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DESIGUALDADES E APLICAÇÕES

Prof. Ms Paulo Sérgio C. Lino

http://fatosmatematicos.blogspot.com/

Maio de 2011

Sumário

1 Desigualdades Entre as Médias Aritmética, Geométrica e Harmônica 4

1.1 A Desigualdade Aritmética-Geométrica (Caso n = 2) . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Demonstração Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 A Desigualdade Aritmética-Geométrica (Caso Geral) . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Mínimos Locais Através da Desigualdade AG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 O Ângulo Ótimo de Visualização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 A Desigualdade de Padoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Fatos da Média Harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.1 Construção da Média Harmônica de Dois Números . . . . . . . . . . . 13

1.6.2 Resolução Geométrica do Problema das Torneiras . . . . . . . . . . . . 14

1.7 Desigualdade Triangular e Algumas Consequências . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7.1 Desigualdades Entre as Medianas e o Perímetro de um Triângulo . . . . 16

1.8 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2

Prefácio

Todo homem deveria ler apenas aquilo a que é levado pelas suas inclinações; pois o que lê

como obrigação pouco lhe aproveitará.

Samuel Johnson

As desigualdades desempenham um papel muito importante e profundo na Matemática.

Elas aparecem em vários problemas de olimpíadas matemáticas, nos problemas de máximos e

mínimos e também é essencial no desenvolvimento da Análise Matemática. Neste trabalho,

pretendo apresentar de forma sucinto algumas desigualdades elementares.

Direitos Autorais

O objetivo destas notas é divulgar este

assunto de forma ampla, buscando

deste modo melhorar a Educação do

país. Peço a compreensão de todos

vocês, no caso de copiar qualquer as-

sunto, que seja educado fazendo as

devidas referências bibliográ�cas.

As sugestões serão sempre bem-vindas e podem ser encaminhadas para [email protected]

Atenciosamente,

Prof. Ms. Paulo Sérgio Costa Lino

3

Capítulo 1

Desigualdades Entre as Médias

Aritmética, Geométrica e Harmônica

A média aritmética (MA) e a média geométrica (MG) tem um papel importante em muitos

assuntos da Matemática. Inicialmente, vejamos essas médias com dois termos. Deste modo,

sejam a e b reais positivos. Assim,

MA =a+ b

2e MG =

√ab

Geometricamente, podemos visualizá-las na semi-circunferência abaixo, apesar que elas

surgem em outras �guras planas, tais como no trapézio (S = hMA), onde MA é a média

aritmética das bases e a média geométrica aparece no cálculo da altura relativa a hipotenusa

(h =√mn), onde m e n são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa conforme a �gura

abaixo.

Sendo 2R = a+b, segue que R = MA. Para mostrar que CD = MG, note que o △ACD

é retângulo em C, pois está inscrito numa semi-circunferência. Além disso, △ACD ∼ △BCD,

pois ADC = BDC = 90◦ e , de modo que

CD

a=

b

CD⇒ CD =

√ab

4

Desigualdades e Aplicações Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

1.1 A Desigualdade Aritmética-Geométrica (Caso n = 2)

Na �gura acima, nota-se que MG ≤ MA e a prova desta propriedade baseia simplesmente no

fato que o quadrado de qualquer número real é não-negativo, ou seja, x2 ≥ 0, ∀x ∈ R. De

fato, sendo√a−

√b um número real, então

(√a−

√b)2 ≥ 0 ⇒ a− 2

√a√b+ b ≥ 0 ⇒ MG ≤ MA

e a igualdade é válida se e somente se, a = b (Exercício).

1.1.1 Demonstração Geométrica

Outra forma de provar esta desigualdade é analisando a �gura abaixo.

Exemplo 1.1 Entre todos os retângulos de área S = 9, o perímetro P é maior ou igual a 12.

De fato, sejam a e b os lados desse retângulo. Assim, ab = 9, donde segue que

P = 2(a+ b) = 4 · a+ b

2≥ 4

√ab = 4

√9 = 12

Exemplo 1.2 Determine o valor mínimo da função f(x) = x+ 1/x, para x > 0.

Aplicando a desigualdade aritmética-geométrica, temos

f(x) = x+1

x≥ 2

√1

x· x = 2

para todo x maior que zero e para determinar a abscissa correspondente a esse valor mínimo

ocorre se e somente se x = 1/x, ou seja, x = 1.

