dessy dwiyanti, s.si, mba matematika ekonomi 2 bab 3...

Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 2

BAB 3.Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Ekonomi

A. Elastisitas EEllaassttiissiittaass mmeerruuppaakkaann ppeerrsseennttaassee ppeerruubbaahhaann yy tteerrhhaaddaapp ppeerrsseennttaassee ppeerruubbaahhaann xx..

1.1 Elastisitas Permintaan

Elastisitas Permintaan adalah besarnya perubahan jumlah permintaan barang, akibat adanya perubahan harga. RRuummuuss eellaassttiissiittaass ppeerrmmiinnttaaaann

→η dd == dPdQd

.. dQ

P,,

KKeett :: QQdd ffuunnggssii ppeerrmmiinnttaaaann ,,

PP HHaarrggaa


PPeerrmmiinnttaaaann ssuuaattuu bbaarraanngg ddiikkaattaakkaann bbeerrssiiffaatt::

EEllaassttiiss → jjiikkaa η dd >> 00 jjiikkaa hhaarrggaa bbaarraanngg tteerrsseebbuutt bbeerruubbaahh sseebbeessaarr pprreesseennttaassee tteerrtteennttuu,, mmaakkaa ppeerrmmiinnttaaaann tteerrhhaaddaappnnyyaa aakkaann bbeerruubbaahh ddeennggaann ppeerrsseennttaassee yyaanngg lleebbiihh bbeessaarr ddaarriippaaddaa ppeerruubbaahhaann hhaarrggaannyyaa IInneellaassttiiss → jjiikkaa η dd << 00 jjiikkaa hhaarrggaa bbaarraanngg tteerrsseebbuutt bbeerruubbaahh sseebbeessaarr pprreesseennttaassee tteerrtteennttuu,, mmaakkaa ppeerrmmiinnttaaaann tteerrhhaaddaappnnyyaa aakkaann bbeerruubbaahh ddeennggaann ppeerrsseennttaassee yyaanngg lleebbiihh kkeecciill ddaarriippaaddaa ppeerruubbaahhaann hhaarrggaannyyaa

UUnniitteerr → jjiikkaa η dd == 00 jjiikkaa hhaarrggaa bbaarraanngg tteerrsseebbuutt bbeerruubbaahh sseebbeessaarr pprreesseennttaassee tteerrtteennttuu,, mmaakkaa ppeerrmmiinnttaaaann tteerrhhaaddaappnnyyaa aakkaann bbeerruubbaahh ddeennggaann ppeerrsseennttaassee yyaanngg ssaammaa ddeennggaann ppeerruubbaahhaann hhaarrggaannyyaa

CCoonnttoohh :: FFuunnggssii ppeerrmmiinnttaaaann aakkaann ssuuaattuu

bbaarraanngg → QQ == 2255 –– 33 PP 22


TTeennttuukkaann eellaassttiissiittaass ppeerrmmiinnttaaaannnnyyaa ppaaddaa

ttiinnggkkaatt hhaarrggaa PP == 55..

JJaawwaabb :: →η dd == dPdQd

.. dQ

P == (( -- 66 PP )) 2325 P

P−

== -- 66 ((55)) 2)5(325)5(

− == 33

→ η dd == 33 (( eellaassttiiss )) aarrttiinnyyaa ppaaddaa kkeedduudduukkaann

hhaarrggaa PP == 55,, jjiikkaa hhaarrggaa bbaarraanngg nnaaiikk

sseebbeessaarr 11 %%,, mmaakkaa ppeerrmmiinnttaaaannnnyyaa aakkaann

ttuurruunn sseebbaannyyaakk 33 %% ..

