determinantes e sistemas lineares.pdf
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Aluno (a):____________________________________________________________________
Curso: Disciplina: lgebra e Geometria Analtica Turma:
Turno: Perodo: Professor: Zeca Dutra
DETERMINANTES
Determinante o nmero real associado a uma
matriz quadrada, obtido por meio de operaes
que envolvem todos os elementos da matriz.
Determinante de uma matriz quadrada de
ordem 1
Seja a matriz quadrada de ordem 1, indicada por
A = [aij].
Por definio, o determinante de A igual ao
nmero aij.
Determinante de uma matriz quadrada de
ordem 2
Se A uma matriz quadrada de ordem 2,
calculamos seu determinante fazendo o produto
dos elementos da diagonal principal menos o
produtos dos elementos da diagonal secundria.
Dada a matriz A = [11 1221 22
], indicamos seu
determinante por:
Determinante de uma matriz quadrada de
ordem 3 Consideremos a matriz genrica de ordem 3:
A = (
11 12 1321 22 2331 32 33
)
Exemplos:
01. Calcule o determinante da Matriz
A = (3 1 52 0 2
1 4 3)
02. Dadas as matrizes A = [2 x3 9
] e B = [3 16 1
],
determine x para que se tenha det A = det B.
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada de
ordem n 2. igual soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos
seus respectivos cofatores.
Para resolver o determinante pelo teorema de
Laplace fixamos uma linha ou coluna. Qualquer
que seja a linha ou coluna o resultado ser o
mesmo.
Exemplo: Calcular o determinante da matriz
A = [2 1 30 4 56 2 1
],utilizando o teorema de
Laplace.
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Determinante de uma matriz de ordem maior
que 3.
Para calcular um determinante de ordem maior
que 3, aplicaremos o teorema de Laplace, tantas
vezes quantas forem necessrias, at chegar a um
determinante de ordem 3. Da, podemos aplicar a
regra de Sarrus.
Exemplo: Calcular o determinante da matriz
M = [
1 2 12 3 40 0 1
035
2 2 4 1
].
Propriedades dos determinantes
1 propriedade:
Se todos os elementos de uma linha ou coluna de
uma matriz quadrada forem nulos, o seu
determinante zero.
Exemplo:
A = (2 30 0
)
2 propriedade:
Se duas linhas ou colunas de uma matriz
quadrada forem iguais ou proporcionais, seu
determinante nulo.
Exemplo:
B = (2 56 15
)
N = [7 6 71 3 12 9 2
]
3 propriedade:
Se uma linha (ou coluna) de uma matriz
quadrada for combinao linear de outras duas
linhas (ou colunas), seu determinante nulo.
Exemplo:
A = [2 1 4
2 3 10 4 3
]
4 propriedade:
O determinante de uma matriz quadrada A
igual ao determinante de sua transposta At, ou
seja, det A = det At.
Exemplo: Dada a matriz A = (1 23 4
).
5 propriedade:
Se trocarmos de posio entre si duas linhas (ou
duas colunas) de uma matriz quadrada, o
determinante da nova matriz o oposto do
determinante da primeira matriz.
Exemplo:
A = (2 64 15
)
6 propriedade:
Se multiplicarmos todos os elementos de uma
linha (ou de uma coluna) por um nmero real k,
o determinante da nova matriz o produto de k
pelo determinante da primeira matriz.
Exemplo:
A = (3 52 4
)
7 propriedade:
Se todos os elementos de uma matriz quadrada
situados acima ou abaixo da diagonal principal
forem nulos, o determinante da matriz ser igual
ao produto dos elementos da diagonal principal.
A = [1 0 02 5 03 9 4
]
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Teorema de Jacobi
Se adicionarmos a uma linha (ou coluna) de uma
matriz quadrada A uma outra linha (ou coluna)
multiplicada por nmero k qualquer, o
determinante da matriz B obtida ser igual ao da
matriz A.
Exemplo:
A = (1 23 4
)
Substituindo a 2 linha de A pela soma dessa
linha com o produto da 1 linha por 3, temos:
B = (1 20 2
)
SISTEMAS DE EQUAES LINEARES Denomina-se sistema linear m x n o conjunto S e
m equaes em n incgnitas que pode ser
representado da seguinte forma:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
. . .
