descomposición en fracciones simples, factorización

Descomposición en fracciones simples

1.- Preliminares

Sean dos polinomios de coeficientes reales y en la misma indeterminada1:

y , decimos que el cociente:

es una expresión racional o fracción racional en esa indeterminada. El

polinomio se denomina numerador y el polinomio no nulo se llama

denominador.

Equivalencia de fracciones racionales

Las expresiones racionales: y son equivalentes si y

sólo si se cumple :

.

Las fracciones: y no son equivalentes ya que:

.

Por contra las fracciones racionales: y son equivalentes ya que:

1 La indeterminada es la letra que indica la variable.

Definición 1

Ejemplo 1

1Preliminares


.

Las fracciones racionales se pueden clasificar en dos grandes tipos de

acuerdo a los grados de los polinomios que forman los numeradores y

denominadores.

Recordemos que el grado de un polinomio es el mayor exponente que se encuentra

en el conjunto de sus monomios.

Fracción propia y fracción impropia

Una expresión racional F xP x

Q x( )

( )

( ) se denomina propia si el grado del

denominador es superior al grado del numerador. En el caso de que el grado

del denominador sea menor o igual que el del numerador se dice que la

fracción racional es impropia.

Observación 1

Definición 2

2

Dados los polinomios de coeficientes reales: P x x x( ) 2 3 2 y Q x x( ) 3 13 ,

la expresión racional en x : x x

x

2

3

3 2

3 1

es una fracción propia ya que el grado

del denominador (3) es mayor que el del numerador (2). Observemos que la

división planteada no es posible en forma euclídea.

También es una expresión racional el cociente inverso: 3 1

3 2

3

2

x

x x

, obteniéndose una

fracción impropia y en este caso sí es posible la división euclídea que tiene por

cociente :3 9x y por resto: 21 17x (sugerimos al lector que lo compruebe), lo que

permite escribir:

3 1 3 9 3 2 21 173 2x x x x x .

La división euclídea es aquella que se plantea en términos enteros. Es

decir, la que sólo hace intervenir a números enteros o a polinomios.

Puede hacerse de dos formas: por exceso y por defecto. En el caso de

los números, se acaba cuando el resto es menor, en valor absoluto, que

el divisor y en el caso de los polinomios se acaba cuando el grado del

resto es menor que el del denominador. Por ejemplo, si queremos

efectuar la división euclídea por defecto de 2 entre 4 , resulta :

2 4

2 0

Ejemplo 2

Observación 2

3Preliminares


mientras que la división euclídea por exceso puede ser:

2 4

2 1

No admitiremos la división:

2 4

6 2

ya que en ella el valor absoluto del resto es mayor que el del divisor.

Veamos otro ejemplo para aclarar ideas:

4 3

1 1

Esta es la división usual (por defecto), mientras que:

4

2 2

es la división por exceso. No admitiremos la siguiente por defecto:

4 3

4 0

ni tampoco la siguiente por exceso:

4 3

5 3

pues en ambos casos el valor absoluto del resto supera al del divisor.

4

Las fracciones impropias pueden expresarse siempre como la suma

de un polinomio y una fracción propia. El algoritmo que lleva a cabo esta

descomposición es simple y consta de los siguientes pasos:

i) División euclídea del polinomio numerador P x( ) entre el polinomio

denominador Q x( ) con obtención del resto R x( ) y del cociente C x( ) :

P x( ) Q x( )

R x( ) C x( )

ii) Expresión del numerador en la forma cociente por divisor más resto.

Esto es:

P x C x Q x R x( ) ( ) ( ) ( ) .

iii) Sustitución del numerador en la fracción racional por la expresión

anterior y posterior simplificación. En símbolos:

P x

Q x

C x Q x R x

Q xC x

R x

Q x

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( )

Veamos cómo se aplica el algoritmo anterior a la fracción impropia del

ejemplo 2. Ya hemos realizado la división euclídea (paso (i)) y también la

expresión del numerador en la forma cociente por divisor más resto (paso

(ii)):

3 1 3 9 3 2 21 173 2x x x x x .

Sólo falta sustituir en el numerador la expresión anterior (paso (iii)) y simplificar:

3 1

3 2

3 9 3 2 21 17

3 2

3 9 3 2

3 2

21 17

3 23 9

21 17

3 2

3

2

2

2

2

2 2 2

x

x x

x x x x

x x

x x x

x x

x

x xx

x

x x

.

Vemos que la fracción impropia inicial es suma del polinomio 3 9x y la fracción

propia 21 17

3 22

x

x x

.

