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Mediciones Eléctricas II

Apunte de Cátedra Página 1 de 30

1 Contenido:

1 Contenido: .................................................................................................................................. 1

2 Objetivos. .................................................................................................................................... 2

3 Introducción. ............................................................................................................................... 2

4 El Puente de Wheatstone. ........................................................................................................... 2

5 Sensibilidad del Puente de Wheatstone: ..................................................................................... 4

5.1 Puente Ideal ...................................................................................................................... 4

5.2 Puente Real ....................................................................................................................... 5

5.2.1 Determinación de la Corriente ΔI6 Provocada por un Pequeño Desequilibrio en un

Puente Real .............................................................................................................. 6

5.3 El Puente de Corriente Continua como Sistema de Medición .......................................... 8

5.4 Errores del Puente de Wheatstone. Sensibilidad ............................................................ 10

5.5 Error Límite en el Puente de Wheatstone. ...................................................................... 13

6 Consideraciones sobre el uso del Puente .................................................................................. 21

7 Medición de valores de Resistencias Menores que 10 Ω ......................................................... 21

8 Puente Doble de Thomson ........................................................................................................ 21

8.1 Condición de Equilibrio.................................................................................................. 22

8.2 Vinculación del Puente de Thomson con el de Wheatstone: ......................................... 23

8.3 Errores del Puente de Thomson: ..................................................................................... 24



2 Objetivos.

Plantear nociones básicas sobre puentes de corriente continua.

Presentar distintos opciones de puentes.

Emplear convenientemente un puente de corriente continua.

3 Introducción.

Los puentes de corriente continua encuentran numerosas aplicaciones en el campo de las

medidas eléctricas para la determinación de los parámetros resistivos. Como vremos luego, se

los puede utilizar en régimen equilibrado en la detección de cero para determinar un valor de

resistencia incógnita o bien en régimen desequilibrado para la medición indirecta de un

parámetro no eléctrico asociado a la variación de una resistencia, por ejemplo, el uso de

Termistores cuya resistencia varía con la temperatura

4 El Puente de Wheatstone.

Si se tiene cuatro resistencias conectadas tal como muestra la Figura 1 forman lo que se

denomina un circuito puente. Como el circuito puente está alimentado por una fuente de tensión

de corriente continua de valor UAB los potenciales de los puntos C y D tomarán valores

comprendidos a los de los puntos A y B. Puede ocurrir que los potenciales de los puntos C y D

sean iguales, eso dependerá de los valores relativos de las cuatro resistencias del puente.

Si se analiza la rama donde se encuentran las resistencias R1 y R2 se puede escribir que:

𝑈𝐴𝐶

𝑈𝐴𝐵=

𝑅2

𝑅1+𝑅2=

1

1+𝑅1𝑅2

(1)

La expresión anterior muestra que para una determinada tensión, UAB la tensión UAC no

depende de los valores individuales de las resistencias Rl y R2 sino de la relación entre ellas. Se

ve también que depende del valor que se tenga de 𝑅2

𝑅1, el punto C tomará cualquier valor de

tensión comprendido entre los valores de tensión de los puntos A y B.

Si ahora se estudia la rama donde se encuentran las resistencias R3 y R4 se tiene que:

BA

C

D

R

R

4

1

V

R 2

R3

Figura 1



𝑈𝐴𝐷

𝑈𝐴𝐵=

𝑅3

𝑅3+𝑅4=

1

1+𝑅4𝑅3

(2)

Similar a lo hecho respecto ahora al punto D.

Si se pretende que los puntos C y D tengan el mismo potencial, decir que el puente se

encuentre en equilibrio, debe cumplirse que las caídas de tensión UAC y UAD tengan el mismo

valor, de acuerdo a esto último de las ecuaciones (1) y (2) se puede escribir que:

𝑅1

𝑅2=

𝑅4

𝑅3 (3) 𝑅1𝑅3 = 𝑅2𝑅4 (4)

Por lo tanto de las ecuaciones (3) y (4) se puede decir que:

“La condición de equilibrio del circuito puente es que los productos de las resistencias opuestas

sean iguales”

De las ecuaciones anteriores se pueden sacar las siguientes conclusiones:

a) La condición de equilibrio es independiente de la tensión de la fuente de alimentación.

En efecto, de las ecuaciones (1) y (2) vemos que si la tensión UAB varía, también variarán

proporcionalmente UAC y UAD por lo tanto si son iguales para cierta tensión también lo

seguirán siendo para cualquier otra tensión o signo.

b) Permutando las posiciones de dos resistencias opuestas, (ver la Figura 2), la condición

de equilibrio no se modifica (por ecuaciones (3) y (4)).

Por lo tanto los puntos P y Q tendrán el mismo potencial. Este cambio de posición de

resistencias equivale al cambio de la diagonal de alimentación, ya que si comparan las

Figura 1 y Figura 2 se ve que el punto M que es el nodo de común de las resistencias R3 y

R4, es el mismo punto D de la Figura 1, y el punto N que es el punto de encuentro de las

resistencias R1 y R2 es el punto C. Por lo tanto:

“Independientemente del cual sea la diagonal de alimentación, un puente está equilibrado,

si se cumplen las ecuaciones (3) y (4) y además los vértices de la otra diagonal están a un

mismo potencial.”

NM

P

Q

R

R

3

1

V

R 4

R 2

Figura 2



Es fácil comprender que un instrumento suficientemente sensible como un galvanómetro

o un detector, conectado en la diagonal no alimentada sería capaz de indicar cuándo el puente

está equilibrado, y tanto más aproximadamente cuanto más sensible sea.

5 Sensibilidad del Puente de Wheatstone:

5.1 Puente Ideal

Analizaremos primeramente un puente en el que la resistencia interna de la fuente de

alimentación es nula y no circula corriente por un detector conectado en la diagonal no

alimentada.

En el estudio de la sensibilidad es práctico realizar el circuito equivalente de Thevenin.

Asumiendo que el puente de la Figura 6Figura 3 se encuentra en equilibrio, la tensión entre los

terminales l y 2 es cero y por ende se cumplirá:

𝐼1𝑅1 = 𝐼2𝑅3

𝐼1𝑅2 = 𝐼2𝑅4

Haciendo el cociente se obtiene:

𝑅1

𝑅2=

𝑅4

𝑅3= 𝑘

Supóngase ahora el puente trabajando en las condiciones próximas al equilibrio y que la

resistencia R2 ha sido incrementada en una pequeña variación dada por ΔR.

𝑅´2 = 𝑅2 + 𝛥𝑅 Siendo 𝛥𝑅 = 𝑋. 𝑅2 y 𝑋 → 0

Para el puente en condiciones de medida resulta útil la representación del circuito

equivalente de Thevenin Figura 3. La tensión y la resistencia del generador equivalente según

Thevenin vista desde los puntos 1 y 2 está expresado por:

𝑈12 = 𝑈1 − 𝑈2 =𝑈

𝑅1 + 𝑅´2𝑅´2 −

𝑈

𝑅3 + 𝑅4𝑅4

Consideremos ahora las condiciones próximas al equilibrio, esto es que la variación de X

es muy pequeña X << l. La tensión U12 puede expresarse de la siguiente forma:

1

2

R 1 R 2

R3 R 4

1

2

R

R

3

2

V

R 1

R 4

G

I1

I2

1

2

R

R

3

2R 1

R 4

Figura 3



𝑈12 =𝑈

𝑅1 + 𝑅2 1 + 𝑋 𝑅2 1 + 𝑋 −

𝑈

𝑅3 + 𝑅4𝑅4 = 𝑈

𝑘𝑋

𝑘 + (1 + 𝑋) 𝑘 + 1

Podemos asemejar la sensibilidad del puente en el entorno del equilibrio como la

derivada de la tensión de salida respecto de X:

𝑆 =𝑑𝑈12

𝑑𝑋= 𝑈

𝑘 𝑘 + 1 + 𝑋 𝑘 + 1 − 1 + 𝑘 𝑘𝑋

𝑘 + (1 + 𝑋) 2 𝑘 + 1 2= 𝑈

𝑘 1 + 𝑘 + 𝑋 − 𝑘𝑋

𝑘 + 1 (1 + 𝑋 + 𝑘)2=

= 𝑈𝑘 𝑘 + 1

𝑘 + 1 (1 + 𝑋 + 𝑘)2= 𝑈

𝑘

(1 + 𝑋 + 𝑘)2

Si X << l la expresión de S se reduce a:

𝑆 = 𝑈𝑘

(𝑘 + 1)2

Ahora podemos determinar cuándo es máxima la sensibilidad del puente, para un

funcionamiento entorno al equilibrio. Para tal efecto, derivamos la S respecto de k e igualamos a

cero:

𝑑𝑆

𝑑𝑘= 0 𝑘 = 1 𝑅1 = 𝑅2 𝑦 𝑅3 = 𝑅4

Si entorno al equilibrio (se cumple que R1 R4 = R3 R2) la máxima sensibilidad del puente

ideal se consigue cuando R1=R2 y R3=R4, se deduce que la condición ideal es que R1 = R2 = R3

= R4.

