dialnet-teoriadelcrecimientoendogenoeconomiapoliticayecono-4935005

TEORADEL CRECIMIENTO ENDGENO.

ECONOMA POLTICAY ECONOMA MATEMTICA

Osear A. Benavides G.Estudiante de la Maestra en Ciencias Econmicas.

Director del Proyecto"Produccin de conocimiento y dinmica del crecimiento endgeno",

CID, Universidad Nacional de Colombia.

ResumenOscar A. Benavides, "Teoria del crecimiento endgeno. Economia poli-tica y economia matemtica", Cuadernos de Economa, v. XVI, n. 26,Bogot, 1997, pginas 47-67.Dos aspectos esenciales permiten entender los desarrollos recientesen la teora del crecimiento: una nueva conceptualizacin para explicarsu naturaleza, es decir, el retorno a la economa poltica clsic yla introduccin de la teora de los bienes pblicos, y unas matemticasque permiten formalizar esta nueva conceptualizacin. Con el desarro-llo de ambos elementos, el artculo prresenta el "nuevo" marco terico,las condiciones formales y las tcnicas matemticas necesarias paraentender la actual teora del crecimiento. Esta revisin de los nuevosdesarrollos puede servir de punto de referencia para ampliar o cues-tionar los planteamientos de las teoras del crecimiento endgeno.

AbstractOscar A. Benavides, "Theory of Endogenous Growth: Political Economyand Mathematical Economy", Cuadernos de Economa, v. XVI, n. 26,Bogot, 1997, pages 47-67.Two essential features allow us to understand recent developments ingrowth theory: a new conceptualization to explain its nature, thatis, the return to classical political economy and the introduction ofthe theory of public goods, and some mathematics that allow theformalization of this new conceptualization. With the development ofbothn elements, the article presents the "new" theoretical framework,the formal conditions and the mathematical techniques needed tounderstand current growth theory. This review of these new developmentscan serve as a point of reference to broeciet,or to question theformulations of endogenous growth theories.

INTRODUCCIN

El crecimiento econmico y el mejoramiento en el bienestar de la pobla-cin fueron los puntos centrales de las investigaciones de los economis-tas clsicos. Para Smith, Malthus y Ricardo, el bienestar formaba parteconsustancial de la investigacin acerca de las causas y consecuenciasdel crecimiento econmico [Ehrlich 1990]. As, por ejemplo, en el libroprimero de La riqueza de las naciones, Smith seal que el crecimientoestaba relacionado con la divisin del trabajo. Malthus, por su parte,desarroll un modelo formal sobre la dinmica del crecimiento asocian-do cambios en el tamao de la poblacin con el estado estacionario enel producto per capita [Becker 1990].Sin embargo, en la literatura del siglo diecinueve, y en gran parte de ladel siglo veinte, fueron olvidados esos planteamientos; los sucesores deSmith y Malthus se dedicaron a desarrollar otro de los aspectos plantea-dos por Smith, la asignacin de recursos en condiciones de equilibriocompetitivo. Asimismo, del anlisis malthusiano se ignor en formasistemtica la relacin existente entre dinmica demogrfica y procesode crecimiento. Por su parte ..el camino que escogi Ricardo en los Prin-cipios de economa poltica result fundamental para los desarrollos pos-teriores sobre el crecimiento. Especficamente,

la teora del valor en condiciones de equilibrio competitivo [oo.] (le permiti)producir resultados [oo.] en cuanto a la operacin de la economa en el largoplazo [oo.] en condiciones estrictas de equilibrio competitivo [Salazar 1993].

De esa forma, Ricardo estableci las condiciones (y los lmites) para elcrecimiento, es decir, los rendimientos decrecientes y la ausencia decambio tcnico. Marshall retom y formaliz estos planteamientos enlos Principios de economa y ellos el marco fundamental del trabajo de

50 CUADERNOS DE ECONOMA 26

Solow [1956], punto de partida de la moderna teora del crecimiento. Enparticular, el trabajo de Solow predeca que en ausencia de avance en latecnologa, el crecimiento en el largo plazo tendera a cero. Para salvareste obstculo, los tericos neoclsicos del crecimiento asumieron queel avance en la tecnologa se daba de manera exgena. No obstante,como lo seal Arrow,

un enfoque [...] que depende en tan gran medida de una variable exgenaes [...] insatisfactorio desde el punto de vista intelectual [...] ms aun, si setrata de una variable de tan difcil medicin como es la cantidad de cono-cimiento [1962, 155].

