determinantes

C.E.Te.CCarrera: Técnico Superior En Análisis De SistemasAsignatura: Matemática I Determinantes

Prof Alfonso Página 1 de 12

UNIDAD V: DETERMINANTES

Dada una matriz cuadrada A de orden n de elementos aij se llama Determinante de A y se simbolizaA, al número real que se obtiene de la siguiente manera:

∗ Si A es de orden 1, esto es: [ ]11 11 entonces A a A a= =

∗ Si A es de orden 2, esto es: 11 12 11 1211 22 12 21

21 22 21 22

entonces . .a a a a

A A a a a aa a a a

= = = −

∗ Si A es de orden 3 entonces A se puede obtener aplicando la Regla De Sarrus:

( ) ( )

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

11

entonces

-

a a a a a a

A a a a A a a a

a a a a a a

a a

= =

+

( ) ( )

12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

11 22 33 21 32 13 12 23 31 13 22 31 12 21 33 23 32 11

Es decir que:

. . . . . . . . . . . .

a a a a

a a a a a a

a a a a a a

A a a a a a a a a a a a a a a a a a a= + + − + +

Observación: Otra forma de resolver el determinante por la Regla De Sarrus es, agregando las dosprimeras filas debajo de la tercer fila o las dos primeras columnas a la derecha de la tercer columnay calcular, en cualquiera de los dos casos, los productos de las diagonales.

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13

21 22 23

a a a a a

A a a a a a

a a a a a

a a a

a a a

A a a a

a a a

a a a

=

=

Ejemplo:

( ) ( ) ( ) ( )

-1 2 0

1 -1 2

0 3 1

( 1).( 1).1 2.2.0 1.3.0 0.( 1).0 2.3.( 1) 2.1.1 1 0 0 0 ( 6) 2 1 ( 4) 5

A

A

= ∴ = − − + + − − + − + = + + − + − + = − − =



Otra forma de resolverlo sería:

( ) ( )

( ) ( )

1 2 0 1 2

1 1 2 1 1 1 0 0 0 ( 6) 2 1 ( 4) 5

0 3 1 0 3

-1 2 0

1 -1 2

1 0 0 0 ( 6) 2 1 ( 4) 50 3 1

-1 2 0

1 -1 2

A

A

− −= − − = + + − + − + = − − =

= = + + − + − + = − − =

*Si A es de orden 4 entonces el desarrollo del determinante es más largo y no hay una regla sencillapara calcularlo.Existen varios métodos para calcular determinantes, en general de orden n, sólo veremos algunos deellos.

Submatrices:

Definición: Una submatriz de una matriz A de orden m x n, es una matriz que se obtienesuprimiendo de A una o más filas y/o una o más columnas.En particular trabajaremos con submatrices cuadradas de orden n y escribiremos Aij para representarla submatriz de A que se obtiene al suprimir de A la i-ésima fila y la j-ésima columna.

Ejemplo:

13

22

1 0 7

6 1 4

-1 -1 0 algunas submatrices de ella pueden ser:

1 -2 4

6 8 4

-1 2 0

Si suprimimos las filas 1 y 4, y las columnas 2 y 3, obtenemo

A

A

A

=

= =

1 3 -2 4

1 0 2 7

6 1 8 4

-1 -1 2 0

14,23

s la submatriz:

1 7

6 4A

=

Menor Complementario:

Definición: Dada la matriz cuadrada A de orden n, se llama menor complementario del elemento aij

al determinante de la submatriz Aij de A, es decir, al determinante de la matriz que resulta desuprimir la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz A. Al menor complementario loindicaremos Mij, por lo tanto:

ij ijM A=

Ejemplo:

11 11

21 21

4 4Si entonces:

1 1

M BB

M B

= = = = = = − = −

3 -1

2 4



( ) ( )

( ) ( )

21 21

32 32

-1 2( 1).1 2.2 1 4 5

2 1Si entonces:

1 21.( 1) 2.0 1 0 1

0 -1

M A

A

M A

= = = − − = − − = −

= = = = − − = − − = −

1 -1 2

0 1 -1

-1 2 1

Adjunto O Cofactor:

Definición: Se llama adjunto o cofactor del elemento aij al menor complementario de ese elementoprecedido de un signo positivo o negativo según sea i+j par o impar y se indica Cij. Es decir:

( ) ( )1 . 1 .i j i j

ij ij ijc M A+ += − = −

Ejemplo:

( ) ( ) ( )2 3 5

23 23

4 1 1 . 1 . ( 1). 4.( 1) 1.2 ( 1).( 6)