5


1.2 A Desigualdade Aritmética-Geométrica (Caso Geral)

Designaremos por Pn a seguinte desigualdade:

Pn :a1 + a2 + . . .+ an

n≥ n

√a1a2 . . . an

Vimos anteriormente a demonstração para n = 2. A desigualdade é verdadeira também para

n = 4, devido o seguinte argumento. Note que

a1 + a22

≥√a1a2 e

a3 + a42

≥√a3a4

Assim,

a1 + a2 + a3 + a44

=1

2

(a1 + a2

2+

a3 + a42

)≥ 1

2(√a1a2 +

√a3a4)

ou seja,a1 + a2 + a3 + a4

4≥ 4

√a1a2a3a4

O caso n = 3 é consequência do caso anterior, fazendo a4 = 3√a1a2a3 . De fato,

a1 + a2 + a3 + 3√a1a2a3

4≥ 4

√a1a2a3(a1a2a3)1/3 = [(a1a2a3)

4/3]1/4 = 3√a1a2a3

donde segue o resultado.

Proposição 1.1 Se a proposição Pn é válida para qualquer inteiro n ≥ 3, então Pn−1 também

é válida.

Demonstração: Por hipótese, sabemos que é válida a desigualdade

a1 + a2 + . . .+ ann

≥ n√a1a2 . . . an (1.1)

Tomando an = (a1a2 . . . an−1)1/(n−1) e substituindo em (1.1), temos:

a1 + a2 + . . .+ ann

=a1 + a2 + . . .+ an−1 + (a1a2 . . . an)

1/(n−1)

n

ou

a1 + a2 + . . .+ an−1 + (a1a2 . . . an−1)1/(n−1)

n≥ n

√(a1a2 . . . an−1)(a1a2 . . . an−1)1/(n−1)

ou seja,

a1 + a2 + . . .+ an−1 + (a1a2 . . . an−1)1/(n−1) ≥ n(a1a2 . . . an−1)

n−1

donde segue o resultado.

�

Proposição 1.2 Se a proposição Pn é válida para qualquer inteiro n ≥ 2, então P2n também

é válida.

6


Demonstração: Note que

a1 + a2 ≥ 2√a1a2, . . . , a2n−1 + a2n ≥ 2

√a2n−1a2n

Somando essas desigualdades membro a membro, temos:

a1 + a2 + . . .+ a2n−1 + a2n ≥ 2(√a1a2 + . . .+

√a2n−1a2n)

Usando a hipótese, segue que

a1 + a2 + . . .+ a2n−1 + a2n ≥ 2n n

√√a1a2 . . .

√a2n−1a2n

Logo,a1 + a2 + . . .+ a2n−1 + a2n

2n≥ 2n

√a1 . . . a2n

�Com estas duas Proposições segue o caso geral. Por exemplo, se quisermos estabelecer

a veracidade para P60, começamos com o resultado para n = 64 que é verdadeiro devido a

Proposição 2 e aplicando a Proposição 1 segue o resultado.

1.3 Mínimos Locais Através da Desigualdade AG

É interessante observar que alguns problemas de minimização podem ser resolvidos através

desta desigualdade. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1.3 Um Galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12100 m2 (Veja

a �gura abaixo). A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 m na frente, 20 m atrás

e 12 m de cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa

ser construído este galpão.

7


Resolução: Sejam x e y a largura e comprimento do galpão respectivamente. Assim, xy =

12100 e a área do terreno é dada por S = (x+ 24)(y + 45). Sendo y = 12100/x, segue que

S(x) = (x+ 24)

(12100

x+ 45

)= 45x+

290400

x+ 13180 ≥ 2

√45x · 290400

x+ 13180

= 1320√2 + 13180

ou seja, pela desigualdade aritmética-geométrica, a área do galpão S(x) é maior ou igual a uma

constante. Portanto, a área mínima é atingida se

45x =290400

x⇒ x2 =

290400

45⇒ x = 44

√10

3≃ 80, 3 m

de modo que y =12100

44√

10/3= 55

√15

2≃ 150, 6 m.

Exemplo 1.4 Um galinheiro na forma retangular de área 18 m2 deve ser construído de tela

de arame. O galinheiro será disposto no terreno de tal forma que um dos lados seja um muro,

conforme a �gura abaixo. Determine suas dimensões de modo que seu perímetro seja mínimo.

Resolução: A área do galinheiro é S = xy = 18 e seu perímetro é P = x + 2y. Isolando y

da primeira equação e substituindo na segunda, temos:

P (x) = x+36

x≥ 2

√x · 36

x≥ 12 m

Logo, o mínimo é atingido se x =36

x⇒ x2 = 36 x = 6 m e y = 18/6 = 3 m.

