determinantes profº valtenir

1

Determinantes

Por

Profº Valtenir Batista

Se você gostou pode contribua voluntariamente com o autor desta apostila depositando uma quantia em reais para ajudar sua família.

Agência; 0634 – Caixa Econômica Federal

C/C 4777-0

Titular Valtenir Batista Caetano

2

Determinantes

Conceito:

Em Matemática, determinante de uma matriz quadrada de ordem n é um número real a ela associado. Cada matriz tem um único determinante. Em fim determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um número. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.

Representação

Representamos o determinante de uma matriz colocando os termos da matriz entre barras verticais simples.

Se a matriz é A =

(2 1 8 ¿ ) (0 2 3 ¿ ) ¿¿

¿¿, Podemos representar ou indicar o seu determinante assim: det A =

|2 1 8 ¿|| 0 2 3 ¿|¿¿

¿¿.

Ou simplesmente det A.

Vale lembrar que o determinante só é possível em matriz quadrada.

Determinante de uma matriz de ordem 1

O determinante da matriz A de ordem n = 1, é o próprio número que origina a matriz. Em particular definimos o determinante de uma matriz A = (a11), de 1ª ordem, o valor do seu único elemento a11, ou seja :

det A =

| a11| = a11

Exemplo 01 – Qual é o determinante da matriz

A = (10 )?

det A =

|10 | = 10


B= (−14 )?

det B =

|−14 | = −14


C = (√3 )?

det C =

| √3 | = √3


D = (i+ j )?

3

det D =

| i+ j| =|1+1 |=|2 | = 2


E = (i2+ √4 j )?

det E =

|12+√4 . 1 | =|1+ √4| =|1+2| =|3 |= 3

Exercício 01

1- Dê a definição de determinante.

2- Como representamos o determinante de uma matriz?

3- Qual é o determinante da matriz A= (a i j ) ?

4- Qual é o determinante da matriz B= (−135 )?

5- Diga qual é o determinante da matriz C= (−i+ j ) .

6- Escreva o determinante da matriz D= (√ i + j ) .

Determinante de uma matriz de ordem 2

Calculamos o determinante de uma matriz quadrada 2 x 2 fazendo o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária dessa matriz. Ou seja, calculamos o determinante de uma matriz de 2ª ordem multiplicando os elementos da diagonal principal, menos o resultado da multiplicação dos elementos da diagonal secundária. Exemplo genérico

Exemplo 01 – Calcule o determinante da matriz

A = ¿ (9 6¿ )¿¿

¿

.

4

det de A =

| 9 6 ¿|¿¿

¿¿

¿¿

Logo det A = 3


B= ¿ (10 9 ¿ ) ¿¿

¿.

det de B =

|10 9 ¿|¿¿

¿¿

¿¿

Logo det B = 25


C = ¿ (√3 2 ¿ ) ¿¿

¿

.

det de C =

| √3 2 ¿|¿¿

¿¿

¿¿

Logo det C = 1


D = ¿ (−3 5 ¿ ) ¿¿

¿.

det de D =

|− 3 5 ¿|¿¿

¿¿

¿¿

Logo det D = 11

Exercício 02

1- Como calcular o determinante de uma matriz de 2ª ordem?

2- Calcule o valor dos determinantes abaixo:

5

a ) det A = ¿|5 −3 ¿|¿¿

¿

b ) det B = ¿|−6 −3 ¿|¿¿

¿

c ) det C = ¿| 7 −5 ¿|¿

¿¿

d ) det D = ¿| √5 5 ¿|¿¿

¿

3- Seja a matriz

A= ¿ (2 4 ¿ ) ¿¿

¿

e a matriz A =

B=¿ (−3 1 ¿ )¿¿

¿¿, calcule o detrminante da matriz A . B.

4- Qual é o determinante da matriz C = A . B, tal que

A= ¿ (1 0 ¿ ) ¿¿

¿

e

B=¿ (3 4 ¿ ) ¿¿

¿¿?

5- Seja a matriz A =(aij) 2x2, talque aij = 2i+j, e a matriz B = (bij)2x2, tal que bij = i –2j. Calcule o det A e o det B.

Livro pg. 102 questão 1; pg. 103 questões 3, 5;

Determinante de uma matriz de 3ª ordem

Para obtermos o determinante de uma matriz quadrada de 3ª ordem utilizamos uma regra prática denominada

regra de Sarrus (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic Sarrus (1798 - 1861), foi professor

na universidade francesa de Strasbourg. A regra de Sarrus, foi provavelmente escrita no ano de 1833.

Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira: 1- Repita a 1ª e a 2ª coluna à direita da matriz.

2- Faça três traços em diagonal começando do primeiro elemento da matriz para baixo, depois faça mais três

traços em diagonal, começando do último elemento da primeira linha.

3- Multiplique os números cortados pelos traços, atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e

sinal positivo para os resultados à direita. Depois realize a operação final.

