determinación de factores de seguridad en 2d y 3d para...
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Tema A5 Educación en ingeniería mecánica: Aplicaciones móviles
“Determinación de factores de seguridad en 2D y 3D para materiales dúctiles en
plataforma Android”
Vergara Hernández Erastoa, León Escalante Santos Guadalupea, Pérez Millán Brenda Carolinab,
Garrido Hernández Aristeoc, Cea Montufar César Eduardoa, Calderón Osorno José Luisa, Ortega
Atayde Ricardo Enriquea.
a Instituto Politécnico Nacional, UPIIH, San Agustín Tlaxiaca, 42080, Hidalgo, México. bInstituto Politécnico Nacional, UPIITA, Ciudad de México, 07738, México. cUniversidad Tecnológica de Tecámac, UTTEC, Tecámac, 55740, Estado de México.
*Autor contacto: [email protected]
R E S U M E N
En el presente trabajo se desarrolló una aplicación para la plataforma Android que permite encontrar los factores de
seguridad de elementos mecánicos en dependencia de los esfuerzos axiales y cortantes a los que se somete. Se hace uso
de dos teorías de falla para materiales dúctiles: i) Teoría del esfuerzo cortante máximo y ii) Teoría de la máxima energía
de distorsión para poder determinar si el componente mecánico fallará bajo las cargas estáticas especificadas. La aplicación
se desarrolló para estados de esfuerzos en dos y tres dimensiones, por lo tanto, resulta ser una herramienta muy potente
durante la enseñanza de la teoría de falla en los alumnos de ingeniería, toda vez que permite encontrar los valores de los
esfuerzos principales, su representación gráfica y el valor del factor de seguridad conforme a las dos teorías anteriormente
mencionadas.
Palabras Clave: Aplicaciones móviles, materiales dúctiles, teoría de falla, factor de seguridad.
A B S T R A C T
In the present work, an application was developed for the Android platform in order to find the safety factors of mechanical
elements depending on the axial and shearing forces to which it is subjected. Two theories of failure for ductile materials
are used: i) Theory of maximum shear stress and ii) Theory of maximum distortion energy to be able to determine if the
mechanical component will fail under the specified static loads. The application was developed for stresses in two
dimensions and in three dimensions. The application developed turns out to be a very powerful tool during the teaching of
the theory of failure in the engineering students, since it allows finding the values of the principal stresses, their graphic
representation and the value of the safety factor according to the two theories previously mentioned.
Keywords: Mobile applications, ductile materials, failure theory, safety factor.
1. Introducción
El diseño de entornos móviles ha impulsado a utilizar la
tecnologías de la información y la comunicación (TICs)
hacia el campo de la enseñanza dónde los sistemas basados
en dispositivos móviles proporcionan a los estudiantes una
manera rápida y directa hacia la información necesaria para
su crecimiento académico, el uso de los dispositivos móviles
de pantalla táctil en el proceso de enseñanza y aprendizaje
ayuda a aumentar la motivación de los estudiantes,
mejorando los resultados sobre el aprendizaje, las
aplicaciones móviles han sido una herramienta muy
poderosa al permitir al estudiante utilizarlas dentro y fuera
del salón de clase.
Android es un sistema operativo de código abierto basado
en el Kernel de Linux, que potencia los recursos y
aplicaciones de una gran cantidad de dispositivos, desde
teléfonos inteligentes hasta tabletas y consolas. Según el
StatCounter, Android tuvo el 74.24% del mercado de
teléfonos inteligentes en todo el mundo en el año 2017, y de
acuerdo a The Competitive Intelligence Unit el sistema
operativo Android tuvo un porcentaje de penetración en los
usuarios mexicanos del 79%, por lo que estadísticamente el
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desarrollo de aplicaciones en esta plataforma tiene el
potencial de llegar a un gran número de usuarios móviles.
Cuando un componente está sujeto a cargas crecientes,
eventualmente fallará, es relativamente fácil determinar el
punto de falla de un componente cuando está bajo una sola
fuerza de tensión, sin embargo, si el componente está
sometido a varias cargas en diferentes direcciones, que
pueden ser originadas por fuerzas de tensión, de compresión
o por fuerzas cortantes, la determinación del punto de falla
será más complicado.
Un material dúctil fallará cuando ha sufrido una falla
elástica que dé inicio a una deformación plástica, por lo cual
se han desarrollado diferentes teorías de fallas elásticas que
permitan establecer si un material fallará.