2 1B C B

+ = ⇒ = − = − = − − − − − = −

4 1 -1

0 -2 2 6

2 -1 0

Habiendo definido menor complementario y adjunto o cofactor, podemos desarrollar determinantesde matrices de orden n donde n ≥ 2, aplicando el siguiente método:

Desarrollo Por Fila O Columna:

Este método permite reducir el cálculo de un determinante de orden n a determinantes de orden n–1,de la siguiente manera:

1 1 2 21

. . . . , 1, ,n

ij ij i i i i in inj

A a c a c a c i na c=

= = + + + ∀ =∑ … (por fila)

Que equivale a calcular el determinante de A desarrollándolo por los elementos de la i-ésima fila deA.También se puede calcular el determinante de A desarrollándolo por los elementos de la j-ésimacolumna de A, de la siguiente manera:

1 1 2 21

. . . . , 1, ,n

ij ij j j j j nj nji

A a c a c a c j na c=

= = + + + ∀ =∑ … (por columna)

Ejemplo:

1)Sea A

=

1 2 -1

0 3 1

2 1 4

( ) ( )

32 1 2 2 2 3

2 2 21 21 22 22 23 231

Si calculamos el por los elementos de la segunda fila resulta:

1 2 -12 -1 1 -1 1 2

0 3 1 . . . . 0.( 1) . 3.( 1) . 1.( 1) .1 4 2 4 2 1

2 1 4

3.1. 4 2 1.( 1). 1 4 18 3 21

j jj

A

A a c a c a c a c + + +

=

= = = + + = − + − + − =

= + + − − = + =

∑

Se podría desarrollar el determinante de A por cualquier fila o columna de A y el resultado sería, encualquier caso 21.



2)

4

2 2 21 21 22 22 23 23 24 241

2 1 2 2 2 3 2 4

. . . . .

0 -1 4 1 -1 4 1 0 4 1 0 -1

=3.( 1) . 2 8 7 0.( 1) . 0 8 7 4.( 1) . 0 2 7 0.( 1) . 0 2 8

0 -7 0 -3 -7 0 3 0 0 -3 0 -7

=3.(-1).(-56) 0 4.( 1).24 0 168 9

j jj

B a c a c a c a c a c=

+ + + +

= = = + + + =

− + − + − + − =−

+ + − + = −

∑

1 0 -1 4

3 0 4 0

0 2 8 7

-3 0 -7 0

6 72=

Nota: El método de desarrollo por fila o columna es un caso particular de una regla mas generalpara resolver determinantes de orden n que se conoce como Regla De Laplace.Supongamos que en un determinante de orden n se han elegido arbitrariamente k filas (o kcolumnas) tal que 1 1k n≤ ≤ − . Entonces dicho determinante es igual a la suma de los productos detodos los menores de orden k (M*) contenidos en las filas elegidas por sus respectivos adjuntos.La regla de Laplace, reduce es calculo de un determinante de orden n al calculo de un determinantede orden k y n-k.

Ejemplo:

a a

*

*24,12

Elegimos la 2 y 4 fila y hallamos los menores de orden 2

que se pueden formar con esas 2 filas, que simbolizaremos M

4 3

-2 1

A

M

=

= =

1 3 4 -2

4 3 0 -1

2 4 1 3

-2 1 0 4

* *24,13 24,14

* * *24,23 24,24 24,34

4 0 4 -110 ; 0 ; 14

-2 0 -2 4

3 0 3 -1 0 -10 ; 13 ; 0

1 0 1 4 0 4

A estos valores los multiplicammos por sus correspondiente

M M

M M M

= = = =

= = = = = =

2 4 1 2 2 4 1 3 2 4 1 4 2 4 2 324,12 24,12 24,13 24,13 24,14 24,14 24,23 24,23

2 4 2 4 2 4 3 424,24 24,24 24,34 24,34

s adjuntos:

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

( 1) ( 1)

4 210 ( 1). +

1 3

A M M M M M M M M

M M M M

A

∗ + + + ∗ + + + ∗ + + + ∗ + + +

∗ + + + ∗ + + +

= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ +

+ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

−= ⋅ −

3 4 1 4

14 (-1). +13 14 1 2 1

10 14 14 ( 13) 13 ( 7) 49

49

A

A

⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅ − ⋅ − + ⋅ − = −

∴ = −

Propiedades de Determinantes:1) El determinante de la matriz identidad de cualquier orden es 1. Es decir: 1I =2) El determinante de una matriz cuadrada A de orden n, no varía al calcular el determinante de su

transpuesta. Es decir: tA A=

3) Si una matriz tiene una fila o columna con todos sus elementos iguales a cero, el determinantees nulo.