Exemplo genérico: - Seja a matriz

A = ¿ (a11 a12 a13 ¿) (a21 a22 a23 ¿)¿¿

¿qual é seu determinante?

6

det A = a11 . a22 + a12 . a23 . a31 + a13 .a21 .a32 −a13 .a22 .a31−a11 .a23 .a32−a12 .a21 .a33

Exemplo 01 –Calcule o determinante da matriz

A = ¿ (1 2 3 ¿ ) (3 2 1 ¿ ) ¿¿

¿.

det A = 1. 2 .3 +2. 1 .2+3 . 3. 1 − 3 .2 . 2−1. 1 .1−2.3 .3det A = 6 +4+9 − 12−1−18

det A = 19− 31det A =−12

Portanto, o determinante procurado é o número real negativo .- 12.


B= ¿ (6 5 2¿ ) (3 1 4 ¿ ) ¿¿

¿.

det B = 24+20+12−2−48−60det B = 56− 110

det B =−54Portanto, o determinante procurado é o número real negativo .- 54.

7


C= ¿ ( 3 1 5 ¿ ) ( 2 0 −2 ¿ ) ¿¿

¿.

det C = 0+2+40− 0−(−24 )−(−6 )det C = 42+24+6

det C = 72Portanto, o determinante procurado é o número real positivo 72.


D= ¿ ( 10 1 5¿ ) ( 0 0 0 ¿ ) ¿¿

¿.

det D = 0+0+0− 0−0−0det D = 0

Portanto, o determinante procurado é o número real 0.

Exemplo 05 –Calcule o determinante da matriz E= ¿ ( 7 2 0 ¿ ) ( 0 3 1 ¿ ) ¿

¿¿.

det E = 21+10+0− 0−0−0det E = 31−0

det E = 31Portanto, o determinante procurado é o número real positivo 31.

8


F= ¿ ( 2 1 √2¿ ) ( √2 √2 1 ¿ )¿¿

¿.

det F = 2. √2 . √2+1. 1 .3+√2 . √2 . 2−√2 . √2 . 3−2 .1 . 2−1 . √2 .√2det F = 2.√2.2+3 + √2 . 2 . 2 −√2 . 2 . 3−4−1 .√2 .2

det F = 2.√4+3 + √4 . 2 −√4 . 3−4−1 . √4det F = 2. 2+3+ 2 . 2 −2 . 3−4−1 . 2det F = 4+3+4−6−4−2

det F = 11−12det F =−1

Portanto, o determinante procurado é o número real negativo −1.


G= ¿ ( 1 0 √3 ¿ ) ( √3 √3 1¿ )¿¿

¿.

det G = 1 . √3 . √3+0. 1 .3+√3 . √3 . 0−√3 . √3 . 3−1. 1. 0−0 . √3 .√3det G = 1 .√9+0 + √9 . 0 −√ 9 . 3−0−0 . √9

det G = 1 . 3 + 0 + 0 −3 . 3 −0 − 0det G =3+0+0−9−0−0

det F = 3−9det F =−6

Portanto, o determinante procurado é o número real negativo −6.

Exercício 03

1- Usando a regra de Sarrus calcule o determinante da matriz

A = ¿ (3 2 1 ¿ ) (1 4 1 ¿ )¿¿

¿.

2- Calcule o determinante da matriz

B= ¿ (4 3 2¿ ) (2 5 2 ¿ ) ¿¿

¿, pela regra de Sarrus.

9

3- Usando Sarrus, Calcule o determinante da matriz

A = ¿ (2 3 −1 ¿ ) (5 2 0 ¿ ) ¿¿

¿.

4- Calcule os determinantes abaixo pela regra de Sarrus.

a)

|1 2 0 ¿||1 4 4 ¿|¿¿

¿¿ b)

|3 0 8 ¿|| 0 7 7 ¿|¿¿

¿¿

c)

|5 4 2 ¿||2 5 2¿|¿¿

¿¿ d)

|2 2 0 ¿|| 1 1 1¿|¿¿

¿¿

e)

|3 2 −1 ¿||5 0 4 ¿|¿¿

¿¿ f)

|2 1 −2 ¿||3 −1 0 ¿|¿¿

¿¿

g)

|2 0 √5 ¿||√5 √5 0¿|¿¿

¿¿ h)

| √4 3 −2 ¿|| 1 3 0¿|¿¿

¿¿

5- Qual é o determinante da matriz A=(aij)3x3, tal que aij = i + j?

6- Calcule o determinante da transposta da matriz A=(aij)3x3, tal que aij = i – j?

Livros pg. 104 questão 8, 14;

Cofator

Dada uma matriz A quadrada de ordem n por n com n ≥ 2, e aij um elemento dessa matriz, chamamos de cofator de aij o produto de (−1)i + j . pelo determinante Dij da Mariz que se obtém quando se retira da matriz A a linha i e a coluna j. O cofator de aij será indicado por Cij.