Ejemplo 3

5Preliminares


En el conjunto de todas las fracciones racionales podemos definir

operaciones de suma y producto sin más que usar las operaciones comunes

para polinomios. En efecto, la suma de las fracciones racionales: P x

Q x

S x

T x

( )

( ),

( )

( ) es

la fracción racional:

P x

Q x

S x

T x

P x T x Q x S x

Q x T x

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

mientras que su producto es:

P x

Q x

S x

T x

P x S x

Q x T x

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

En el caso de que los denominadores sean iguales tenemos, para la suma:

P x

Q x

S x

Q x

P x Q x Q x S x

Q x Q x

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

y podemos simplificar sacando como factor común:

P x

Q x

S x

Q x

P x Q x Q x S x

Q x Q x

P x S x

Q x

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

.

Es decir, la suma de fracciones racionales con el mismo denominador es una

fracción racional del mismo denominador y numerador suma de numeradores.

En la práctica, esta propiedad es la que se usa y los cálculos para la suma se

suelen realizar mediante la reducción de las fracciones racionales a otras

equivalentes con denominador común.

6

La suma de las expresiones: 2 3

1 12

3x

x

x

x

; se obtiene mediante una reducción

a común denominador (obsérvese el paralelismo existente con las

fracciones de números enteros). La reducción a común denominador precisa

de una descomposición factorial previa de estos denominadores:

x x x2 1 1 1

x x 1 1 .

Para lograr la descomposición del polinomio x2 1 hemos utilizado la conocida

igualdad:

a b a b a b 2 2 ,

Ejemplo 4

7Preliminares


mientras que para x 1 la descomposición ha sido inmediata. Llegados a este punto,

recordemos que el mínimo común múltiplo se obtiene como el producto de los

factores comunes al mayor exponente y los factores no comunes. Así pues:

mcm ,x x x x x2 21 1 1 1 1 .

Ahora transformamos las fracciones en otras equivalentes pero con denominador

común. Primero, colocamos el mínimo común múltiplo como denominador común:

2 3

1 1 1 12 2

3

2

x

x x

x

x x

; .

A continuación, dividimos el mcm entre los denominadores iniciales y multiplicamos el

resultado de la división por el numerador inicial:

x x x x x2 21 1 2 3 1 2 3 2 3 :

x x x x x x x2 3 3 4 31 1 1 : .

Los resultados obtenidos son los nuevos numeradores:

2 3

1

2 3

1 1 12 2

3 4 3

2

x

x

x

x

x

x

x x

x

; .

Las fracciones equivalentes se sustituyen en la expresión de la suma y se opera :

2 3

1 1

2 3

1 1

2 3

12

3

2

4 3

2

4 3

2

x

x

x

x

x

x

x x

x

x x x

x

.

El ejemplo 4 nos muestra la importancia práctica de la descomposición

factorial de un polinomio. La siguiente sección mostrará cómo llevar a cabo

esta descomposición.

8

2.- Descomposición factorial de polinomios con coeficientes reales

El primer resultado que enunciaremos es el llamado lema de la división

euclídea.

Lema de la división euclídea

Sean S x( ) (dividendo) y P x( ) (divisor) dos polinomios, existen otros dos

polinomios únicos: Q x( ) (cociente) y R x( ) (resto) tales que:

S x Q x P x R x( ) ( ) ( ) ( ) .

Con la particularidad de que bien el grado de R x( ) es menor que el de P x( ) o

bien R x( ) 0 .

Proposición 1

9Descomposición factorial


Dados el polinomio dividendo: S x x( ) 3 y el polinomio divisor: P x x x( ) 3 2 12

realizamos la división euclídea por defecto (que es la usual):

x3 3 2 12x x

x xx3 22

3 3

x

3

2

9

2

3 32xx

2

3

4

9

2

92x x

x

9

2

9

El resto es: R xx

( ) 9

2

9 y el cociente: Q x

x( )

3

2

9. Vemos que se cumple:

Ejemplo 5

10

xx

x xx3 2

3

2

93 2 1

9

2

9

.

No admitiremos la división euclídea por defecto en la forma:

x3 3 2 12x x

x3 0

pues el resto tiene grado (3) superior al divisor (2). Tampoco admitiremos la división

euclídea por exceso:

x3 3 2 12x x

3 24 3 2x x x x2

3 34 3 2x x x

pues el resto también tiene grado superior al divisor2.

Con las herramientas que hemos definido damos una relación de gran

importancia en el conjunto de los polinomios.

