description of kinematics of a wheeled mobile robot · pdf fileproblem of modeling kinematics...

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 57, ISSN 1896-771X

5

OPIS KINEMATYKI MOBILNEGO ROBOTA KOŁOWEGO Z KOŁAMI TYPU MECANUM

Zenon Hendzel1a, Łukasz Rykała1b

1Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki, Politechnika Rzeszowska [email protected], [email protected]

Streszczenie W pracy omawiane jest zagadnienie modelowania kinematyki mobilnego robota kołowego z kołami typu meca-num. Koła mecanum należą do nowego typu kół stosowanych w mobilnych robotach kołowych. Składają się ze swobodnie obracających się rolek umieszczonych na obwodzie koła. Zastosowanie omawianych konstrukcji w mo-bilnych robotach kołowych znacznie zwiększa zakres możliwych ruchów robota w odniesieniu do konwencjonal-nych kół. W pracy zamieszczono również wyniki badań symulacyjnych zadania odwrotnego kinematyki i jego re-alizację.

Słowa kluczowe: mobilne roboty kołowe, kinematyka, koła mecanum

DESCRIPTION OF KINEMATICS OF A WHEELED MOBILE ROBOT WITH MECANUM WHEELS Summary

Problem of modeling kinematics of a wheeled mobile robot with mecanum wheels is discussed. The mecanum wheels belong to the new type of wheels used in the mobile robots. Each wheel consists of a freely rotating rollers placed around the circumference of the wheel. Application of mentioned construction in the mobile robots highly enhances the range of robots movements comparing to the conventional wheels. The article also shows results of the simulations of the inverse kinematics problem and its realization.

Keywords: wheeled mobile robots, kinematics, mecanum wheels

1. WSTĘP

Wraz z rozwojem technologii stosowanych w robotyce mobilne roboty kołowe (w skrócie mrk) znajdują zasto-sowanie w coraz większej liczbie obszarów. Niektóre z zastosowań, tj. poruszanie się w wąskich i zatłoczonych przestrzeniach, wymagają od mobilnych robotów dużej manewrowości. [3, 10].

Problem manewrowości mrk można rozwiązać stosując tzw. koła omnikierunkowe. Są to specjalnie zaprojekto-wane koła składające się z piasty oraz określonej liczby rolek zamontowanych na obwodzie piasty. Wspomniana liczba rolek może różnić się pośród rozmaitych projektów wymienionych kół, natomiast każda z nich może swo-bodnie obracać się wokół własnej osi. Omawiane koła można scharakteryzować za pomocą kąta δ występujące-go pomiędzy osią obrotu koła i osią obrotu rolki. War-tość nachylenia wspomnianych osi różni się pośród roz-

maitych projektów kół. Do dwóch najczęstszych typów kół omnikierunkowych należą:

„klasyczne” koła omnikierunkowe, koła mecanum (rys. 1). [1, 2, 9, 10]

Rys. 1. Model CAD koła mecanum


6

Gdy wymieniony kąt δ wynosi 90°, to taki typ kół na-zywa się „klasycznymi” kołami omnikierunkowymi. Natomiast w przypadku, gdy omawiany kąt δ wyno-si 45°, konstrukcja nosi nazwę kół mecanum (rys. 2). Koła mecanum są również nazywane tzw. kołami szwedzkimi, ze względu na pochodzenie ich twórcy, szwedzkiego inżyniera Bengt Ilona. Projekty rozpatry-wanych kół są oparte na patencie wymienionego inżynie-ra z 1975 r., który pracował wówczas dla firmy MECA-NUM AB.[1, 2, 4, 5]

Rys. 2. Model koła mecanum z zaznaczonym graficznie kątem δ

W porównaniu do konwencjonalnych mrk, roboty omni-kierunkowe posiadają trzy stopnie swobody podczas ruchu na płaskiej powierzchni, tzn. umożliwiają m.in. ruch wzdłużny, poprzeczny punktu charakterystycznego robota oraz obrót całej platformy robota wokół jej środ-ka. [2, 3, 5, 9, 10]