5.2 Puente Real

Si ahora conectamos en serie con la fuente de alimentación la resistencia R5 y se

quiere conocer la corriente que circula por la resistencia R6, (Figura 5), se podría usar el método

de corrientes de mallas para determinarla.

En principio se muestra su representación gráfica en función de la variación de una sola

de sus seis resistencias, en este caso la R4, como se ve en la Figura 4. La resistencia R40 es el

valor de la resistencia R4 que produce el equilibrio del puente y que anula la corriente I6. Desde

el punto de vista de las mediciones eléctricas solo interesa el pequeño valor de la corriente para

pequeños desequilibrios.

BA

C

D

R

R

3

1

V

R 2

R 4

R5

I6

R6

I6

R 4R4-0

Figura 5 Figura 4



5.2.1 Determinación de la Corriente ΔI6 Provocada por un Pequeño Desequilibrio en un

Puente Real

Se calculará la corriente ΔI6 que circulará por R6 cuando se incremente un ΔR la

resistencia R4, que con R1, R2 y R3 equilibran el puente, es decir, los valores de esas cuatro

resistencias son tales que se cumple:

𝑅1

𝑅2=

𝑅4

𝑅3

Como el incremento sobre la resistencia R4 es muy pequeño, o sea ΔR<R4, se tiene que

en la Figura 6.

a) La corriente ΔI6 es mucho menor que la que circula por las cuatro resistencias del

puente, por lo que se puede despreciarla para calcular IC e ID.

b) De acuerdo al teorema de compensación en la Figura 6 se incluye la fuente de

tensión ID.ΔR y se omite ΔR. Al hacer éstas dos simplificaciones el valor de ΔI6

será un valor aproximado, aunque aceptable. El nuevo circuito sigue siendo un

puente desequilibrado ya que las resistencias del puente son ahora R1, R3, R5 y R6.

Si se aplica ahora el teorema de reciprocidad, se puede sacar la fuente de tensión

ID.ΔR de la R4 y se coloca en aquélla cuya intensidad se quiere calcular, o sea R6 de

la Figura 6 (c).

Debido a que los puntos A y B están al mismo potencial, la resistencia R5 se

puede eliminar, ya que el puente está constituido por las resistencias R1, R2, R3 y R4

que como se dijo anteriormente se equilibran, por lo tanto la intensidad de corriente

a través de R5 será siempre nula por más que se varíe el valor de su resistencia.

Figura 6

De acuerdo a la Figura 6 (c) el valor de la corriente ΔI6 que circula por la

resistencia R4 será:

∆𝐼6

𝐼𝐴=

𝑅2+𝑅3

𝑅1+𝑅4→

∆𝐼6

𝐼=

𝑅2+𝑅3

𝑅1+𝑅2+𝑅3+𝑅4 (5)

Si se llama:

𝑆 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4



Se tiene:

∆𝐼6 = 𝐼𝑅2 + 𝑅3

𝑆

Pero:

𝐼 =𝐼𝐷∆𝑅

𝑅6+(𝑅1+𝑅4)(𝑅2+𝑅3)

𝑆

(6)

Reemplazando ahora (6) en (5):

∆𝐼6 =𝐼𝐷 (𝑅2+𝑅3)∆𝑅

𝑆𝑅6+(𝑅1+𝑅4)(𝑅2+𝑅3) (7)

Para el cálculo de ID se puede obtener de la Figura 6(a), que será:

𝐼𝐷

𝐼𝐶=

𝑅1+𝑅2

𝑅3+𝑅4

𝐼𝐷

𝐼𝑃=

𝑅1+𝑅2

𝑆 (8)

Donde:

𝐼𝑃 =𝑈

𝑅5+(𝑅1+𝑅2)(𝑅3+𝑅4)

𝑆

(9)

Si se reemplaza ahora la ecuación (9) en (8):

𝐼𝐷 =(𝑅1+𝑅2)𝑈

𝑆𝑅5+(𝑅1+𝑅2)(𝑅3+𝑅4) (10)

Reemplazando la ecuación (10) en (7):

∆𝐼6 =𝑈.∆𝑅

𝑅5𝑆

(𝑅1+𝑅2)+𝑅3+𝑅4 . 𝑅6

𝑆

(𝑅2+𝑅3)+𝑅1+𝑅4

(11)

Pero:

𝑆

𝑅1+𝑅2=

𝑅1+𝑅2+𝑅3+𝑅4

𝑅1+𝑅2= 1 +

𝑅3+𝑅4

𝑅1+𝑅2= 1 +

𝑅3

𝑅2 (12)

Ya que R1, R2, R3 y R4 corresponde a un puente en equilibrio:

𝑅3

𝑅2=

𝑅4

𝑅1=

𝑅3+𝑅4

𝑅1+𝑅2 (por propiedad de las proporciones) (13)

Del mismo modo:

𝑆

𝑅2+𝑅3= 1 +

𝑅1

𝑅2 (14)



Si ahora se reemplaza (12), (13) y (14) en la ecuación (11) se tiene;

∆𝐼6 =𝑈.∆𝑅

𝑅5(1+𝑅3𝑅2

)+𝑅3+𝑅4 . 𝑅6(1+𝑅1𝑅2

)+𝑅1+𝑅4 (15)

En la ecuación anterior se ve que para pequeños incrementos ΔR la corriente ΔI6 es

proporcional a ese incremento y también a la fuente de alimentación. Además si bien las

resistencias R5 y R6 no intervienen en la condición de equilibrio del puente, sus valores juegan

un papel en la determinación del valor de ΔI6.

5.3 El Puente de Corriente Continua como Sistema de Medición

El puente de Wheatstone constituye el medio más usado para medir resistencias de

valores comprendidas entre 1Ω y 10 MΩ. Es también muy usado en diversos dispositivos de

medición y control en los cuales el elemento sensor es una resistencia cuya, variación es una

cantidad medida, como por ejemplo: temperatura, deformación mecánica, posición, presión,

intensidad luminosa, etc.

En general, la resistencia incógnita X forma un puente con otras tres resistencias

conocidas, que pueden ser variadas de distintas formas para lograr el equilibrio. La verificación

del equilibrio se realiza a través de un galvanómetro o detector de cero.

Cuando se lo utiliza como dispositivo de medición o control de magnitudes no

eléctricas, el puente se usa a menudo como desequilibrado y la cantidad medida es indicada

por el instrumento, que mide la corriente de desequilibrio que es función de la incógnita si U es

constante.

Vamos a referirnos de aquí en adelante al puente de cero. Si se tiene una resistencia

incógnita X y se la conecta de tal manera que con otras tres resistencias variables se forma

puente, se puede escribir de acuerdo a la ecuación (4):

𝑋 = 𝑅1𝑅3

𝑅2 (16)

y de ésta última ecuación se deduce el valor de la incógnita.