Exemplo 1.5 Determine o paralelepípedo retângulo de volume constante, cuja área super�cial

seja a menor possível.

Resolução:

Observe que este problema é apresentado nos livros de Cálculo de Funções de Várias Var-

iáveis e resolvido através de derivadas parciais. Vejamos a solução através da desigualdade

aritmética-geométrica.

8


Para isso, note que V = xyz ⇒ z = V/xy. A área total do paralelepípedo retângulo

é dada por S = 2xy + 2xz + 2yz. Substituindo z, nesta expressão, temos:

S = 2xy + 2xz + 2yz = 2xy +2xV

xy+

2yV

xy= 2

(xy +

V

y+

V

x

)Assim, a área mínima é atingida se

xy =V

y=

V

x⇒ x = y e xy2 = V

donde segue que

y3 = V ⇒ y =3√V ⇒ x =

3√V e z =

V3√V 2

=3√V

ou seja, o paralelepípedo é um cubo de aresta 3√V .

1.4 O Ângulo Ótimo de Visualização

Uma aplicação interessante da desigualdade aritmética-

geométrica é a determinação do ângulo ótimo de visualização

de uma estátua ou de outdoor. A forma que iremos resolver

este problema é através da Álgebra e da Trigonometria, mas

para os alunos que estão familiarizados com o Cálculo Diferen-

cial, poderá encontrar o ângulo ótimo através das técnicas de

derivação para máximos e mínimos. Nesta resolução através da

Matemática Elementar é necessário a fórmula trigonométrica:

tan(x+ y) =tanx+ tan y

1− tanx tan y(1.2)

Considere a �gura abaixo, representando uma visão de per�l de um outdoor de altura DE = l

sobre um pedestal de altura CD = h e perpendicular ao solo. O problema consiste em

determinar o maior ângulo de visualização θ deste outdoor.

9


Para achar uma relação matemática do problema, seja BC = x, de modo que

tanα =h

x(1.3)

e

tan(α+ θ) =l + h

x(1.4)

Usando a fórmula (1.2) em (1.3), segue que

l

x+

h

x=

tanα+ tan θ

1− tanα tan θ=

h

x+ tan θ

1− h

xtan θ

Isolando tan θ em função de x, temos

tan θ =l

x+h(h+ l)

x

(1.5)

Sendo a tangente uma função crescente, o ângulo θ é máximo se sua tangente é. Mas

a expressão (1.5) irá maximizar a tangente se o denominador do segundo membro é mínimo.

Pela desigualdade aritmética-geométrica,

x+h(h+ l)

x= 2

[x

2+

h(h+ l)

2x

]≥ 2

√h(h+ l)

e a igualdade ocorre se e somente se x = h(h + l)/x ⇒ x =√

h(h+ l), ou seja, se a

distância do olho do observador ao pé do pedestal é igual a média geométrica de h com h+ l.

Um modo de determinar geometricamente esta distância é a seguinte: Traça-se por O uma

semi-circunferência de raio r = (2h+ l)/2. Por D traça-se uma reta paralela interceptando a

semi-circunferência em G. O segmento CA paralelo a DG é a distância procurada.

10


1.5 A Desigualdade de Padoa

Apresentaremos nesta seção uma desigualdade geométrica descoberta por Alessandro Padoa

(1868− 1937), cujo enunciado é dado por

Proposição 1.3 Se a, b e c são os lados de um triângulo, então

abc ≥ (a+ b− c)(a− b+ c)(b+ c− a)

Demonstração: A prova desta desigualdade, segue da análise das �guras abaixo. Este tipo

de demonstração é conhecido por "provas sem palavras".

�

11


1.6 Fatos da Média Harmônica

De�nição 1.1 Sejam x1, x2, . . . , xn, n números reais positivos. De�nimos a média harmônica

desses números, denotada por MH(x1, . . . , xn) como sendo a razão entre o número de termos

pela soma dos inversos dos termos, ou seja:

MH(x1, . . . , xn) =n

1

x1+

1

x2. . .

1

xn

Para o caso em que há 2 termos, temos

MH(x1, x2) =2

1

x1+

1

x2

=2x1x2x1 + x2

Vejamos algumas propriedades interessantes da média harmônica.

Proposição 1.4 Se a, b e c são três números reais positivos tal quea− b

b− c=

a

c. Então, b é a

média harmônica de a e c.

Demonstração: De fato, isolando b nesta equação, temos

(a− b)c = a(b− c) ⇒ 2ac = (a+ c)b ⇒ b =2ac

a+ c=

21

a+

1

c

�

Proposição 1.5 A média harmônica de dois números x1 e x2 satisfaz a relação MG2 =

MA · MH, onde MA e MG são respectivamente as médias aritmética e geométrica desses

números.

