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Des fractions aux nombres décimaux
C. Clanché – IEN La Tour du Pin16 novembre 2011
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Introduction
La logique du plan de formations en circonscription
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Constats � évaluations CM2
� C’est dans les domaines des nombres et du calcul que l’écart avec les résultats départementaux est le plus important : 4,5 points
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Constats � des « petites » choses déjà entreprises
� Un simple rappel des attendus des programmes
� présentation de qqs outils (notamment Ste Blandine, M. Bec : CM2)
� Les difficultés persistent : un réel temps de formation est nécessaire
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Pour apporter des réponses…
� Dans quel ordre aborder les fractions et les décimaux ? Pourquoi ?
� De quelle manière aborder les fractions ?
� A quoi sert un nombre décimal ?
� Quels sont les travaux jugés intéressants, facilitateurs, importants…?
� Quels sont les principaux obstacles repérés, les difficultés récurrentes constatées chez les élèves ? Les écueils à éviter pour l’enseignant ?
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Une présentation en 5 rubriques
1. Les connaissances que l’enseignant doit maîtriser à son niveau
2. L’identification des connaissances à faire acquérir aux élèves
3. Les obstacles aux apprentissages
4. Des outils pour l’enseignant (séances, progressions, analyse de manuels…)
5. L’évaluation des acquis des élèves
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Précision sur la notation
Pour des raisons « techniques »
13
sera notée 1/3 dans cette présentation
Mais avec les élèves il convient d’utiliser
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Pourquoi de nouveaux nombres ?
Mise en situation : À vous de jouer !
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Pourquoi de nouveaux nombres ?1. Pour répondre de manière
satisfaisante à des problèmes de partage– Partage de l’unité
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Pourquoi de nouveaux nombres ?1. Pour répondre de manière
satisfaisante à des problèmes de partage– Partage de l’unité
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Pourquoi de nouveaux nombres ?
1. Pour répondre de manière satisfaisante à des problèmes de partage– Partage de l’unité (2)
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Pourquoi de nouveaux nombres ?
1. Pour répondre de manière satisfaisante à des problèmes de partage– Partage de l’unité (2)
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Pourquoi de nouveaux nombres ?
Partage de la pluralité
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Pourquoi de nouveaux nombres ?
Partage de la pluralité
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Pourquoi de nouveaux nombres ?
2. Pour répondre de manière satisfaisante des problèmes de proportion
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Pourquoi de nouveaux nombres ?
2. Pour répondre de manière satisfaisante des problèmes de proportion
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Pourquoi de nouveaux nombres ?2. Pour répondre de manière
satisfaisante des problèmes de proportion
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Pourquoi de nouveaux nombres ?2. Pour répondre de manière
satisfaisante des problèmes de proportion
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Pourquoi de nouveaux nombres ?3. Pour repérer de manière précise un
point sur une droite
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Pourquoi de nouveaux nombres ?3. Pour repérer de manière précise un
point sur une droite
Mettons les fractions au même dénominateur.1/5 = 12 / 601/3 = 20 /60
et 1 /4= 15 / 60.
L'écart entre 1/3 et 1/5 est égal à 8 / 60. Chaque graduation correspond donc à 1/60
La réponse est donc le b.
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Un nouvel ensemble de nombres
Les résultats à tous ces problèmes peuvent s’exprimer sous la forme d’un quotient de 2 entiers.
� Un nouvel ensemble de nombres est créés :
les rationnels
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Mais un ensemble de spécialistes
� Lourdeur des techniques de calcul
1/4 + 2/10 = ?
� Comparaison des nombres rationnels difficiles
5/7 ? 7/9
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Une nouvelle forme d’écriture
Un fractionnement de l’unité en puissances de 10
� L’écriture à virgule Simon Stevin dit Simon de Bruges
1548 – 1620
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Un système facilitateur…
� Lourdeur des techniques de calcul
1/4 + 2/10 = ?
0,25 + 0,2 = ?