Existen varias soluciones constructivas al problema de variar los valores de Rl, R2 y

R3.

a) Usando una rama de relación variable a "saltos" y resistencia de comparación

variable en forma "continua".

La ecuación (16) se puede reescribir de la siguiente forma:

𝑋 =𝑅1

𝑅2𝑅3 (17)

De esta manera se está escribiendo a X en función de R3 y de la relación entre R1 y

R2, o más generalmente; en función de una adyacente y de la relación de la otra adyacente a la

opuesta.



La R3, la cual llamaremos resistencia de comparación, se construye generalmente

en forma de "décadas" como si fueran las conocidas "cajas de resistencias", o menos

frecuentemente, por resistencias conectables por clavijas. Cualquiera de éstas dos últimas

formas de construcción, el valor de la resistencia puede ser variado desde cero hasta un

máximo, en saltos de 1, 0.1 ó 0.01Ω. Como vemos la variación entonces de R3 no es

"continua".

La relación Rl/R2 cuyas resistencias constituyen la llamada rama de relación puede

tomar, a voluntad del operador, valores decimales tales como 0.0001, 0.001, 0.01, 0.1, 1, l0,

100, 1000 y 10.000. De acuerdo a esto último, si tenemos por ejemplo que al medir una

determinada resistencia incógnita, hemos logrado el equilibrio con una rama de relación de

valor: 0.001 y con una resistencia de comparación R3: 10987Ω el valor de X será de acuerdo a

la ecuación (17):

𝑋 = 0.001 10987Ω = 10.987Ω

La rama de relaci6n puede tomar varias formas constructivas:

Cada una de las resistencias Rl y R2 puede tomar independientemente valores

decimales como 1, 10, 100, 1000 y 10000Ω. Esto permite obtener una misma

relación con distintos valores de Rl y R2. Por ejemplo, la relación 1/10 puede

lograrse con 1 y 10, 10 y 100, 100 y 1000, etc. lo cual constituye una ventaja, como se

verá más adelante. Existen puentes de menor calidad en que la rama de relación suma

de Rl y R2 es constante. La relación puede variarse entre 0.01 y 100, mediante una

llave (Figura 7).

Figura 7

Otra opción es resistencia de comparación variable a saltos y rama de relación de

variación continúa. Este es del tipo que se conoce como "puente de hilo" que es de

moderada exactitud y prácticamente se usa en modelos didácticos. ()

Figura 8

V

R

R 2

G

XR 1

0.010.1110100

X

C

Bl2

R G

A l1

V



En algunos modelos, y entre ellos están los de laboratorio de mayor exactitud, el

puente está constituido por la rama de relación, la resistencia de comparación, los pulsadores,

el galvanómetro y la batería. En la actualidad la resistencia comparación es del tipo de décadas.

5.4 Errores del Puente de Wheatstone. Sensibilidad

Los errores en un puente se pueden clasificar en:

a) Errores de ajuste de los resistores Rl , R2 y R3.

b) Errores debidos a fems térmicas espurias.

c) Error por insensibilidad.

a) Los errores de ajuste de los resistores son aquellos debidos a la fabricación de los

mismos, su regulación, o las modificaciones sufridas debido a la temperatura o la acción del

tiempo.

De la ecuación (16) podemos calcular el error relativo límite de la medición de la

incógnita X, que sería:

𝑒𝑋 = ±∆𝑋

𝑋= ±

∆𝑅1

𝑅1+

∆𝑅2

𝑅2+

∆𝑅3

𝑅3 = ± 𝑒1 + 𝑒2 + 𝑒3 (18)

En el caso del puente de relación en que solo se conoce el valor de la relación y son

desconocidos los valores de Rl y R2.

𝑒𝑋 = ±∆𝑋

𝑋= ± 𝑒𝑝 +

∆𝑅3

𝑅3 (19)

donde ep es el error relativo de la relación del puente, o sea:

𝑒𝑝 = ± ∆𝑅1

𝑅1+

∆𝑅2

𝑅2 (20)

Generalmente el fabricante especifica siempre los valores límites de los errores relativos de las

resistencias de relación y de la comparación. Si el puente es de relación se da el valor de ep.

b) Las fems térmicas ocasionan errores, particularmente importantes si están en la

diagonal del galvanómetro. Debido a ello el pulsador del interruptor del galvanómetro está

hecho de material plástico, que siendo mal conductor térmico evita que se transmita al circuito

el calor del dedo del operador.

c) Similar a lo que ocurre en el método de oposición, aparece en el uso del puente un

error debido a la falta de perfecta sensibilidad del detector para apreciar cuando está

correctamente equilibrado. El problema está condicionado por la sensibilidad del galvanómetro

o detector y por las resistencias del circuito, que influyen no solo a las propias del puente sino

también, a la incógnita, a la de la fuente y a la del galvanómetro.

Se analizará a continuación sensibilidad para un puente de relación variable a saltos y

resistencia de comparación de variación continua. Las conclusiones se pueden extender a otro

tipo de puente.



Si se usa en el puente del tipo anterior una relación Rl/R2 y se varía la resistencia de

comparación R (anteriormente se había llamado R3), la está en el valor de R3 que establece el

equilibrio, pero como:

𝑋 =𝑅1

𝑅2𝑅 (21)

esa incertidumbre de R implica una de X en valor relativo igual a:

∆𝑋

𝑋=

∆𝑅

𝑅 (22)

Por lo tanto es equivalente hablar de incertidumbre de X o de R. Teniendo en cuenta esto se

define la sensibilidad del puente como:

𝑆 =𝑋

∆0𝑋=

𝑅

∆0𝑅 (23)

donde Δ0X y Δ0R son las incertidumbres de X y de R, o sea los valores que provocan un

desequilibrio del puente tal que por el detector circula la Δ0Ig mínima corriente perceptible.

La corriente Δ0Ig mínima perceptible es la resolución del detector, en otras palabras una

propiedad del mismo detector, por lo tanto determinable. Por otra parte, se conoce la relación

que liga el incremento de R con la corriente de desequilibrio, relación dada por la ecuación

(15) en la que ahora se cambia a R por R3, X por R4, Δ0X por AR, Δ0Ig por ΔI6, B por R5 y G por

R6.

∆0𝐼6 =𝑈.∆0𝑋

𝐵 1+𝑅

𝑅2 +𝑅+𝑋 𝐺(1+

𝑅1𝑅2

)+𝑅1+𝑋 (24)

sabiendo además que los valores Rl, R2, R y X equilibran el puente y que además se

pueden llamar:

𝜌 =𝑅1

𝑅2=

𝑋

𝑅 Relación a ambos lados del galvanómetro. (25)

𝜎 =𝑋

𝑅1=

𝑅

𝑅2 Relación a ambos lados de la fuente. (26)

Como:

𝑆 =𝑋

∆0𝑋

Se tiene:

𝑆 =𝑈

∆0𝐼𝑔

𝑋

𝐵 1+𝜎 +𝑋(1+1

𝜌) . 𝐺(1+𝜌)+𝑋(1+

1

𝜎)

(27)

Esta última expresión da la sensibilidad del puente para cierto valor de X cuando están

definidos la fuente de alimentación (por su valor de tensión U y su resistencia interna B) y el

galvanómetro (por su valor de la mínima corriente Δ0Ig que es capaz de percibir y por su

resistencia interna G).



Esta ecuación permite resolver todos los problemas que involucran la sensibilidad del

puente pero es necesario tener en cuenta las condiciones de cada caso particular. De la ecuación

(27) se pueden deducir las siguientes conclusiones:

a) La sensibilidad será mayor cuando la tensión de la fuente U sea mayor y cuanto

menor sea su resistencia interna B.

b) Conviene siempre que la sensibilidad del galvanómetro sea la mayor posible y su

resistencia interna la más baja posible.

c) La limitación de la tensión de la fuente está en la disipación de las resistencias del

puente, incluyendo a la incógnita X. En general, la disipación de las resistencias del

puente es de 1/2 W a 2 W, que es un dato que generalmente lo da el fabricante.

