CABLES

CABLES

Los cables y las cadenas flexibles combinan resistencia con ligereza y se usan con frecuencia en las estructuras para soportar y transmitir cardas de un elemento a otro. Cuando se utilizan para sostener puentes colgantes y ruedas de cargadores, los cables constituyen el elemento principal de carga de la estructura. En el análisis de fuerzas de tales sistemas. El peso del cable puede pasar por alto porque suele ser pequeño en comparación con la carga que lleva. Por otra parte, cuando los cables se usan como líneas de transmisión y retenidas para antenas de radio y grúas, el peso del cable puede llegar a ser importante y debe incluirse en el análisis estructural.

En el análisis que se presenta a continuación se considerarán tres casos. En cada uno de ellos supondremos que el cable es perfectamente flexible e inextensible. Debido a su flexibilidad, el cable no ofrece resistencia a la flexión y, por lo tanto, la fuerza de tensión que actúa en él es siempre tangente en puntos localizados a lo largo de su extensión. Por ser inextensible, el cable tiene una longitud constante antes y después de aplicarse la carga. Como resultado, una vez aplicada la carga, la geometría del cable permanece fija, y el cable o segmento de éste pueden tratarse como un cuerpo rígido.

Cables Sometidos a Cargas Concentradas

Cuando un cable cuyo peso se puede ignorar soporta varias cargas concentradas, el cable toma la forma de varios segmentos de línea recta, cada uno de los cuales está cometido a una fuerza de tensión constante. Por ejemplo considérese el cable de la figura donde las distancias h, L1, L2 y L3, y las cargas P1 y P2 son conocidas. Aquí, el problema es determinar las nueve incógnitas consistentes en la tensión en cada uno de los tres segmentos, las cuatro componentes de reacción en A y B, y las dos flechas yC y yD en los puntos C y D. Para la solución podemos escribir dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas en cada uno de los puntos A, B, C y D. Esto resulta en un total de ocho ecuaciones. Para completar la solución, será necesario saber algo sobre la geometría del cable para obtener la novena ecuación necesaria. Al hacer esto, entonces las ecuaciones de equilibrio son suficientes para obtener las fuerzas desconocidas y la flecha restante. Una vez obtenida la flecha en cada punto de carga, la longitud del cable puede determinarse mediante cada punto de carga, la longitud del cable puede determinarse mediante trigonometría.

Cable Sometido a una Carga distribuida

Consideremos ahora el cable sin peso que se muestra en la figura (2a), el cual está sometido a una carga distribuida w = w(x) que se mide en la dirección x. En la figura (2b) se muestra el diagrama de un cuerpo libre de un pequeño segmento de cable con una longitud ΔS. Como la fuerza de tensión cambia tanto en magnitud como en dirección a través de la longitud del cable, denotaremos este cambio en el diagrama de cuerpo libre mediante ΔT. Por último, la carga distribuida se representa mediante su fuerza resultante w(x)(Δx), la cual actúa a una distancia fraccional k(x) desde el punto O, donde o<k<1.

Figura (2a)

Figura (2b)

Al aplicar las ecuaciones de equilibrio tenemos:

Al dividir cada una de esas ecuaciones entre y tomar el límite cuando 0 y por lo tanto, 0, 0 y 0, obtenemos

Si integramos la Ecuación (E1) tenemos

Donde FH representa la componente horizontal de la fuerza de tensión en cualquier punto a lo largo del cable.Al integrar la ecuación (E2) resulta

Al dividir la ecuación (E5) entre la ecuación (E4) se elimina T. Luego, con la ecuación (E3), podemos obtener la pendiente del cable.

 Al realizar una segunda integración resulta

Esta ecuación se usa para determinar la curva para el cable, y = f(x). La componente horizontal de fuerza FH

y las dos constantes adicionales, digamos C1 y C2, que resultan de la integración se determinan al aplicar las condiciones de frontera para la curva.

Cable Sometido a una Carga distribuida

Cuando el peso de un cable se vuelve importante en el análisis de fuerzas, la función de carga a lo largo del cable será una función de la longitud de arco s en vez de la longitud proyectada x. Para analizar este problema consideraremos una función de carga generalizada w = w(s) que actúa a lo largo del cable como se muestra en la figura (3a). El diagrama de cuerpo libre para un segmento pequeño del cable se muestra en la figura (3b). Al aplicar las ecuaciones de equilibrio al sistema de fuerzas que se encuentra en este diagrama, se obtienen relaciones idénticas a las dadas por las ecuaciones (E1 – E3), pero con ds que reemplaza a d(x).

Figura (3a)

Figura (3b)

Por lo tanto podemos demostrar que

Por lo tanto,

Si se separan las variables y se integran resulta

Las dos constantes de integración, digamos C1 y C2, se encuentran mediante las condiciones de frontera para la curva.

EJERCICIOS

Determine las fuerzas P1 y P2 necesarias para mantener el cable en la posición mostrada, esto es de manera que el segmento CD permanezca horizontal. También calcule la tensión máxima en el cable.

SoluciónEcuaciones de equilibrio: Aplicando método de los nudosNudo B

Resolviendo Ecuaciones (1) y (2) tenemos:Nudo C

 Nudo D

Resolviendo ecuaciones (3) y (4) tenemos

Por lo tanto, la tensión máxima en el cable es

El cable AB está sometido a una carga uniforme de 200 N/m. Si el peso del cable es ignorado y los ángulos de inclinación en los puntos A y B son de 30º y 60º respectivamente, determinar la curva que define la forma del cable y la tensión máxima desarrollada en este.

La curva que define la forma del cable está dada por la siguiente ecuación:

Estas constantes pueden determinarse por las condiciones de frontera y=0 en x=0 y . Sustituyendo resulta = y =0Entonces tenemos que:

Como en X=15 m; ; entonces Ahora Como T= y como = 60º tenemos que: Tmax = = = 5196 NTmax = 5196 N