Divisibilidad de polinomios

Un polinomio S x( ) es divisible por otro P x( ) si es posible hallar un polinomio

Q x( ) de forma que: S x P x Q x( ) ( ) ( ) . En este caso, también decimos que P x( ) es

factor de S x( ) o bien que P x( ) es un divisor de S x( ) .

2 Obsérvese que puede n colocarse infinidad de cocientes distintos.

Definición 3



El polinomio S x x( ) 3 1 es divisible por el polinomio x x2 1 ya que:

x x x x3 21 1 1 0 .

Por otro lado, el polinomio S x x( ) 2 1 no es divisible por x 1 ya que:

x x x2 1 1 1 2 .

En otras palabras: x 1 no es factor de x2 1 .

Es claro que todo polinomio tiene como factores (divisores) a él mismo, a la

unidad y a sus respectivos opuestos.

El polinomio x2 1 tiene como factor a sí mismo x2 1 y a la unidad ya que:

x x2 21 1 1 0

Por otro lado, también tiene como factores los opuestos: x2 1 1, .

En el caso de que un polinomio de grado positivo no tenga más factores que

él mismo, la unidad y los respectivos opuestos, se dice que es irreducible o

primo. Hallar si un polinomio de grado positivo3 y coeficientes reales es

irreducible suele resultar complicado. Para ayudarnos en esta tarea

empleamos la llamada regla de Ruffini:

3 En el caso de un polinomio de grado cero (un número) el estudio de su carácter irreducible (primo) se lleva a cabo de la forma usual.

Ejemplo 6

Ejemplo 7

12

Regla de Ruffini

Sea c un número real dado y sea P x( ) un polinomio. Podemos hallar siempre

un único polinomio Q x( ) tal que: P x x c Q x R( ) ( ) , siendo R P c ( ) . Es decir, el

resto de la división euclídea es igual al valor del polinomio P x( ) en el punto c .

Dado el polinomio P x x( ) 2 13 y el número real c 1 , la regla de Ruffini

nos dice que existe Q x( ) tal que

2 1 13x Q x x R ( ) ,

Proposición 2

Ejemplo 8



siendo R 2 1 1 2 1 13( ) . Para hallar el cociente: Q x( ) podemos utilizar la

división euclídea o bien una tabla donde se colocan en la primera fila y, a partir de la

segunda columna, los coeficientes del dividendo: P x x( ) 2 13 en orden decreciente .

En la segunda fila y primera columna se coloca el valor real c 1:

2 0 0 1

c 1

14

A continuación bajamos directamente el primer coeficiente del dividendo a la tercera

fila :

2 0 0 1

c 1

2



y multiplicamos este coeficiente por c 1, colocando el resultado en la segunda fila y

tercera columna:

16

2 0 0 1

c 1 -2

2



Ahora sumamos el resultado del producto con el número que se halla en la fila

superior, colocando el resultado en la tercera fila y tercera columna:

2 0 0 1

c 1 -2

2 -2

El resultado obtenido se multiplica de nuevo por c 1 y se coloca en la segunda fila

cuarta columna:

2 0 0 1

c 1 -2 2

2 -2

y se reitera el proceso hasta agotar las columnas:

2 0 0 1

c 1 -2 2 -2

2 -2 2 -1 (resto)

El valor obtenido en la última fila y última columna ( 1) es el resto y el cociente es un

polinomio de grado inferior en uno al dividendo : gra 2 1 1 3 1 23x , cuyos

coeficientes en orden ascendente son los valores de la última fila (a excepción de la

última columna): 2 2 22x x . Así pues:

2 1 2 2 2 1 13 2x x x x ( ) .

Observaremos que de la regla de Ruffini se deduce el siguiente corolario4,

que suele denominarse teorema del resto.

Si un valor real c es raíz de un polinomio P x( ) entonces el polinomio

P x( ) es divisible por x c .

4 Un corolario es un resultado o proposición que se deduce de forma sencilla a partir de otro resultado o proposición.

Corolario

18

Comprobar que el polinomio P x x( ) 3 1 no es irreducible.

La ecuación:

x3 1 0

tiene como una solución real: c1 . Entonces, de acuerdo con el teorema del resto, el

polinomio x3 1 es divisible por el polinomio x 1 . Realicemos esta división por el

método tabular ya explicado:

1 0 0 -1

1 1 1 1

1 1 1 0 (resto)

En definitiva, podemos escribir:

x x x x3 21 1 1

y el polinomio no es irreducible pues posee como factores elementos distintos de él

mismo y la unidad.

El teorema fundamental de esta sección es:

Ejemplo 9



Descomposición factorial de polinomios de grado

positivo

Todo polinomio de grado positivo y coeficientes reales puede descomponerse

como producto de polinomios irreducibles. Esta descomposición será única si

tenemos en cuenta ciertos convenios.