Se puede analizar que ocurre con la sensibilidad del puente para valores extremos de la

incógnita, es decir para:

0 ≤ 𝑋 ≤ ∞

Si se supone que la resistencia de comparación R se mantiene constante para cierto valor

de X, que como se verá es lo real en un puente de medición, siendo 𝜌 =𝑋

𝑅 , las variaciones ρ y

de X son proporcionales. Luego de la ecuación (27) se puede poner:

𝑆 =𝑈

∆0𝐼𝑔 .𝑅

1

𝐵

𝑅 1+𝜎 +𝜌+1 .

𝐺

𝑅 .𝜌(1+𝜌)+

1

𝜎+1

(28)

De la ecuación anterior se puede deducir lo siguiente:

a) La sensibilidad S tiende a cero cuando ρ tiende a cero ya que el factor de G que es l/ρ

tiende a infinito.

b) La sensibilidad S tiende a cero para ρ tendiendo a infinito ya que tendería infinito lo

encerrado por el primer par de corchetes.

De estas conclusiones surge el porqué el puente no debe ser usado por debajo de 1 Ω ni

por arriba de 1 MΩ. Se debe además hacer dos aclaraciones: el límite inferior de 1 Ω está

también impuesto por el error que introduce la resistencia de los conductores de unión de la

incógnita y el límite superior puede ser amplísimamente excedido mediante adecuadas

modificaciones constructivas del puente.

Si se sigue investigando en la ecuación (28) se puede determinar para cierta X para cierta

relación ρ, la relación σ que da máxima sensibilidad. Para determinarla se puede derivar la

ecuación (27) respecto de σ e igualarla a cero para hallar el valor de σ que hace máximo a S.

Derivando entonces se tiene:

𝜎2 =𝑋 . 𝐵+𝑋(1+

1

𝜌)

𝐵. 𝑋+𝐺(1+𝜌) (29)

La ecuación anterior muestra que el valor de σ que da, para cierta X y cierto ρ, la

máxima sensibilidad es función de B y de G. Se advierte además que si ρ =1, no siempre se

obtendrá máxima sensibilidad con σ=1, es decir, con Rl = R2 =R = X. Se puede comprobar con

la ecuación (29) que esta regla solo vale si se cumple la siguiente condición:

𝑋 = 𝐵. 𝐺 (30)



BA

C

D

R

R 1

V

R 2

X

G

5.5 Error Límite en el Puente de Wheatstone.

Como se sabe, toda medida puede exprearse como:

𝑋 = 𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 ± ∆𝑋

Siendo:

∆𝑋 = ∆𝑋𝑃 + ∆0𝑋

Con:

∆𝑋𝑃: Error absoluto límite debido a la inceridumbre de las resistencias del puente.

∆0𝑋: Error absoluto límite debido a la incertidumbre en la detección del equilibrio.

Además:

𝑋 =𝑅1

𝑅2𝑅 = 𝜌. 𝑅

El error relativo límite será entonces debido solo a

las resistencias del puente:

𝑒𝐿𝑃= ±

∆𝑋𝑃

𝑋𝑚 á𝑥= ±

∆𝜌

𝜌+

∆𝑅

𝑅

Donde 𝑋𝑚á𝑥= alcance del puente

Por lo tanto, el error absoluto límite debido a las

resistencias del puente será

∆𝑋𝑃 = 𝑋𝑚á𝑥 . 𝑒𝐿𝑃

Si el error relativo es porcentual, osea 𝑒𝐿𝑃% se tiene:

∆𝑋𝑃 =𝑋𝑚á𝑥 . 𝑒𝐿𝑃%

100

Algunos fabricantes dan el error límite porcentual para cada relación ρ = R1/R2, sin

embargo la mayoría de ellos fijan un valor que denominan exactitud (ep%) y que representa el

error relativo porcentual de la medición o sea:

∆𝑋𝑃% = 𝑋𝑚 . 𝑒𝑃% → ∆𝑋𝑃 =𝑋𝑚 . 𝑒𝑃%

100

El valor ∆0𝑋 (error absoluto límite debido a la incertidumbre en la detección del

equilibrio) se puede calcular en forma práctica con la “sensibilidad relativa práctica”.



Se define:

Sensibilidad Relativa Práctica = 𝑆𝑅𝑃=

∆0𝛼∆0𝑅

𝑅

= 𝛼´−𝛼´´ 𝑅 ´−𝑅 ´´

𝑅

(31)

Para determinar prácticamente esta sensibilidad práctica procede de la siguiente manera:

1. Una vez obtenido el equilibrio del puente se varía la resistencia de comparación

R hasta obtener una división a la derecha en el galvanometro y se lee ahora el

nuevo valor de R que en este caso caso será R'.

2. Análogamente, se varía nuevamente R hasta obtener una división a la izquierda

de la posición de equilibrio del galvanometro, leyendo el nuevo valor R".

3. Se calcula la sensibilidad relativa práctica sabindo que:

𝛼´ − 𝛼´´ = 2 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 Siendo:

𝛼´ = 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑅´ 𝛼´´ = 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑅´´

∆0𝛼 = mínima variacion perceptible en el galvanometro (1/10 división)

4. Si ahora de la ecuación de la sensibilidad relativa práctica (SRP) se despeja el

valor de ∆0R:

∆0𝑅 =∆0𝛼. 𝑅

𝑆𝑅𝑃

Pero:

∆0𝑋 =𝑅1

𝑅2∆0𝑅 =

𝑅1

𝑅2.∆0𝛼. 𝑅

𝑆𝑅𝑃

= 𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 .∆0𝛼

𝑆𝑅𝑃

EJEMPLO N° 1:

Se ha medido una resistencia con un puente,obteniéndose los siguientes datos:

R = 1248 Ω.

R´ = 1260 Ω…….. 1 división a la derecha

R´´ = 1240 Ω…….. 1 división a la izquierda

𝑒𝐿𝑃% = error relativo de la medición (dato del fabricante) = 0.1%

𝜌 =𝑅1

𝑅2 = 10 ∆0𝛼 = 0.1 división.

Calcular el error relativo de la medición.

SOLUCIÓN:

a) Resistencia medida: 𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 =𝑅1

𝑅2𝑅 = 𝜌. 𝑅 = 10 . 1248 Ω = 12480 Ω

b) Error absoluto del puente: ∆𝑋𝑃 =𝑋𝑚 .𝑒𝑃%

100=

12480 Ω 0.1

100= 12.48 Ω

c) ∆0𝑋 =𝑅1

𝑅2∆0𝑅 =

𝑅1

𝑅2.∆0𝛼 .𝑅

𝑆𝑅𝑃

= 𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 .∆0𝛼

𝑆𝑅𝑃



Pero: 𝑆𝑅𝑃=

∆0𝛼∆0𝑅

𝑅

= 𝛼´−𝛼´´ 𝑅 ´−𝑅 ´´

𝑅

= 2 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

1260 Ω − 1240 Ω

1248 Ω

= 124.8 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

∆0𝑋 = 𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 .∆0𝛼

𝑆𝑅𝑃

= 12480 Ω.0.1 divisiones

124.8 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠= 10 Ω

d) ∆𝑋 = ∆𝑋𝑃 + ∆0𝑋 = 12.48 Ω + 10 Ω = 22.48 Ω

e) 𝑋 = 𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 ± ∆𝑋 = 12480 ± 22.48 Ω = 12480 ± 23 Ω

f) El error relativo total será: 𝑒 =∆𝑋

𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜= 0.18%

EJEMPLO N° 2:

Se quiere medir una resistencia de aproximadamente 1000 Ω. Se dispone de un puente de las

siguientes características:

𝜌 =𝑅1

𝑅2 = 0.001 ; 0.01 ; 0.1 ; 1 ; 10 ; 100 ; 1000

R = resistencia de comparación = (10 x 1000 + 10 x 100 + 10 x 10 + 10 x 1)

Rcomparación máxima = 11110 Ω. Resolución de R = 1 Ω.

𝑒𝐿𝑃% = error relativo de la medición (dato del fabricante) = 0.1%

∆0𝛼 = 0.1 división.

