dialnet-solucionanaliticademecanismosusandogruposdeassur-4838415

Scientia et Technica Ao XI, No 27, Abril 2005. UTP. ISSN 0122-1701 121

Fecha de recepcin: 31 Enero de 2005 Fecha de aceptacin: 01 Abril de 2005

SOLUCIN ANALTICA DE MECANISMOS USANDO GRUPOS DE ASSUR. RESUMEN Se presentan soluciones analticas para el grupo primario R y el grupo de Assur de clase II RRR, usando notacin polar compacta y defiendo la inversin geometrica para llegar a una solucin lineal, las soluciones analticas son codificadas como funciones de MatLab y validadas mediante el anlisis de un mecanismo por tcnicas grficas. PALABRAS CLAVES: Cinemtica, mecanismos, grupos de Assur. ABSTRACT It presents analytical solutions for primary group G and Assurs group of class II RRR, using compact polar notation and defining the geometric inversion to obtain a linear solution, analytical solutions are codified as MatLab functions and validated using a mechanism analysis by a graphic technique. KEYWORDS: Kinematics, mechanisms, Assurs groups.

LEONARDO DE J. MESA P. Ingeniero Mecnico Profesor Catedrtico Estudiante Maestra Sistemas Automticos de Produccin Universidad Tecnolgica de Pereira [email protected] SEBASTIN DURANGO I. Ingeniero Mecnico Docente Universidad Autnoma de Manizales. Estudiante Maestra Sistemas Automticos de Produccin Universidad Tecnolgica de Pereira [email protected]

1. INTRODUCCIN De acuerdo a Hinkle [6] la cinemtica de mquinas se define como el estudio del movimiento relativo entre las partes de una mquina. Existen muchos enfoques posibles para el anlisis cinemtico de maquinas y mecanismos, se cuenta con mtodos grficos, algebraicos, vectoriales y matriciales, como se puede ver en Erdman y Sandor [5], Norton [8], Shigley [9], Mabie [7] y Calle, Caldern y Durango [4]. Las tcnicas para el anlisis cinemtico presentadas en la anterior literatura adolecen de generalidad requirindose de su aplicacin concreta sobre cada mecanismo particular. En el caso de mecanismos complejos es deseable un mtodo general que permita resolver el anlisis cinemtico de una forma clara y simple. Una solucin a este problema fue planteada en 1914 por el cientfico L. V. Assur, quien realizo el estudio de los mecanismos desde su estructura. Baranov [1] y Calle y colaboradores [2] presentan resmenes del estudio de Assur sobre la estructura y el anlisis cinemtico de mecanismos planos. Es posible entonces usar diferentes herramientas para obtener expresiones analticas que resuelvan la cinemtica de los grupos primarios y grupos de Assur y a partir de estas soluciones resolver la cinemtica de cualquier mecanismo plano a partir de su estructura. Se exploro la solucin del grupo primario R y del grupo de Assur clase II RRR mediante representacin vectorial. La manipulacin de las expresiones vectoriales obtenidas se resolvi usando notacin polar compacta, facilitndose el anlisis de la velocidad y de la aceleracin para el mecanismo, toda vez que los procesos de diferenciacin respecto al tiempo se reducen a diferenciar funciones exponenciales.

Para la solucin del grupo de Assur clase II RRR, se defini de antemano la inversin geomtrica, valindose de un vector adicional entre los pares libres marcados como A y B en la Figura 2 y una variable discreta que toma uno de dos valores posibles de acuerdo a la configuracin definida. Esta tcnica fue usada por Erdman y Sandor [5] para el anlisis del mecanismo plano de cuatro barras, y su principal ventaja es que conduce a una solucin nica para la posicin a diferencia de las soluciones dobles propuestas por Calle y colaboradores [2]. Las expresiones analticas obtenidas se programaron como funciones de MatLab1 y se usaron para resolver la cinemtica de un mecanismo de cuatro barras con estructura segn Assur, I R II RRR. La validacin de las soluciones se resolvi mediante tcnicas grficas asistidas por computador para la posicin, velocidad y aceleracin. 2. GRUPO PRIMARIO R. La solucin del grupo primario R consistir en resolver la posicin, velocidad y aceleracin del punto correspondiente al par libre, marcado como B en la Figura 1. Para la posicin se tiene: ( )