12


Demonstração: De fato,

MH =2x1x2x1 + x2

=(√x1x2)

2

x1 + x22

=MG2

MA

�

Proposição 1.6 A média harmônica é a menor ou igual a média geométrica que é menor ou

igual a média aritmética, ou seja, MH ≤ MG ≤ MA.

Demonstração: Veremos o caso n = 2. O caso geral também é válido.(1

√x1

− 1√x2

)≥ 0 ⇒ 1

x1+

1

x2≥ 2

MG⇒ MH =

21

x1+

1

x2

≤ MG

A outra desigualdade foi apresentada na seção (1.1).

�

Proposição 1.7 Todo termo na série harmônica 1+1/2+1/3+ . . . é a média harmônica entre

o termo precedente e o termo seguinte.

Demonstração: De fato, sejam os termos 1/(n− 1), 1/n e 1/(n+ 1). Assim,

MH

(1

n− 1,

1

n+ 1

)=

21

1/(n− 1)+

1

1/(n+ 1)

=2

n− 1 + n+ 1=

1

n

�

Observação 1.1 É devido a este fato, que esta série recebeu esse nome.

1.6.1 Construção da Média Harmônica de Dois Números

Dados os números a e b, podemos construir a média harmônica desses números do seguinte

modo. Construimos um semi-círculo de hipotenusa AB = MA (média aritmética desses

números). Com um compasso de abertura igual a média geométrica desses números e com a

13


ponta em A, construímos o segmento AC = MG, conforme a �gura acima. Segue que AD

é a média harmônica de a e b, sendo D o pé da perpendicular baixada por C. De fato, sendo

△ADC ∼ △ABC, segue que

AD

AC=

AC

AB⇒ AD =

AC2

AB=

MG2

MA= MH

pela Prop. (1.5).

1.6.2 Resolução Geométrica do Problema das Torneiras

Uma torneira T1 enche um tanque de volume V em t1 horas e a torneira T2, enche o mesmo

tanque em t2 horas. Em quanto tempo as duas torneiras enchem o tanque?

Vejamos inicialmente a solução algébrica. Seja Q1 a vazão da torneira T1, ou seja, Q1 =

V/t1. Analogamente, para a torneira T2, Q2 = V/t2. Abrindo ao mesmo tempo as duas

torneiras, segue que

Q = Q1 +Q2 ⇒ V

t=

1

t1+

1

t2⇒ t =

11

t1+

1

t2

=1

2·MH(t1, t2)

No caso particular, em que t1 = 12 h e t2 = 6 h, temos t = 1/(1/12 + 1/6) = 4 h.

Podemos resolver este mesmo problema geometricamente conforme a �gura acima em que

AB = 12 h, CD = 8 h e a solução é o comprimento de EF = 4 h. Deixo o desa�o para o

leitor, provar este curioso resultado.

1.7 Desigualdade Triangular e Algumas Consequências

Neste seção, iremos apresentar a desigualdade triangular e algumas de suas consequências.

Lema 1.1 (Teorema do ângulo externo) Um ângulo externo de um triângulo é maior que

qualquer um dos ângulos internos não adjacentes.

Demonstração: Seja M o ponto médio de AC e P pertencente ao prolongamento de BM

tal que BM = MP . Pelo caso LAL, △BAM ≃ △PCM . Assim, BAM = PCM . Logo,

14


α > A. Analogamente, tomando o ponto médio de BC e usando o ângulo oposto pelo vértice,

temos α > B.

�

Lema 1.2 Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, então os lados opostos a eles

não são congruentes e o maior dos ângulos está oposto ao maior lado.

Demonstração: Provaremos que se A > B, então a > b. Temos três possibilidades: Ou

a < b ou a = b ou a > b.

• Se a < b, pelo lema anterior, A < B. Absurdo!

• Se a = b, então pelo teorema do triângulo isósceles, segue que A = B. Absurdo!

Logo, a > b.

�

Proposição 1.8 (Desigualdade Triangular) Num triângulo, cada lado é menor que a soma

dos outros dois.

Demonstração: Provaremos que BC < AC + AB. Consideremos um ponto D no pro-

longamento de AC de modo que AD = AB. Assim, DA = AC + AD = AC + AB. Como

15


o triângulo ABD é isósceles, ADB = ABD e como A é interno ao ângulo CBD, temos que

CBD > ABD. Logo, CBD > ADB. Do lema (1.2), segue que BC < AC +AB.