Galvanometro: Klectura = 2 μA/div.

Rgalvanómetro = 100 Ω.

Tensión: U = 4.5 V

B = 4 Ω.

Determinar la mejor configuración para realizar la medición.

SOLUCIÓN:

a) Con las características del puente se puede construir la siguiente tabla con el alcance y la

resolución del puente para cada relación posible:

relación: 𝜌 =𝑅1

𝑅2 alcance resolución

0.001 11.11 Ω 0.001 Ω

0.01 111.10 Ω 0.01 Ω

0.1 1111.00 Ω 0.1 Ω

1 11110.00 Ω 1 Ω

10 111100.00 Ω 10 Ω

100 1111000.00 Ω 100 Ω

1000 11110000.00 Ω 1000 Ω

b) Criterio de alcance:

Como se quiere medir una resistencia de aproximadamente 1000 Ω las relaciones ρ =

0.001 y ρ = 0.01 quedan descartadas porque el puente tiene un alcance menor a 1000 Ω

con estas relaciones.



c) Criterio de reolución:

Se debe cumplir cierta relación lógica entre la exactitud del puente y la resolución del

puente, es decir, no tiene sentido emplear relaciones que den una resolución tan pobre

que la mínima variación de la R de comparación produzca variaciones en la indicación

del puente mayores a la propia exactitud que se puede lograr con el puente. En otras

palabras:

La resolución de R es de 1 Ω. La resolución del puente depende de 𝜌 =𝑅1

𝑅2 y de la

resolución de R según la tabla anterior.

Pero la exactitud del puente (𝑒𝐿𝑃%) es 0.1%, o sea que para una resistencia a medir de

1000 Ω resulta: ∆𝑋𝑃 =𝑋𝑚 .𝑒𝑃%

100=

1000 Ω . 0.1

100= 1 Ω

Por lo tanto, carece de sentido usar resoluciones en el puente que excedan 1 Ω (∆𝑋𝑃),

puesto que de ser así se estarían desaprovechando las bondades del puente.

La tabla anterior resume lo comentado:

relación: 𝜌 =𝑅1

𝑅2 alcance resolución posibilidad

0.001 11.11 Ω 0.001 Ω NO (por alcance)

0.01 111.10 Ω 0.01 Ω NO (por alcance)

0.1 1111.00 Ω 0.1 Ω SI

1 11110.00 Ω 1 Ω SI

10 111100.00 Ω 10 Ω NO (por resolución)



d) Criterio de sensibilidad:

Quedaron dos relaciones posibles:

ρ = 0.1 ó ρ = 1

La pregunta es entonces ¿con cual de ellas tendremos mayor sensibilidad?

PRIMER CASO: ρ = 0.1

Si ρ = 0.1 → X = 𝜌. 𝑅 → R =𝑋

0.1= 10000 Ω

Pero para:

ρ = 0.1 =𝑅1

𝑅2→ tres formas diferentes

ρ = 𝑅1

𝑅2=

1

10 𝐼 ; ρ =

𝑅1

𝑅2=

10

100 𝐼𝐼 ; ρ =

𝑅1

𝑅2=

100

1000 𝐼𝐼𝐼



En los tres casos se tiene el equilibrio:

X . 𝑅2 = 𝑅1 . R

𝐼 1000 x 10 = 1 x 10000

𝐼𝐼 1000 x 100 = 10 x 10000

𝐼𝐼𝐼 1000 x 1000 = 100 x 10000

¿Con cual de éstas tres relaciones se tiene mayor sensibilidad?: Se sabe que:

𝑆 =𝑈

∆0𝐼𝑔 . 𝑅

1

𝐵

𝑅 1 + 𝜎 + 𝜌 + 1 .

𝐺

𝑅.𝜌(1 + 𝜌) +

1

𝜎+ 1

Alternativa (I):

Para ρ = 𝑅1

𝑅2=

1

10

Como:

R= 10000 Ω

∆0𝐼𝑔 = 0.1 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 0.2 𝜇𝐴

σ =𝑋

𝑅1=

𝑅

𝑅2=

10000 Ω

10 Ω= 1000 Ω

Rgalvanómetro = 100 Ω U = 4.5 V B = 4 Ω.

𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝐼) =4.5𝑉

0.2𝜇𝐴 10000Ω

1

4Ω

10000 Ω 1 + 1000Ω + 0.1 + 1 .

100Ω

10000 Ω .0.1(1 + 0.1) +

1

1000 Ω+ 1

𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝐼) = 1350 div

Alternativa (II):

Para ρ = 𝑅1

𝑅2=

10

100

Como:

R= 10000 Ω


σ =𝑋

𝑅1=

𝑅

𝑅2=

10000 Ω

100 Ω= 100 Ω




𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝐼𝐼) =4.5𝑉

0.2𝜇𝐴 10000Ω

1

4Ω

10000 Ω 1 + 100Ω + 0.1 + 1 .

100Ω

10000 Ω .0.1(1 + 0.1) +

1

100 Ω+ 1

𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝐼𝐼) = 1761 div

Alternativa (III):

Para ρ = 𝑅1

𝑅2=

100

1000

Como:

R= 10000 Ω


σ =𝑋

𝑅1=

𝑅

𝑅2=

10000 Ω

1000 Ω= 10 Ω


𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝐼𝐼𝐼) =4.5𝑉

0.2𝜇𝐴 10000Ω

1

4Ω

10000Ω 1 + 10Ω + 0.1 + 1 .

100Ω

10000Ω .0.1(1 + 0.1) +

1

10 Ω+ 1

𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝐼𝐼𝐼) = 1683 div

SEGUNDO CASO: ρ = 1

Si ρ = 1 → X = 𝜌. 𝑅 → R =𝑋

1= 1000 Ω

Pero para:

ρ = 1 =𝑅1

𝑅2→ cuatro formas diferentes

ρ = 𝑅1

𝑅2=

1

1 𝐼𝑉 ; ρ =

𝑅1

𝑅2=

10

10 𝑉 ; ρ =

𝑅1

𝑅2=

100

100 𝑉𝐼 ; ρ =

𝑅1

𝑅2=

1000

1000 𝑉𝐼𝐼

En los cuatro casos se tiene el equilibrio:

X . 𝑅2 = 𝑅1 . R

𝐼𝑉 1000 x 1 = 1 x 1000

𝑉 1000 x 10 = 10 x 1000

𝑉𝐼 1000 x 100 = 100 x 1000

𝑉𝐼𝐼 1000 x 1000 = 1000 x 1000



Aplicando la misma ecuacion de sensibilidad se tiene:

Alternativa (IV):

Para ρ = 𝑅1

𝑅2=

1

1

Como:

R= 1000 Ω


σ =𝑋

𝑅1=

𝑅

𝑅2=

1000 Ω

1 Ω= 1000 Ω


𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝐼𝑉) =4.5𝑉

0.2𝜇𝐴 1000Ω

1

4Ω

1000Ω 1 + 1000Ω + 1 + 1 .

100Ω

1000Ω(1 + 1) +

1

1000 Ω+ 1

𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝐼𝑉) = 3120 div

Alternativa (V):

Para ρ = 𝑅1

𝑅2=

10

10

Como:

R= 1000 Ω


σ =𝑋

𝑅1=

𝑅

𝑅2=

1000 Ω

10 Ω= 100 Ω


𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑉) =4.5𝑉

0.2𝜇𝐴 1000Ω

1

4Ω

1000Ω 1 + 100Ω + 1 + 1 .

100Ω

1000Ω(1 + 1) +

1

100 Ω+ 1

𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑉) = 9340 div



Alternativa (VI):

Para ρ = 𝑅1

𝑅2=

100

100

Como:

R= 1000 Ω


σ =𝑋

𝑅1=

𝑅

𝑅2=

1000 Ω

100 Ω= 10 Ω


𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑉𝐼) =4.5𝑉

0.2𝜇𝐴 1000Ω

1

4Ω

1000Ω 1 + 10Ω + 1 + 1 .

