A relao entre as matrizes e os sistemas lineares remonta ao sculo 100 a.C. Desde ento, a evoluo do uso das matrizes e dos determinantes na resoluo de sistemas deu significado relevante a essas fascinantes estruturas matemticas.

DeterminantesDeterminante um nmero real associado a uma matriz quadrada.Notao: det A ou |A|.Determinante de uma Matriz Quadrada de 1 Ordem.Seja a matriz A = (a11). O determinante de A ser o prprio elemento a11.A = ( 3 ) , logo | A | = 3

o valor real associado a toda matriz quadrada obtido a partir de uma srie de operaes bem definidas com seus elementos.Representa-se o determinante de uma matriz A por det A, ou por barras simples verticais, contendo todos os elementos da matriz.

I. Determinante

DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARESMatriz de ordem 1: o determinante igual ao nico elemento da matriz. Ex: A = [3] e det A = |3| = 3Matriz de ordem 2: o determinante obtido pela diferena entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundria. Exemplo:II. Clculo do determinante

1. Copiam-se, ao lado da matriz, suas duas primeiras colunas.2. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e tambm o das outras duas filas paralelas e sua direita. Somam-se os resultados:II. Clculo do determinanteConsidere a matriz A =DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARESMatriz de ordem 3: o determinante obtido pela regra de Sarrus.

4. Obtm-se o determinante pela diferena entre a primeirae a segunda soma:det A = (12 + 25 + 24) (40 + 6 + 30) = 61 76 = 15

II. Clculo do determinanteDETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES3. Multiplicam-se os elementos da diagonal secundria; o mesmo deve ser feito com as duas outras filas paralelas e sua direita. Ao final, somam-se os resultados:

Determinante de uma Matriz Quadrada de 2 Ordem.= a11 a22 a12 a21 a11 a22- (a12 a21)

Determinante de uma Matriz Quadrada de 2 Ordem.Ex: 1)+-72 35= 7.5 - 2.3= 29

Ex: 2)

Determinante de uma Matriz Quadrada de 3 Ordem.Neste caso utilizamos um processo prtico chamado Regra de Sarrus.Ex: 1)16 3 + 15 18 2 + 20 = 28

Ex: 2)20 + 0 + 6 + 4 + 0 + 0 = 30

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

Casos em que um determinante igual a ZERO: Quando todos os elementos de uma fila so nulosEx: 1)2)

Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais3)4)Casos em que um determinante igual a ZERO:

Quando uma das filas a combinao linear de outras filas paralelas.5)6)Casos em que um determinante igual a ZERO:

Outras propriedades: det(A)=det(At)Ex: 1)2)

1)2)Ex: O determinante de uma matriz triangular igual ao produto dos elementos da diagonal principalOutras propriedades:

1)Ex: Quando trocamos a posio de duas filas paralelas, o determinante troca de sinal2)Outras propriedades:

Ex: 1)2) Se uma fila for multiplicada por um no, ento o determinante tambm fica multiplicado por esse noOutras propriedades:

det(k.A)=kn.det(A), onde n a ordem de A1)2)Ex: Outras propriedades:

det(A.B)=detA.detBEx: Outras propriedades:

det(A-1)=1/detAEx:

Mat-cad-2-top-1- 3 ProvaProfessor: esse exemplo no se encontra no material impresso.Mat-cad-2-top-1- 3 ProvaMat-cad-2-top-1- 3 ProvaMat-cad-2-top-1- 3 Prova