Adicionalmente, el modelo de Solow [1956] predeca la convergencia enel nivel de ingreso de los diferentes pases, como resultado del compor-tamiento decreciente del producto marginal de los factores. No obstantesu slida construccin terica y la amplia aceptacin que tuvo en trmi-nos empricos en los aos cincuenta y sesenta, los fundamentos tericosdel modelo de Solow comenzaron a mediados de los ochenta a ser objetode anlisis.

Los primeros cuestionamientos al modelo de Solow (que dieron lugara lo que hoy se conoce como teora de crecimiento endgeno) surgieronde observar que el proceso de convergencia en el nivel de ingreso no sedaba, es decir, el modelo perda poder predictivo. Esto sugera que al-guna de las bases tericas sobre las que estaba construido el modelo deSolow fallaba.

Los desarrollos de Romer [1986],Lucas [1988]y Rebelo [1991] (construidoscon base enlos trabajos de Arrow [1962],Sheshinski [1967]y Uzawa [1965])concluyeron que el producto marginal del capital (fsico y humano) nopresentaba un comportamiento decreciente, lo que permita que el produc-to creciera sin cambios en la tecnologa. De otro lado, los modelos desarro-llados por Romer [1987, 1990a y 1990b]), Grossman y Helpman [1991], yAghion y Howitt [1992] introdujeron el avance en la tecnologa como re-sultado de actividades de Investigacin y Desarrollo (1&0).

Estos desarrollos significaron el abandono de los rendimientos margi-nales decrecientes y el supuesto de tecnologa constante en la teora delcrecimiento, es decir el abandono al marco establecido por Ricardo, a lavez que 'recuperaron los planteamientos de Smith.

Ahora bien, el presente artculo introduce las nuevas concepciones so-bre el crecimiento desde dos perspectivas: la economa poltica en lateora del crecimiento endgeno y la formalizacin correspondiente, esdecir, la matemtica de la teora del crecimiento. En la ltima parte sehacen algunas observaciones acerca del estado actual de los principales

TEORA DEL CRECIMIENTO ENDGENO 51

problemas de la teora del crecimiento endgeno, en su conceptualiza-cin y en su formalizacin.

LA ECONOMA POLTICA DEL CRECIMIENTO

Para hacer un anlisis de la economa poltica en la teora del crecimientoendgeno es preciso recurrir al libro primero de La riqueza de las naciones enel que Smith desarrolla la idea de que la divisin del trabajo est limitadapor el tamao del mercado. Lo plantea en los siguientes trminos:

la divisin del trabajo [...] ocasiona [...] un aumento proporcional en lasfacultades productivas del trabajo. [...] Esta separacin se produce general-mente con ms amplitud en pases que han alcanzado un nivel ms alto delaboriosidad y progreso [...] [1987,9].

Adicionalmente, seala que un incremento en la divisin del trabajoimplica una reduccin de los costos medios, y presenta tres condicionesde las que proviene esa situacin:

primera, de la mayor destreza de cada obrero en particular; segunda, delahorro de tiempo, el cual comnmente se pierde en el paso de una ocupa-cin a otra, y por ltimo, de la invencin de una gran nmero de mquinasque facilitan y abrevian el trabajo, capacitando a un hombre para hacer eltrabajo de muchos [1987, 11]

Igualmente, Smith muestra que

la extensin del mercado est positivamente relacionada con el tamao y ladensidad de la poblacin, la cantidad de recursos naturales, el capital acu-mulado disponible, la facilidad de transporte y con la estabilidad del mer-cado [Vassilakis 1987, 761].

Es decir, muestra que la divisin del trabajo es el mecanismo que puedeconducir a un mayor bienestar y que "una sociedad bien gobernada, (dalugar) a esa opulencia universal que se derrama hasta las clases inferio-res del pueblo".'

Marshall [1961], al igual que Smith, consider que la divisin del trabajoes la principal razn por la que la tecnologa presenta rendimientoscrecientes a escala [Vassilakis 1987,762]. En particular, trat de conciliarlos rendimientos crecientes y la competencia perfecta. No obstante, en-contr dificultades analticas que no lo permitan, especficamente, laimposibilidad de encontrar un equilibrio nico y estable en presenciade curvas de demanda de pendiente negativa. Sin embargo, Marshall

1 Para desarrollos recientes ver Yang-Borland [1991]y Becker-Murphy [1993].


consider que, para poder mantenerse en equilibrio competitivo, "laseconomas de escala son externas a la firma" [Vassilakis 1987, 763].