100Ω

1000Ω(1 + 1) +

1

10 Ω+ 1

𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑉𝐼) = 10792 div

Alternativa (VII):

Para ρ = 𝑅1

𝑅2=

1000

1000

Como:

R= 1000 Ω


σ =𝑋

𝑅1=

𝑅

𝑅2=

1000 Ω

1000 Ω= 1 Ω


𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑉𝐼𝐼) =4.5𝑉

0.2𝜇𝐴 1000Ω

1

4Ω

1000Ω 1 + 1Ω + 1 + 1 .

100Ω

1000Ω(1 + 1) + 1 + 1

𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑉𝐼𝐼) = 5093 div

Conclusion: de las siete alternativas analizadas la mayor sensibilidad del conjunto puente –

galvanómetro se obtiene cuando R1=100Ω y R2=100Ω (ρ=1) con una resolución del puente de

1Ω.



6 Consideraciones sobre el uso del Puente

1) Fuente de alimentación:

La tensión de la fuente es un dato del fabricante. Se suele colocar una resistencia en serie con

la fuente debajo valor óhmico, generalmente 2 Ω, con el fin de limitar la corriente cuando se

usan los valores más bajos de las resistencias de comparación o de relación. Es conveniente

siempre verificar que la potencia de disipación de las resistencias del puente no sea excedida

nunca en aquellos casos en que se aumenta considerablemente la tensión para aumentar la

sensibilidad de la medición. Por lo general las potencias admisibles de éstas resistencias oscilan

entre 0.1 W a 2 W.

2) Detector utilizado:

El detector o galvanómetro utilizado deberá tener la sensibilidad adecuada a la incertidumbre

que no debe ser excedida. No es conveniente que sea mayor porque a más sensibilidad en el

galvanómetro mayor fragilidad y mayor precio.

La resistencia del galvanómetro deberá ser de valor compatible con la que presenta en sus

bornes el puente. En general es adecuado un valor de 100 a 500 Ω.

7 Medición de valores de Resistencias Menores que 10 Ω

Cuando los valores de resistencias a medir son menores que 10 Ω pueden cometerse errores

significativos debido a la resistencia que presentan los conductores de unión. Se pueden

disminuir estos errores haciendo lo siguiente: Se mide primero el valor de X y luego se la saca

del circuito. Inmediatamente se cortocicuita los extremos libres de los conductores y luego ese

valor obtenido se descuenta de la medición del valor de la X medida.

No obstante, lo más adecuado es usar el puente de Kelvin como se verá a cotinuación.

8 Puente Doble de Thomson

Se dijo anteriormente que debido a las resistencias de los conductores de unión, la

medición de resistencias menores a 10 Ω adolece de errores significativos cuando se utiliza el

puente de Wheatstone. Además las resistencias patrones, derivadores, etc, presentan cuatro

bornes: dos de alimentación o de corriente y dos de tensión, (ver apéndice). Para medir

resistencias de éste tipo no puede usarse el puente estudiado de Wheatstone, es por ello que

debe recurrirse a otro puente de corriente continua denominado puente de Thompson o Kelvin

cuyo circuito es el de la Figura 9.

Figura 9.

R2

I1

R1

R4

I3

R3

G

C

D

B

M

I

AE

P

N Q

I3

R

IT I 1 I= +

G H I 0 I 3I= - K LI

XR0

A



Se ve en esta figura un circuito de “grueso” en el cual se disponen en serie la resistencia

de comparación R y la resistencia incógnita X, atravesadas por la corriente I. Debido a esta

corriente I se provocan caídas de tensión en X y R que son comparadas en las resistencias R1,

R2, R3 y R4, todas del orden de 100 Ω como mínimo, de modo que las resistencias de los

conductores de unión, en serie con ellas, ejercen un efecto poco importante.

Se demostrará más adelante que el circuito del puente de Thomson es equivalente a uno

de Wheatstone que debido al bajo valor de σ trabaja en pobres condiciones de sensibilidad, pero

que soluciona el problema de los conductores de unión, permitiendo medir resistencias muy

bajas, en un rango desde l0-8

y aún menos, hasta 1Ω o 10Ω.

8.1 Condición de Equilibrio

El puente se considerará en equilibrio cuando los puntos C y D estén a un mismo

potencial, es decir, cuando sean iguales las caídas UAC y UAD de la Figura 9. Así de tiene:

𝐼1 =𝑈𝐴𝐵

𝑅1+𝑅2 (32)

𝐼 =𝑈𝐴𝐵

𝑅+𝑋+ 𝑅3+𝑅4 .𝑅0𝑅0+𝑅3+𝑅4

=𝑈𝐴𝐵

𝑅+𝑋+ 𝑅3+𝑅4 .𝑅0

𝑆

(33)

donde:

𝑆 = 𝑅0 + 𝑅3 + 𝑅4 (34)

𝐼3

𝐼0=

𝑅0

𝑅3+𝑅4→

𝐼3

𝐼=

𝑅0

𝑆 (35)

𝑈𝐴𝐶 = 𝐼1. 𝑅2 = 𝑈𝐴𝐷 = 𝐼. 𝑅 + 𝐼3. 𝑅4 = 𝐼. 𝑅 +𝑅0 .𝑅4

𝑆 (36)

De (32) y (33): 𝑈𝐴𝐵 .𝑅2

𝑅1+𝑅2=

𝑈𝐴𝐵

𝑅+𝑋+ 𝑅3+𝑅4 .𝑅0

𝑆

𝑅 +𝑅0 .𝑅4

𝑆 (37)

𝑅2

𝑅1+𝑅2=

𝑅 .𝑆+𝑅0 .𝑅4

𝑆(𝑅+𝑋+𝑅0)=

𝑅 .𝑆+𝑅0 .𝑅4

𝑋 .𝑆+𝑅0 .𝑅3+𝑅.𝑆+𝑅0 .𝑅4 (38)

Se ve que en el primer miembro R2 está en el numerador y en el denominador y

que en el segundo lo mismo pasa con R.S.+ R0.R4

𝑅2

𝑅1=

𝑅.𝑆+𝑅0 .𝑅4

𝑆.𝑋+𝑅0 .𝑅3 (39)

𝑋. 𝑆 + 𝑅0. 𝑅3 =𝑅1

𝑅2 𝑅. 𝑆 + 𝑅0. 𝑅4 (40)

De la ecuación (34):

𝑋 =𝑅1

𝑅2𝑅 +

𝑅0 .𝑅3

𝑅0+𝑅3+𝑅4 𝑅1

𝑅2−

𝑅3

𝑅4 (41)



R´

G

R0

R3R4

R X

X´

G´

R1R2 G

G

G´R

R´

X

X´

Si permanentemente se cumple que:

𝑅1

𝑅2−

𝑅3

𝑅4 (42)

Lo encerrado entre paréntesis se anula, y la ecuación (41) queda:

𝑋 =𝑅1


Si llamamos:

𝜌 =𝑅1

𝑅2

Para lograr que la proporción (42) se cumpla permanentemente se hace que siempre sea:

𝑅1 = 𝑅3 y 𝑅2 = 𝑅4

8.2 Vinculación del Puente de Thomson con el de Wheatstone:

Vemos en la Figura 9 que R0, R3 y R4 están conectadas en triángulo. Si se hace la

transformación estrella – triangulo quedará:

𝑋´ =𝑅0. 𝑅3

𝑆 𝑅´ =

𝑅0. 𝑅4

𝑆 𝐺´ =

𝑅3. 𝑅4

𝑆

Se advierte que el puente se ha convertido en un puente de

Wheatstone, 𝑋 +𝑅0 .𝑅3

𝑆=

𝑅1

𝑅2 𝑅 +

𝑅0 .𝑅4

𝑆

𝑋 =𝑅1

𝑅2.𝑅4. 𝑅0

𝑆−

𝑅3. 𝑅0

𝑆=

𝑅1

𝑅2. 𝑅 +

𝑅4. 𝑅0

𝑆 𝑅1

𝑅2−

𝑅3

𝑅4

Figura 10, cuyas resistencias son R1

y R2, la suma R+R´, la suma X+X y con un galvanómetro

cuya resistencia interna se incrementa del valar G al G+G´.