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Un système facilitateur…� Comparaison des nombres rationnels
difficiles5/7 ? 7/9
0,70 < 5/7 < 0,750,75 < 7/9 < 0,80
5/7 < 7/9
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…mais pas généralisable
22/8 = 275/100 = 2,75mais
22/7 = 3,142857142857…
� Un ensemble « intermédiaire » de nombres
Les nombres décimaux
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L’ensemble des décimaux
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D’autres problèmes � d’autres nombres
Les pythagoriciens
� c’est un nombre incommensurable
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Rationnel ?A = 0,7162162162162…
� Oui !Répétition de 3 décimales � x 10001000A = 716,216216216…
999 A � 716,216216216…- 0,7162162162162…
999A = 715,5Donc A = 7155 / 9990 = 53 / 74
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D’autres problèmes � d’autres nombres
Johann Heinrich Lambert
en 1761 �
π n’est pas un rationnel
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Des problèmes encore non résolus !
e n’est pas rationnel mais qu’en est-il deπ + e
?
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Attention, tous les rationnels ne sont pas des décimaux…
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En résumé
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Les compétences à faire acquérir aux élèves
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Et dans les progressions des programmes ?
Rien (ou presque) en CE2 mais un certain nombre d’approches ou de notions abordées au CE2 facilitent l’ introduction des fractions et des nombres décimaux dans la suite du cycle.
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Les pré-requisLe partage égalitaire
La droite gradu ée
La multiplication
Avoir des connaissances sur les fractions « sociales »
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Les fractions
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Les difficultés des élèves par rapport aux fractions
a / b ���� a,b
5 / 45 / 85
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Les difficultés des élèves par rapport aux fractions
6
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Les difficultés des élèves par rapport aux fractions
Attention à ne pas brûler les étapes : 2/3 = 2:3 � programme du collège
À l’école, 2/3 c’est 2 fois 1/3
ou 2 unités partagées en 3 parts égales
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Deux situations déclenchantes
1 - Les bandes � vidéo
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Le lancement de l’activité
La nécessité d’utiliser de nouveaux nombres
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Des découvertes à consolider
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Des problèmes de lexique
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Vers l’abstraction
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Un enseignement qui véhicule des représentations…
Toute pratique enseignante s’accompagne de représentations spécifiques : c’est de la responsabilité du maître de les repérer pour proposer des activités correctives .
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Deux situations déclenchantes
2 – Les robots � déroulé de séquence
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La situation
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Découvertes des propriétés
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LES DECIMAUX
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64
Difficult és d’apprentissage
LES DECIMAUX
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Evaluation CM2 - 2010
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Dix-huit unités et trois centièmes� 18,03� 18,003� 18,3� 318� 3018� 18,300� 018 003� 300,18� 0,18 …
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67
LES OBSTACLES À L’APPRENTISSAGE
DUS AU CONTENU MATHÉMATIQUE LUI-MÊME
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68
I- DIFFICULTÉS LIÉES À LA RUPTURE AVEC LES NOMBRES ENTIERS
1. Passage du discret au continu
2. Un même nombre peut avoir plusieurs écritures / plusieurs écritures peuvent désigner un même nombre
3. Les nombres décimaux ne se comptent pas dans l’ordre
4. Adaptation de certaines techniques opératoires
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69
II-DIFFICULTÉS LIÉES À L’ÉCRITURE ET À LA LECTURE DES NOMBRES
Pas de parallélisme !
324,58
unité unitième
dixième
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Problème de lecture de la partie décimale
324,582
Cinq centquatre-vingt- deux
Pourtant il y ahuit centièmes
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71
LES OBSTACLES À L’APPRENTISSAGE
DUS AUX MÉTHODES D’APPRENTISSAGE
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72
RECOLLEMENT DE DEUX ENTIERS
Pour certains élèves:
32,48 c’est 32 et 48
32,48 + 16,87 = 48,135et
32,48 >32,7 car 48>7
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73
NOTION DE PARTIE DÉCIMALE
La partie décimale de 32,48 ?