De ah la solucin que dio al problema: los rendimientos crecientes soninternos en el agregado pero externos a la firma. De hecho,

Marshall claramente fallapara dar las condicionesde equilibrio estable [oo.] yaque las curvas de demanda de pendiente negativa y el comportamiento de notoma de precios no pueden ser evitados de esta forma [Vassilakis1987,764].

Aunque el trabajo de Marshall dej en el limbo el problema de rendimien-tos crecientes y equilibrio competitivo, su anlisis sirvi de base para de-sarrollos posteriores. A finales de los aos veinte y comienzo de los treintahubo una reaccin generalizada contra los conceptos de competencia per-fecta y monopolio puro corno modelos analticos de comportamiento eco-nmico [Stigler 1957]. En particular, se consider que "ni el monopolio nila competencia (perfecta) son jams absolutos (y que) las teoras que seocupan de ellos slo examinan las fronteras de la realidad, la que debe serbuscada entre tales lmites" [Ferguson y Gould 1979, 320].

Los trabajos de Sraffa [1926], Young [1928], Robinson [1933] y Charnber-lin [1933] reintrodujeron los rendimientos crecientes en el anlisis eco-nmico. En particular, Sraffa critic la condicin de costos marginalescrecientes para el equilibrio competitivo, caso que, segn l, no era el demuchas firmas o industrias y que tampoco se poda analizar corno el de'monopolios marshallianos [Archibald 1987]. Por su parte, Young inten-t construir una teora del crecimiento econmico con base en el plan-teamiento de Smith, fuera de las posibilidades que brindaba el marcomarshalliano de competencia perfecta y monopolio puro. No obstante,'fracas: en ese momento la teora del equilibrio no haba alcanzado suplena madurez y no permita que la propuesta de Young, inabordabledesde la teora econmica de su tiempo, se pensara en un marco tericogeneral [Salazar 1993,15].

Posteriormente, Robinson y Chamberlin obtuvieron un equilibrio confirmas maximizadoras de beneficio que enfrentaban curvas de deman-da con pendiente negativa, y compatibilizaron rendimientos crecientes(no convexidades en la tecnologa) con maximizacin de beneficios. Esteresultado responda al interrogante de Sraffa y permita, a la vez, gene-ralizar los principios formulados por Marshall [Archibald 1987, 532].

En oposicin a los conceptos de competencia perfecta y monopolio puro,Chamberlin [1933]construy su teora de competencia monopolstica con-siderando que los bienes son heterogneos y tienen sustitutos imperfectospero cercanos. Este tipo de mercados se caracteriza por diferenciacin de losproductos y poder de monopolio por parte de la firmas.


Sin embargo, a diferencia del monopolio puro, en la competencia mo-nopolstica no existen barreras de entrada y los nuevos competidorestienen un incentivo para entrar en el mercado. Entran firmas hasta quelos beneficios se reducen a cero, al igual que en el modelo de competen-cia perfecta. Lo mismo que el monopolio puro, las firmas se enfrentana curvas de demanda de pendiente negativa. A medida que entran fir-mas disminuye la proporcin de la demanda que representa cada una,y esa es la diferencia fundamental que existe entre el monopolio y lacompetencia monopolstica Stiglitz [1993]. Aunque la teora de la com-petencia monopolstica signific un avance con respecto a la concepcinde competencia marshalliana, por muchos aos fue parcialmente olvi-dada. En las dcadas del cincuenta y sesenta, y en parte de la del setenta,los desarrollos se enfocaron en analizar la competencia monopolsticadentro de las posibilidades que ofreca la teora del equilibrio general. 2

La teora resurgi con el trabajo de Dixit y Stiglitz [1977], quienes reto-maron los planteamientos de Chamberlin para analizar modelos estti-cos en los que la utilidad dependa del nmero de bienes de consumode la economa. Sus resultados fueron utilizados en los trabajos de Ro-mer [1987 y 1990a] para explicar el proceso de crecimiento en el largoplazo lo que, unido al anlisis del conocimiento tecnolgico en trminosde bienes pblicos, le permiti a Romer desarrollar un modelo que cam-bi radicalmente la forma de analizar el crecimiento pues dejaba a unlado el marco ricardiano de rendimientos constantes y tecnologia cons-tante. De hecho, cuando el conocimiento tecnolgico cambia, el creci-miento no puede explicarse en un escenario de competencia perfecta, yaque surgen rendimientos crecientes y estructuras de competencia im-perfecta originadas (respectivamente) por el carcter no rival y no ex-cluible del conocimiento tecnolgico,"