Então: Cij = (−1)i + j . Dij.

10

Exemplo 01 – Dada a matriz A =

(1 2 3¿ ) (3 1 2 ¿ )¿¿

¿¿calcule o cofator de a11.

Solução:

(1 2 3¿ ) (3 1 2 ¿ )¿¿

¿¿

Exemplo 02 – Dada a matriz B =

(2 4 6 ¿ ) (3 5 4 ¿ )¿¿

¿¿calcule o cofator de b21.

Solução:

(2 4 6 ¿ ) (3 5 4 ¿ ) ¿¿

¿¿

Exemplo 03 – Sendo a matriz C =

(2 1 6 ¿ ) (3 4 1 ¿ ) ¿¿

¿¿calcule o cofator de c12.

Solução:

(2 1 6 ¿ ) (3 4 1 ¿ ) ¿¿

¿¿

Exercício 04

1- Dada a matriz A =

( 0 −1 3 ¿ ) ( 4 2 0 ¿ ) ¿¿

¿¿ calcule os cofatores C11, C13, C22, C31 e C33.

Cij = (−1)i + j . Dij

C12 = (−1)1 + 2 .

|3 1 ¿|¿¿

¿¿C21 = (−1)3 . (3. (−5) – 7.1)C21 = −1 . (−15 −7)C21 = −1 . −22C21 = 22

Cij = (−1)i + j . Dij

C11 = (−1)1 + 1 .

|1 2 ¿|¿¿

¿¿C11 = (−1)2 . (1.3 −2.1)C11 = 1 . (3 −2)C11 = 1 . 1C11 = 1

Cij = (−1)i + j . Dij

C21 = (−1)2 + 1 .

| 4 6 ¿|¿¿

¿¿C21 = (−1)3 . (4.3 −6.6)C21 = −1 . (12 −36)C21 = −1 . −24C21 = 24

11

2- Escreva a matriz A = (aij)3x3, tal que aij = i + j, e depois escreva a matriz B de ordem 3 x 3 de modo que cada elemento de B seja o cofator do elemento que ocupa a mesma posição em A.

3- Seja a matriz C=

( 3 −4 5 ¿ ) ( 4 3 −3 ¿ ) ¿¿

¿¿calcule o cofator de −4, de 5, de −6 e de 2

Teorema Fundamental de Laplace

Segundo o Teorema de Laplace o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, n ≥ 2 é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fileira (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. Ou seja pega cada elemento e multiplica pelo seu cofator depois soma.

Veja como calcular o determinante da matriz A =

(a11 a12 a13 ¿) (a21 a22 a23 ¿ )¿¿

¿¿Pela 1ª linha

Pelo teorema de Laplace det A

| a11 a12 a13 ¿||a21 a22 a23 ¿|¿¿

¿¿ = a11 .C11 + a12 . C12 + a13 . C13

Calculando o cofator:

C11 = (−1)1+1 .

| a22 a23 ¿|¿¿

¿¿= 1 . a22 . a33 – a23 . a32

C12 = (−1)1+2 .

| a21 a23 ¿|¿¿

¿¿= −1 . a21 . a33 – a23 . a31

C13 = (−1)1+3 .

| a21 a22 ¿|¿¿

¿¿= 1 . a21 . a32 – a22 . a31

Como o determinante é a soma do produto dos elementos pelos seus cofatores temos:

det A = a11 (a22 . a33 – a23 . a32) – a12 (a21 . a33 – a23 . a31) + a13 (a21 . a32 – a22 . a31)

Exemplo 01 – Calcule o determinante da matriz A =

(1 2 3¿ ) (3 1 2 ¿ )¿¿

¿¿ pela primeira linha.

12

Pelo teorema de Laplace det A

| 1 2 3 ¿|| 3 1 2¿|¿¿

¿¿ = 1. C11 + 2 . C12 + 3 . C13


C11 = (−1)1+1 .

| 1 2 ¿|¿¿

¿¿ = 1 . (1 . 3 – 2 . 1) = 1. (3 − 2) = 1 . 1 = 1

C12 = (−1)1+2 .

| 3 2 ¿|¿¿

¿¿= −1 . (3 . 3 – 2 . 2) = −1 . (9 −4) = −1 . 5 = −5

C13 = (−1)1+3 .

| 3 1 ¿|¿¿

¿¿= 1 . (3 . 1 – 1 . 2) = 1 . (3 −2) = 1 . 1 = 1


(1 2 3¿ ) (3 1 2 ¿ )¿¿

¿¿ pela primeira coluna.