El lector comprenderá que la descomposición factorial de un polinomio de

grado positivo en irreducibles no puede darse si antes no establecemos la

forma general de estos irreducibles.

Condición necesaria (no suficiente) de polinomio

irreducible

Un polinomio de coeficientes reales, grado positivo e irreducible ha de tener

primer o segundo grado.

Proposición 3

Proposición 4

20

¿Es irreducible el polinomio 2 13x ?

La respuesta es no, ya que se trata de un polinomio de tercer grado y es necesario

que un polinomio sea de grado uno o dos para ser irreducible. ¿Cómo podemos

descomponer factorialmente este polinomio en irreducibles?. Para ello, hacemos uso

del teorema del resto y buscamos las soluciones reales de la ecuación:

2 1 03x .

Afortunadamente, esta ecuación se resuelve con sencillez:

2 1 01

2

1

23 3 3x x x .

Ejemplo 10



Sabemos entonces que 2 13x es divisible por x 1

23 y llevamos a cabo esta división

mediante la regla de Ruffini:

2 0 0 -1

1

23 2

1

23 2

1

23

2

2

1

22

1

213

3

22

1

23 2

1

23

2

0 (resto)

22

Nos queda pues la expresión:

2 11

22 2

1

22

1

23 3 2 3 3

2

x x x x

.



¿Es esta la expresión en irreducibles de 2 13x ? En primer lugar, admitimos

que todos los polinomios de la forma x a (donde a es un número real) son

irreducibles. Por ello:

24

x

1

23

es un polinomio irreducible. Pero, ¿es irreducible el otro factor:

2 21

22

1

22 3 3

2

x x

?

Si lo fuera, tendríamos ya una descomposición de 2 13x en irreducibles.

Aplicamos de nuevo el teorema del resto a el factor 2 21

22

1

22 3 3

2

x x

. Primero

resolvemos la ecuación:

2 21

22

1

202 3 3

2

x x

y vemos que no tiene soluciones reales ya que su discriminante es negativo:

b ac2 3

2

3

2

4 21

24 2 2

1

20 .

Esto significa que no tiene como factores a polinomios de primer grado en la forma:

x a . La única opción que nos queda es que sea divisible por un polinomio irreducible

de grado dos. Fácilmente se ve que:

2 21

22

1

22

1

2

1

22 3 3

2

2 3 3

2

x x x x

por lo que es divisible por el polinomio:

x x2 3 3

21

2

1

2

.

Convenimos en que este último es irreducible ya que no tiene ninguna raíz real

(puesto que comparte las raíces del polinomio 2 21

22

1

22 3 3

2

x x

) y no es divisible por

ningún otro polinomio de grado dos distinto de él mismo y sus múltiplos. En resumen,

una descomposición factorial de 2 13x es:



2 1 21

2

1

2

1

23 3 2 3 3

2

x x x x

.

También podríamos escribir:

2 11

22 2

1

22

1

23 3 2 3 3

2

x x x x

o bien:

2 1 2 21

2

1

2

1

23 3 2 3 3

2

x x x x

pero sólo admitiremos la primera descomposición como válida.

A continuación, daremos unas reglas prácticas para descomponer

factorialmente un polinomio P x( ) de coeficientes reales y grado positivo.

i) Si el polinomio es de grado uno y tiene la forma x c , entonces es

irreducible. Si es de grado uno y tiene la forma : ax b , lo expresaremos en la

forma: a xb

a

, siendo ésta su descomposición factorial.

ii) Si el polinomio es de grado dos o superior buscamos una raíz real de la

ecuación P x( ) 0 .

iii) Si c es la raíz obtenida en el paso anterior, sabemos que el polinomio es

divisible por el factor irreducible x c , por lo que pasamos a efectuar la

división por medio de la regla de Ruffini .

iv) Si en la regla de Ruffini obtenemos de cociente Q x( ) , podemos escribir la

igualdad: P x Q x x c( ) ( ) y pasamos a analizar la irreductibilidad del

polinomio Q x( ) con los criterios expuestos en los pasos anteriores.

26

La descomposición factorial está muy ligada a la resolución de ecuaciones

por lo que en muchas ocasiones no podremos llevarla a cabo al faltarnos

medios de resolución de éstas. En el caso de que la ecuación tenga

coeficientes enteros es aplicable el siguiente resultado: Truco



“si una ecuación a x a x a x ann

nn

11

1 0 0....... tiene una solución racional p

q,

entonces p divide a an (coeficiente director) y q divide a a0 (término independiente).”