2. Opis kinematyki koła mecanum

Jako model koła omnikierunkowego bierze się pod uwagę obracający się „nieskończenie cienki dysk” o promieniu R z geometrycznym środkiem bryły w punkcie 01 (rys. 3.). Na obwodzie wspomnianego dysku znajduje się swobodnie obracająca się rolka o promieniu r. Z kolei punkt M stanowi geometryczny środek rolki. Przyjęto następujące zależności: |O1M|= R oraz |MA|= r. Następnie w modelu założono, iż koło mecanum podczas ruchu zawsze styka się z podłożem w widocznym na rys. 3 punkcie A. Zakłada się dodatkowo, iż koło podczas ruchu zawsze pozostaje w płaszczyźnie pionowej. Rozpa-trywany problem dotyczy kół mecanum, dlatego przyj-muje się również, że wartość kąta δ jest stała i wynosi zgodnie z opisem w rozdziale 1 45°. Ponadto punkt M jest początkiem układu współrzędnych x1y1z1 związanego z rolką. W wymienionym modelu przyjęto, iż ϕ1 jest kątem obrotu własnego koła mecanum oraz ψr1 jest kątem obrotu własnego rolki. Z kolei punkt S jest punk-tem charakterystycznym platformy mrk, który jest rów-nież początkiem układu współrzędnych xpypzp związane-go z platformą mrk. Dodatkowo założono, iż punkt S porusza się z prędkością v , natomiast kąt β opisuje kąt obrotu platformy wokół osi przechodzącej przez punkt S.

Ponadto przyjęto następujące związki wektorowe (1), (2) oraz (3):

SA = s ı + s ȷ (1)

O A = −(R + r)k (2)

MA = −rk (3)

Występujące w powyższych zależnościach wektory ı , ȷ , k są wersorami układu współrzędnych xpypzp, natomiast sx oraz sy to odległości będące rzutami wektora SA na osie xp oraz yp. [9]

Rys. 3. Mechaniczny model koła mecanum

Związek pomiędzy układami współrzędnych x1y1z1, a xpypzp widocznych na rys. 3 można zapisać w postaci następującego wyrażenia:

xyz

= R ,

xyz

(4)

Po wprowadzeniu macierzy rotacji R , do zależności

(4) powyższe wyrażenie można zapisać jako (5): [6, 7 8] xyz

=cosδ sinδ 0

−sinδ cosδ 00 0 1

xyz

(5)

Koło mecanum porusza się po poziomej płaszczyźnie ruchu bez poślizgu, co opisuje zależność (6):

v = 0 (6)

Ruch koła mecanum po płaskiej powierzchni jest przy-padkiem ruchu złożonego, tak więc prędkość v jest zdefiniowana poprzez równanie (7):

v = v + v (7)

W powyższym wyrażeniu v jest wektorem prędkości unoszenia punktu S, natomiast v jest wektorem pręd-kości względnej. Po rozwinięciu wyrażenia opisującego v otrzymuje się zależność (8):

v = v + βk × SA + φ ȷ × O A + ψ ȷ × MA (8)

Wprowadzając do równania (8) zależności (1), (2) oraz (3), uzyskuje się wyrażenie (9):

ZENON HENDZEL, ŁUKASZ RYKAŁA

7

v = v + βk × s ı + s ȷ + φ ȷ × −(R + r)k +ψ ȷ × −rk (9)

Po wykonaniu operacji mnożeń macierzowych w powyż-szej zależności otrzymuje się wyrażenie (10):

v = v + β s ȷ − s ı + φ −(R + r)ı +ψ r sinδȷ − cosδı (10)

Po zrzutowaniu powyższej zależności na osie układu xpypzp otrzymuje się następujący układ równań:

v − βs − φ (R + r) − ψ rcosδ = 0

v + βs + ψ rsinδ = 0 (11)

Z pierwszego równania występującego w układzie rów-nań (11) można wyznaczyć ψ :

ψ = v − βs − φ (R + r) (12)

Z kolei wyrażenie (12) można wstawić do drugiego rów-nania układu równań (12) i tym samym otrzymać na-stępującą końcową zależność:

v tgδ + v + β s − s tgδ = tgδφ (R + r) (13)

Fakt, iż prędkość kątowa ψ nie występuję w równaniu (13), wynika z tego, iż rolka stanowi człon bierny i przy założeniu, iż wymieniony element może się swobodnie obracać, to nie wpływa on na kinematykę koła meca-num.