21

2 ,,

iBA

iOA

AB

elel

lf

+=+=

=

B

BAAB

AB

r

rrrrr

(1)

1 MatLab es una marca registrada de MathWorks Inc.

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122

Tambin interesa resolver la posicin, velocidad y aceleracin de puntos particulares como los centros de masa, representados mediante el punto E en la Figura 1.

Real

Imag

teta1

teta2delta

A

BE

rA

rBA

rBrE

rEA

Figura 1. Grupo primario R. Para la posicin del punto E, se tiene:

)2(1

2 ),,,(

++=+=

=

iAE

iOA

AE

elel

lf

B

EAAB

AE

r

rrrrr

(2)

Para las velocidades de los puntos B y E se diferencian las expresiones (1) y (2) respecto al tiempo:

dtd

dtd

dtd

dtd

lf AB

BAABB

AB

rrrv

rv

+==

== 2222 con;),,,( (3)

Como 0=dt

d Ar , entonces la velocidad del punto B, ser:

2

2 iBA eli =Bv (4)

Anlogamente para la velocidad del punto E, se tiene:

)2(2

22

0;

),,,,(

+==+==

=

iEA

AE

elidt

ddt

ddt

ddt

dlf

E

AEAAEE

AE

v

rrrrv

rv

(5)

Ahora, para el anlisis de la aceleracin del punto B:

22

222

22222 ;),,,,(

iAB

iAB

AE

eleldt

ddt

dlf

+==

==

B

BB

AB

a

va

ra

(6)

Anlogamente para el punto E, la aceleracin ser:

)2(2

)2(22

22222 ;),,,,,(

++ +==

==

iAB

iEA

AE

eleldt

ddt

dlf

E

EE

AE

a

va

ra

(7)

3. GRUPO DE ASSUR CLASE II RRR.

Real

Imag

AB

C

rA

rBrC

r1 r2r5 PSI

12

Figura 2. Grupo de Assur clase II RRR. Para el grupo de Assur clase II RRR, es posible ensamblar la dada en una de dos inversiones geomtricas; para determinar la inversin se usar la variable discreta que tomara uno de dos valores: = 1 o = -1, segn la inversin: para una rotacin horaria de r5 a r2, = -1, como se muestra en la Figura 2 correspondiente a la primera inversin geomtrica. Ahora para la segunda inversin geometrica se tendra una rotacin antihoraria de r5 a r2 y = +1. Sea el valor absoluto del ngulo entre r5 y r2 con 0 . El ngulo con signo entre r5 y r2 ser . Convencin: Los ngulos se miden positivos con el eje X+ en sentido antihorario.

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Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, se resuelve la posicin que consiste en determinar

),,,,(),,( 21 ABACc llfr BA rr= , donde:

+=

===

52

21

25

22

2

1

2arccos

;;

rrrrr

rlrl

AB

AC

BA5 rrr (8)

Ahora es posible determinar la posicin y orientacin del eslabn 2:

2

2

:tantolopor)arg(

iCBel=

+=

2

5

r

r (9)

Resuelta la posicin del eslabn 2, se puede determinar r1

)arg(1 1AB21

rrrrr

=+=

(10) Se resuelve entonces la posicin del punto C:

1AC rrr += (11) 3.1. Grupo de Assur clase II RRR, solucin para un punto cualquiera en la dada. Una vez determinada la solucin general para la dada, resulta directa la solucin particular de cualquier punto sobre ella.

Real

Imag

A

B

C

rA

rB

rCr1

r2

1

2deltaF

deltaEE

F r4

r3

Figura 3. Grupo de Assur clase II RRR con puntos particulares.

