21 31 23+ 6 2 31 11l l 2 32 12l l 2 33 13l l l l l l31 12 32 11+ l l l l33 12 32 13+ l l l l33 11 31 13+
Com o exposto é possível apresentar os novos termos do tensor constitutivo ′Sij , após transformação de coordenadas.
Observa-se que as parcelas que contribuem para cada termo de ′Sij estão
relacionadas às funções trigonométricas do ângulo de rotação θ :
( )( ) θθθθ
θθθθ
cos sen sen cos2
sen cos sen2 cos2
262
16
422
226612
41111
SS
SSSSS
++
++++=′
( )( )( ) θθθθ
θθ
cos sen sen cos +
cos sen222
2616
1222
6612221112
−−
++−−+=′
SS
SSSSSS
16
( )( ) θθθθ
θθθθ
cos sen cos sen2
cos cos sen2 sen2
262
16
422
226612
41122
SS
SSSSS
+−
++++=′
CLASSIFICAÇÃO DOS MATERIAIS SEGUNDO O NÚMERO DE PLANOS DE SIMETRIA ELÁSTICA
Voigt, apud Cowin, sintetizou os estudos desenvolvidos por Voigt, Love e Gurtin,
os quais apresentaram 9 (nove) quantidades distintas de coeficientes do tensor
Cijkl para 32 classes de cristais, enquanto que para os não cristais, ele
mencionou a existência de somente 3 (três) tipos tradicionais conhecidos como
isotrópico, monotrópico e ortotrópico.
A seguir, será desenvolvido um estudo mais aprofundado da simetria elástica
para os 3 (três) tradicionais tipos de não cristais.
A nomenclatura aqui utilizada pode sofrer alterações em função dos diversos
autores que abordaram este assunto.
MATERIAL COM SIMETRIA ELÁSTICA EM UM PLANO
Admitindo um sólido referido a um sistema de coordenadas xi
FIGURA 07 - Simetria elástica em um plano
17
O plano x x1 2 − é de simetria elástica, ou seja, duas direções quaisquer passando por um ponto neste plano são equivalentes no que concerne às propriedades de elasticidade. Além disto, a direção normal a este plano é chamada de direção principal de elasticidade.
Promovendo rotações de 180o em torno do eixo x3 , conforme esquema da figura :
FIGURA 08 - Rotação de 180o em torno do eixo x3
têm-se os seguintes cossenos diretores:
lij =−
−⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
1 0 00 1 00 0 1
Com o uso da transformação tensorial de S11 tem-se:
mnnm SqqS 1111 =′
resultando:
1141111 SlS =′
devido às demais parcelas que contribuem para ′S11 serem nulas. Assim:
18
1111 SS =′
De semelhante análise para os outros termos do tensor, conclui-se que:
04645363526251615 ======== SSSSSSSS
Então, o tensor Sij terá a seguinte configuração:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
6665
5655
44434241
34333231
24232221
14131211
00000000
00000000
SSSS
SSSSSSSSSSSSSSSS
Sij
O tensor Sij passa a ter 13 elementos diferentes, sendo que apenas
11(onze) são independentes, devido à dependência linear entre os termos .
MATERIAL COM SIMETRIA ELÁSTICA EM TRÊS PLANOS
Um sólido referido a um sistema de eixos coordenados xi e agora sob uma
rotação de 180o em torno do eixo x1 (um dos eixos de simetria)
FIGURA 09 - Rotação de 180o em torno do eixo x1
tem-se, analogamente ao item anterior:
19
056342414 ==== SSSS
Efetuando semelhante rotação nos eixos x x2 3e , um de cada vez:
, 0
0
56352515
54362616
====
====
SSSS
SSSS
sendo que Sij fica com a seguinte forma:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
66
55
44
332313
232212
131211
000000000000000000000000
SS
SSSSSSSSSS
Sij
Neste momento pode-se expressar os coeficientes do tensor compliance, em termos dos coeficientes elásticos usuais de engenharia ,ou seja, através do módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young Ei , do coeficiente de Poisson νij e do módulo de elasticidade transversal ou de rigidez Gij . Assim Sij torna-se:
100000
010000
001000
0001
0001
0001
31
23
12
32
23
1
13
3
31
21
12
3
31
2
21
1
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
=
G
G
G
EEE
EEE
EEE
Sij
νν
νν
νν
20
onde devido à simetria existente pode-se escrever: j
ji
i
ij
EEνν
−=−
Como observou-se anteriormente, é mais simples trabalhar com os coeficientes
do tensor compliance Sij , ao invés dos coeficientes do tensor de constantes de
elasticidade Cij . A título de ilustração, pode-se comparar os coeficientes a
seguir :
111
1 E
S =
322321123113312312
)2332111 21
)1(ννννννννν
νν−−−−
−=
EC
MATERIAL TRANSVERSALMENTE ISOTRÓPICO
Considera-se o plano x x1 2− de isotropia, ou seja, todas as direções contidas
neste plano são elasticamente equivalentes, o eixo x3 é o eixo de simetria
elástica.
FIGURA 10- Plano de isotropia - material transversalmente isotrópico
Baseando-se nas operações dos ítens anteriores, de simetria elástica, tem-se:
21
( ) 441211665523132211 2 ; ; ; SSSSSSSSS =−===
Assim, com a utilização da notação usual de engenharia
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
′
′
′′′
−′
−
′′
−−
′−−
=
G
G
G
EEE
EEE
EEE
Sij
100000
010000
001000
0001
0001
0001
νν
νν
νν
onde E E, ′= módulo de elasticidade no plano de isotropia e na direção normal a ele,ν ν , ′= coeficiente de Poisson no plano de isotropia e na direção normal a ele e G G , ′=módulo de elasticidade transversal no plano de isotropia e, também,
( ) 2 441211 SSS =− ou
( )ν+=
12EG
Portanto, apenas 5 (cinco) coeficientes de Sij são independentes.É importante
salientar que a expressão do módulo de elasticidade transversal G indica a
isotropia no plano.
22
MATERIAL ISOTRÓPICO
Um material isotrópico é aquele em que todos os planos que passam por
um ponto são isotrópicos (planos de simetria), ou seja, todas as direções são
elasticamente equivalentes e principais. Assim:
νν =′=′=′ e , GGEE ,
tornando-se o tensor Sij , com o uso dos coeficientes de engenharia:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
=
G
G
G
EEE
EEE
EEE
Sij
100000
010000
001000
0001
0001
000 1
νν
νν
νν
Portanto, o tensor Sij passa a ter apenas 2 (dois) coeficientes
independentes, ou seja, o módulo de elasticidade longitudinal E e o coeficiente de Poisson ν , sendo que o módulo de elasticidade transversal G é definido como:
( ) 12 ν+=
EG
Alguns autores utilizam as constantes de Lamé λ μ e para caracterizar um
material isotrópico e seus coeficientes do tensor constitutivo, como por exemplo
( )jkiljlikklijijklC δδδδμδλδ ++= ,
onde:
23
ijiijj CC ==λ ; ( ) ( )ijiiiijjiiii CCCC −=−=21
21μ
e:
Ainda a respeito dos materiais isotrópicos, mais particularmente ao coeficiente de
Poisson , tem-se:
0 1 ; 21 0 <<−<< νν ,
BIBLIOGRAFIA
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ijijkkij μεδλεσ 2+=