3. Opis kinematyki obiektu

Rozważany mrk składa się z platformy, czterech kół mecanum oraz tej samej liczby silników prądu stałego. Kola mecanum są z kolei przymocowane do wałów po-szczególnych silników. Prototyp wspomnianego mrk został pokazany na rys. 4. Konstrukcja obiektu wymaga zastosowania czterech niezależnie sterowanych silników. W przypadku omawianej konstrukcji duże znaczenie ma również właściwe rozmieszczenie kół mecanum. W bieżącej konfiguracji przyjęto, iż koła mecanum znaj-dujące się po przeciwległej części robota mają identycz-nie zorientowany kąt δ, co również zostało przedstawio-ne na rys. 5.

Podczas ruchu koła mecanum obracają się z prędkością kątową φ , gdzie i oznacza nr kola (i = 1, 2, 3, 4). Śred-nica koła mecanum R oraz rolki r jest wartością stałą i równą dla wszystkich czterech kół. Dodatkowo założono, że mrk obraca się wokół punktu charakterystycznego S o kąt β. Szerokość platformy opisywanego obiektu to 2sy, natomiast odległości pomiędzy punktem S, a środ-kami przedniej i tylnej osi: P1, P2 wynoszą w obu przy-padkach sx.

Rys. 4. Prototyp mrk z kołami mecanum

Rys. 5. Model mrk z kołami mecanum przedstawiony w rucho-mym układzie współrzędnych

Przyjmując zgodnie z wcześniejszym opisem, iż mrk posiada cztery koła mecanum o konfiguracji widocznej na rys. 5., to równanie (13) można uogólnić do opisu wymienionych kół (i = 1, 2, 3, 4) w postaci zależno-ści (14):

v tgδ + v + β s − s tgδ = tgδ φ (R + r)

(i = 1, 2, 3, 4) (14)

W rezultacie otrzymuje się końcowo zależności (15), (16), (17), (18), które opisują kinematykę mrk w rucho-mym układzie współrzędnych xpypzp.

v − v − β s + s = φ (R + r) (15)

v + v + β s + s = φ (R + r) (16)

v + v − β s + s = φ (R + r) (17)

v − v + β s + s = φ (R + r) (18)

Następnie rozważony zostanie czterokołowy mrk z kołami mecanum opisany w nieruchomym układzie współrzędnych (rys. 6). Osie xyz są osiami nieruchome-go układu odniesienia, z kolei osie xpypzp są osiami ukła-du współrzędnych sztywno powiązanego z platformą robota. Punkt S zgodnie z wcześniejszym opisem jest punktem charakterystycznym mrk.


8

Rys. 6. Model mrk z kołami mecanum przedstawiony w nieru-chomym układzie współrzędnych

Związek pomiędzy układem xpypzp a nieruchomym ukła-dem odniesienia xyz (rys. 6) jest następujący:

xyz

= R , T ,

xyz

(19)

Z kolei po wykonaniu operacji iloczynu macierzowego macierzy rotacji R , oraz macierzy translacji T , występujących w zależności (19) otrzymuje się poniższą zależność:

xyz

=cosβ sinβ x cosβ + y sinβ

−sinβ cosβ −x cosβ + y sinβ0 0 1

xyz

(20)

W przypadku, gdy punkt S pokrywa się z początkiem układu współrzędnych, zależność (20) można uprościć do postaci (21): [6, 7, 8]

xyz

=cosβ sinβ 0

−sinβ cosβ 00 0 1

xyz

(21)

Ponadto, stosując zależność macierzową (22) do równań (15)-(18), otrzymuje się opis kinematyki mrk w nieru-chomym układzie współrzędnych w postaci poniższych równań:

−x (cosβ + sinβ) + y (cosβ − sinβ) + β s + s + (R + r)φ = 0 (22)

x (cosβ − sinβ)+ y (cosβ + sinβ) + β s + s − (R + r)φ = 0 (23)

x (cosβ − sinβ)+ y (cosβ + sinβ) − β s + s − (R + r)φ = 0 (24)

−x (cosβ + sinβ) + y (cosβ − sinβ) − β s + s + (R + r)φ = 0 (25)

Zaletą omawianej konstrukcji jest możliwość wykonywa-nia dowolnie zorientowanych ruchów translacyjnych pkt. char. robota na płaskim podłożu. W związku z tym faktem w dalszej analizie przyjęto, iż platforma. mrk porusza się ze stałą konfigurację, więc kąt β przyjmuję wartość stałą, niezmienną w czasie. Takie podejście znacznie upraszcza równania (22)-(26) do następującej postaci:

−x (cosβ + sinβ) + y (cosβ − sinβ) + (R + r)φ = 0 (26)

x (cosβ − sinβ) + y (cosβ + sinβ) − (R + r)φ = 0 (27)

x (cosβ − sinβ) + y (cosβ + sinβ) − (R + r)φ = 0 (28)

−x (cosβ + sinβ) + y (cosβ − sinβ) + (R + r)φ = 0 (29)

Z równań (26)-(29) można znaleźć rozwiązanie zadania odwrotnego kinematyki, które przedstawiają poniższe równania:

φ = ( )[x (cosβ + sinβ) + y (−cosβ + sinβ)] (30)

φ = ( )[x (cosβ − sinβ) + y (cosβ + sinβ)] (31)

φ = ( )[x (cosβ − sinβ) + y (cosβ + sinβ)] (32)

φ = ( )[x (cosβ + sinβ) + y (−cosβ + sinβ)] (33)

Zależności (30)-(33) umożliwiają obliczenie prędkości kątowych kół 1-4 potrzebnych do realizacji dowolnej trajektorii ruchu pkt. char. mrk ze stałą konfiguracją na płaskim podłożu.

4. Wyniki badań numerycznych

Przedstawiona w poprzednim rozdziale analiza kinematyki omawianego obiektu została użyta do przeprowadzenia symulacji numerycznych rozwiązania zadania odwrotnego mrk z kołami mecanum. Badania przeprowadzono w środowisku Matlab/Simulink. W symulacjach przyjęto następujące wymiary geometryczne platformy robota: R = 0.37[m], r = 0.13[m], sy = 0.158[m], sx = 0.095[m].

W symulacjach przyjęto również aproksymację założonego profilu prędkości pkt. char. mrk w postaci następującej zależności:

v = v ( ) − ( ) (34)

gdzie: vust[m/s] to prędkość pkt. char. robota w stanie ustalonym, c [1/s] to wsp. wpływający na szybkość zmiany prędkości podczas fazy rozpędzania oraz hamowania, na-tomiast tr [s] oraz th [s] to parametry opisujące średni czas kolejno rozpędzania i hamowania. Zależność (34) jest cią-głą funkcją wybraną w celu uzyskania gładkości pochodnej [6, 7]. W badaniach przeprowadzono szereg symulacji przedsta-wiających wybrane strategie ruchowe mrk z kołami meca-num. Początkowe trzy symulacje przedstawiają ruch pkt. char. mrk ze stałą konfiguracją (β(t) = 0): w kierunku dodatniego zwrotu osi x (sym. nr 1), y (sym. nr 2) oraz trajektorię prostoliniową pkt. char. mrk nachyloną pod kątem α = [rad] do osi x układu współrzędnych. Z kolei

dwie ostatnie symulacje przedstawiają ruch pkt. char. robota po trajektorii prostoliniowej nachylonej pod kątem α do osi x: ze stałą, lecz tym razem niezerową wartością kąta β(t) = − [rad] (sym. nr 4) oraz ze zmienną w czasie wartością kąta β (sym. nr 5). Wyniki badań numerycznych zostały zaprezentowane na rys. 7, 8, 9, 10 oraz 11.