Teniendo como entradas 21,,,, yFEBA rr , para el punto E del eslabn 1, se busca:

),,,( 1 AEE lf AE rr = (12) Se calcula el vector r3, fijo con respecto a. r1:

3AE

3

rrrr

+== + )1( EiAE el (13)

Ahora, para el punto F del eslabn 2, se tiene:

),,,( 2 BFF lf BF rr = (14) Se determina el vector r4, fijo respecto a r2:

4BF

4

rrrr

+== + )2( FiBF el (15)

3.2. Grupo de Assur clase II RRR, solucin de la velocidad. La solucin de la velocidad para el grupo de Assur clase II RRR, consiste en determinar:

)(),,( 21 BABA21c v,v,r,r,r,rv f= (16) Considerando el lazo que representa la dada se tiene:

0=+ B2A1 rrrr (17) Se diferencia la expresin (17) respecto al tiempo:

AB

BA

BA

B2A1

vv

vv

rr

rrrr

==+

=+

=+

222

111

222

111

22

11

0

0)()()()(

0)(

ii

ii

ii

erieri

erieridtder

dtder

dtd

dtddtd

(18)

Desarrollando (18) de acuerdo a la identidad de Euler y separando las partes real e imaginaria se tiene:

)(realsinsin :real 222111 AB vvrrGG =+ (19)

)(imgcoscos:imag. 222111 AB vvrrGG =+ (20)

Las expresiones (19) y (20), constituyen un sistema de ecuaciones lineales para 1 y 2, que tiene solucin:

121

221 )sin(

cos)(real)(imgsinr

vvvv ABAB

=

GGGG (21)

221

112 )sin(

sin)(img)(realcosr

vvvv ABAB

=

GGGG(22)

Ahora resulta directa la determinacin de vC:

2BC

2BC

2BC

rvv

rrr

rrr

+=+=

+=

idtd

dtd

2

)()(

(23)


124

3.3. Grupo de Assur clase II RRR, solucin de la velocidad para un punto cualquiera en la dada. Se considera resuelta la posicin del punto E y las velocidades en la dada. De la expresin (13), se tiene:

AEEiAi

A lrerer =+=+=

+3

)1(3 ;

E

3AE

r

rrr (24)

La solucin de la velocidad consistir en determinar

),,,,( 131 AE vv rf E= , entonces diferenciando la expresin (24) con respecto al tiempo, se llega a :

)1(31

Eieri ++= A vv (25) De igual forma, para el punto F, de la expresin (15)

)2(42

)2(4

Fi

FiBiB

eridtd

erer

++

+==+=

+=

BFF

F

4BF

vrv

r

rrr

(26)

3.4. Grupo de Assur clase II RRR, solucin de la aceleracin. La solucin de la aceleracin para un grupo de segunda clase consistir en determinar:

)27)(,,,,,,,,,(),,( 2121 BABABA21C aavvrrrra f= Se consideran resueltas la posicin y la velocidad. A partir de (18) se resuelve la aceleracin:

AB vv = 222111 ii erieri (18) Diferenciando respecto al tiempo:

dtd

dtd

dtd

ereriereri

ii

ii

iiii

ii

AB

va

aa

===

=+

;;

(28):donde

22

22

222

11

21

111

Separando la parte real y la parte imaginaria de la expresin (28), de acuerdo a la identidad de Euler:

)30();(imgsincossincos

:imaginaria)29();(real

cossincossin

:real

222222211

21111

222222211

21111

AB

AB

aa

aa

==++

==++

rrrr

rrrr

Las expresiones (29) y (30), forman un sistema de ecuaciones lineales para 1 y 2 que tiene solucin:

121

2222

221121

1 )sin()(realcos

)(imgsin)cos(

rr

r

+

=

AB

AB

aa

aa

(31)