La condición de equilibrio, ya vista del puente de Thompson

puede deducirse de la del puente de Wheatstone equivalente

de la 𝑋 +𝑅0 .𝑅3

𝑆=

𝑅1

𝑅2 𝑅 +

𝑅0 .𝑅4

𝑆

𝑋 =𝑅1

𝑅2.𝑅4. 𝑅0

𝑆−

𝑅3. 𝑅0

𝑆=

𝑅1

𝑅2. 𝑅 +

𝑅4. 𝑅0

𝑆 𝑅1

𝑅2−

𝑅3

𝑅4

Figura 10. En efecto:

𝑋 + 𝑋´ =𝑅1

𝑅2

𝑅 + 𝑅´

𝑋 +𝑅0. 𝑅3

𝑆=

𝑅1

𝑅2 𝑅 +

𝑅0. 𝑅4

𝑆



R3R

4 G

G

R XR"0 R'0

D´

D

𝑋 =𝑅1

𝑅2.𝑅4. 𝑅0

𝑆−

𝑅3. 𝑅0

𝑆=

𝑅1

𝑅2. 𝑅 +

𝑅4. 𝑅0

𝑆 𝑅1

𝑅2−

𝑅3

𝑅4

Figura 10

Como veremos, también podrán extenderse al puente de Thomson las conclusiones

referentes a la sensibilidad deducidas para el puente de Wheatstone equivalente.

Otro razonamiento distinto al hecho recién nos permite deducir el puente de Wheatstone

equivalente: de acuerdo con lo visto existe siempre en el interior de R0 un punto D tal que dicha

resistencia queda dividida en dos partes, R´0 y R´´0 que están en equilibrio con R3 y R4. Es

decir, sus valores son tales que se cumple:

𝑅´0

𝑅´´0=

𝑅3

𝑅4

Entonces :

𝑅´0 = 𝑅0.𝑅3

𝑅3 + 𝑅4 𝑅´´0 = 𝑅0.

𝑅4

𝑅3 + 𝑅4

Estando los puntos D y D' al mismo potencial, podemos considerar que con X está en

serie X', que es el paralelo de R3 y R´0 y R en serie con R´, que es el paralelo de R4, y R´´0. Se

deduce el valor de X':

1

𝑋´=

1

𝑅3+

1

𝑅´0=

1

𝑅3+

𝑅3 + 𝑅4

𝑅3. 𝑅0=

1

𝑅3. 1 +

𝑅3 + 𝑅4

𝑅0 → 𝑋´ =

𝑅3. 𝑅0

𝑆

que es el mismo valor ya deducido empleando la

transformación estrella triángulo. Lo mismo con R':

𝑅´ =𝑅4. 𝑅0

𝑆

Se advierte así el motivo de la denominación de puente

doble.

Figura 11

8.3 Errores del Puente de Thomson:

Los errores del puente de Thomson son debidos a diferentes causas que podemos

clasificar de la siguiente manera:

a. Error de calibración o ajuste de R.

b. Error de relación ρ.

c. Error por fem térmicas.



d. Error por incorrecto ajuste de R1 y R3 y de R2 y R4 frente a R0 ≠0.

e. Error por imperfecta sensibilidad.

Las causas a) b) c) de error ya habían sido estudiadas al analizar el puente de

Wheatstone. Estudiaremos las dos últimas:

d. Si hacemos:

𝑅1

𝑅2−

𝑅3

𝑅4 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑋 =

𝑅1

𝑅2. 𝑅

Sin embargo, en la realidad resulta imposible cumplir exactamente con la condición

(42), es decir, siempre será:

∆=𝑅1

𝑅2−

𝑅3

𝑅4≠ 0

Si Rl y R3 tienen el mismo valor nominal, así como R2 y R4, y llamamos "e" al error

relativo límite de regulación de estas cuatro resistencias podemos calcular los valores límites de

Δ, así, el máximo valor positivo de Δ se dará cuando debido al error “e” el cociente R1/R2 sea

el máximo (máximo error positivo para Rl y máximo error negativo para R2), y el cociente

R3/R4, sea mínimo (máximo error negativo de R3 y máximo error positivo de R4). Esto que

dijimos lo podemos poner:

∆𝑚= ± 𝑅1𝑚 . (1 + 𝑒)

𝑅2𝑚 . (1 − 𝑒)−

𝑅3𝑚 . (1 − 𝑒)

𝑅4𝑚 . (1 + 𝑒)

Donde R1m , R2m , R3m y R4m son los valores teóricos o nominales que, como sabemos, son

tales que:

𝑅1𝑚

𝑅2𝑚=

𝑅3𝑚

𝑅4𝑚

Además, como es con suficiente aproximación:

1

1 − 𝑒≅ 1 + 𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒 ≪ 1

Podemos escribir:

∆𝑚=𝑅1𝑚

𝑅2𝑚. (1 + 𝑒)2 −

𝑅1𝑚

𝑅2𝑚. (1 − 𝑒)2 =

𝑅1𝑚

𝑅2𝑚. (1 + 𝑒)2 − (1 − 𝑒)2

∆𝑚=𝑅1𝑚

𝑅2𝑚. 1 + 𝑒2 + 2𝑒 − 1 − 𝑒2 + 2𝑒 = 4𝑒.

𝑅1𝑚

𝑅2𝑚= 4. 𝑒. 𝜌

Reemplazando en la expresión completa de X, obtendremos su valor verdadero Xv:

𝑋𝑉 = 𝜌. 𝑅 ±𝑅4 .𝑅0

𝑅0+𝑅3+𝑅4. 4. 𝑒. 𝜌 (43)



Vemos que si obtenemos el valor de X de la expresión:

𝑋 =𝑅1


tendremos un error absoluto cuyo valor límite está dado por el segundo término del

segundo miembro de la (43). Se ve que el error será tanto menor cuanto menor sea Ro; de

allí la conveniencia de hacer Ro lo menor posible.

𝐸 = ±4.𝑅4. 𝑅0

𝑅3 + 𝑅4. 𝑒.

𝑅1

𝑅2

si eliminamos a Ro del denominador teniendo en cuenta que es mucho menor que R3 y

R4 . Por otra parte, como con mucha aproximación es:

𝑅1

𝑅2=

𝑅3

𝑅4

Es: 𝑅4

𝑅3 + 𝑅4=

𝑅2

𝑅1 + 𝑅2

El error de ajuste de R1 con R3 y de R2 con R4 queda:

𝐸𝑎 = ±4. 𝑅0 . 𝑒.𝜌

1 + 𝜌

En valor relativo:

𝑒𝑎 =𝐸𝑎

𝑋= ±

4. 𝑅0. 𝑒

𝜌. 𝑅.

𝜌

1 + 𝜌= ±4. 𝑒.

𝑅0

𝑅.

𝜌

1 + 𝜌

Es decir:

𝑒𝑎 = ±4. 𝑒.𝑅0

𝑅 + 𝑋

que nos dice que, en igualdad de otras condiciones, el error será tanto menor cuanto

menor sea Ro frente a la suma de R y X que están en serie con ella.

La conclusión es de carácter práctico:

l.-La unión entre R y X debe hacerse con un conductor grueso y corto, asegurando,

además, una baja resistencia de contacto.

