diagramas de venn

Diagramas de Venn

Mara Manzano

USAL

Febrero 2010

Mara Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 1 / 22

Diagramas de VennDiagrama Hoja de Trbol

A

B

C

5 2

8

U

6

13 4

7

Figura: Hoja de trbol


Diagramas de Vennreas del diagrama

Pertenece a a A, pertenece a a B, pertenece a a C?

rea 1si, si, siA\B\C

rea 2si, si, no(A\B)C

rea 3si, no, si(A\C)B

rea 4no, si, si(B\C)A

rea 5si, no, noA (B[C)

rea 6no, si, noB (A[C)

rea 7no, no, siC (A[B)

rea 8no, no, no (A[B[C)


Diagramas de VennConvenciones

1 Sombrearemos en el diagrama las zonas vacas.2 Usaremos cruces entrelazadas para indicar la existencia de elementosen una zona.

3 Las zonas de las que carecemos de informacin permanecern sinsombras ni cruces.


Diagramas de VennSintaxis

La representacin diagramtica utiliza cuatro objetos bsicos

1 Rectngulo2 Curva cerrada3 Sombreado4 Cruces

Como objetos auxiliares:5 Lneas, para unir las cruces6 Para nombrar las curvas y el rectngulo se usarn letras.


Diagramas de VennRepresentar zonas vacas

Para expresar en el diagrama que Q P sombrearemos en el diagrama elrea QP.

Q P

U

Figura: Q P


Diagramas de VennRepresentar existencia elementos

Para indicar en el diagrama que (P\Q) 6= pondremos una pequeamarca en todas aquellas zonas que constituyen (P\Q) y uniremosestas marcas entre s

Q P

U

Figura: (P\Q) 6=


Diagramas de VennSuperposicin de diagramas

U

P Q

U

P

U

&P QQ


Diagramas de VennConsistencia e inconsistencia

Inconsistente: sombreados y cruces entrelazadas y un entrelazado completotodo sombreado. Consistente en el resto de los casos.

P

U

Q P

U

Q P

U

Q

P 6= P Q P QEl resultado nal es el siguiente:

P

U

Q

Diagrama nal


Diagramas de VennModelos que satisfacen diagramas

En los cuatro apartados que siguen pondremos algunos modelos deldiagrama de la gura Q P.

1 U = f1, 2, 3g P = f1, 2g Q = f2g2 U = f1, 2, 3g P = Q = 3 U = fn j n es un nmero natural} P = fn j n es un nmero par}Q = fn j n es mltiplo de cuatrog

4 U = fx j x es un pasg P = fx j x es un pas mediterrneogQ = fEspaa, Italiag


Diagramas de VennRazonamientos con diagramas I

Hiptesis 1 J\R 6= Hiptesis 2 E\ J = Conclusin (J\R)\ E 6=

J

R

U

E

J

R

E

U J

R

U

E

Hiptesis 1 Hiptesis 2 Conclusin negada

J

R

U

E

Diagrama nal

Diagrama Inconsistente FRazonamiento Correcto F


Diagramas de VennRazonamientos con diagramas II

Hiptesis 1 L FHiptesis 2 L\ C 6= Conclusin C\ F 6=

L

F

U

C

L

F

U

C

L

F

U

C


L

F

U

C

Diagrama nal

Diagrama Consistente FRazonamiento Incorrecto F


Diagramas de VennContraejemplo

Puesto que el diagrama nal es consistente, construimos un modelo quecumpla las especicaciones del mismo.

U = fa, b, cg F = fa, b, cg C = fa, bg L = fa, cgSe observa que en este modelo se cumplen las hiptesis, pues:

fa, cg = L F = fa, b, cgfa, cg \ fcg = fcg 6= L\ C 6= )

Pero la conclusin C\ F 6= falla, pues:

f, bg \ =


Diagramas de VennHallar conclusin

Los casos son tres:

1 El diagrama de las hiptesis slo contiene reas sombreadas. En estecaso cualquiera de las subreas sombreadas est sombreada y puedeser una conclusin.

2 El diagrama de las hiptesis contiene sombreado y cruces:

1 Es inconsistente.2 Es consistente. En este caso cualquiera de las subreas sombreadasest sombreada y puede ser una conclusin. Tambin lo es cualquierade los entrelazados tomado completo e incluso un nuevo entrelazadoque una los entrelazados existentes (si hay ms de uno).

3 El diagrama de las hiptesis slo contiene cruces entrelazadas. Serconclusin cualquiera de los entrelazados tomado completo e inclusoun nuevo entrelazado que una los entrelazados existentes (si hay msde uno).


Diagramas de VennLa Isla del Tesoro I

HIPTESIS 1 Todos los piratas enrolados en La Espaola saben de laexistencia de un tesoro.

P T HIPTESIS 2 Nadie que sepa de la existencia de un tesoro obradesinteresadamente.

T D CONCLUSIN Hay piratas que obran desinteresadamente, pero novan enrolados en La Espaola.

D\ P 6=


Diagramas de VennLa Isla del Tesoro II

P

T

U

D

P

T

U

D

P

T

U

D


P

T

U

D

Diagrama nal

DiagramaConsistente FInconsistente

RazonamientoCorrecto Incorrecto F


Diagramas de VennLa Isla del Tesoro III

Puesto que el diagrama nal es consistente, construimos un modelo quecumpla las especicaciones del mismo.

U = f1, 2g P = D = T = f1gSe observa que en este modelo se cumplen las hiptesis, pues:

= P T = f1g f1g = T D = f1, 2gPero la conclusin D\ P 6= falla, pues:

\ P =


Diagramas de VennHallar conclusin: Slo sombreado

A

B

U

C

A

B

U

C

A

B

U

C

A

B

U

C

Figura: Slo contiene reas sombreadas


Diagramas de VennHallar conclusin: cruces y sombreado

A

B

U

C

A

B

U

C

A

B

U

C

A

B

U

C

A

B

U

C

A

B

U

C

A

B

U

C

Figura: reas sombreadas y cruces entrelazadasMara Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 19 / 22

Diagramas de VennHallar conclusin: slo cruces

A

B

U

C

A

B

U

C

A

B

U

C

A

B

U

C

Figura: Slo contiene cruces entrelazadasMara Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 20 / 22

Diagramas de VennLewis Carroll: Hiptesis

HIPTESIS 1 Algunas ostras (O) son silenciosas (S).

O\ S 6= HIPTESIS 2 Las criaturas silenciosas no son divertidas (D).

S DMediante diagramas de Venn buscamos conclusin al argumento:

O

S

U

D

O

S

U

D

O

S

U

D

Hiptesis 1 Hiptesis 2 Superposicin de hiptesis


Diagramas de VennLewis Carroll: conclusin

De entre las diversas conclusiones posibles elegiremos la estndar; esto es,la que relaciona a los conjuntos O y D.

O

S

U

D

O\ D 6= Expresada en espaol dira:

Algunas ostras no son divertidas.


diagramas de venn

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