Pelo teorema de Laplace det A =

| 1 2 3 ¿|| 3 1 2¿|¿¿

¿¿ = 1. C11 + 3 . C21 + 2 . C31


C11 = (−1)1+1 .

| 1 2 ¿|¿¿

¿¿ = 1 . (1 . 3 – 2 . 1) = 1. (3 − 2) = 1 . 1 = 1

C21 = (−1)2+1 .

| 2 3 ¿|¿¿

¿¿= −1 . (2 . 3 – 3 . 1) = −1 . (6 − 3) = −1 . 3 = −3

C31 = (−1)3+1 .

| 2 3 ¿|¿¿

¿¿= 1 . (2 . 2 – 3 . 1) = 1 . (4 −3) = 1 . 1 = 1

Note que o resultado é o mesmo anterior. Isso por que tanto faz calcularmos o determinantes pelos elementos de uma linha como pelos elementos de uma coluna. Este é o teorema fundamental de Laplace. Segundo ele qualquer linha ou qualquer coluna que utilizarmos no cálculo o resultado é o mesmo.

Exemplo 03 – Calcule o determinante da matriz B =

(4 3 2¿ ) (2 0 0 ¿ ) ¿¿

¿¿ pela primeira segunda linha.

Pelo teorema de Laplace det B =

| 4 3 2 ¿|| 2 0 0 ¿|¿¿

¿¿ = 2. C21 + 0 . C22 + 0 . C23


C21 = (−1)2+1 .

| 3 2 ¿|¿¿

¿¿ = −1 . (3 . 3 – 2 . 0) = −1. (9 − 0) = −1 . 9 = −9

C22 = (−1)2+2 .

| 4 2 ¿|¿¿

¿¿= 1 . (4 . 3 – 2 . 1) = 1 . (12 − 2) = 1 . 10 = 10

C23 = (−1)2+3 .

| 4 3 ¿|¿¿

¿¿= −1 . (4 . 0 – 3 . 1) = −1 . (0 −3) = −1 . −3 = 3


(4 3 2¿ ) (2 0 0 ¿ ) ¿¿

¿¿ pela segunda coluna.


det A = 1 . 1 + 2 . (−5) + 3 . 1

det A = 1 −10 + 3

det A = − 6


det A = 1 . 1 + 3 . (−3) + 2 . 1

det A = 1 − 9 + 2

det A = − 6


det B = 2 . (−9) + 0 . 10 + 0 . 3det B = −18 + 0 + 0det B = − 18

13


| 4 3 2 ¿|| 2 0 0 ¿|¿¿

¿¿ = 3. C12 + 0 . C22 + 0 . C32


C12 = (−1)1+2 .

| 2 0 ¿|¿¿

¿¿ = −1 . (2 . 3 – 0 . 1) = −1. (6 − 0) = −1 . 6 = −6

C22 = (−1)2+2 .

| 4 2 ¿|¿¿

¿¿= 1 . (4 . 3 – 2 . 1) = 1 . (12 − 2) = 1 . 10 = 10

C32 = (−1)3+2 .

| 4 2 ¿|¿¿

¿¿= −1 . (4 . 0 – 2 . 2) = −1 . (0 −4) = −1 . −4 = 4

Note que o resultado é o mesmo que o de cima. Na aplicação do teorema de Laplace é melhor escolher a linha ou a coluna que tiver o maior número de zeros, pois assim os cálculos ficam mais fáceis.

Exemplo 05 – Calcule o determinante da matriz C =

(1 2 3¿ ) (2 5 6 ¿ ) ¿¿


Pelo teorema de Laplace det C =

| 1 2 3 ¿|| 2 5 6 ¿|¿¿

¿¿ = 1. C11 + 2 . C12 + 3 . C13


C11 = (−1)1+1 .

| 5 6 ¿|¿¿

¿¿ = 1 . (5 . 8 – 6 . 5) = 1. (40 − 30) = 1 . 10 = 10

C12 = (−1)1+2 .

|2 6 ¿|¿¿

¿¿= −1 . (2 . 8 – 6 . 2) = −1 . (16 − 12) = −1 . 4 = −4

C13 = (−1)1+3 .

|2 5 ¿|¿¿

¿¿= 1 . (2 . 5 – 5 . 2) = 1 . (10 −10) = 1 . 0 = 0


(1 2 3¿ ) (2 5 6 ¿ ) ¿¿



| 1 2 3 ¿|| 2 5 6 ¿|¿¿

¿¿ = 1. C11 + 2 . C21 + 2 . C31


C11 = (−1)1+1 .

| 5 6 ¿|¿¿

¿¿ = 1 . (5 . 8 – 6 . 5) = 1. (40 − 30) = 1 . 10 = 10

C21 = (−1)2+1 .

|2 3 ¿|¿¿

¿¿= −1. (16 – 15) = −1 .1 = −1

C31 = (−1)3+1 .

|2 3 ¿|¿¿

¿¿= 1 . (12 – 15 = 1 . (−3) = −3

Determinante de uma matriz de ordem 4 ou maior que 4


det B = 3 . (−6) + 0 . 10 + 0 . 4det B = −18 + 0 + 0det B = − 18


det C = 1. 10 + 2 . (−4) + 3 . 0det C = 10 −8 + 0det C = 2


det C = 1.10 + 2 .(−1) + 2 .(−3)det C = 10 −2 −6det C = 2

14

Para calcularmos o determinantes de matrizes com ordem igual ou superior a quatro, podemos reduzir a sua ordem. Para isso aplicaremos o teorema de Laplace tantas vezes quantas forem necessárias, até chegarmos a um determinante de ordem 3. Daí podemos aplicar a regra de Sarrus.