En este trabajo, se utilizará el lenguaje de programación
Android para desarrollar una aplicación que permita
encontrar los factores de seguridad utilizando dos teorías de
falla: i) La teoría del máximo esfuerzo cortante (ECM) y ii)
La teoría de la máxima energía de distorsión, creando una
herramienta muy importante en la enseñanza de la teoría de
falla.
2. Desarollo
No existe una teoría universal de falla para un caso general
de las propiedades del material y el estado de esfuerzo. Es
por eso que en esta aplicación se usan dos teorías de falla:
Teoría del esfuerzo cortante máximo para materiales
dúctiles y la Teoría de la energía de distorsión para
materiales dúctiles.
La teoría del esfuerzo cortante máximo establece que la
fluencia comienza cuando el esfuerzo cortante máximo de
cualquier elemento iguala al esfuerzo cortante máximo en
una pieza de ensayo a tensión del mismo material cuando
esa pieza comienza a fluir. La teoría del esfuerzo cortante
máximo también se conoce como la teoría de Tresca o
Guest.
La teoría de la energía de deformación máxima predice
que la falla por fluencia ocurre cuando la energía de
deformación total por unidad de volumen alcanza o excede
la energía de deformación por unidad de volumen
correspondiente a la resistencia a la fluencia en tensión o en
compresión del mismo material. A esta teoría también se
conoce como la Teoría de Von Mises [1,2].
2.1 Esfuerzos principales en 2D
Para obtener los esfuerzos principales (𝜎1, 𝜎2) en 2D, se usó
la ecuación del Círculo de Mohr del esfuerzo plano en
depedencia de los esfuerzos axiales 𝜎𝑥, 𝜎𝑦y del cortante 𝜏𝑥𝑦:
𝜎1, 𝜎2 =𝜎𝑥+𝜎𝑦
2± √(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2)
2
+ 𝜏𝑥𝑦2 (1)
2.2 Esfuerzos principales en 3D
Los esfuerzos principales en 3D están dados por:
𝜎1 =𝐼1
3+
2
3(√𝐼1
2 − 3𝐼2) 𝑐𝑜𝑠𝜑 (2)
𝜎2 =𝐼1
3+
2
3(√𝐼1
2 − 3𝐼2) 𝑐𝑜𝑠 (𝜑 −2𝜋
3) (3)
𝜎3 =𝐼1
3+
2
3(√𝐼1
2 − 3𝐼2) 𝑐𝑜𝑠 (𝜑 −4𝜋
3) (4)
dónde:
𝐼1 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 (5)
𝐼2 = 𝜎𝑥𝜎𝑦 + 𝜎𝑦𝜎𝑧 + 𝜎𝑧𝜎𝑥 − 𝜏𝑥𝑦2 − 𝜏𝑦𝑧
2 − 𝜏𝑧𝑥2 (6)
𝐼3 = 𝜎𝑥𝜎𝑦𝜎𝑧 − 𝜎𝑥𝜏𝑦𝑧2 − 𝜎𝑦𝜏𝑧𝑥
2 − 𝜎𝑧𝜏𝑥𝑦2 + 2𝜏𝑥𝑦𝜏𝑦𝑧𝜏𝑧𝑥 (7)
Las cantidades I1, I2, I3 son los esfuerzos invariantes
2.3 Factor de seguridad
2.3.1 Esfuerzos en 2D
2.3.1.1 Teoría del esfuerzo cortante máximo
Para obtener el factor de seguridad en 2D por la teoría de
Tresca, primero debemos obtener el esfuerzo cortante
máximo mediante las ecuaciones (8), (9) y (10):
𝜏𝑀𝐴𝑋 =|𝜎1 − 𝜎2|
2 (8)
𝜏𝑀𝐴𝑋 =|𝜎1 − 𝜎3|
2 (9)
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𝜏𝑀𝐴𝑋 =|𝜎2 − 𝜎3|
2 (10)
Dónde 𝜎3 siempre valdrá 0 debido a que se está
analizando un sistema en 2D. Entonces, podemos obtener el
factor de seguridad (FS), usando el valor más grande de las
ecuaciones (8), (9) y (10) el factor de seguridad (FS) quedará
expresado como:
𝐹𝑆 =𝜎𝑐𝑒𝑑
2𝜏𝑚𝑎𝑥 (11)
Dónde 𝜎𝑐𝑒𝑑 es el esfuerzo de cedencia del material.