2.-En aquellas mediciones que requieran gran exactitud, las resistencias de los

conductores de unión PL, KG, MG y NH deben hacerse, al menor aproximadamente,

proporcionales a las resistencias correspondientes, R1 , R2, R3 y R4. De esa manera no se altera

la condición: R1/R2 = R3/R4. Así, si por ejemplo R1 = 10R2 las resistencias de los conductores PL

y KQ deberán ser aproximadamente diez veces mayores que las resistencias de los conductores

MG y NH. De esa manera se cumplirá lo que en general se puede expresar así:



𝑅1 + 𝑅𝑃𝐿

𝑅2 + 𝑅𝑀𝐺=

𝑅3 + 𝑅𝑄𝐾

𝑅4 + 𝑅𝑁𝐻

8.4 Sensibilidad del Puente de Tohmson

Vamos a deducir la expresión de la sensibilidad del puente de Thomson partiendo de la

correspondiente al puente de Wheatstone equivalente. Recordemos para ello las ecuaciones de

equivalencias:

𝑋𝑊 = 𝑋 + 𝑋´ 𝑅𝑊 = 𝑅 + 𝑅´ 𝐺𝑊 = 𝐺 + 𝐺´

donde según las ecuaciones de 8.2 y teniendo en cuenta las ecuaciones:

𝑅1

𝑅2=

𝑅3

𝑅4 𝑦 𝜌 =

𝑅1

𝑅2

Tenemos:

𝑋´ =𝑅0𝑅3

𝑅3 + 𝑅4=

𝑅0𝑅1

𝑅1 + 𝑅2=

𝑅0

1 +1

𝜌

= 𝑅0

𝜌

1 + 𝜌

𝑅´ =𝑅0𝑅4

𝑅3 + 𝑅4=

𝑅0𝑅2

𝑅1 + 𝑅2= 𝑅0

1

1 + 𝜌

𝐺´ =𝑅3𝑅4

𝑅3 + 𝑅4=

𝑅1𝑅2

𝑅1 + 𝑅2= 𝑅1

1

1 + 𝜌

Recordando que la sensibilidad está definida por: 𝑆 =𝑋

∆𝑋 y teniendo en cuenta la

expresión de la ∆𝑋 del puente de Wheatstone equivalente, queda:

𝑆 =𝑈

∆0𝐼𝑔

𝑋

𝐵 1 + 𝜎 + 𝑋 +𝑅0 .𝜌

1+𝜌 1 +

1

𝜌 . (𝐺 +

𝑅1

1+𝜌) 1 + 𝜌 + 𝑋 +

𝑅0 .𝜌

1+𝜌 1 +

1

𝜎

Analizaremos primeramente el primer corchete del denominador, donde σ<<1:

𝐵 + 𝑋 +𝑅0. 𝜌

1 + 𝜌 1 +

1

𝜌 = 𝐵 + 𝑋 +

𝑋

𝜌+ 𝑅0 = 𝐵 + 𝑋 + 𝑅 + 𝑅0

La tensión U, dividida por este corchete no es más que con suficientemente

aproximación la intensidad I que atraviesa a X y R.

El siguiente corchete:

𝐺 1 + 𝜌 + 𝑅1 + 𝑋 + 𝑋´ 1 +1

𝜎 = 𝐺 1 + 𝜌 + 𝑅1 2 + 𝜎 = 𝐺 1 + 𝜌 + 2. 𝑅1

Pues σ<<2.

Finalmente:



𝑆 =𝑈

∆0𝐼𝑔.

𝑋

𝐺 1 + 𝜌 + 2. 𝑅1

Recordemos lo ya dicho: el puente Thomson trabaja en las condiciones de un puente de

Wheatstone de relación: 𝜎 =𝑋

𝑅1 sumamente baja; en consecuencia su sensibilidades baja, por lo

que, en general, será necesario disponer de un galvanómetro más sensible que el que se precisa

normalmente en un puente de Wheatstone si se desea alcanzar una sensibilidad equivalente. Por

otra parte, demás está decir que todo lo deducido para la sensibilidad del puente de Wheatstone

puede aplicarse para el de Thomson por lo que no nos extenderemos más sobre el tema.

8.5 Formas Constructivas

Existen dos tipos constructivos principales. En ambos casos se hace que se cumpla

siempre la condición de:

𝑅1 = 𝑅3 y 𝑅2 = 𝑅4

1 En Figura 12 vemos una disposición donde la resistencia de comparación R es constante

y la relación del puente R1/R2 es variable en forma prácticamente continua.

Figura 12

Como resistencia de comparación se usa una resistencia patrón, de tipo convencional,

no incorporada al aparato y de valor comprendido entre 0,1Ω y 0,0001Ω. La relación se

hace variable construyendo a R1 y R3 del tipo de décadas, de 9 o 10 elementos, dotadas

de llaves giratorias dispuestas de modo que las de R1 y R3 que corresponden a décadas

del mismo orden estén acopladas sobre un mismo eje. Mediante este recurso se logra

que permanentemente los valores de esas dos resistencias variables se mantengan

iguales, sin que se requiera la atención del operador. Las resistencias R2 y R4, también

acopladas mecánicamente, pueden asumir valores decimales, en general, no más de

cuatro.

2 En la Figura 13 vemos un segundo tipo constructivo, donde la resistencia de

comparación es variable en forma continua y la relación puede variar a saltos. La

resistencia de comparación está constituida por 9 resistencias iguales, conectables en

serie mediante clavijas, y que a su vez pueden conectarse en serie con una barra de



manganina de unos veinte milímetros de diámetro donde se desliza un cursor cuya

carrera está dividida en centésimas de su longitud total.

Figura 13

Resistores de Cuatro Terminales:

En todas las mediciones en que se investigan resistencias muy pequeñas, pueden

cometerse errores de importancia como consecuencia de las resistencias de contacto, por lo que

los resistores patrones y derivadores (shunts) se construyen como resistores de cuatro

terminales.

El problema es el siguiente: cuando en parte de un circuito como el de la Figura 14 a) se

considera un resistor de resistencia R, se supone que los terminales o bornes A y B son

puntuales, de modo que el valor de la resistencia quede definido como cociente de la tensión

UAB existente entre dichos bornes y la intensidad I de la corriente que circula por el resistor.

Figura 14

Pero el supuesto hecho de bornes puntuales no es cierto; los terminales tienen un cierto

volumen representado por los bloques A y B, de la misma manera los conductores que unen el

R Rc

c)A B

Rc

DC

I

I

I

DC

R

A Ba)

R

A B

b)



resistor R con el resto del circuito tienen bornes representados por los bloques C y D

superpuestos con A y B respectivamente.

En los contactos ideales A-C y, B-D, la corriente pasa sin encontrar resistencia; pero en

la realidad eso no ocurre; las superficies en contacto no son perfectamente lisas y limpias, lo

que unido a una presión insuficiente entre ellas hace que la corriente encuentre una cierta

resistencia de contacto Rc, la que en general será de valor distinto en ambos contactos, pero que

suponemos iguales por simplicidad. En estas condiciones queda definida no la resistencia R,

sino la (R+2Rc). En condiciones muy favorables Rc puede ser del orden de 0.0001Ω lo que en

algunos casos resulta inadmisible.

El problema se resuelve en los resistores patrones instalando bornes separados para

tensión y corriente (AB y CD en Figura 15). Los bornes de corriente CD se conectan al

circuito principal de corriente fuerte y los de tensión AB a los de circuitos de corriente débil,

cada uno de estos bornes introducirá cierta resistencia de contacto Rc y R'c.

Los bornes AB están unidos por medio de conexiones soldadas a los extremos de la

resistencia patrón R y forman parte de la misma. Se producen caídas de potencial en las cuatro

resistencias de contacto, pero resultan inofensivas por cuando las Rc se encuentran en serie con

la parte del circuito de medición por la que circula la corriente de intensidad I solamente, y las

R'c están en serie con resistencias de valores mucho mayores (decenas de ohms).

El elemento importante a los efectos de la medición es la caída de potencial en la

resistencia patrón R, y este valor no queda ahora afectada por la resistencia de contacto. La

mejora obtenida proviene de que las caídas de potencial producidas en las resistencias de

contacto no quedan aplicadas a la parte del circuito que efectúa la comparación de valores

(caso de las Rc) o producen efectos despreciables por provenir de corrientes débiles (caso de

las R'c).

Figura 15

R

A Ba)

I

C D

i i

R

A

b)

IC D

Rc Rc

Rc'Rc'

B

determinación de la corriente Δi medición de valores de ...emplear convenientemente un puente de...

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