Ejemplo:2 -1 0

5 2 0 0

-1 3 0

A A

= ⇒ =

4) Si en una matriz se intercambian dos filas o columnas, su determinante cambia de signo.Ejemplo:

1 -1 2

0 1 -1 7

0 3 4

0 1 -1

1 -1 2 7

0 3 4

B B

B B

= ⇒ = ′ ′= ⇒ = −

5) Si una matriz cuadrada A de orden n, tiene dos columnas o filas iguales entonces sudeterminante es cero.Ejemplo:

( ) ( )1 -1 2

3 0 1 0 ( 6) ( 1) 0 ( 6) ( 1) 0

1 -1 2

1 2 0

1 2

C C

D D

= ⇒ = + − + − − + − + − =

− = ⇒ = −

6) Si en una matriz cuadrada A de orden n, se multiplican los elementos de una columna o fila porun número real k entonces el determinante de la nueva matriz resulta multiplicado por k.Ejemplo:

( )

1 -1 2

0 1 -1 7

0 3 4

Si a la fila 1 la multiplicamos por 2:

2 -2 4

2 . 1 0 1 -1 14 2.7 2.

0 3 4

Para obtener el determinante de , tenemos que hacer: 72

B B

k fila B B B

BB

= ⇒ =

′ ′= → = ⇒ = = =

′=

7) Si en una matriz cuadrada A de orden n, se reemplaza una fila (o columna) por la suma de dichafila (o columna) más una combinación lineal de alguna de las otras entonces su determinante novaría:Ejemplo:

1 -1 2

0 1 -1 7

0 3 4

B B

= ⇒ =

(-3).fila 1 + fila 2

1 -1 2

-3 4 -7 7

0 3 4

B B

′ ′= ⇒ =



8) Si una fila o columna de una matriz se reemplaza en suma de dos o más filas o columnas, sudeterminante puede descomponerse en dos o más determinantes.

a b p q a p q b p q

c d r s c r s d r s

e f t u e t u f t u

++ = ++

Ejemplo:1 -1 2 1 -1 2

-2 1 -4 -1 3 -3 7 4 11

0 3 4 0 3 4

( 2 1) , (1 3) , ( 4 3)

= + ⇒ = − +

− − + − −

1 -1 2

-3 4 -7

0 3 4

9) Si en una matriz cuadrada A de orden n, una fila o columna de una matriz es combinación linealde las demás, su determinante es cero (0).Ejemplo:

( ) ( ) ( )

1 -1 2

3 -4 1 0

-1 2 3

2. 1 2

1,2,3 . 1, 1,2 . 3, 4,1

Despejando: 2 y 1

A A

fila fila

α β

α β

= ⇒ =

+ − = − + − = = −

10) Si A y B son matrices cuadradas de orden n, entonces el determinante del producto entre A y Bes igual al producto de los determinantes de las matrices.

A B A B⋅ = ⋅

11) Si A es una matriz triangular entonces el determinante de A es igual al producto de loselementos de la diagonal principal.Ejemplo:

1 2 0

0 1 1 1.( 1).4

0 0 4

A = − = − = -4

Reducción A La Forma Escalonada:

Este es otro método para calcular determinantes y consiste en aplicar ciertas operaciones que nospermite obtener una matriz triangular inferior o superior equivalente a la matriz dada.Aplicando estas operaciones obtenemos una matriz equivalente a la dada pero que sea triangular oque tenga la forma escalonada para poder aplicar la propiedad de que el determinante de una matriztriangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. No hay que olvidar que alaplicar las operaciones elementales a las filas de la matriz para calcular su determinante, debemostrabajar con las propiedades correspondientes de determinantes.



Dichas operaciones son:I) Intercambiar dos filas (o columnas) entre sí. En este caso el determinante cambia de

signo.II) Multiplicar una fila (o columna) por un escalar k ≠ 0. En este caso el determinante queda

multiplicado por un escalarIII) Reemplazar una fila (o columna) por la suma de ella y una combinación lineal de la otra.

En este caso el determinante no varía.

Ejemplo:

Intercabio fila 1 Multiplico a lapor fila 2 fila 1 po

Sea Busquemos ,tal que sea equivalente a pero sea triangular.