221

1211

121222

2 )sin()(imgsin

)(realcos)cos(

rr

r

=

AB

AB

aa

aa

(32)

Ahora es posible resolver la aceleracin del punto C, retomando la expresin 23:

222

2

ieri

i

+=+=

BC

2BC

vv

rvv (23)

Diferenciando respecto al tiempo

dtd

dtd

dtd

rir

erier

ii

ii

ii

===

+=+=

;;v:donde

i

22222

222

22

22

i

BC

BC

a

aa

aaKK

(33)

3.5. Grupo de Assur clase II RRR, solucin de la aceleracin para un punto cualquiera en la dada. Se consideran resueltas la posicin y la velocidad del punto E y las aceleraciones angulares para los eslabones. Retomando (25) y diferenciando, se tiene:

AE

EiEi

Ei

lrerier

eri

=+=

+=++

+

3

)1(31

)1(3

21

)1(31

con

AE

AE

aa

vv

(34)

Anlogamente, a partir de (26), para F se tiene:

)2(42

)2(4

22

)2(42

FiFi

Fi

erier

eri

+++

+=+=

BF

BF

aa

vv (35)

4. PROGRAMACIN EN MATLAB Y

VALIDACIONES. Las soluciones de la posicin velocidad y aceleracin del grupo primario R y del grupo de Assur clase II RRR se codificaron como funciones de MatLab. Dichas funciones operan sobre arreglos de vectores y permiten el anlisis de mltiples posiciones para un mecanismo dado. Para validar las soluciones obtenidas se resolvi la cinemtica de un mecanismo de cuatro barras que tiene

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una estructura segn Azur IRIIRRR. Los parmetros geomtricos y cinemticos estn de acuerdo a la notacin de la Figura 4 y estn descritos por la siguiente expresin:

222

3

4242

2

1

srad0;s

rad10

rad 6 cm; 6

cm 6 cm; 9 cm; 7 cm; 2 entrada deeslabn deln Orientaci 30

fijoeslabn deln Orientaci 0

====

======

l

llll

AP

OOBOABAO (36)

Figura 4. Mecanismo cuatro barras. 4.1 Solucin del grupo primario. En primer lugar se resuelve la cinemtica del grupo primario, formado por el eslabn 2 y su unin al bastidor. La solucin consiste en resolver la posicin, velocidad y aceleracin del punto A, segn las expresiones (1), (4) y (6): ( ) ( )2222 ,,, AOlf=AAA a,v,r (37) Imponiendo un marco de coordenadas en O2 y reemplazando los valores de la expresin (36), en las funciones codificadas en MatLab se obtiene:

==

=

150cm/s200

120cm/s2030 cm2

2A

A

A

a

vr

(38)

4.2 Solucin del grupo clase II RRR. Una vez resuelto el grupo primario, se alimenta su solucin como entrada para la solucin del grupo de Assur clase II RRR, esto es resolver la posicin, velocidad y aceleracin de los puntos B y P, as como la orientacin, velocidad y aceleracin angular de los eslabones 3 y 4, segn las expresiones (8), (9), (10), (11), (13), (21), (22), (23), (25), (31), (32), (33) y (34):

( )( ) ,,,,,,,,, ,,,,,,, 424212222 434343 OOBOABAOAO lllllf=

=PPPBBB a,v,ra,v,r (39)

Reemplazando los valores de las expresiones (36) y (38), con = -1 en las funciones codificadas en MatLab se llega a:

==

=====

==

5481,119cm/s5556,418

2007,58cm/s7790,405214,100cm3629,6

,rad/s3306,53,rad/s0800,26

,rad/s9917,3,rad/s9910,5,2861,117,8372,88

2

24

23

43

43

P

P

P

a

,v,r

(40)

4.3 Validaciones. Las validaciones a las soluciones analticas por grupos de Assur se realizaron mediante la tcnica grfica de los planos de velocidad y aceleracin.