9

a)

b)

c)

d)

Rys. 7. Przebiegi parametrów kinematycznych symulacji nr 1: a) trajektoria pkt. char. mrk z graficznym odzwierciedleniem konfiguracji platformy mrk w trakcie symulacji, b) współrzędne pkt. char. mrk oraz kąt obrotu ramy, c) rzuty prędkości pkt. char. mrk oraz prędkość kątowa plat-formy ramy, d) prędkości kątowe kół i = ( 1, 2, 3, 4)

Symulacja nr 1 przedstawia jeden z elementarnych ru-chów robota omnikierunkowego: ruch wzdłuż osi x („jazda do przodu”). Trajektoria ruchu pkt. char. mrk wraz z graficznym zaznaczeniem konfiguracji platformy mrk) na początku i końcu symulacji są widoczne na rys. 7a. Znacznik "przedniej" części mrk (legenda

rys. 7a) przedstawia stronę obiektu znajdującą się po-między kołami nr 1 i 2 i dotyczy również analogicznych wykresów sporządzonych podczas symulacji nr 2, 3, 4 oraz 5. Niejednostajne przebiegi kinematyczne w tym przypadku dotyczą zmiany parametrów związanych z osią x (rys. 7b, rys. 7c). Rozwiązaniem zadania odwrot-nego kinematyki jest w tym przypadku przebieg prędko-ści kątowej widocznej na rys. 7d, identycznej dla wszystkich czterech kół.

a)

b)

c)

d)


0 5 10 15-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Przebiegi xs(t), ys (t) oraz (t)

t[s]

x s[m],

y s[m], [

rad]

xs

ys,

0 5 10 15-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Przebiegi x´s(t), y

`s(t) oraz `(t)

t[s]

x s[m/s

], y` s[m

/s], ` [ra

d/s]

x`s

y`s , `

0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35Przebiegi prędkośći kątowych kół nr 1,2,3,4

t[s]

1` [rad/

s],

2` [rad/

s],

3` [rad/

s],

4` [rad/

s]

1` , 2

` , 3` , 4

`

0 5 10 15

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Przebiegi xs(t), ys(t) oraz (t)

t[s]

x s[m

], y s

[m], [

rad]

xs,

ys

0 5 10 15-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Przebiegi x´s(t), y`

s(t) oraz `(t)

t[s]

x` s[m

/s],

y` s[m/s

], ` [ra

d/s]

y`s

x`s,

`

0 5 10 15

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Przebiegi prędkośći kątowych kół nr 1,2,3,4

t[s]

1` [rad/

s],

2` [rad/

s],

3` [rad/

s],

4`[ra

d/s]

2` , 3

`

1` , 4

`


10

Symulacja nr 2 przedstawia drugi z podstawowych ru-chów robota omnikierunkowego: ruch wzdłuż osi y („jazda w bok”). Trajektoria ruchu pkt. char. mrk, zgodna z wcześniejszym opisem, jest widoczna na rys. 8a. Ponadto na rys. 8a zaznaczono graficznie konfigura-cję platformy mrk na początku i końcu symulacji. Z kolei niejednostajne przebiegi kinematyczne w tym przy-padku dotyczą zmiany parametrów związanych z osią y (rys. 8b, rys. 8c). Charakterystyczne dla tego przypadku jest to, iż pary przebiegi prędkości kątowych kół znajdu-jących się po przeciwległych stronach platformy robota muszą być sobie równe, tj. pary przebiegów prędkości kół: 1,4 oraz 2,3 (rys. 8d).

a)

b)

c)

d)


Z kolei symulacja nr 3 przedstawia kolejne możliwości omnikierunkowego: ruchu („jazda na ukos”). Trajektoria ruchu pkt. char. mrk jest zgodna z zależnością (35) oraz widoczna na rys. 9a. Ponadto na rys. 9a zaznaczono graficznie konfigurację platformy mrk na początku i końcu symulacji.