La partie décimale de 32,048 ?
la « partie décimale » de 32,48 48 48 centièmes
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LES CONCEPTIONS DES ELEVES
� Les « théorèmes » élèves� Des règles d’action
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75
LES CONCEPTIONS DES ÉLÈVESQUELQUES THÉORÈMES « ÉLÈVES »
Le suivant de 3,6 est 3,7
Entre 5,12 et 5,13 il n’y a aucun nombre
Quand on multiplie, cela augmenteQuand on divise, cela diminue
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76
LES CONCEPTIONS DES ÉLÈVESQUELQUES RÈGLES D’ACTION
0,4 x 0,3 = 0,12 (juste)
mais
0,3 x 0,3 = 0,9 (faux)
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![Page 102: Des fractions aux nombres décimaux 3 - ac-grenoble.fr · l’introduction des fractions et des nombres décimaux dans la suite du cycle. Les pré-requis ... La multiplication Avoir](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012923/5b977c6709d3f2c05f8cc914/html5/thumbnails/102.jpg)
Ordre sur les décimaux
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Les erreurs des élèves
21,5 < 4,01 car 215 < 401
4,15 < 3,21 car 15 < 21
5,043 > 5,15 car 043 � 3 chiffres15 � 2 chiffres
5,15 > 5,8 car 15 > 8
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Les procédures à envisager et …à systématiser
2,70
comparaison par normalisation des parties décimales
2,7 ? 2,13
Les " 0 inutiles " deviennent " utiles " !
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Les procédures à envisager et …à systématiser
comparaison de gauche à droite
2 ,2 7 5 ? 2 ,2 7 3 7
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Les procédures à envisager et …à systématiser
la mise au point
la justification de l’une ou l’autre
permet aux élèves d’en contrôler l’utilisation
donne l’occasion d’un travail intéressant sur la compréhension de l’écriture décimale.
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La droite graduée : un support privilégié
![Page 108: Des fractions aux nombres décimaux 3 - ac-grenoble.fr · l’introduction des fractions et des nombres décimaux dans la suite du cycle. Les pré-requis ... La multiplication Avoir](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012923/5b977c6709d3f2c05f8cc914/html5/thumbnails/108.jpg)
Mais attention aux réussites trompeuses
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Mais attention aux réussites trompeuses
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Les droites graduées
Nombres à placer : 2,7 1,5 1,95 2,03 2,3 2,15 2,20
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Réinvestir des outils utilisés pour les entiers
Pour montrer qu’en comptant de 0,1 en 0,1 après 0,9 vient 1 et non 0,10 :
� Les abaques :� Les groupements par 10, les échanges
� La calculatrice :� Compteur mécanique
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http://www.scalpa.info/logiciels_news.php
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Opérations et décimaux
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Addition et soustraction
Technique acquise sur les entiers mais…
37,8 + 12,2
Peu de problèmes
3,785 + 12,2
plus de problèmes
Connaissances instables sur les décimaux
Faut-il aligner par la droite comme on le leur a répété depuis
le CE1?
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Addition et soustraction
Mêmes difficultés d’alignement
Technique instable même sur les entiers
Pour poser 12,6 – 5,73 � 12,6 = 12,60
Techniques instables même sur les entiers
+
+
+
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Multiplication
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Les limites de l’addition réitérée
8 x 5 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8
Mais 8,2 x 1,7 = ???
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Alors que …
� 5,4 x 6,3
� Et même… ¾ x 4/5 =
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Rappel
� CM1 � multiplication d’un décimal par un entier
� CM2 � multiplication de 2 nombres décimaux
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Multiplication Technique opératoire
Multiplication d’un nombre décimal par un entier
Partir d’une courte situation problèmeUn croissant coûte 0,85 €. Quel est le prix de 6 cr oissants ?
Une explication possible de la technique (je fais lje fais l ’’opop éération sans tenir ration sans tenir compte de la virgule et je la positionne au rcompte de la virgule et je la positionne au r éésultatsultat) tient au fait que le résultat de 0,85 x 6 peut être obtenu en calculant d’abord 85 x 6, puis en divisant le résultat par 100, car 0,85 c’est 85 div isé par 100.
Le travail sur cette technique suppose donc une bon ne compréhension des nombres décimaux (valeur des chiffres en foncti on de leur position dans l’écriture à virgule), ainsi que celle de la mu ltiplication et de la division par 10, 100, 1000. L’appui sur la monnaie et le calcul « en centimes » se ront facilitateurs.
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Multiplication de nombres décimaux
Calcul de 12,7 12,7 ×× 35,235,2
1 2 , 71 2 , 7
××
3 5 , 23 5 , 2
2 5 42 5 4 2 2 ×× 127127
6 3 5 6 3 5 00 5500 ×× 127127
3 8 1 3 8 1 0 00 0 330000 ×× 127127
4 4 7 0 44 4 7 0 4,,
Multiplication Technique opératoire
Tout se déroule comme dans l’exemple précédentJe fais l’opération sans tenir compte de la virgule et je la positionne au résultat.
