diagramas de bode nyquist e nichols. –os diagramas de resposta em freqüência são muito úteis...
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DIAGRAMAS DE BODE
NYQUIST E
NICHOLS
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– Os diagramas de resposta em freqüência são muito úteis para analisar a estabilidade de um sistema realimentado.
1) diagramas de Bode;
2) diagrama de Nyquist;
3) diagrama de Nichols.
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• Os três diagramas contém as mesmas informações. O que muda é como estas informações estão disponíveis ao projetista. Eles são obtidos através da função de transferência em malha aberta.
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DIAGRAMAS DE BODE
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DIAGRAMA DE NYQUIST
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DIAGRAMA DE NICHOLS
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INFORMAÇÕES DO SISTEMA EM MALHA FECHADA
Já foi falado que toda a análise de estabilidade é feita em cima das
informações do sistema em malha aberta. Mas algumas características do sistema em malha fechada podem ser muito úteis para se analisar o sistema.
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1) Pico de ressonância Mp
• é definido como o valor máximo de M() dado pela equação
M() = módulo | G(j) / (1 + G(j))|
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• Mp dá uma indicação da estabilidade relativa do sistema de controle realimentado.
• Normalmente um Mp grande corresponde a um pico elevado de sobressinal na resposta degrau.
• O valor ótimo de Mp deve estar entre 1,1 e 1,5.
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2) Freqüência de ressonância p
• - é definida como a freqüência na qual o pico de ressonância Mp ocorre.
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3) Largura de faixa
- é definida como a freqüência na qual o módulo de M(j) cai a 70,7 por cento da seu nível na freqüência zero, ou 3dB abaixo do ganho da freqüência zero.
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A largura de faixa fornece uma indicação da velocidade do sistema.
Um sistema com uma grande largura de faixa corresponde a um tempo de subida pequeno.
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LARGURA DE FAIXA DO SISTEMA
• A largura de faixa (ou largura de banda) de um sistema de controle a malha fechada é uma boa medida do intervalo de fidelidade da resposta do sistema.
• A velocidade de resposta a uma entrada do tipo degau será proporcional a B
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Por exemplo: sistemas em Malha Fechada
1
1
1T s
s
2
1
5 1T s
s
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Por exemplo: sistemas em Malha Fechada 3 2
100
10 100T s
s s
4 2
900
30 900T s
s s
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-A taxa de amortecimento para os sistemas é a mesma: =0,5.
-A freqüência natural não amortecida é 10 e 30 para os sistemas T3 e T4, respectivamente.
-Ambos os sistemas possuem sobrepasso de 15%, mas T4 possui um tempo de pico de 0,12 segundos, comparado a 0,36 segundos para T3.
-Observe também que o tempo de assentamento (ou de estabilização ou de acomodação) para T4 é de 0.37 segundos, enquanto que é de 0,9 segundos para T3
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LUGARES DE M CONSTANTES NO PLANO G(j)
• Dado um sistema em malha fechada com realimentação unitária
M(s) = C(s) = G(s) R(s) 1 + G(s)
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Reescrevendo:
G(j)= Re G(j) + jIm G(j)= x+jy.
| M(s) | = G(s) = (x2 + y2) 1 + G(s) [(1+x)2 + y2]
[x - M2/(1-M2) ]2 + y2 = [M/(1-M2)]2
Substituindo na equação do módulo
Resulta na equação de um círculo
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• As intersecções entre o gráfico G(j) e os lugares de M constante dão os valores do módulo em malha fechada na freqüência indicada sobre a curva de G(j).
• Se for desejado manter o valor de Mp menor do que um certo valor, a curva G(j) não deve interceptar o círculo correspondente de M neste ponto, e ao mesmo tempo não envolver o ponto (-1, j0).
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Diagramas polares de G(s) e lugares de M constante, mostrando o procedimento de
determinação de Mp e das curvas de módulo.
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LUGARES DE FASE CONSTANTE NO PLANO G(j)
M(j) = G(j) e G(j) = x +jy 1 + G(j)
Faz-se M(j) = G(j) - (1+G(j))
m() = M(j) = tan-1 (y/x) - tan-1(y/(1+x))
Fazendo N=tanm, esta equação pode ser escrita comouma família de círculos
(x + 1/2)2 + (y - 1/2N)2 = 1/4 + 1/(4N2)
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LUGARES DE M e N CONSTANTES NO PLANO MÓDULO VERSUS FASE - CARTA DE NICHOLS
• A desvantagem em se trabalhar com coordenadas polares para o gráfico de G(j) é que a curva se altera quando é feita alguma alteração, como por exemplo uma mudança de ganho.
• No gráfico de módulo em função da fase, toda a curva G(j) é deslocada quando o ganho é alterado.
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Os lugares de M e N constantes em coordenadas polares podem ser transferidos para coordenadas de
módulo em função da fase.
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Carta de Nichols
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USO DO MATLAB• n1=[1/120 1]• n2=[-1/2 1]• d1=[1 0]• d2=[1/.1 1]• n=conv(n1,n2)• d=conv(d1,d2)• sys=tf(n,d)• %graficos de nichols• w=logspace(-2,1,400)• nichols(sys,w)• ngrid• grid
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RELAÇÃO COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO E MARGEM DE
FASE