UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA

Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS,

TECNOLOGIA E INGENIERIA

Curso de Control Analógico

PROGRAMA DE INGENIERIA

ELECTRONICA

• SISTEMAS

Combinación de componentes que actúan juntos para

alcanzar un objetivo determinado

Están compuestos por:

- una (o más) entradas independientes (variables

manipuladas)

- una (o más) salidas resultantes

(variables controladas).

• DEFINICIONES IMPORTANTES

Variable controlada: Cantidad o condición que se mide

y controla (generalmente la salida del sistema)

Variable manipulada o señal de control: Cantidad o

condición que el controlador modifica para afectar el

valor de la variable controlada corrigiendo o limitando

la desviación entre el valor medido y el valor deseado

(controlar)

Planta: Cualquier objeto físico que se vaya a controlar

Perturbaciones: Señal que tiende a afectar el valor de

la salida de un sistema. Pueden ser internas o

externas

Control realimentado: Operación que en presencia de

perturbaciones tiende a reducir la diferencia entre la

salida de un sistema y una entrada de referencia

• EJEMPLOS DE SISTEMAS

• EJEMPLOS DE SISTEMAS

• SISTEMAS DE CONTROL LAZO ABIERTO

• SISTEMAS DE CONTROL LAZO CERRADO

+

-

Son los sistemas en los que la acción de control

está en función de la señal de salida

• SISTEMAS DE CONTROL LAZO CERRADO

• MODELO MATEMÁTICO DE UN SISTEMA

Es una réplica de las relaciones entre entrada y

salida o entradas y salidas, donde dichas relaciones

se sustituyen por expresiones matemáticas.

Componente Símbolo Ecuación

Resistencia 𝑣 𝑡 = 𝑖 𝑡 ∙ 𝑅

Condensador 𝑣 𝑡 =

1

𝐶 𝑖(𝑡)𝑑𝑡

Bobina 𝑣 𝑡 = 𝐿

𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡

• MODELO MATEMÁTICO DE UN SISTEMA

𝑮 Entrada Salida

• EJEMPLO MODELO MATEMÁTICO RLC

i

• EJEMPLO MODELO MATEMÁTICO RLC

𝑉𝑐(𝑠) 𝑉𝑖(𝑠)

𝑉𝑜 𝑠 = 𝑉𝑐(𝑠)

• Función de transferencia en lazo abierto

𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 =𝑺𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂

𝑬𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂= 𝑮𝟏 ∗ 𝑮𝟐 ∗ ⋯∗ 𝑮𝒏

G1*G2*…*Gn

Entrada Salida

• Función de transferencia en lazo cerrado

𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 =𝑺𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂

𝑬𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂=

𝑮

𝟏 + 𝑮𝑯

𝑮

𝟏 + 𝑮𝑯

Entrada Salida

• TIPOS DE TRAYECTORIAS

• COMPONENTES DE UN LAZO CERRADO

FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL LAZO

CERRADO

• Error en estado estable

Es la diferencia entre la salida del sistema y su

entrada bajo condiciones de estado estable.

• Error en estado estable

Para un sistema en lazo abierto se tiene que:

Para un sistema en lazo cerrado se tiene que:

• Ejemplo: Hallar error en estado estable en el siguiente sistema para

una entrada escalón de magnitud 10

• EFECTOS DE LAS PERTURBACIONES EN

UN SISTEMA

Sistema de control en lazo abierto con una

perturbación

Sistema de control en lazo cerrado con una

perturbación

• ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS DE

CONTROL

a) Estable b) inestable

• POLOS Y CEROS

Función de transferencia en lazo cerrado

Ecuación

característica

Z1, Z2,….., Zm: Ceros

P1, P2,….., Pn: Polos

K: Ganancia

• POLOS Y CEROS REALES Y COMPLEJOS

• PATRÓN DE POLOS Y CEROS

Cero en 1; Polo en -1+j

• RELACIÓN ENTRE

POSICIÓN DE POLOS

Y ESTABILIDAD

CRITERIO DE

ESTABILIDAD DE

ROUTH-HURWITZ

• ECUACIÓN CARACTERÍSTICA

• ANÁLISIS POR SIMPLE INSPECCIÓN

• ARREGLO DE ROUTH-HURWITZ CON n=5

• ANÁLISIS CON EL ARREGLO

•Si todos los elementos de la primera columna

son positivos, quiere decir que todos los polos

(raíces de la ecuación característica) están al

lado izquierdo del patrón de polos y ceros (parte

real negativa). El sistema es estable

•Si algún término de la primera columna es

negativo, el número de cambios de signo en

dicha columna es el mismo número de raíces

(polos) con parte real positiva. El sistema es

inestable

• RESPUESTA EN EL TIEMPO DE UN

SISTEMA DE CONTROL

Respuesta transitoria:

Estado inicial estado final

Respuesta en estado estacionario:

Comportamiento de la salida cuando el

tiempo tiende a infinito

• SEÑALES DE PRUEBA TÍPICAS

• SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

• RESPUESTA ESCALON SISTEMAS DE

PRIMER ORDEN

K: ganancia estática

T: constante de tiempo

Tiempo de subida: 2.2T

Tiempo de asentamiento: 4T

Sin sobre impulso

• RESPUESTA RAMPA SISTEMAS DE

PRIMER ORDEN

• RESPUESTA IMPULSO SISTEMAS DE

PRIMER ORDEN

• SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

• COMPORTAMIENTO SISTEMAS DE

SEGUNDO ORDEN

• RESPUESTA ESCALON SISTEMAS DE

SEGUNDO ORDEN (0<ζ<1) y ζ=0

• RESPUESTA ESCALON SISTEMAS DE

SEGUNDO ORDEN ζ=1 y ζ>1

• PARÁMETROS RESPUESTA ESCALÓN UNITARIO SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

SUBAMORTIGUADO

tr : tiempo de subida (0-100)% ó

(10-90)% del valor final

td: tiempo de retardo (0-50)% del

valor final

tp: tiempo pico (0-máximo

sobreimpulso)

Mp: máximo sobreimpulso

ts: tiempo de establecimiento (0 –

rango de 2% ó 5% alrededor del

valor final)

• PARÁMETROS RESPUESTA ESCALÓN UNITARIO SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

SUBAMORTIGUADO (Continuación)

REPRESENTACIÓN DE

SISTEMAS EN ESPACIO DE

ESTADOS

• EJEMPLO

Circuito RLC

• ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL SISTEMA

• VARIABLES DE ESTADO

• Despejamos di(t)/dt

𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡= −

1

𝐿𝐶 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 −

𝑅

𝐿𝑖 𝑡 +

𝑉(𝑡)

𝐿

𝐿𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡= −

1

𝐶 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 − 𝑅𝑖 𝑡 + 𝑉(𝑡)

• Reemplazamos i(t) y su integral por X2 y X1

• Resumiendo:

𝑑𝑋1(𝑡)

𝑑𝑡𝑑𝑋2(𝑡)

𝑑𝑡

=0 1

−1

𝐿𝐶−𝑅

𝐿

𝑋1(𝑡)𝑋2(𝑡)

+1

𝐿0

𝑉(𝑡)

• Tomando como salida del sistema el

voltaje del condensador:

𝑉𝑐 =1

𝐶 𝑖(𝑡)

𝑉𝑐 = 1 0𝑋1(𝑡)𝑋2(𝑡)

+ 0 𝑉(𝑡)

• Representación de todo el sistema en espacio de estado:

𝑑𝑋1(𝑡)

𝑑𝑡𝑑𝑋2(𝑡)

𝑑𝑡

=0 1

−1

𝐿𝐶−𝑅

𝐿

𝑋1(𝑡)𝑋2(𝑡)

+1

𝐿0

𝑉(𝑡)

𝑉𝑐 = 1 0𝑋1(𝑡)𝑋2(𝑡)

+ 0 𝑉(𝑡)

• CONTROLABILIDAD Y

OBSERVABILIDAD

Recordemos que un sistema dinámico puede ser controlable si es

posible alcanzar en un tiempo determinado (finito) un estado

deseado a partir de un estado inicial; es decir, si el sistema puede

llegar a un set-point determinado en un tiempo finito

• Controlabilidad

n = Orden del sistema = número de variables de estado

Si el rango de C es igual al orden del sistema, el sistema puede ser

controlable

Se dice que un sistema es observable si conociendo la entrada u y

la salida y es posible determinar el estado x

• Observabilidad

n = Orden del sistema = número de variables de estado

Si el rango de C es igual al orden del sistema, el sistema puede ser

controlable