= (35)

Przedstawione przebiegi kinematyczne w tym przypadku dotyczą zmiany parametrów zarówno związanych z osią x jak również z osią y (rys. 9b, rys. 9c). Rozwiązanie zadania odwrotnego kinematyki w postaci przebiegów prędkości kątowych poszczególnych kół jest widoczne na rys. 9d. Na podstawie ostatniego wymienionego rysunku można stwierdzić, iż ruch „po ukosie” jest możliwy, gdy pary prędkości kątowych przeciwległych kół: 1,4 oraz 2,3 będą miały różne wartości prędkości kątowych w stanie ustalonym.

a)

0 5 10 15-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Przebiegi xs(t), ys(t) oraz (t )

t[s]

x s[m],

y s[m], [

rad]

xs

ys

0 5 10 15-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16


`s(t) oraz `(t )

t[s]

x` s[m/s

], y` s[m

/s], ` [ra

d/s]

`

y`s

x`s

0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45


t[s]

1` [rad/

s],

2` [rad/

s],

3` [rad/

s],

4` [rad/

s]

2`, 3

`

1` , 4

`


11

b)

c)

d)


Kolejną symulacją przedstawiającą ruch prostoliniowy punktu charakterystycznego robota jest symulacja nr 4. W omawianej symulacji opisywany jest analogiczny przypadek ruchu (rys. 10a) jak w symulacji nr 3 (rys. 9a), z tą różnicą, iż zmieniona została wartość kąta obrotu ramy robota: β(t) = − [rad] (rys. 10b). Można to również zauważyć na graficznie zaznaczonej konfigu-racji platformy mrk na początku i końcu symulacji (rys. 10a). W związku z założoną wartością kąta obrotu ramy robota, pochodna wspomnianego parametru wynosi zero (rys. 10c). Z kolei prędkości kątowe poszczególnych kół niezbędne do realizacji założonej trajektorii zostały przedstawione na rys. 10d.

a)

b)

c)

d)


0 5 10 15-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


t[s]

x s[m

], y s[

m], [

rad]

xs

ys

0 5 10 15-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16


`s (t) oraz `(t)

t[s]

x s[m/s

], y` s[m

/s], ` [ra

d/s]

y`s

`

x`s

0 5 10 15

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4


t[s]

1` [rad

/s],

2` [rad/

s],

3` [rad

/s],

4` [rad/

s]

2` , 3

`

1` , 4

`

0 5 10 15-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


t[s]

x s[m],

y s[m], [

rad]

xs

ys

0 5 10 150

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Przebiegi x´s(t), y`

s(t) oraz `(t)

t[s]

x` s[m/s

], y` s[m

/s],

` [rad/

s]

y`s

x`s

`

0 5 10 15

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


t[s]

1` [rad/

s],

2` [rad/

s],

3` [rad/

s],

4` [rad/

s]

2`

3`

1`

4`


12

Ostatnią symulacją, przedstawiającą również ruch pro-stoliniowy punktu charakterystycznego mrk, jest symu-lacja nr 5. W omawianym przypadku dokonano zmiany parametru β. W rozpatrywanym przypadku omawiany parametr zmienia się w czasie zgodnie z opisywanym wcześniej założonym profilem prędkości (zależność (35)). Trajektoria punktu charakterystycznego pozostaje bez zmian w odniesieniu do symulacji 4 (rys. 11a), zmienia się jedynie graficznie zaznaczona konfiguracja platformy mrk w trakcie trwania symulacji (rys. 11a). Z kolei parametry kinematyczne pokazane na rys. 11b mają ciągłe, niezerowe pochodne (rys. 11c). Kolejną charakte-rystyczną cechą tego rozwiązania jest to, iż pary prędko-ści kątowych kół znajdujących się po przeciwległych stronach platformy mają podobne przebiegi (rys, 11d).