-1 5 2

2 3 1

3 -1 0

A A A A A

′ ′ ′=

→

2 3 1

-1 5 2

3 -1 0

2 3 1

-1 5 2

3 -1 0

r (-1) (-2).fila 1 + fila 2 fila 2

1 .fila 2 fila 2(-3).fila 1 +fila 3 fila 3 (13 513

1 -5 -2 1 -5 -2

2 3 1 0 13 5

3 -1 0 3 -1 0

1 -5 -2 1 -5 -2

0 13 5 0 1

0 14 6 0 14 6

→

→→

→ → →

→ →

-14).fila 2 + fila 3 fila 3

Luego:

8 ( 1).13. 1.1. 8

13A

A→

→ =

= − − =

′513

813

1 -5 -2

0 1

0 0

Definición: Una matriz A de orden n tiene inversa si existe una matriz B tal que A x B = B x A =I,donde I es la matriz identidad de orden n.

Observaciones:

1) No toda matriz tiene su inversa.2) La inversa de una matriz, si existe, es única y se denota 1A− .

Adjunta de una matriz:

Dada una matriz cuadrada A de orden n, se llama matriz adjunta de A y se indica Adj. A o A* , lamatriz que se obtiene reemplazando cada elemento de tA por su correspondiente adjunto o cofactor.Recordemos que el adjunto del elemento que está en la i-ésima fila y en la j-ésima columna de A seobtiene como:

( 1) . ( 1) .i j i jij ij ijC M A+ += − = −

Ejemplo:

1 3 3 1 1 1

Si 1 3 4 entonces 3 3 4

1 4 3 3 4 3

tB B

= =



( )

( )

( )

( )

( )

1 1 211 11

1 2 312 12

1 3 413 13

2 1 321 21

2 2 422 22

2 323 23

3 4( 1) . ( 1) . 1. 9 16 7

4 3

3 4( 1) . ( 1) . ( 1). 9 12 3

3 3

3 3( 1) . ( 1) . 1. 12 9 3

3 4

1 1( 1) . ( 1) . ( 1). 3 4 1

4 3

1 1( 1) . ( 1) . 1. 3 3 0

3 3

( 1) . ( 1)

C B

C B

C B

C B

C B

C B

+

+

+

+

+

+

= − = − = − = −

= − = − = − − =

= − = − = − =

= − = − = − − =

= − = − = − =

= − = − ( )

( )

( )

( )

5

3 1 431 31

3 2 532 32

3 3 633 33

1 1. ( 1). 4 3 13 4

1 1( 1) . ( 1) . 1. 4 3 1

3 4

1 1( 1) . ( 1) . ( 1). 4 3 1

3 4

1 1( 1) . ( 1) . 1. 3 3 0

3 3

Luego :

. *

C B

C B

C B

Adj B B

+

+

+

= − − = −

= − = − = − =

= − = − = − − = −

= − = − = − =

= =

-7 3 3

1 0 -1

1 -1 0

Propiedad:. .A Adj A Adj A A A I

ó

A A A A A I∗ ∗

⋅ = ⋅ = ⋅

⋅ = ⋅ = ⋅

Ejemplo: Para la matriz B del ejemplo anterior.

3

1 3 3

1 3 4 entonces 1

1 4 3

1 3 3 -7 3 3

. 1 3 4 1 0 -1 ( 1).

1 4 3 1 -1 0

B B

B Adj B I

= = −

⋅ = ⋅ = = −

-1 0 0

0 -1 0

0 0 -1



Matriz Inversa: Si en la expresión:

. . 1

Es 0 entonces dividiendo en 1 por el determinante de A nos queda:

. .

A Adj A Adj A A A I

A

AA Adj A Adj A A

A A

⋅ = ⋅ = ⋅

≠

⋅ ⋅= =

I

A

⋅

1

1

1

De donde resulta que:

.

Porque sabemos que:

A la matriz se le llama "matriz inversa de "

I

Adj AA

A

A A I

A A

−

−

−

=

=

⋅ =

*En el ejemplo anterior:

1

1

-7 3 3

1 0 -1-7 3 3

1 -1 0. . * entonces ( 1). 1 0 -1

11 -1 0

Adj BAdj B B B

B

B

−

−

= = = = = − = −

∴ =

-7 3 3 7 -3 -3

1 0 -1 -1 0 1

1 -1 0 -1 1 0

7 -3 -3

-1 0 1

-1 1 0

Propiedad: Si A es una matriz cuadrada de orden n entonces: A es inversible si, y solo si 0A ≠

Método De Gauss-Jordan para hallar la inversa de una matrizComo acabamos de ver la matriz inversa de una matriz A se puede encontrar a través de su matrizAdjunta, el siguiente método es otra forma alternativa de encontrar dicha matriz inversa.