(1 2 3 4 ¿ ) (0 2 3 2¿ ) (1 2 3 2¿ ) ¿¿



| 1 2 3 4 ¿|| 0 2 3 2¿|| 1 2 3 2¿|¿¿

¿¿ = 1. C11 + 0 . C21 + 1 . C31 + 1 . C41

det A = 1.(−1)1+1.

| 2 3 2 ¿|| 2 3 2¿|¿¿

¿¿+0.(−1)2+1.

| 2 3 4 ¿|| 2 3 2¿|¿¿

¿¿+1.(−1)3+1.

| 2 3 4 ¿|| 2 3 2¿|¿¿

¿¿ + 1. (−1)4+1 .

| 2 3 4 ¿|| 2 3 2 ¿|¿¿

¿¿ =

det A = 1.[1 .

| 2 3 2 ¿|| 2 3 2¿|¿¿

¿¿] + 0. [−1 .

| 2 3 4 ¿|| 2 3 2¿|¿¿

¿¿] + 1. [1 .

| 2 3 4 ¿|| 2 3 2¿|¿¿

¿¿ ] + 1. [−1 .

| 2 3 4 ¿|| 2 3 2 ¿|¿¿

¿¿ ] =

Observe que o determinante é de ordem três, então podemos continuar com Laplace ou aplicar Sarrus:

det A = 1.[1 . (2 . C11+ 3 . C12 + 2 . C13)] + 0. [−1 . (2 . C11 + 3 . C12 + 4 . C13)] + 1. [1 . (2 . C11 + 3 .C12 + 4 . C13)] + 1. [−1 . (2 . C11 + 3 . C12 + 4 . C13)] =

det A=1.[1.(2.{1.

|3 2¿|¿¿

¿¿}+3.{−1

|2 2 ¿|¿¿

¿¿}+ 2 .{1.

|2 3 ¿|¿¿

¿¿})] +0. [−1.(2.{1.

|3 2 ¿|¿¿

¿¿} +3.{−1.

|2 2 ¿|¿¿

¿¿}+4.{1.

|2 3 ¿|¿¿

¿¿})]+1.[1.

(2.{1.

|3 2 ¿|¿¿

¿¿}+3.{−1.

|2 2 ¿|¿¿

¿¿}+ 4.{1.

|2 3 ¿|¿¿

¿¿})] +1.[−1.(2.{1.

|3 2 ¿|¿¿

¿¿}+3.{−1.

|2 2 ¿|¿¿

¿¿}+4.{1.

| 2 3 ¿|¿¿

¿¿})] =

det A=1.[1.(2.{1.8}+3.{−1.8}+2 .{1.4})] + 0. [−1.(2.{1.8}+3.{−1.8}+4.{1.4})] + 1.[1.(2.{1.8}+3.{−1.8}+ 4.{1.4})] + 1.[−1.(2.{1.0}+3.{−1.0}+4.{1.0})] =

det A=1.[1.(2.8 + 3. (−8) + 2 .4)] + 0. [−1.(2.8+3.−8+4.4})] + 1.[1.(2.8+3.−8} + 4.4})] + 1.[−1.(2.0+3.0+4.0})] =det A=1.[1.(16 −24) + 8)] + 0. [−1.(16−24+16)] + 1.[1.(16−24 + 16)] + 1.[−1.(0+0+0})] =

det A=1.[1. (−8) + 8] + 0. [−1.(−8)+16] + 1.[1.(−8) + 16] + 1.[−1.0] =

det A=1.[0 + 0. 24 + 1.8 + 1.0 =

det A=1.[0 + 0 + 8 + 0] =

det A=1.8

det A = 8

15


(5 0 0 0 ¿ ) (0 2 3 2¿ ) (5 2 0 2¿ )¿¿



|5 0 0 0 ¿||0 2 3 2 ¿||5 2 0 2¿|¿¿

¿¿ = 5. C11 + 0 . C12 + 0 . C13 + 0 . C14

det B = 5.(−1)1+1.

|2 3 2 ¿||2 0 2 ¿|¿¿

¿¿+ 0 . C12 + 0 . C13 + 0 . C14 → det B = 5 . 1.