Los modelos de crecimiento endgeno de Romer [1987 y 1990a], Gross-man y Helpman [1991], y Aghion y Howitt 1992] implicaron un cambioradical en la economa poltica del crecimiento al introducir el plantea-miento de Smith acerca de la invencin de una gran nmero de mqui-nas con la generacin de costos medios decrecientes y rendimientoscrecientes. Igualmente, en los trabajos de Lucas [1988], Rebelo [1991] yCaball y Santos [1993] tambin se dio un cambio al considerar que lamayor destreza de los trabajadores causa una externalidad que generarendimientos crecientes, aunque en competencia perfecta y con tecno-loga constante.

2 Para un anlisis detallado ver Negishi [1987].3 En Stiglitz [1993,XVIII]YRomer [1994]se encuentra un anlisis detallado sobre

el tema.


En sntesis, los desarrollos recientes sobre crecimiento tienen como baseuna 'nueva economa poltica, que es el resultado de considerar las cau-sas y consecuencias de la divisin del trabajo planteada por Smith en ellibro primero de La riqueza de las naciones. En trminos de crecimientoendgeno, quienes piensan que el cambio tecnolgico ocasiona rendi-mientos crecientes y crecimiento autosostenido se basan en el argumen-to de Smith segn el cual la invencin de un gran nmero de mquinasreduce el tiempo de trabajo y por lo tanto los costos medios.

Asimismo, las teoras del aprendizaje (capital humano o learning bydoing) tienen como base el argumento de Smith de la mayor destreza delos trabajadores como fuente de rendimientos crecientes. No obstante,los dos tipos de modelos son mutuamente excluyentes pues cuando seconsidera que existe cambio tecnolgico no hay aprendizaje; mientrasque cuando se considera que hay aprendizaje (acumulacin de la cono-cimiento), la tecnologa se mantiene constante. Sin embargo, no hayrazn para seguir entendiendo los dos argumentos de Smith como mu-tuamente excluyentes. Los trabajos posteriores han buscado incorporaren forma simultnea dos de los argumentos de Smith acerca de las cau-sas y consecuencias de la divisin del trabajo, especficamente el aumen-to de conocimiento por el aprendizaje y el cambio en la tecnologa[Young 1993 y Benavides y Forero 1997].

LA ECONOMA MATEMTICA DEL CRECIMIENTO

Aunque Ricardo formul en sus Principios de economa poltica y tributa-cin las bases de la moderna teora del crecimiento, su desarrollo mate-mtico adquiri plena madurez con el trabaju de Solow [1956]. Los prin-cipios formalizados incluan en la dinmica del crecimiento el compor-tamiento competitivo, el equilibrio dinmico y los rendimientos decre-cientes en la acumulacin de capital. Excluan.a la vez, los aportes deRamsey [1928], Young [1928] y Schumpeter [1934] acerca del papel delahorro, la presencia de rendimientos crecientes y el poder de monopo-lio, aspectos fundamentales en el cambio que experiment luego la teo-ra del crecimiento [Barro y Sala-i-Martin 1995, 9].

En el trabajo de Solow, la funcin de produccin asuma rendimientosconstantes a escala, rendimientos decrecientes para cada factor, sustitu-cin unitaria entre los factores y tasa de ahorro constante. El supuestode rendimientos decrecientes implica que pases con escaso capital percpita crecen ms rpido que los pases con capital per cpita abundante.En consecuencia, el ingreso per cpita de los pases converge. Del supues-to se deriva, igualmente, que en ausencia de cambio tecnolgico, el in-greso per cpita tiende a no crecer.


Los trabajos de Cass [1965] y Koopmans [1965] retomaron el de Ramseysobre optimizacin del consumidor y lo aplicaron al de Solow; de allobtuvieron un modelo de crecimiento con tasa de ahorro endgena, noconstante. Sin embargo, en el largo plazo, el crecimiento mantena sudependencia del avance en el conocimiento tecnolgico determinado enforma exgena y tenda a preservar la hiptesis condicional de conver-gencia. El equilibrio obtenido por Cass y Koopmans poda conservarseen forma descentralizada, con estructuras competitivas en los mercadosde factores, siendo ptimo en el sentido de Pareto, cumpliendo el PrimerTeorema del Bienestar.