Veámoslo con un ejemplo. Sea la ecuación de coeficientes enteros:

2 3 2 02x x .

Si tuviera una solución racional p

q entonces p divide a 2 y q divide a 2 . Escribimos

todas las posibilidades para ambos:

p q 1 1 2 2 1 1 2 2, , , , , ,

y las combinamos:

p

q

1

1

1

1

1

2

1

2

1

1

1

1

1

2

1

2

2

1

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2, , , , , , , , , , , , , , , .

Eliminando repeticiones nos quedan:

p

q

1 11

2

1

22 2, , , , ,

probamos con ellas en la ecuación y vemos que sólo nos sirve x01

2 pues:

21

23

1

22 2

1

4

3

22

1

2

3

22 2 2 0

2

.

El lector no debe extraer la conclusión de que con este método siempre va a

encontrar una raíz. En todo caso, si la ecuación tuviera una raíz racional este método

permitiría hallarla (al menos en teoría) pero si no tiene raíz racional no nos lleva a

ningún lado.

Descomponer factorialmente el polinomio x x3 2 1 .

Según las reglas prácticas, como el polinomio es de grado mayor que dos,

buscaremos una raíz real de:

x x3 2 1 0 .

Ejemplo 11

28

Observamos que los coeficientes son todos enteros y podemos ensayar el

truco anterior. Si tuviera raíz racional p

q entonces p divide a 1 (coeficiente

director) y q divide a 1 (término independiente). En resumen:



p

q

1

1

1

1

1

1

1

111, , , , .

Al sustituir en la ecuación el valor 1 resulta 1 2 1 1 03 , y hemos encontrado una raíz

real. Ahora dividimos por la regla de Ruffini el polinomio entre x 1

1 0 -2 1

1 1 1 -1

1 1 -1 0 (resto)

Esto quiere decir que:

x x x x x3 22 1 1 1 .

Nos toca ahora analizar la irreductibilidad del polinomio x x2 1 . Como es de segundo

grado, buscamos una raíz real de:

x x2 1 0 .

Analizamos el discriminante de esta ecuación de segundo grado y vemos que:

b ac2 4 1 4 1 1 1 4 5 0 .

Esto nos indica que la ecuación tiene dos soluciones reales:

xb

ax

b

a1 22

1 5

2 2

1 5

2

, .

Aplicando la regla de Ruffini con la primera raíz:

1 1 -1

1 5

2

1 5

2 1 5

2

1 5

2

5 1

2

5 1

41

2 2

2

5

1 1 5

2

0 (resto)

Obtenemos:

x x x x2 11 5

2

1 5

2

5 Como es suma por diferencia resulta una diferencia de cuadrados que luego simplificamos

30

y ésta es la descomposición del factor de segundo grado. Añadiendo este resultado al

inicial, quedará:

x x x x x x x x3 22 1 1 1 11 5

2

1 5

2

.

Muchas veces podemos abreviar el proceso de descomposición utilizando el

siguiente lema:

“si c1 , c2 , ......., cm m n son raíces reales de la ecuación

a x a x a x ann

nn

11

1 0 0....... , entonces resulta que:

a x a x a x a a x c x c x c Q xnn

nn

n m

11

1 0 1 2....... ...( ) ( ) ,

donde Q x( ) es un polinomio de grado n m y an es el coeficiente director. Veamos un

ejemplo. Para el polinomio de grado tres:

2 6 43 2x x x ,

Truco



comprobamos que los valores c1 0 y c2 1 son raíces de la ecuación:

2 6 4 03 2x x x

por lo que podemos escribir:

2 6 4 2 0 13 2x x x x x Q x ( )

donde el polinomio Q x( ) es de grado 3 2 1 .

Se infiere que, en el caso de conocerse todas las raíces, el polinomio queda ya

descompuesto factorialmente al aplicarle este truco. Así, en el ejemplo anterior vimos

que las raíces de x x2 1 0 eran:

c c1 21 5

2

1 5

2

y el coeficiente director era uno. Por ello:

x x x x2 1 11 5

2

1 5

2

.

Una vez expuestas las definiciones básicas y los conceptos más relevantes

de la descomposición factorial pasamos ahora a la explicar los métodos para

la descomposición en fracciones simples de una fracción racional.

32

3.- Métodos de descomposición de fracciones simples

Los procedimientos que vamos a explicar sólo se aplican a fracciones

impropias por lo que si tenemos de partida una fracción propia deberemos

utilizar el algoritmo visto en la sección preliminar (páginas 2 y 3) y una vez

expresada la fracción impropia como suma de un polinomio y una fracción

propia, los aplicaremos a esta última.