�

Corolário 1.1 Num triângulo ABC, o módulo da diferença entre dois lados é menor que o

terceiro lado.

Demonstração: Sendo b < a + c e c < a + b, segue que b − c < a e c − b < a, ou seja,

|b− c| < a.

�

1.7.1 Desigualdades Entre as Medianas e o Perímetro de um Triângulo

Proposição 1.9 Designando por mA, mB, mC o comprimento das medianas em relação aos

vértices A, B e C de um triângulo e p o seu semi-perímetro, ou seja, p = (a+ b+ c)/2, então

vale as desigualdades:3p

2≤ mA +mB +mC ≤ 2p

Demonstração: Na �gura acima, AB = c, AC = b, BC = a, AE = mA, BF = mB e

CD = mC . Observe que

AG =2

3AE =

2

3mA BG =

2

3BF =

2

3mB e CG =

2

3CD =

2

3mC

Usando a desigualdade triangular nos triângulos AGB, AGC e BGC, temos

△AGB : AG+GB > AB ⇒ 2

3mA +

2

3mB > c (1.6)

△AGC : AG+GC > AC ⇒ 2

3mA +

2

3mC > b (1.7)

△BGC : BG+GC > BC ⇒ 2

3mB +

2

3mC > a (1.8)

Fazendo (1.6) + (1.7) + (1.8), segue que

4

3mA +

4

3mB +

4

3mC > a+ b+ c = 2p ⇒ mA +mB +mC >

3

4· 2p =

3p

2(1.9)

16


Para provar a outra desigualdade, prolongamos AE até o ponto F tal que AE = EF = mA,

conforme a �gura abaixo:

Sendo CE = EB, segue que △AEB ≃ CEF e △AEC ≃ △BEF . Assim, AB = CF =

c e AC = BF = b. Usando a desigualdade triangular no △ACF , segue que

AF < AC + CF ⇒ 2AE < b+AB ⇒ 2mA < b+ c (1.10)

Analogamente, 2mb < a + c e 2mc < a + b. Adicionando essas desigualdades membro a

membro, segue que

2mA + 2mB + 2mC < b+ c+ a+ c+ a+ b ⇒

mA +mB +mC < a+ b+ c = 2p (1.11)

Das expressões, (1.9) e (1.11), obtemos o resultado desejado. Um outro modo de provar a

desigualdade (??) é através da desigualdade de Ptolomeu-Euler. Esta desigualdade a�rma que

se ABCD é um quadrilátero não-cíclico, então

AB · CD +AD ·BC > AC ·BD

Assim, considere Ma, Mb e Mc os pontos médios dos lados a, b e c respectivamente. Aplicando

a desigualdade de Ptolomeu-Euler no quadrilátero AMcBC, temos

AMc ·BC +AC ·BMc > CMc ·AB ⇒ c

2· a+ b · c

2> mc · c ⇒ a

2+

b

2> mc

Do mesmo modo, provamos que

b

2+

c

2> ma e

a

2+

c

2> mb

Adicionando estas três desigualdades, temos a expressão (1.11).

1.8 Exercícios Propostos

Exercício 1.1 Uma lata cilíndrica de alumínio (sem tampa) tem volume V . Determine suas

dimensões se a quantidade de alumínio para fabricação da lata deve ser mínima.

Resposta: r = h = 3√

V/π.

17


Exercício 1.2 Determine três números positivos, cujo produto é 27 e a soma seja a menor

possível.

Resposta: x = y = z = 3.

Exercício 1.3 Dado o ponto M(x0, y0) no primeiro quadrante, considere a reta que passa

por esse ponto de modo que ela forme um triângulo retângulo com os semi-eixos positivos.

Determine as dimensões dos catetos deste triângulo para que sua área seja mínima.

Resposta: a = 2x0 e b = 2y0.

Exercício 1.4 Sejam a e b números reais positivos. Prove que se a+b = 2, então a2+b2 ≥ 2.

Exercício 1.5 Entre todos os retângulos de área igual a 20 cm2, determine aquele que possui

perímetro mínimo.

Exercício 1.6 Resolva o desa�o sobre o problema das torneiras.

18

Referências Bibliográ�cas

[1] Roger B. Nielsen. Proof without words, Lewis e Clark College. 2006.

[2] Neto, A.C.M., Desigualdades elementares, Eureka! n◦ 5, OBM, 1999.

[3] Pimentel, Elaine. Notas de Aula de Geometria Plana, Dept. de Matemática, UFMG,

2008.

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