El modelo de crecimiento de Solow con tasa de ahorro constante

Supuestos del modelo

1. Se considera una economa cerrada en la que slo se produce unnico bien que puede destinarse al consumo o a la inversin;

2. El capital se deprecia a una tasa constante 8;

3. La poblacin L crece a una tasa exgena n;

4. El ahorro es una parte constante s del ingreso;

5. La funcin de produccin y cumple las siguientes propiedades:

a. Es homognea de grado uno, o sea, presenta rendimientos constantesa escala; en trminos matemticos, eso se expresa de la siguiente manera:

F (\IIK, \IIL) = \IIF (K, L)con K > OYL > Opara todo \11 > O; [1]

b. La productividad marginal de los factores es positiva y decreciente;

8F / 8K > O;8F/ 8L > O;&F / 8K2 < O;&F/8L2 < O [2]

c. F (.) satisface las condiciones de Inada, es decir, el producto marginaldel capital (o trabajo) tiende a infinito cuando el capital (o trabajo) tiendea cero, y tiende a cero cuando el capital (o trabajo) tiende a infinito:

[3]lim(FK) = lim(FL) = O


Solucin del modelo en estado estacionario

Segn los supuestos 1 y 4, la inversin es igual al ahorro e igual a laproduccin total F(K, L) menos el consumo agregado C; eso se expresade la siguiente forma:

.K = sF (K, L) - 8K [4]

Igualmente, el supuesto 5 implica que F (.) pueda expresarse en trmi-nos per cpita. Para obtenerlo se considera que y = l/L Y se obtiene lasiguiente expresin:

t-F(K,L)=F(~,l)=F(k,l)=f(k) [5]

Donde f(k) y k son respectivamente el producto y el capital expresadosen trminos per cpita. Combinando [4] y [5], se obtiene la inversin netaexpresada en trminos per cpita. El procedimiento es el siguiente:. . .K KL-LK KL= sftk) - 8(k) => k = L2 =L- nk

[6].k = sf (k) - (8 + n) k

Sustituyendo la funcin de produccin por una de tipo Cobb-Douglas,

Yt = AKP L1-J3 [7]

donde A es un ndice que mide el estado de la tecnologa, K el capitaltotal, L la fuerza de trabajo y O< p < 1. Expresada en trminos per cpita,[7] se convierte en

f (k) = AkP

Reemplazando [7.1] en [6] se tiene lo siguiente:

[7.1]

[7.2]

La tasa de crecimiento del capital per cpita se obtiene dividiendo laecuacin [7.2] entre k. Si se define la tasa de crecimiento del capital percpita en estado estacionario" como

.Yk = k /k [7.3]

4 Definido corno aquella situacin en la que todas las variables crecen a unamisma tasa constante que posiblemente valga cero.


Sustituyendo [7.3] en [7.2] se tiene que:

[Yk + n + sJI sA = kH [7.4]donde todas las variables del primer trmino son constantes. Tornandologaritmos y derivando respecto al tiempo se obtiene lo siguiente:

0= Yk (1- (3) [7.5]Corno O < [3< 1, entonces 1-[3 > O, con lo que la nica tasa de crecimiento enel modelo de Solow es cero. No obstante, el modelo no permite explicar elhecho de que la mayor parte de los pases haban experimentado tasas decrecimiento positivas durante varios siglos. Esto llev a Solow a concluirque la tecnologa A, creca a una tasa (exgena) constante x. De hecho,cuando la tecnologa crece a una tasa constante, las dems variables crecena esa misma tasa, determinada en forma exgena.

El modelo de crecimiento de Solow con optimizacinde los consumidores: el modelo de Ramsey de Cass-Koopmans

Supuestos del modelo sobre la produccin. Se mantienen los supuestos 1, 2,3 Y 4 del modelo de Solow.

Supuestos sobre la utilidad1. Los agentes derivan su utilidad del consumo de C(t) unidades (quese producen en el sector de bienes finales) en cada momento del tiempo.Las preferencias se caracterizan por una funcin de utilidad U(C(t, conU'(C) > O Y U"(C) < Opara todo C > O;2. La funcin de utilidad cumple las condiciones de Inada:

lim U' (C) = 00c~olim U' (C) = O

C~OO

3. La utilidad de los individuos es la suma de sus funciones instant-neas de utilidad descontadas entre el perodo O y el infinito.

r cl-a_1e-(p-n)t dto 1-cr \ [8]donde p > Oes la tasa de descuento, Ct el consumo en el momento t ycrE(O, 00) el grado de concavidad de la funcin de produccin.