Real

Imag

o2 o4

A

B

P

88,84117,29

0 1 2 cm

2

3 4

Figura 5. Solucin grfica de la posicin. La solucin de la posicin para la configuracin abierta del mecanismo se presenta en la Figura 5 de donde se pueden tomar asistidos por computador los datos:

==

29,117,84,88

4

3

(41)

Con la tcnica de los planos de velocidad es posible resolver las velocidades angulares de los eslabones 2 y 3 y las velocidades de los puntos B y P, Figura 6.

==

===

286,27cm/s925,35201,58cm/s778,40

,120cm/s20,rad/s99,3,rad/s99,5

4

3

B

P

A

v,v

v

(42)

Para resolver el problema de las aceleraciones se uso la tcnica de los planos de aceleraciones, representada en la Error! No se encuentra el origen de la referencia., de donde se puede medir asistido por computador y usando


126

un factor de escala y las relaciones cinemticas adecuadas:

==

==

08,136cm/s9,500

6,119cm/s6,418

,rad/s33,53

,rad/s09,26

2

2

24

23

B

P

a

,a

Quedando validadas las soluciones analticas para la posicin, la velocidad y la aceleracin del grupo primario R y el grupo estructural o grupo de Assur clase II RRR.

polo,o2,o4

BA

P

0 5 10 cm/s

40.78

35.92

58.2127.29

Figura 6. Plano de velocidades para el ejemplo de validacin.

polo,02,04

A

B

n1

n2P

0 50 100 cm/s.s

500.65

418.6

Figura 7. Plano de aceleraciones para el ejemplo de validacin. 5. CONCLUSIONES. La combinacin del anlisis estructural de mecanismos segn Assur y el enfoque propuesto por Erdman y Sandor [5] para el anlisis cinemtico de mecanismos usando nmeros complejos y definiendo la inversin cinemtica resulto en una tcnica general para el anlisis de mecanismos planos con ventajas considerables para su codificacin en computador.

El MatLab resulta es una herramienta adecuada para codificar las soluciones analticas desarrolladas, permitiendo el anlisis de mltiples posiciones en el rango propuesto del movimiento del mecanismo y con exactitud apropiada. Es posible desarrollar programas CAE para anlisis de mecanismos con fines acadmicos y comerciales con los recursos de que dispone el medio universitario regional. Se espera poder aplicar esta tcnica a otros grupos de Assur y desarrollar un programa para el anlisis de mecanismos planos de acuerdo a lo expuesto. 6. BIBLIOGRAFIA [1] BARANOV, G. G. Curso de la Teora de

Mecanismos y Mquinas, Segunda edicin, 524 paginas, MIR, Mosc, 1985.

[2] CALLE, Gabriel; DIAZ, Alexander y QUINTERO,

Hctor F. Anlisis Cinemtico a partir del Anlisis Estructural segn Assur. V Congreso Iberoamericano de Ing. Mecnica, Mrida, 2001.

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ROMERO Carlos. A. Mejoramiento Estructural de Mecanismos, Revista Scientia et Technica No. 9, Pereira, 1999.

[4] CALLE, Gabriel, CALDERON, Marco T y

DURANGO, Sebastin. Anlisis Cinemtico de Cadenas Cerradas usando Tcnicas para el Anlisis de Robots. Memorias del Congreso Nacional de la ACA, Ibagu, 2004.

[5] ERDMAN, Arthur G. y SANDOR, George N.

Diseo de Mecanismos: Anlisis y Sntesis, Tercera edicin, 645 paginas, Pearson, Mxico, 1998.

[6] HINKLE, Rolland T. Kinematics of Machines, 231

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Maquinaria, Tercera edicin, 632 paginas, Limusa, Mxico, 2001.

[8] NORTON, Robert L. Diseo de Maquinaria,

Segunda edicin, McGraw - Hill, Mxico, 1995 [9] SHIGLEY, Joseph E. y UICKER, John J. Teora de

Maquinas y Mecanismos, McGraw - Hill, Mxico, 1988.

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