|2 3 2 ¿||2 0 2 ¿|¿¿

¿¿+ 0 + 0 + 0

Vamos quebrar esse determinante pela 1ª coluna

|2 3 2 ¿||2 0 2 ¿|¿¿

¿¿ = 2 . C11 + 2 . C21 + 0 . C31

2 . (1.

|0 2 ¿|¿¿

¿¿) + 2. (−1 .

|3 2 ¿|¿¿

¿¿) + 0

2 . (1. (−4) + 2. (−1. 8) + 02 . (−4) + 2. (−8) + 0−8 −16 + 0−24Agora devemos multiplicar 5. (1. (−24) + 0 + 0 + 0) então:det B = 5. (1. (−24) + 0 + 0 + 0det B = 5. (−24) + 0 + 0 + 0det B = −120 + 0 + 0 + 0det B = −120


(5 1 0 2¿ ) (0 2 3 1 ¿ ) (2 1 0 3 ¿ ) ¿¿

¿¿ pela terceira coluna.


|5 1 0 2¿||0 2 3 1¿||2 1 0 3 ¿|¿¿

¿¿ = 0. C13 + 3 . C23 + 0 . C33 + 0 . C43

det C = 0 . C13 + 3.(−1)2+3.

|5 1 2¿||2 1 3 ¿|¿¿

¿¿+ 0 . C33 + 0 . C43 → det C = 0 + 3.(−1).

|5 1 2¿||2 1 3 ¿|¿¿

¿¿+0+0

Vamos quebrar esse determinante pela terceira linha

|5 1 2¿||2 1 3 ¿|¿¿

¿¿ = 3. C31 + 0 . C32 + 0 . C33

3. [(−1)3+1 .

|1 2¿|¿¿

¿¿] + 0 + 0

3 . (1. 1) + 0 + 03 . 1+ 0 + 03 Agora devemos fazer 0 + 3 . (−1) . 3 + 0 + 0, então:det C = 0 + 3 . −3 + 0 + 0det C = 0 −9 + 0 + 0det C = −9

16

Exemplo 04 do livro – Calcule o determinante da matriz D =

( 1 2 −1 0¿ ) ( 2 3 4 3 ¿ ) ( 0 0 1 5 ¿ ) ¿¿

¿¿ pela terceira coluna.

Pelo teorema de Laplace na 3ª linha pois tem 2 zeros det D =

| 1 2 −1 0 ¿|| 2 3 4 3 ¿|| 0 0 1 5 ¿|¿¿

¿¿ = 0. C31 + 0 . C32 + 1 . C33 + 5 . C34

det D = 0 . C31 +0 . C32 + 1.(−1)3+3.

| 1 2 0 ¿|| 2 3 3¿|¿¿

¿¿

+ 5 . (−1)3+4.

| 1 2 −1 ¿|| 2 3 4 ¿|¿¿

¿¿

det D = 0 . C31 + 0 . C32 + 1. (1.

| 1 2 0 ¿|| 2 3 3¿|¿¿

¿¿) + 5 . [(−1).

| 1 2 −1 ¿|| 2 3 4 ¿|¿¿

¿¿]

Vamos aplicar Sarrus em cada Determinante de ordem 3.

3 −12 + 0 – 0 – 6 – 4 = −19 12 −16−4 – 6 – 8 – 16 = −38 Agora vamos substituir os valores dos determinantes de ordem 3 na operação:

det D = 0 . C31 + 0 . C32 + 1. (1.

| 1 2 0 ¿|| 2 3 3¿|¿¿

¿¿) + 5 . [(−1).

| 1 2 −1 ¿|| 2 3 4 ¿|¿¿

¿¿]

det D = 0 . C31 + 0 . C32 + 1. (1.(−19)) + 5 . [(−1).(−38)]det D = 0 + 0 + 1. (−19) + 5. 38det D = 0 + (−19) + 190det D = 171

Exemplo 05–Calcule o determinante da matriz A =

(1 2 3 4 ¿ ) (0 2 3 2¿ ) (1 2 3 2¿ ) ¿¿

¿¿ pela primeira coluna e depois aplicar Sarrus.


| 1 2 3 4 ¿|| 0 2 3 2¿|| 1 2 3 2¿|¿¿

¿¿ = 1. C11 + 0 . C21 + 1 . C31 + 1 . C41

det A = 1.(−1)1+1.

| 2 3 2 ¿|| 2 3 2¿|¿¿

¿¿+0. C21 +1.(−1)3+1.

| 2 3 4 ¿|| 2 3 2¿|¿¿

¿¿ + 1. (−1)4+1 .

| 2 3 4 ¿|| 2 3 2 ¿|¿¿

¿¿ =

det A = 1.[1 .

| 2 3 2 ¿|| 2 3 2¿|¿¿

¿¿] + 0. C21 + 1. [1.

| 2 3 4 ¿|| 2 3 2¿|¿¿

¿¿] + 1. (−1) .

| 2 3 4 ¿|| 2 3 2 ¿|¿¿

¿¿ =

Vamos aplicar Sarrus em cada Determinante de ordem 3.