Solucin del modelo en estado estacionarioEl proceso de optimizacin consiste en maximizar [8] sujeto a


k = Ak13 - c - (n + o) k [9]donde ko > Oest dado. Adicionalmente, se requiere que p > n, con elpropsito de acotar la funcin de utilidad para que el problema tengasignificado econmico. El valor presente del hamiltoniano queda defi-nido de la siguiente forma:

(

1-" 1~ = e-(p-n) t 1

c_ O':J + Ak [ Ak'' - c - (n + 8) k] [10]

donde Ak (multiplicador dinmico de Lagrange) es el precio implcitode la inversin en capital. La condicin de primer orden respecto a lavariable de control c es la siguiente:

[11]

La ecuacin [11] dice que el valor marginal del consumo debe ser igualal valor marginal del la inversin en capital fsico. Tomando logaritmosy derivando con respecto a t se obtiene:

- (p - n) t - O' ln(c) = In Ak

[o) oC Ak

- (p - n) - O' ~ = Xk

[11.1]

[11.2]

La condicin de primer orden con respecto a la variable de estado k (quese iguala a la variacin de su precio implcito en el tiempo con signomenos) es la siguiente:

8~ o- = Ak (~A -(1-1}) - n - 8) = -A k8k .

[12]

Sustituyendo (12)en (11.2)y reordenando, se obtiene la siguiente expresin:

p + e (~) ~ ~A-{l-O) 5 "" [~) ~ cr-1[~A-{l-P) - 5 - p] [13]Al igual que en el modelo de Solow (1956), el equilibrio obtenido esptimo. En el ptimo, la tasa de retorno del capital debe igualar a la tasade inters; sustituyendo en la ecuacin [13] se obtiene lo siguiente:

[~)~cr-l [,-5-p] [13.1]


De [13.1]es posible obtener la tasa de crecimiento de las dems variablespues el sistema se encuentra en estado estacionario. No obstante, lasconclusiones del modelo de Solow se mantienen cuando se obtiene unatrayectoria de consumo en forma ptima.

Modelos de crecimiento endgenocon tecnologa constante: Lucas [1988]

Supuestos del modelo sobre la produccin

1. Existen dos sectores: uno produce bienes finales y el otro capital hu-mano. Para el sector de bienes finales se mantienen los supuestos 1, 2, 3Y 5a del modelo de Solow;

2. Los dos factores acumulables, capital fisico y capital humano, se pro-ducen con diferentes tecnologas;

3. El stock medio de capital humano genera una externalidad.

Supuestos sobre la utilidad. Se mantienen los tres supuestos del modelodel modelo de Solow con optimizacin de los consumidores.


La funcin de produccin de bienes finales est dada por

y = AKIl [uhL]l-1l h~ [14]

Donde u es la fraccin del tiempo que los individuos destinan a producirbienes finales, h el nivel de calificacin media de los trabajadores y L laoferta laboral. El trmino h~ y recoge la externalidad del stock medio decapital humano. Por lo tanto, la restriccin de acumulacin de capitalfsico en trminos per cpita es:.k = Akl' [uh](H) h~ - c - (n + 8k) k [15]

Igualmente, la produccin de capital humano en trminos per cpita sedefine por

.h = ~ (1 - u) h - (n + 8h) h [16]

Donde es un parmetro de la productividad en el sector educativo, y(l-u) la fraccin del tiempo disponible que los individuos dedican aacumular capital humano. El comportamiento en estado estacionario seobtiene maximizando [8] sujeto a [15] y [16]. Sin embargo, a diferenciadel modelo anterior, aqu se tienen dos variables de control (cy u) Ydos


restricciones dinmicas la acumulacin de k y de h. Por lo tanto, el ha-miltoniano queda de la siguiente manera:

';?t = e~'-"{lC~:)+ l.JAV [uh]'-' h~- e- (n+ 00 kJ+ Ah[$ (1 - u) h - (n + oh)h] [17]

siendo AkY Ahlos precios implcitos de la inversin en capital fsico ycapital humano, respectivamente. La condicin de primer orden respec-to a la variable control e igualada a cero es:

B~- = e-(p-n)t c-a = AkBc [18]

Tomando logaritmos y derivando con respecto a t se obtiene:

- (p - n) t - () ln(c) = In Ak

- (p - n) - cr[~)=~

[18.1]

[18.2]

Ahora bien, la condicin de primer orden con respecto a la variablecontrol u igualada a Oes:

[19]

Las condiciones de primer orden con respecto a las variables de estado(igualadas a la variacin de su precio implcito en el tiempo con signomenos) son las siguientes:

-A~ = AkWAkP-1 (uhi!-p) h~ - (n + 00] [20]

-A~ = Ak[(1 - ~) AkP-1 u(!-P)h-P h~] + Ah[$ (1 - u) - (n + Oh] [21]

lim (Akk.) = lim (Ahh.) -= O [22]k-Ha h~",

La ecuacin [22] recoge las dos condiciones de transversalidad. Paragarantizar consistencia interna se requiere que ha = h. Igualmente, asu-miendo que Ak= AhY sustituyendo [18.2] en [20] y [2n se obtiene losiguiente:

[~) = cr-' [pAkp-l u'H' h' -, - p - SI [23]Despus de una cantidad significativa de lgebra, se obtiene que:


- - - -1[($ - p - 8) (1 - ~ + \ji)]Yy-Yk-Yc-cr (l~~+\jI)-\jI

Segn la ecuacin [24], se puede ver que en ausencia de externalidades,\11 = O,las tasas de crecimiento de y, k, c Yh son iguales a ($ - 8 - p)/ o.Es importante observar que en este caso el parmetro de productividadrelevante es $ (ndice de productividad del sector educativo). En esecaso, el equilibrio competitivo es ptimo. No obstante, cuando se con-sidera la externalidad, la tasa de equilibrio competitivo es inferior a latasa ptima de crecimiento.

[24]

Modelos de crecimiento endgenocon cambios en la tecnologa: Romer [1990]

Supuestos del modelo sobre la produccin

1. El modelo tiene tres sectores: el primero, de investigacin, que pro-duce diseos a partir del capital humano y del conocimiento tecnolgicodisponible; el segundo, que produce bienes intermedios usando los di-seos y bienes duraderos; el tercero, que produce bienes finales utilizan-do capital humano, trabajo, y bienes duraderos que pueden consumirseo ahorrarse en calidad de nuevo capital;

2. El crecimiento del capital se toma en trminos netos;

3. El capital humano y el trabajo (oferta laboral) se mantienen constantes;

4. El ahorro no es una proporcin constante del ingreso;

5. La funcin de produccin de bienes finales tiene la siguiente carac-terstica: rendimientos crecientes a escala para el conjunto de los factoresrivales y no rivales, y rendimientos constantes a escala cuando se con-sideran solamente los factores rivales. Esto se expresa as:

F[\jIA(t),\jIK(t),\jIH(t)] >F[A(t),\jIK(t),\jIH(t)] = \jIF[A(t),K(t),H(t)] [25]

donde F es la funcin de produccin de bienes finales; \11 es un escalar(\11 > 1); A(t) = {A(t), i=l, ..., m} representa los factores no rivales(conocimiento tecnolgico); K(t) = {K(t), i = 1,..., m} el capital fsico yH(t) = {H(t), i= 1,..., n} el capital humano;6. Debido a que la funcin de produccin presenta rendimientos cre-cientes, el producto marginal de los factores rivales no es decreciente nise cumplen las condiciones de Inada;

7. Los bienes de capital no son sustitutos perfectos entre s;

62 CUADERNOS DE ECONONA 26

8. El conocimiento tecnolgico es factor de produccin, se acumula ytiene caractersticas de un bien pblico no puro, es decir, es no rival ysusceptible de exclusin parcial.

Estos supuestos, invalidan los del modelo de Solow y casi todos los delos modelos de Cass-Koopmans y Lucas. Igualmente, ubican el proble-ma del crecimiento en un escenario diferente: rendimientos crecientesy competencia imperfecta (monopolstica),

Supuestos del modelo sobre la utilidad. Se mantienen los tres supuestos delos modelos anteriores, aunque la ecuacin [8] no se expresa en trminosper capita. La ecuacin correspondiente es:

[ e1-a_1e-pt dto 1-cr [26]


El sector de bienes finales presenta la siguiente funcin de produccin:

y t = H~ O ( x(i)l- a - 13di [27]

donde Hy es el capital humano utilizado en la produccin de bienesfinales, el cual permanece constante; x(i) es un conjunto infinito delos insumas o diseos de capital, y A es un ndice de la tecnologa coni ;::::A. Los insumas entran como una funcin aditivamente separableenla que hay una firma distinta i para cada bien i.