Jak widać na podstawie załączonych symulacji, zaletą mrk z kołami mecanum jest to, iż kąt obrotu jego plat-formy jest trzecim stopniem swobody ruchu mrk i tym samym jest niezależny od dwóch pozostałych stopni swobody. W symulacjach 1-4 skupiono się na analizie ruchu prostoliniowego punktu charakterystycznego mrk, natomiast w symulacji 5 założono, iż mrk porusza się ruchem płaskim, tzn. punkt charakterystyczny mrk porusza się po trajektorii prostoliniowej, natomiast jed-

nocześnie platforma mrk wykonuje ruch obrotowy względem wspomnianego punktu charakterystycznego.

5. Wnioski

W niniejszym artykule przeanalizowano kinematykę czterokołowego mrk z kołami mecanum. Poczynione rozważania teoretyczne umożliwiły przeprowadzenie numerycznych symulacji przedstawiających rozwiązania zadania odwrotnego kinematyki dla ruchu omawianego obiektu badań po zadanej trajektorii z ustaloną konfigu-racją platformy mrk.

Rozważany w bieżącym artykule mrk wyróżnia się możliwością tzw. „omnikierunkowego ruchu”. Dzięki zastosowaniu kół mecanum, omawiany obiekt posiada trzy stopnie swobody ruchu na płaskim podłożu, co sprawia, iż konstrukcja wyróżnia się pośród innych mo-bilnych robotów kołowych z konwencjonalnymi kołami posiadającymi dwa stopnie swobody. [2, 3, 5, 9, 10]

W artykule za pomocą dołączonych wyników symulacji wykazano ogromny zakres możliwych do uzyskania ele-mentarnych ruchów robota, tzn. dowolnie skierowanego na płaskiej powierzchni prostoliniowego ruchu punktu charakterystycznego mrk z dowolną konfiguracją jego platformy.

Literatura

1. Abdelrahman M., Zeidis I., Bondarev O., Adamov B., Becker F., Zimmermann K.: A description of the dynamics of a four-wheel mecanum mobile system as a basis for a platform concept for special purpose vehicles for disabled person. „Shaping the Future by Engineering: 58th Ilmenau Scientific Colloquium, Technische Universität Ilmenau” 2014.

2. Abdelrahman M., Zeidis I., Bondarev O., Adamov B., Becker F., Zimmermann K.: An approach to the kinematics and dynamics of a four-wheeled mecanum vehicles. „Scientific Journal of IFToMM. Problems of Mechanics - special issue” 2014, 2, Vol. 55, p. 27-37.

3. Adascalitei F., Doroftei I.: Practical applications for mobile robots based on mecanum wheels - a systematic survey. „In Proceedings of International Conference on Innovations, Recent Trends and Challenges in Mechatronics, Mechanical Engineering and New High-Tech Products Development–MECAHITECH” 2011, 3, Vol. 11, p. 112-123.

4. Borisov, Alexey V., Alexander A. Kilin, Ivan S. Mamaev.: Dynamics and control of an omniwheel vehicle. „Regular and Chaotic Dynamics” 2015, 2, Vol. 20, p. 153-172.

5. Spyros G. Tzafestas: Introduction to mobile robot control. Elsevier, 2013, 01.

6. Giergiel J. M., Hendzel Z., Żylski W.: Modelowanie i sterowanie mobilnych robotów kołowych, Warszawa: PWN, 2002.

7. Hendzel Z., Gierlak P.: Sterowanie robotów kołowych i manipulacyjnych. Rzeszów: Ofic. Wyd. Pol. Rzesz., 2011.

8. Hendzel Z.: Sterowanie ruchem nadążnym mobilnych robotów kołowych. Rzeszów: Ofic. Wyd. Pol. Rzesz., 1996

9. Wampfler G., Salecker M., Wittenburg J.: Kinematics, dynamics, and control of omnidirectional vehicles with mecanum wheels. „Mechanics Based Design of Structures and Machines” 1989, 2, Vol.17, p. 165-177.

10. Yunan Z., Shuangshuang W., Jian Z., Jie, S.: Research on motion characteristic of omnidirectional device based on mecanum wheel. “International Conference on Electric Information and Control Engineering” 2011, p. 6094-6097

description of kinematics of a wheeled mobile robot · pdf fileproblem of modeling kinematics...

Documents