17

24 +0 + 8 – 0 – 8 – 24 = 0 24 + 0 + 16 − 0 – 8 – 24 = 8 12 + 12 + 24 − 24 – 12 – 12 = 0

Agora vamos substituir os valores dos determinantes de ordem 3 na operação:

det A = 1.[1 .

| 2 3 2 ¿|| 2 3 2¿|¿¿

¿¿] + 0. C21 + 1. [1.

| 2 3 4 ¿|| 2 3 2¿|¿¿

¿¿] + 1. (−1) .

| 2 3 4 ¿|| 2 3 2 ¿|¿¿

¿¿ =

det A = 1 . [1. 0] + 0 . C21 + 1. [1. 8] + 1. (−1 . 0)det A = 1 . 0 + 0 + 1. 8 + 1 .0det A = 0 + 0 + 8 + 0det A = 8

Exercício 04


(4 2 5 ¿ ) ( 1 3 6 ¿ ) ¿¿

¿¿, Calcule seu determinante pela 1ª linha utilizando o teorema

fundamental de Laplace.


(4 2 5 ¿ ) ( 1 3 6 ¿ ) ¿¿

¿¿, Calcule seu determinante pela 1ª coluna utilizando o teorema

fundamental de Laplace.

3- Utilizando Laplace calcule os determinantes abaixo

a)

| 3 8 2 ¿|| 9 −6 5¿|¿¿

¿¿ pela primeira linha b)

| 3 8 2 ¿|| 9 −6 5¿|¿¿

¿¿pela primeira coluna

4- Sendo a matriz A =(aij) 3x3, tal que aij = i –j, calcule seu determinante pela 3ª linha.

5- Calcule o determinante da matriz C =

(6 −2 3 ¿ ) (2 −5 0 ¿ ) ¿¿


6- Calcule o determinante da matriz D =

(1 4 3 2 ¿ ) (0 2 0 0¿ ) (3 4 1 0¿ )¿¿

¿¿ pela terceira coluna e pela segunda linha.

18

7- Calcule o determinante da matriz E =

(1 4 3 2 ¿ ) (1 2 1 1 ¿ ) (2 1 1 0 ¿ ) ¿¿

¿¿ pela terceira coluna ou pela terceira linha.

Propriedades dos Determinantes

Propriedade (1) Fila de zeros

Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz quadrada A, forem iguais a zero, o seu determinante será nulo (igual a zero) isto é det A = 0.

Exemplo 01 – Qual é o determinante de A =

(0 2 1 1 ¿ ) (0 1 1 0 ¿ ) ¿¿

¿¿?

det A =

|0 2 1 1 ¿||0 1 1 0¿|¿¿

¿¿= 0 ou simplesmente det A = 0. __ (Note que a 1ª coluna só tem zeros)

Exemplo 02 – Qual é o determinante de B =

(9 2 1 ¿ ) (0 0 0 ¿ ) ¿¿

¿¿?

det B =

|9 2 1 ¿||0 0 0 ¿|¿¿

¿¿ = 0 ou simplesmente det B = 0. ____ (Note que a 2ª linha só tem zeros)

A justificativa é feita usando o teorema de Laplace.

Propriedade (2) Fila Iguais

Se os elementos de duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada A forem iguais, seu determinante será nulo, isto é det de A = 0.


(9 2 1 2¿ ) (6 5 4 5 ¿ ) ¿¿

¿¿?

det A =

|9 2 1 2 ¿||6 5 4 5¿|¿¿

¿¿ = 0 ou simplesmente det A = 0. (Note que a 2ª coluna e a 4ª os elementos são iguais).


(4 2 −1¿ ) (4 2 −1¿ )¿¿

¿¿?

19

det B =

|4 2 −1¿||4 2 −1 ¿|¿¿

¿¿= 0 ou simplesmente det A = 0. ____ (Note que a 1ª linha e a 2ª os elementos são iguais).

A justificativa é feita usando o teorema de Jacobi. (combinação entre duas fileiras)

Propriedade (3) Fila Proporcionais

Se uma matriz quadrada A possui duas linhas ou duas colunas proporcionais, seu determinante será nulo, isto é det A = 0.


(4 2 1¿ ) (6 5 4 ¿ )¿¿

¿¿?

det A =

|4 2 1 ¿||6 5 4 ¿|¿¿

¿¿= 0 ou det A = 0 – (Note que a 3ª linha é o dobro da 1ª. Elas são proporcionais).


(12 2 4 ¿ ) (9 5 3 ¿ ) ¿¿

¿¿?

det B =

|12 2 4 ¿||9 5 3 ¿|¿¿

¿¿= 0 ou det B = 0 ____ (Note que a 1ª coluna é o triplo da 3ª. Elas são proporcionais).