. . .
. . .
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm
Exemplo:
Dizemos que (1, 2, 3, ..., n) soluo de um sistema linear quando (1, 2, 3, ..., n) colocados no lugar das incgnitas satisfaz todas
as equaes simultaneamente.
Exemplo:
1) O par (5, 10) soluo do sistema
2x + 3y = 13 3x 5y = 10
2) A sequncia (1, 3, - 2) soluo do sistema
x + 2y + 3z = 1
4x y z = 3
x + y z = 6
SISTEMAS LINEARES 2 X 2
Resolver um sistema linear significa descobrir o
seu conjunto soluo s, formado por todas as
solues do sistema.
Exemplo: Ache a soluo de cada sistema a
seguir:
1) 3x y = 10 2x + 5y = 1
2) x 2y = 5 2x - 4y = 2
3) 2x 6y = 8 3x - 9y = 12
SISTEMA LINEAR EQUIVALENTE
Dois sistemas so ditos equivalentes quando
admitem o mesmo conjunto soluo.
x 2y = -3 3x 4y = -5 2x + y = 4 x + 2y = 5
S
s
s e
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CLASSIFICAO DE UM SISTEMA LINEAR
Os sistemas lineares so classificados quanto ao
nmero de solues em da seguinte forma:
MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA
LINEAR
Seja o sistema linear de m equaes e n
incgnitas:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
. . .
. . .
. . .
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm
Matriz completa
A = (
11 12 1 121 22 2 2 .
1 2
)
Matriz incompleta
A = (
11 12 1 21 22 2 .
1 2
)
Resoluo de sistema pela regra de Cramer
Seja o sistema: {a11x + a12y + a13z = b1a21x + a22y + a23z = b2a31x + a32y + a33z = b3
Para resolver o sistema pela regra de Cramer
necessitamos dos determinantes:
D = |
11 12 1321 22 2331 32 33
|, Dx = |1 12 132 22 233 32 33
|
Dy = |11 1 1321 2 2331 3 33
| e Dz = |11 12 21 22 231 32 3
|
A soluo do sistema ser dada pelos valores de
x, y e z, calculados da seguinte forma:
x =
, y =
e z =
Exemplo: Resolver os sistemas:
a) {x + 2y + z = 7
2x + 7y + z = 213x 5y + 2z = 8
b) {x + y + z = 6
2x y z = 03x + 3y + 3z = 9
c) {2a + 4b = 64 + 8 = 4
Sistema linear
Possvel: Quando admite soluo
Impossvel: Quando no admite
soluo
Determinado: Admite uma nica soluo
Indeterminado: Admite infinitas
solues
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RESOLUO DE UM SISTEMA LINEAR
POR ESCALONAMENTO
Um sistema dito escalonado quando est
disposto nas seguintes formas:
x + 3y = 4
0x 5y = 1
x + 2y - z = 2
0x +5y + z = 1
0x + 0y z = 7 Observe que, nestes exemplos, na primeira
equao aparecem todas as incgnitas, na 2
desaparece a incgnita x, 3 equao, quando h
desaparece a incgnita y, assim sucessivamente.
Mtodo do escalonamento
o processo usado para resoluo de um sistema
linear que envolve eliminao de incgnitas.
Este mtodo procura transformar o sistema dado
em sistemas equivalentes, at chegar a um
sistema escalonado, usando as seguintes
transformaes elementares sobre as equaes do
sistema dado:
Trocar as posies de duas equaes. Multiplicar uma das equaes por um
nmero real diferente de zero.
Multiplicar uma equao por um nmero real e adicionar o resultado a
outra equao.
Exemplos:
1. Resolver os sistemas:
a) 4x 3y = - 2 2x + 4y = 10
b) x + 2y + 4z = 5
2x y - 2z = 8 3x - 3y z = 7
c) x + y + z = 12
3x y + 2z = 14 2x - 2y + z = -3
d) 4x - 4y + z = 3
3x + y + 4z = - 1
5x - 2y + 3z = 2