Sea A una matriz cuadrada, para hallar la inversa de A aplicaremos las operaciones elementales.Para ello a la derecha de A se escribe la matriz identidad del mismo orden que A, es decir:

A I

Se le aplica a la matriz A un número finito de operaciones elementales, hasta lograr la matrizidentidad y al mismo tiempo, se aplican las mismas operaciones a la matriz identidad quedando éstatranformada en una matriz cuadrada de orden n que es la inversa de A. Esto es:

A I

I 1A−

Si A no tiene inversa entonces no será posible formar la matriz identidad.



Observación: Antes de emprender la búsqueda de la matriz inversa de una matriz cuadrada A es

recomendable calcular el determinante de A, y si éste nos da igual a cero podremos concluir

inmediatamente que dicha matriz no tiene inversa, en caso contrario podemos proceder por el

método de Gauss-Jordan o por el cálculo de la adjunta para encontrarla.

Ejemplo:

1) Encontrar la matriz inversa de:

3 -1

1 4

Escribimos A y a la derecha, laidentidad del mismo orden.

3 -1

1 4

1 0

0 1

Intercambio la fila 1 con la fila 2

1 4

3 -1

0 1

1 0

(-3).fila 1 + fila 2 → fila 21 4

0 -13

0 1

1 -3

( )1 . 2 213 fila fila− →1 4

0 1

31

13 13

0 1

-

(-4).fila 2 + fila 1 → fila 11 0

0 1

4 113 13

3113 13-

Para comprobar si efectivamente es la inversa realizamos el producto de :

4 113 131

3113 13

3 -1 1 0

1 4 - 0 1A A− ⋅ = ⋅ =



2) Para el ejemplo anterior en el que calculamos su inversa por medio de la matriz adjunta:

Escribimos B y a la derecha, laidentidad del mismo orden.

B

=

1 3 3

1 3 4

1 4 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(-1).fila 1 + fila 2 → fila 2(-1).fila 1 + fila 3 → fila 3

1 3 3

0 0 1

0 1 0

1 0 0

-1 1 0

-1 0 1

Intercambiarla fila 2 con la fila 3

1 3 3

0 1 0

0 0 1

1 0 0

-1 0 1

-1 1 0

(-3).fila 2 + fila 1 → fila 1

1 0 3

0 1 0

0 0 1

4 0 -3

-1 0 1

-1 1 0

(-3).fila 3 + fila 1 → fila 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1B−

=

7 -3 -3

-1 0 1

-1 1 0

Nota: Si comparamos los resultados obtenidos anteriormente, vemos que son iguales.



Trabajo Práctico Nº6:Determinantes.

1) Calcular el determinante de las siguientes matrices:2 1 0

2 3 0 -4 1

4 54 0 1

A B

= =

2) Hallar el valor de x para el cual:1 0

2 4 -2a) 7 b) 6 c) 3 -2 -2 5

1 5 3-4 4 5

xx

x= = =

−

3) Calcular el determinante de las siguientes matrices en cada una de las formas:a) Desarrollando por los elementos de una fila.b) Desarrollando por los elementos de una columna.c) Pasando previamente a una matriz triangular.

1 -1 2 13 0 0

1 -1 4 -1 2 4 0

1 1 -2 3-1 9 -2

1 1 1 1

Optativo:

0 2 -5 0

2 0 0 -1

-1 3 0 -1

2 -3 -1 1

A B

C

= =

=

4) Dadas dos matrices A y B de orden n x n, que relación hay entre sus determinantes y eldeterminante del producto entre A y B? Verificar la fórmula para:

-1 3 2 0 -1 3

-5 1 -3 4 -1 10

2 4 1 2 1 5

A B

= =

5) En cada uno de los casos siguientes hallar Adj. A, decir si A es inversible, y en tal caso calcularla matriz inversa.

1 0 2 0 -4 -3-1 -2

a) b) -1 3 -1 c) 1 -2 03 5

0 2 4 1 2 3

A B A

= = =

6) Para qué valores de k, no es inversible la matriz A?1 2 4

-1 -3a) b) 3 1 6

-3 - 23 2

kA A

kk

= =

7) Sabiendo que la matriz A es de orden 3 x 3, y que 3A = − , calcular:

( ) 11a) 3. b) 2. c) 2.A A A−−−

determinantes

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