Sea P x

Q x

( )

( ) una fracción propia, esto es: gra graQ n m P :

1. Planteamos la ecuación Q x( ) 0 , la cual tendrá un total de n raíces6

(tantas como su grado)

2. Analizamos la naturaleza de las raíces de la ecuación. Pueden darse

los casos siguientes:

a) Las n raíces c cn1,..., son reales y simples, esto es, no se repite

ninguna. En tal caso podemos descomponer factorialmente el

polinomio Q x( ) en la forma: Q x a x c x cn( ) ....... 17, donde a es el

coeficiente director del polinomio Q x( ) . La fracción racional queda

entonces descompuesta mediante:

P x

Q x

A

a x c

A

x c

A

x cn

n

( )

( ).......

1

1

2

2

, siendo A A An1 2, ,...., números

reales a determinar .

b) Las n raíces c cn1,..., son reales pero hay al menos una

múltiple. Para simplificar, supongamos que c c1 2 y que el resto de

raíces reales son distintas de éstas y entre sí. Como la raíz anterior

se repite dos veces, decimos que es una raíz real doble. Ahora la

descomposición factorial del polinomio Q x( ) quedará

Q x a x c x c x cn( ) ....... 1

2

3 y la fracción racional se descompone

: P x

Q x

A

a x c

A

x c

A

x c

A

x cn

n

( )

( ).......

1

1

2

1

23

3. Si hubiera sido

6 Este resultado se llama “Teorema fundamental del Álgebra”.7 Ver el truco de la página 16.

33Métodos de descomposición en fracciones simples


c c c1 2 3 entonces habría quedado en la siguiente forma:

P x

Q x

A

a x c

A

x c

A

x c

A

x c

A

x cn

n

( )

( ).......

1

1

2

1

23

1

34

4

.

c) Existen raíces complejas. Este es el caso más difícil y lo

explicaremos aparte.

Ejemplo 12

34

Descomponer en fracciones simples la fracción racional propia: 6

2 12x .

Planteamos la ecuación:

2 1 02x

y la resolvemos:

2 1 0 2 11

2

1

22 2 2x x x x .

Las raíces son reales y simples y el denominador queda descompuesto en la forma:

2 1 21

2

1

22x x x

y podemos escribir:

6

2 12

1

2

1

2

21 2

x

A

x

A

x

,

donde los valores A A1 2, son números reales que pasamos a determinar. Primero,

efectuamos la suma del miembro de la derecha de la anterior igualdad:

A

x

A

x

A x

x x

A x

x x

A x A x

x1 2

1 2 1 2

2

21

2

1

2

1

2

21

2

1

2

21

2

21

2

1

2

1

22

1

2

2 1

quedando:

6

2 1

1

22

1

2

2 12

1 2

2x

A x A x

x

.

Para que estas fracciones sean iguales habrán de ser iguales los numeradores:

61

22

1

21 2

A x A x .

En este punto tenemos dos opciones: desarrollar el miembro de la derecha de la

igualdad o bien asignar valores adecuados a x con el fin de simplificar la expresión y

despejar directamente los parámetros. Utilizaremos el segundo método (llamado de

las raíces):



Para x 1

2 es:

61

2

1

22

1

2

1

22

1

21 2 1

A A A ,

luego:

6 2

1

2

6

21

2

3

1

2

3

1

2

31

2

3 21 1

A A

.

Para x 1

2 es:

61

2

1

22

1

2

1

22 2

1

21 2 2

A A A ,

de donde:

6 2 2

1

26 4

1

2

6

41

2

3

21

2

3 2

22 2 2

A A A

.

36

Una vez obtenidos los valores de A1 y A2 sustituimos:

6

2 1

3 2

21

2

3 2

21

2

2xx x

y esta es la descomposición factorial en fracciones simples:

Descomponer en fracciones simples la fracción propia:

x

x x x x

2

3 2 2

1

2 1 7 12

.

La ecuación:

x x x x 2 1 7 12 03 2 2

es equivalente a las ecuaciones:

x 2 03 x 1 0

2 x x2 7 12 0 .

La primera tiene por solución una raíz real triple: c1 2 ; la segunda tiene por solución

una raíz real doble: c2 1 ; y la tercera tiene por solución dos raíces reales simples:

c c3 43 4 , . Según las reglas prácticas, la descomposición en fracciones simples será

de la forma:

Ejemplo 13



x

x x x x

A

x

A

x

A

x

A

x

A

x

A

x

A

x

2

3 2 2

1 22

33

4 52

6 71

2 1 7 12 2 2 2 1 1 3 4

.