1.2 Elastisitas Penawaran

adalah adalah besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan, jika ada perubahan harga


RRuummuuss EEllaassttiissiittaass PPeennaawwaarraann

ηss == dP

dQs ..

sQP

KKeett :: QQss ffuunnggssii ppeennaawwaarraann ,,

PP HHaarrggaa

PPeennaawwaarraann ssuuaattuu bbaarraanngg ddiikkaattaakkaann bbeerrssiiffaatt::

CCoonnttoohh :: FFuunnggssii ppeennaawwaarraann ssuuaattuu bbaarraanngg

ddiippeerrlliihhaattkkaann→ QQ == -- 220000 ++ 77 PP 22


Tentukan elastisitas penawarannya, pada tingkat harga P = 10

JJaawwaabb :: η ss == dPdQs ..

sQP

== (( 1144 PP )) 27200 PP+−

PPaaddaa PP == 1100 →η ss == ((1144))((1100)) 2)10)(7(200)10(

+− ==

22,,88 (( eellaassttiiss )) η

ss == 22,,88 aarrttiinnyyaa ppaaddaa kkeedduudduukkaann hhaarrggaa PP

== 1100,, jjiikkaa hhaarrggaa bbaarraanngg nnaaiikk 11 %% ,, mmaakkaa

jjuummllaahh bbaarraanngg yyaanngg ddiittaawwaarrkkaann jjuuggaa aakkaann

nnaaiikk sseebbaannyyaakk 22,,88 %%..

1.3 Elastisitas Produksi Elastisitas Produksi adalah besarnya perubahan jumlah output yang dihasilkan, karena adanya perubahan jumlah input.


RRuummuuss EEllaassttiissiittaass PPrroodduukkssii

η pp == dxdP

.. Px

KKeett :: PPjjuummllaahh pprroodduukk yyaanngg ddiihhaassiillkkaann

((oouuttppuutt))

xxjjuummllaahh ffaakkttoorr pprroodduukkssii yyaanngg

ddiigguunnaakkaann ((iinnppuutt))

CCoonnttoohh :: FFuunnggssii pprroodduukkssii ssuuaattuu bbaarraanngg

ddiittuunnjjuukkkkaann PP == 66 XX22 –– XX33 HHiittuunngg eellaassttiissiittaass

pprroodduukkssiinnyyaa,, ppaaddaa ttiinnggkkaatt ppeenngggguunnaaaann

ffaakkttoorr pprroodduukkssii ((iinnppuutt)) sseebbeessaarr XX == 33

JJaawwaabb :: η pp == dxdP

.. Px

==

(( 1122 XX –– 33 XX22 )) 326 XXX−

PPaaddaa XX == 33→η

pp ==


(( 1122 .. 33 –– 33 .. 33 22 )) 32 )3()3(63− == 11

η pp == 11 ((uunniitteerr)) aarrttiinnyyaa ppaaddaa ttiinnggkkaatt

ppeenngggguunnaaaann iinnppuutt XX == 33 ,, jjiikkaa iinnppuutt

ddiittaammbbaahh 11 %%,, mmaakkaa jjuummllaahh pprroodduukkssii

((oouuttppuutt)) jjuuggaa aakkaann bbeerrttaammbbaahh 11 %%..

B. Biaya Marjinal dan Penerimaan

Marjinal 1. Biaya Marjinal

BBiiaayyaa MMaarrjjiinnaall (( MMCC )) aaddaallaahh bbeessaarrnnyyaa bbiiaayyaa yyaanngg hhaarruuss ddiittaammbbaahhkkaann ,, jjiikkaa jjuummllaahh pprroodduukkssii ddiittaammbbaahh 11 uunniitt..

RRuummuuss bbiiaayyaa mmaarrjjiinnaall MMCC == TTCCII == dQdC

ddaann

MMCC mmiinniimmuumm jjiikkaa MMCCII == 00


CCoonnttoohh :: BBiiaayyaa ttoottaall ((TTCC)) == ff ((QQ)) == QQ 33 –– 33 QQ 22 ++ 44 QQ ++ 44

BBiiaayyaa MMaarrjjiinnaall ((MMCC)) == TTCC ‘‘ == 33 QQ 22 –– 66 QQ ++ 44 PPaaddaa ttiinnggkkaatt pprroodduukkssii// ppeennjjuuaallaann bbeerraappaakkaahh bbiiaayyaa mmaarrjjiinnaall mmiinniimmuumm ?? BBeerraappaa bbeessaarrnnyyaa bbiiaayyaa mmaarrjjiinnaall mmiinniimmuumm tteerrsseebbuutt ??