Si los insumas se proporcionan al nivel, la ecuacin [23] se convierte en

Yt = H~ O AX-(l-J3) [27.1]

Igualmente, dado que se requieren 1'] unidades de capital para producircualquier tipo de diseo, el stock de capital fsico usado en la produccinde bienes finales es:

- KK = IIAx => x = -

llA

Reemplazando [27.1] y [27.2] en [27] se tiene que:

[27.2]

.K t = lla+J3-1 A a+J3 H~ O K1-a-J3 $13-1 - e [28]

La ecuacin [28] permite ver que el avance tecnolgico en Harrod neu-tral, lo que es consistente con un estado estacionario en el que la tecno-loga y las dems variables crecen a una misma tasa determinada. Igual-mente, si


[28.1]

Por su parte, el sector de investigacin presentala siguiente funcin deproduccin:

.A = HyA [29]

Donde 4> es un parmetro de eficiencia en el sector tecnolgico, HA, elcapital humano destinado a la investigacin y A el conocimiento tecno-lgico en el momento t.

La tasa de crecimiento en estado estacionario se obtiene maximizando[26] sujeto a [28] y [29]. Sin embargo, a diferencia del modelo anterior,aqu se tienen dos variables de control (C y HA), Y dos restriccionesdinmicas de la acumulacin de K y de A. Por lo tanto, el valor corrientedel hamiltoniano es el siguiente=

~ = [C1-cr] + AK[ru+Il-1 Au+1lH~ LIlK1-u-1l 1l-1- C]l-cr

+ AH [HAA] [30]

Las condiciones de primer orden respecto a las dos variables control, Cy HA, igualadas a cero, son:

a~ac =Ccr=AK [31]

Tomando logaritmos y derivando con respecto al tiempo, la ecuacin 31se transforma en:

-crln(C) = lnAK [31.1]

[31.2]

Las condiciones de primer orden con respecto a las variables de estado(igualadas a la variacin de su precio implcito en el tiempo con signomenos) son las siguientes:

5 Ver Chiang [1992]sobre valor corriente y valor presente de los hamiltonianos.


8~ 8K = A K (1 - a - P) K-1 d) = A K P= -A K

8~ aA = A A crHA - AK [a + P] A -1 d + AA P = -A A

A partir de las ecuaciones [31.2],[32],[33]Y[34],se determina la solucinexplcita del modelo, aunque su solucin no es fcil. Lo realmente inte-resante es que en estado estacionario todas la variables crecen a unamisma tasa constante, con lo que, despus de una buena dosis de lge-bra, se obtiene que:

[33]

[34]

y e K A- = - = - = - = crHAy e K A

Despejando y sustituyendo en las ecuaciones [31.2], [32], [33] Y [34], seobtiene que la tasa de crecimiento del producto -y de las dems varia-bles- es igual a:

[35]

[36]

La ecuacin [36] muestra que varios parmetros afectan la tasa de cre-cimiento. Sin embargo, lo ms importante es que el stock total de capitalhumano H y la tasa de sustitucin intertemporal del consumo s tienenun efecto positivo, mientras que la tasa de descuento r tiene un efectonegativo sobre la tasa de crecimiento.

CONCLUSIONES

En los modelos de crecimiento endgeno se da no slo una nueva for-malizacin: existe adems una nueva concepcin, una 'nueva economapoltica que ha significado el abandono gradual del marco ricardianosobre el que reposaba el trabajo de Solow [1956].La primera generacinde modelos de crecimiento endgeno (Romer [1986], Lucas [1988] yRebelo [1991])abandon el supuesto de rendimientos decrecientes parael agregado de la economa. No obstante, a nivel de firma se mantenanla competencia perfecta y la tecnologa constante, aunque ya exista uncambio en la concepcin del crecimiento que retomaba el planteamientode Smith acerca de la mayor destreza de los trabajadores como causa dela divisin del trabajo.

La segunda generacin de modelos (Romer [1987y 1990a], Grossman-Helpman [1991]y Aghion-Howitt [1992])signific la ruptura definitiva


con el marco ricardiano. En este tipo de modelos, el crecimiento es laconsecuencia de cambios en la tecnologa --como resultado de accionesintencionales por parte de los agentes-, que se traduce en rendimientoscrecientes. Este hecho signific la salida de la competencia perfecta y losrendimientos constantes, y de la teora del crecimiento. Todo lo anteriorestuvo inspirado en el planteamiento de Smith: 'la invencin de nuevasmquinas es la fuente de rendimientos crecientes, costos decrecientes ycrecimiento autosostenido. De hecho, se podra afirmar que, en su tota-lidad, la teora del crecimiento endgeno tiene sus bases en los plantea-mientos del escocs inmortal.

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