2.3.1. Teoría de Von Mises
Para la Teoría de la máxima energía de distorsión o de
Von Mises, se establece el estado de esfuerzo 𝜎′ expresado
en la ecuación 12 como:
𝜎′ = √𝜎12 + 𝜎2
2 − 𝜎1𝜎2 (12)
Y el factor de seguridad se encuentra como:
𝐹𝑆 =𝜎𝑐𝑒𝑑
𝜎′ (13)
Dónde 𝜎𝑐𝑒𝑑 es el esfuerzo de cedencia del material.
2.4.2 Esfuerzos en 3D
2.4.2.1 Teoría del esfuerzo cortante máximo
Para obtener el factor de seguridad en 3D por la Teoría
del esfuerzo cortante máximo, se obtiene el esfuerzo
cortante máximo mediante las ecuaciones (14), (15) y (16):
𝜏𝑀𝐴𝑋 =|𝜎1 − 𝜎2|
2 (14)
𝜏𝑀𝐴𝑋 =|𝜎1 − 𝜎3|
2 (15)
𝜏𝑀𝐴𝑋 =|𝜎2 − 𝜎3|
2 (16)
Y se obtiene el factor de seguridad, usando el valor más
grande de las ecs. (14), (15) y (16) para aplicarse en la
ecuación (17):
𝐹𝑆 =𝜎
2𝜏𝑀𝐴𝑋 (17)
2.4.2.1 Teoría de Von Mises
Para la Teoría de Von Mises, se establece el estado de
esfuerzo 𝜎′.
𝜎′ = √(𝜎1 − 𝜎2)2+(𝜎2 − 𝜎3)2+(𝜎1 − 𝜎3)2
2 (18)
Y se procede a obtener el factor de seguridad con la
ecuación (13).
2.2 Programación
En el desarrollo de esta aplicación se considera tener un
ambiente amigable con el usuario final que evite posibles
confusiones en su uso. La metodología empleada en el
desarrollo de la aplicación, se basó en el diagrama de flujo
de la Figura 1.
Figura 1 – Diagrama de flujo para la aplicación del cálculo de
factores de seguridad
El programa se inicia con una sentencia condicional que
evalúa la dimensión del sistema en el que el estudio se
realiza: i) en tres dimensiones, o ii) en dos dimensiones;
luego entonces se ejecuta una segunda sentencia condicional
para preguntar al usuario y obtener la información sobre el
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tipo de sistema de medición en que el análisis del esfuerzo
se efectúa: i) Sistema inglés (kpsi) o bien, ii) Sistema
internacional (MPa). El siguiente paso en la programación
es solicitar los valores de los esfuerzos normales y los
esfuerzos cortantes. Con toda la información anteriormente
almacenada, se calculan los valores de los esfuerzos
principales y después se pregunta por el valor del esfuerzo
de cedencia del material, con el propósito de calcular el
factor de seguridad de acuerdo a las teorías de falla
anteriormente desarrolladas. Los resultados que despliega la
aplicación son:
Diagrama de esfuerzos principales.
Factor de seguridad de acuerdo a la Teoría de Von
Mises.
Factor de seguridad de acuerdo a la Teoría del cortante
máximo.
Representación gráfica de los esfuerzos principales
El diagrama de flujo se implementó en el entorno de
programación de Android Studio, por lo cual utiliza la
programación por medio de bloques y orientada a objetos.
En la Figura 2 se muestra la programación por medio de
bloques para la creación de la pantalla de inicio de la
aplicación y en la Figura 3 se presenta el código para la
programación de la pantalla de inicio.
Figura 2 – Programación de la Pantalla de inicio de la aplicación
Figura 3 – Código en Android Studio para la creación de la ventana
de inicio de la aplicación
Figura 4 – Código de programación de esfuerzos principales
Por consiguiente, se programan las ecuaciones para
encontrar los esfuerzos principales y los factores de
seguridad discutidos anteriormente, tal como se observa en
la Figura 4.
La primera pantalla que despliega la aplicación es una
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selección entre el análisis en 3D o el análisis en 2D, la cual
se observa en la Figura 5.
Figura 5 – Pantalla de inicio de la aplicación.
Figura 6 - Pantalla de selección unidades de la aplicación.
Una vez que el sistema de unidades se ha seleccionado
(Figura 6), se solicitan los valores de los esfuerzos cortantes
y uniaxiales para ambos casos: en tres dimensiones y en dos
dimensiones, como se muestra en la Figura 7.
Figura 7 - Pantalla para ingreso de esfuerzos axiales y cortantes.