JJaawwaabb == MMCC mmiinniimmuumm ppaaddaa MMCC ‘‘ == 00

MMCC ‘‘ == 66 QQ –– 66 == 00 → 66 QQ == 66 → QQ == 11→ MMCC mmiinniimmuumm

MMCC mmiinniimmuumm == 33 QQ 22 –– 66 QQ ++ 44 == 33 (( 11 )) 22 –– 66 (( 11 )) ++ 44 == 66

JJaaddii bbeessaarrnnyyaa bbiiaayyaa mmaarrjjiinnaall mmiinniimmuumm sseebbeessaarr RRPP.. 66 ppaaddaa ttiinnggkkaatt pprroodduukkssii 11 uunniitt..

2. Penerimaan Marjinal PPeenneerriimmaaaann MMaarrjjiinnaall aaddaallaahh bbeessaarrnnyyaa ttaammbbaahhaann ppeenneerriimmaaaann,, jjiikkaa jjuummllaahh pprroodduukkssii aattaauu bbaarraanngg yyaanngg tteerrjjuuaall bbeerrttaammbbaahh 11 uunniitt


RRuummuuss ppeenneerriimmaaaann mmaarrjjiinnaall MMRR == TTRR II ==

dQdR

ddaann TTRR mmaakkss.. JJiikkaa MMRR == 00

CCoonnttoohh :: ffuunnggssii ppeerrmmiinnttaaaann ssuuaattuu bbaarraanngg →

PP == 1166 –– 22 QQ

BBeerraappaakkaahh bbeessaarrnnyyaa ppeenneerriimmaaaann mmaakkssiimmuumm ??

JJaawwaabb ::

FFuunnggssii PPeenneerriimmaaaann TToottaall ((TTRR)) == PP..QQ ==

((1166 –– 22 QQ)) ((QQ)) == 1166 QQ –– 22 QQ 22

PPeenneerriimmaaaann MMaarrjjiinnaall ((MMRR)) == TTRR ‘‘ == 1166 –– 44 QQ

TTRR aakkaann mmaakkssiimmuumm jjiikkaa MMRR == 00→ 1166 –– 44 QQ == 00

→44 QQ == 1166→QQ == 44

TTRR MMaakkss.. == 1166 QQ –– 22 QQ 22 == 1166 ((44)) –– 22 ((44)) 22 == 3322

JJaaddii bbeessaarrnnyyaa ppeenneerriimmaaaann ttoottaall mmaakkssiimmuumm

sseebbeessaarr RRpp.. 3322,,0000


C. Utilitas Marjinal Utilitas marginal (MU)utilitas tambahan

yang diperoleh dari setiap unit barang yang dikonsumsi. Fungsi utilitas total dinyatakan dengan U=

f(Q) dimana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marginal :

MU = U’ = dU / dQ Kurva utilitas marginal (MU) selalu

mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total (U) berada pada posisi puncaknya.

Contoh : U = f(Q) = 90Q – 5Q2 MU = U’ = 90 – 10Q U maksimum pada MU = 0 MU = 0 Sehingga nilai Q = 9 Maka, Umaksimum = 90(9) – 5(9)2 = 810 – 405 = 405


D. Produk Marjinal Produk marginal (MP) ialah produk

tambahan yang dihasilkan dari suatu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik fungsi produk marjinal

merupakan derivative pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan P = f(x) dimana P melambangkan jumlah produk total dan x adalah jumlah masukan, Maka produk marginal :

MP = P’ = dp/ dx Contoh:

Produksi total P = f(x) = 9x2 – x3 produk marjinalnya adalah MP = P’ = 18x – 3x2 Sehingga Pmaksimum pada P’ = 0 yaitu pada x = 6 dengan Pmaksimum = 108 P berada dititik belok dan MP maksimum pada P’’ = (MP)’ = 0 yaitu pada x = 3


E. Analisis Keuntungan Maksimum Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum atau memberikan kerugian maksimum dapat diselidiki dengan pendekatan diferensial.