Propriedade (4) Determinante da Transposta

O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta, isto é det (A) = det( At ).

Exemplo 01 – Qual é o determinante da matriz A =

(5 4 ¿ )¿¿

¿¿

e o determinante da transposta de A?

det A=¿|5 4 ¿|¿¿

¿¿ 15 – 8 = 7 se atransposta de At =

(5 2¿ )¿¿

¿¿, então

det A t=¿|5 2¿|¿¿

¿¿15 – 8 = 7

Note que det A = det At

20

Exemplo 02 – Qual é o determinante da matriz B =

(10 6 ¿ ) ¿¿

¿¿

e o determinante da transposta de B?

det B=¿|10 6 ¿|¿¿

¿¿ 20 – 30 = – 10 se atransposta de Bt =

(10 6 ¿ ) ¿¿

¿¿, então

det Bt=¿|10 6 ¿|¿¿

¿¿20 – 30 = –10

Note que det B = det Bt

Propriedade (5) Determinante da Matriz Triangular

O determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior ou ambas), é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.


(4 2 ¿ ) ¿¿

¿¿?

det A = ¿|4 2¿|¿¿

¿ 20 – 0 = 20 Note que a mesma coisa que multiplicar os elementos da diagonal principal

det A = ¿|4 2¿|¿¿

¿

4.5 = 20


(1 2 4 ¿ ) ( 0 1 2¿ ) ¿¿

¿¿?

det B = ¿|1 2 4 1 2|0 1 2 0 1|0 0 4 0 0

¿

0 0 0 4 0 0Det B = 4 + 0 + 0 – 0 – 0 – 0 = 4 Note que é o mesmo que multiplicar os elementos da diagonal principal

det B = ¿|1 2 4 ¿||0 1 2 ¿|¿¿

¿ 1 . 1 . 4 = 4

Propriedade (6) Teorema de Binet

Dada duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem, temos que o determinante do produto de A . B é igual ao produto do determinante de A pelo determinante de B. ou seja det (A . B) = det A . det B.

Exemplo 01 – Seja A =

(2 2¿ )¿¿

¿¿

e B =

(3 2¿ )¿¿

¿¿Qual é o determinante de (A . B) e o det A . det B?

21

A . B =

(10 6 ¿ ) ¿¿

¿¿ então

det A . B= ¿|10 6 ¿|¿¿

¿ 50 – 54 = – 4

Note que é o mesmo que:

det A . det B pois det A = ¿|2 2 ¿|¿

¿¿

= 6 – 2 = 4 det B = ¿|3 2 ¿|¿

¿¿= 3 – 4 = – 1

e 4 . ( –1) = –4

Propriedade (7) Teorema de JacobiO determinante de uma matriz quadrada não se altera se multiplicarmos os elementos de uma linha ou coluna por uma mesmo número e adicionarmos à outra linha ou coluna paralela.


(2 2¿ )¿¿

¿¿?

det A =

|2 2¿|¿¿

¿¿= 6 – 2 = 4 note que o det A é igual a 4.

Agora vamos Multiplicar os elementos da 1ª linha por 2 e somar os resultados à 2ª linha.


(0 0 1 ¿ ) (1 4 6 ¿ )¿¿

¿¿?

Det A =

|0 0 1 0 0|1 4 6 1 4|3 2 4 3 2

det A = 0 + 0 + 2 – 12 – 0 – 0

det A = 2 – 12det A = –10

[ 2 2 ¿ ]¿¿

¿¿ L1. 2 = 4 4 L1 + L2 = 4+1 4+3 = 5 7 então a nova matriz é:

[ 2 2 ¿ ]¿¿

¿¿ e seu determinante é:

|2 2¿|¿¿

¿¿14 – 10 = 4 Note que o determinante é o mesmo da primeira matriz.

Agora vamos

Multiplicar os elementos da 2ª linha por 3 e somar os resultados à

1ª linha.

(0 0 1 ¿ ) (1 4 6 ¿ )¿¿

¿¿ L2. 3 = 3 12 18 L2 + L1 = 3+0 12+0 18 + 1

3 12 19 então a nova matriz é: B=

(3 12 19¿ ) (1 4 6 ¿ ) ¿¿


|3 12 19 3 12|1 4 6 1 4|3 2 4 3 2

22

Agora vamos

Multiplicar os elementos da 2ª linha por 3 e somar os resultados à

1ª linha.

(0 0 1 ¿ ) (1 4 6 ¿ )¿¿

¿¿ L2. 3 = 3 12 18 L2 + L1 = 3+0 12+0 18 + 1

3 12 19 então a nova matriz é: B=

(3 12 19¿ ) (1 4 6 ¿ ) ¿¿


|3 12 19 3 12|1 4 6 1 4|3 2 4 3 2

determinantes profº valtenir

Education