El siguiente paso es seleccionar entre el valor del esfuerzo
de cedencia de un material guardado en la base de datos, o
en su caso, insertar un valor nuevo para el esfuerzo de
cedencia, como se ve en la ventana de la Figura 8.
Figura 8 - Pantalla para selección del material
Al tener toda la información anterior se desplegarán los
resultados finales que muestren el valor de los esfuerzos
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principales y el valor del factor de seguridad de acuerdo a
las dos teorías de falla descritas anteriormente, ver Figura 9.
Figura 9 - Pantalla final de resultados del análisis de la aplicación
para un sistema en dos dimensiones (a) y en tres dimensiones (b),
ambos en el sistema internacional de unidades.
3. Resultados
La aplicación se probó con los siguientes datos para
encontrar el factor de seguridad en un elemento mecánico
sometido al siguiente estado de esfuerzos:
𝜎𝑥= 12.0 Kpsi
𝜎𝑦= 4.0 Kpsi
𝜏𝑥𝑦= 1.0 Kpsi
Los valores se ingresaron a la aplicación en la modalidad de
dos dimensiones y en el sistema inglés de unidades, como se
muestra en la Figura 10:
Figura 10 – Comprobación de la aplicación
El siguiente paso es especificar el valor del esfuerzo de
cedencia del material con que se compone el elemento,
como en este caso no se presenta dentro de la lista de
materiales precargados en la base de datos interna, se elige
la opción de otro material para declarar el valor del esfuerzo
de cedencia en 50 kpsi, como se aprecia en la Figura 11.
Con la información obtenida se desarrollan las operaciones
para mostrar en una pantalla final los valores de:
1. Esfuerzos principales, y
2. Factores de seguridad de acuerdo la teoría del
cortante máximo y teoría de energía distorsión.
Los valores de los esfuerzos principales y de los factores de
seguridad encontrados se muestran en la Tabla 1:
Tabla 1. Resultados de esfuerzos principales y factores de seguridad
Esfuerzos
principales
(Kpsi)
Factores de seguridad
𝝈𝟏= 12.123 T.cortante máximo: 4.124
𝝈𝟐= 3.877 T. Von Mises: 4.663
Los resultados se muestran en la Figura 12, que corresponde
a la pantalla final de la aplicación, y donde se observa que el
elemento bajo el estado de esfuerzos especificados resistirá
utilizando los criterios de ambas teorías de falla.
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Figura 11 – Ingreso del valor del esfuerzo de cedencia
En el caso de un sistema de dos dimensiones se obtendrán
valores para los dos esfuerzos principales y dependiendo del
tipo de material y del valor de los esfuerzos axiales y/o
cortantes se visualizará el factor de seguridad bajo las dos
teorías de falla anteriormente desarrolladas. Análogamente
en el caso de tres dimensiones, los valores que la aplicación
desplegará serán las magnitudes de los tres esfuerzos
principales, su orientación y los valores del factor de
seguridad que se obtenga al aplicar las teorías de falla del
esfuerzo máximo cortante y de la máxima energía de
distorsión, determinando de esta manera si el componente
mecánico fallará cuando sea sometido a las cargas estáticas
que se establecieron.
Figura 12 – Pantalla final de resultados
4. Conclusión
Con base a un sistema desarrollado para la plataforma
Android se programó una aplicación didáctica para
encontrar los valores de los esfuerzos principales y su
representación gráfica, así también se aplicó la Teoría del
esfuerzo máximo cortante y la Teoría de la máxima energía
de distorsión para encontrar el factor de seguridad bajo cada
una de las dos teorías para materiales dúctiles. La aplicación
resulta ser una herramienta muy poderosa al ser portátil y al
poder integrarse al sistema Android que le permite llegar a
un gran número de usuarios
Referencias
[1]Budynas, R. G., Nisbett, J. K., & Shigley, J. E.
(2011). Shigley's mechanical engineering design. New York: McGraw-Hill.
[2]Norton, Robert L., Machine Design (5th ed.). McGrawHill.
[3]Beer Ferdinand, Johnston Rusell, DeWolf John, Mazurek David, Mechanics of materials (7th edition) McGrawHill.
[4] Hibbeler Rusell C. Mechanics of Materials in SI units, 2017, Pearson Education Limited.
[5] Amaro Soriano Josè Enrique. Android programación de dispositivos móviles a través de ejemplos 2017, Marcombo ediciones técnicas.
[6]Hèbuterne Sylvain. Guía de desarrollo deaplicaciones
Java para smartphones y Tabletas (Tercera edición),
Ediciones Eni.
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