FFuunnggssii kkeeuunnttuunnggaann ((π ))→π == TTRR –– TTCC π aakkaann ooppttiimmuumm jjiikkaa π II == 00 π ’’’’ << 00 → π mmaakkssiimmuumm == kkeeuunnttuunnggaann

mmaakkssiimmuumm π ’’’’ >> 00 →π mmiinniimmuumm == kkeerruuggiiaann mmaakkssiimmuumm

CCoonnttoohh ::

jjiikkaa ffuunnggssii ppeenneerriimmaaaann → TTRR == -- 22 QQ 22 ++ 11000000 QQ

DDaann ffuunnggssii bbiiaayyaa ttoottaall → TTCC == QQ 33 –– 5599 QQ 22 ++ 11331155 QQ ++ 22..000000


BBeerraappaakkaahh ttiinnggkkaatt kkeeuunnttuunnggaann

mmaakkssiimmuumm ??

JJaawwaabb :: π == TTRR –– TTCC ==((-- 22 QQ 22 ++ 11000000 QQ)) –– ((QQ 33 –– 5599 QQ 22

++ 11331155 QQ ++ 22..000000)) π == -- QQ 33 ++ 5577 QQ 22 -- 331155 QQ –– 22..000000

AAggaarr kkeeuunnttuunnggaann mmaakkss.. →π ’’ == 00

→ π ’’ == -- 33 QQ 22 ++ 111144 QQ –– 331155 == 00

-- QQ 22 ++ 3388 QQ –– 110055 == 00

(( -- QQ ++ 33 )) (( QQ –– 3355 )) == 00 →QQ 11 == 33 ddaann QQ 22 == 3355

→ π ’’’’ == -- 66 QQ ++ 111144

ppaaddaa QQ == 33 →π ’’’’ == -- 66 QQ ++ 111144 == -- 66 (( 33 )) ++ 111144

== 9966 >> 00

bbeerraarrttii ppaaddaa QQ == 33 ,, mmaakkaa kkeerruuggiiaann aakkaann

mmaakkssiimmuumm..

ppaaddaa QQ == 3355 →π ’’’’ == -- 66 QQ ++ 111144 == -- 66 (( 3355 )) ++

111144 == -- 9966 << 00


bbeerraarrttii ppaaddaa QQ == 3355 ,, mmaakkaa kkeeuunnttuunnggaann

aakkaann mmaakkssiimmuumm

→ π == -- QQ 33 ++ 5577 QQ 22 -- 331155 QQ –– 22..000000 == ((-- 3355)) 33 ++

5577 ((3355)) 22 –– 331155 ((3355)) –– 22..000000

→ π == 1133..992255

→ jjaaddii kkeeuunnttuunnggaann mmaakkssiimmuumm sseebbeessaarr RRpp..

1133..992255,,0000 ppaaddaa jjuummllaahh ppeennjjuuaallaann sseebbaannyyaakk

3355 uunniitt..


Bab 4. Diferensial Fungsi Majemuk Diferensiasi fungsi majemuk diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang mengandung lebih dari satu macam variabel bebas. A. Diferensial Parsial

Diferensial Parsial diferensiasi secara bagian demi bagian

• Fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas, maka turunannya akan lebih dari satu macam pula. Misal, fungsi memiliki n macam variabel bebas, maka ia akan memiliki n macam turunan. Contoh : ),( zxfy =


Diferensiasi Total: Contoh:

B. Derivatif dari Derivatif Parsial

Masing-masing turunan parsialnya masih mungkin diturunkan lagi

∂∂

=

∂∂

=

zyzxfbxyzxfa

yx

x

),()

),()?'...

dzzydx

xydy

∂∂

+∂∂

=


C. Nilai Ekstrim


D. Optimasi Bersyarat Apabila fungsi ingin dioptimumkan tetapi terhambat oleh fungsi lain yang harus dipenuhi, maka dapat diselsaikan dengan metode :

4.1 Pengganda Lagrange


Contoh:


4.2 Kondisi Kuhn-Tucker


Referensi :

http://rosihan.web.id

dessy dwiyanti, s.si, mba matematika ekonomi 2 bab 3...

Documents