38

Llevamos a denominador común las fracciones simples:

x

x x x x

A x x x x

x x x x

A x x x x

x x x x

2

3 2 2

12 2

3 22

2

3 2

1

2 1 7 12

2 1 3 4

2 1 3 4

2 1 3 4

2 1 3 4

A x x x

x x x x

A x x x x

x x x x

32

3 24

3

3 2

1 3 4

2 1 3 4

2 1 3 4

2 1 3 4

A x x x

x x x x

A x x x

x x x x

A x x x

x x x x

53

3 26

3 2

3 27

3 2

3 2

2 3 4

2 1 3 4

2 1 4

2 1 3 4

2 1 3

2 1 3 4.

Podríamos operar los denominadores de las fracciones obtenidas e igualar el

denominador resultante al denominador ( x2 1 ) de la fracción de partida, pero la

longitud de los cálculos nos disuade. Por ejemplo, para el numerador de la primera

fracción del miembro de la derecha:

A x x x x A x +A x - A x + A x + A x - A x+ A12 2

16

15

14

13

12

1 12 1 3 4 17 7 76 116 48 .

En lugar de esto, arrastramos toda la expresión y utilizamos el método de las raíces:

x A x x x x A x x x x A x x x21

2 22

23

21 2 1 3 4 2 1 3 4 1 3 4

A x x x x A x x x A x x x43

53

63 2

2 1 3 4 2 3 4 2 1 4

A x x x73 2

2 1 3 .

Para x 2 se eliminan todos los sumandos menos el tercero y resulta:

2 1 2 1 2 3 2 4 5 305

302

32

3 3 A A A .

Para x 1 se eliminan todos los sumandos menos el quinto:

1 1 1 2 1 3 1 4 2 202

20

1

102

53

3 3 3

A A A A .

Para x 3 se eliminan todos los sumandos menos el sexto:

( )

3 1 3 2 3 1 3 4 10 200010

2000

1

2002

63 2

6 6 6A A A A .

Para x 4 se eliminan todos los sumandos menos el séptimo

( ) 4 1 4 2 4 1 4 3 17 540017

54002

73 2

7 7A A A .

El resto de parámetros: A A A1 2 4, , se puede obtener sustituyendo los parámetros

conocidos y asignando valores sencillos a x .

Pasaremos ahora a explicar el caso en el que el denominador tiene raíces

complejas. En primer lugar, enunciaremos una proposición que clarificará un

poco nuestro trabajo.



Existencia de raíces complejas

Si un polinomio de coeficientes reales tiene una raíz compleja: z1 , entonces

también tiene como raíz a su conjugado: z1 .

El conjugado de un número complejo z u iv 8 es aquel complejo que tiene

la misma parte real ( u ) y opuesta parte imaginaria ( v ): u iv . Por

ejemplo, el conjugado del complejo 3 i es 3 i .

La proposición 5 es de suma importancia pues nos advierte que las raíces

complejas en un polinomio de coeficientes reales siempre van por parejas.

El polinomio x2 1 tiene una raíz compleja: z i 0 ya que:

0 1 1 1 1 02 2 i i ( ) .

Por tanto, también tiene por raíz a su conjugado: z i 0 .

Hallar las raíces del polinomio x x2 1 .

La ecuación x x2 1 0 tiene por soluciones:

8 La i es la unidad imaginaria siendo igual a i 1 .

Proposición 5

Observación 3

Ejemplo 14

Ejemplo 15

40

x b b ac

a

2 24

2

1 1 4 1 1

2 1

1 3

2.

Teniendo en cuenta que 1 i podemos expresar las raíces de números negativos

como números complejos:

xi

1 3

2

1 1 3

2

1 1 3

2

1 3

2

( ) .

De esta manera, las raíces del polinomio son los complejos conjugados:

x i x i1 21

2

3

2

1

2

3

2 ; .

Las raíces complejas también pueden ser simples o múltiples. Trataremos

en primer lugar el caso de raíces complejas simples.

Sea P x

Q x

( )

( ) una fracción propia, esto es: gra graQ n m P :

1. Planteamos la ecuación Q x( ) 0 , la cual sabemos que tendrá un total de

n raíces (reales o complejas y contando cada una según su multiplicidad).