En fait, je vais multiplier 127 dixièmes par 352 dixièmes
Le résultat doit donc être exrpimé en centièmes
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On pourra aussi s’appuyer sur les fractions décimales et les aires
1/10 x 1/10 = 1/100
1/10
1/10
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Multiplication Aide m émoire
Un relevé des erreurs éventuelles ?
Exemple 1 : 1,54x1000
Application à tort de la règle des entiers : 1,54000 Multiplication de la partie entière : 1000,54 et/ou de la partie décimale 1000,54000
Exemple 2 : multiplication d’un décimal par un entier 7 x 0,3 ≠ 0,21
Exemple 4 : des résultats où seule la virgule est fautive. On peut se demander si l'alignement des virgules des deux nombres donnés n'induit pas un alignement de la virgule pour le résultat.
Exemple 3 : multiplication d’un décimal par un entier ou de deux décimauxLe résultat (le produit) ne semble pas possible car inférieur. Ex : Tu achètes un morceau de comté du Jura pesant 0,5 kg. Le kg de fromage coûte 10,60 €. Combien vas-tu payer ?
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Le jeu de l’oie
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La division
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4 2 3 7 2 3
12 3
-
1 9 3
8
-
9 7
4
9 2
5
1 8 4
-
Quotient de la division de 4237 par 23 est 184 et il reste 5.
On peut écrire :
4237 = 23 × 184 + 5
Division décimale de deux entiers (au programme du CM1)
4237 : 23 = 184 reste 5
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4 2 3 7 2 3
12 3
-
1 9 3
8
-
9 7
4
9 2
5
1 8 4
Sommaire
05 c’est 50
dixièmes
0,
, 2
4 6
-
-
4
0
0
4 dixièmes c’est
40 centièmes
1
2 3-
1 7
Quotient décimal approché au centième : 184,21
On peut écrire :
4237 = 23 × 184,21 + 0,17
Division décimale de deux entiers (au programme du CM1)
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Une recherche importanteLe nombre de chiffres de la partie entière du quotient
23 x 1 < 4237 < 23 x 10 � NON23 x 10 < 4237 < 23 x 100 � NON23 x 100 < 4237 < 23 x 1000 � OUI
Donc la partie entière du quotient sera comprise entre 100 et 1000
� 3 chiffres
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4 2 , 3 7 2 3
2 3-
1 9 3
-
9 7
9 2
5
1 8 4
Sommaire
Division d’un décimal par un entier (au programme du CM2)
1 , 8 4
-
Quotient décimal approché au centième : 1,84
On peut écrire :42,37 = 23 × 1,84 + 0,05
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Pour synthétiser
Quoi ? Quand ?
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Progression « synthétique»
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Progression « complète»
Cf. documents
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Et dans les manuels ?
� Porter un regard d’expert pour choisir les manuels en connaissance de cause
� Compléter le manuel si nécessaire
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![Page 148: Des fractions aux nombres décimaux 3 - ac-grenoble.fr · l’introduction des fractions et des nombres décimaux dans la suite du cycle. Les pré-requis ... La multiplication Avoir](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012923/5b977c6709d3f2c05f8cc914/html5/thumbnails/148.jpg)
L’évaluation
Quelques outils
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Un outil oublié� banqoutils
Cycle 3 ou collège
Fraction ou décimal
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Un exemple
![Page 151: Des fractions aux nombres décimaux 3 - ac-grenoble.fr · l’introduction des fractions et des nombres décimaux dans la suite du cycle. Les pré-requis ... La multiplication Avoir](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012923/5b977c6709d3f2c05f8cc914/html5/thumbnails/151.jpg)
http://www.crem.be/DL/Decimaux/fasc4_Decival.pdf
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prof
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Le travail à conduire en équipe
� Compléter sa formation :Téléformation mathématiques
� Analyser le manuel en usage� Adapter, modifier sa progression� Fabriquer des jeux, construire des
séances,…� Proposer des activités
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Le travail à conduire en équipe
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