2. Supongamos que una de sus raíces es compleja simple, por ejemplo:

c i1 2 3 , y el resto de raíces es real. Por la proposición 5, también

hallaremos la raíz compleja conjugada: c i2 2 3 . Si generalizamos los

resultados ya expuestos9, podríamos descomponer factorialmente el

polinomio denominador en la forma:

Q x a x i x i x c x c( ) .... 2 3 2 3 3 4 , donde a es el coeficiente director

de Q x( ) , y c c3 4, ,... son las raíces reales. Pero esto no es correcto pues nos

interesa trabajar con polinomios que tengan coeficientes reales. Debemos

transformar los factores complejos en factores reales y esto se consigue

mediante la agrupación de los factores con raíces conjugadas. En nuestro

ejemplo:

Q x a x i x i x c x c a x i x i x c x c( ) .... .... 2 3 2 3 2 3 2 33 4 3 4

a x i x i x c x c a x i x c x c2 3 2 3 2 33 42 2

3 4.... .....

a x i x c x c a x x c x c2 9 2 9 12 23 4

23 4..... ( ) .....

a x x c x c2 923 4 .....

9 Ver truco de la página 16.



donde hemos usado la conocida fórmula: A B A B A B 2 2 y la igualdad:

i2 1 .

3. De acuerdo con la descomposición en factores del denominador, la

fracción se descompone en fracciones simples :

P x

Q x

A x A

a x

A

x c

A

x c

( )

( ).......

1 2

23

3

4

42 9.

42

Descomponer en fracciones simples : x

x x x

2

1 12 .

Planteamos la ecuación:

Ejemplo 15



x x x2 1 1 0

que equivale a las ecuaciones:

x x2 1 0 x 1 0 .

La primera de ellas tiene dos raíces complejas simples conjugadas (ver ejemplo 14):

c i c i1 21

2

3

2

1

2

3

2

;

y la segunda de ellas tiene una raíz real simple:

c3 1 .

El denominador tiene pues la descomposición:

x x x x i x i x2 1 11

2

3

2

1

2

3

21

que puede darse en forma de coeficientes reales mediante la agrupación de las raíces

complejas:

x x x x i x i x x i x22 2

1 11

2

3

2

1

2

3

21

1

2

3

21

x i x x x x x

1

2

3

21

1

21

3

41

1

2

3

41

22

2 2 2

.

Finalmente, la descomposición en fracciones simples tendrá la forma:

x

x x x

A x A

x

A

x

2

1 1 1

2

3

4

121 2

23

.

Para hallar los coeficientes A A A1 2 3, , operamos el miembro de la izquierda:

x

x x x

A x A x A x

x x

2

1 1

112

34

12

34

12

1 2 3

2

2 .

Igualamos numeradores:

x A x A x A x

2 1

1

2

3

41 2 3

2

44

y utilizamos el método de las raíces (ver ejemplos 12 y 13):

Para x 1 resulta

1 2 1 1 1 11

2

3

4

3

2

3

4

9

4

3

431 2 3

2

3

2

3 3

A A A A A A ,

de donde: 3 3 13 3 A A . Una vez sabemos este valor lo sustituimos en la expresión

del numerador

x A x A x x A x A x x

2 1 1

1

2

3

41

1

2

3

41 2

2

1 2

2

.

Para x 0 tenemos:



0 2 0 0 1 01

2

3

4

1

4

3

411 2

2

2 2

A A A A ,

de donde: 2 1 1 2 12 2 A A .

Sustituimos el valor del parámetro en el numerador:

y buscamos el otro parámetro mediante la asignación (se pueden hacer otras

asignaciones pero esta da resultados sencillos):

,

de donde: y la descomposición en fracciones simples es:

Para las raíces complejas múltiples se sigue un proceso análogo al caso de

raíces reales. Tan sólo hay que tener en cuenta que hay que agrupar las raíces

complejas conjugadas para obtener expresiones reales. Nada mejor que un

ejemplo para ilustra lo dicho.

46

Vamos a efectuar la descomposición de la fracción impropia

Ejemplo 16



.

En primer lugar, resolvemos la ecuación

.

Probamos con los divisores del término independiente : . Entonces, por la regla

de Ruffini tenemos que la división de este polinomio por es

Resultando

.

Ahora bien, es fácil comprobar que

.

Por lo que la descomposición factorial en polinomios de coeficientes reales es

.

Si el lector no ve sencilla la última transformación puede optar por resolver la

ecuación bicuadrada

.

Para ello, hacemos el cambio , quedando

y de aquí

.

Obtenemos una raíz doble: , y al deshacer el cambio de variable:

,

quedando

.

La descomposición es entonces

.

Sólo resta hallar los coeficientes pero esto lo dejamos a cargo del lector.

48

descomposición en fracciones simples, factorización

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