dibujar figuras a su tamaño real en una hoja de papel...

“Si caminas solo, irás más rápido; si caminas acompañado, llegarás más lejos” MEJU

Dibujar figuras a su tamaño real en una hoja de papel muchas veces es imposible. Si el objeto que queremos representar es grande, no nos cabe. Teniendo en cuenta cuanto hemos venido estudiando recientemente, podemos solucionar este problema. En la figura siguiente tenemos un taburete grande y otro más pequeño, ambos entre sí, son semejantes:

Recuerda que siempre que dos figuras o dos objetos tienen la misma forma y solamente se diferencian en su tamaño, podemos afirmar que son semejantes. Las medidas correspondientes son proporcionales. Volviendo a los dos taburetes, vamos a representarlos en la figura siguiente con sus medidas reales, pueden diferir, en algún caso, en décimas de centímetro. Si las dibujamos teniendo en cuenta sus medias obtenemos las medidas siguientes:


Comprobarás que el taburete grande, según las medidas que se indican, es 4 veces mayor que

el pequeño, es decir, se encuentran en la relación o razón 1

4. Otra forma de expresar esta

relación o razón sería: Están en la razón de 1 es a 4. Esto quiere decir que 1 cm del pequeño equivale a 4 cm del mayor FÓRMULAS DE LAS ESCALAS Según lo que venimos diciendo la ESCALA es la relación que existe entre las medidas de un objeto en un papel y las reales, es decir, las que tienen el objeto en la realidad. Representando por E el valor de la escala la fórmula sería:

𝑬𝑺𝑪𝑨𝑳𝑨 =𝑻𝑨𝑴𝑨Ñ𝑶 𝑫𝑬 𝑫𝑰𝑩𝑼𝑱𝑶

𝑻𝑨𝑴𝑨Ñ𝑶 𝑹𝑬𝑨𝑳 𝑬 =

𝑻𝑫

𝑻𝑹

Pero muchas veces el objeto que queremos representar en un papel tiene un tamaño tan grande que solamente representamos sus dimensiones reducidas o sus medidas en el papel. Representa la mesa donde estudias en un folio. Necesitas un metro, una regla graduada, un lapicero, una goma para borrar y un folio. Indica la escala que has empleado, de modo que teniendo las medidas en el folio, podamos saber las dimensiones de la mesa en la realidad. Indica también el largo, ancho y alto de la mesa en la realidad. RESPUESTAS: 110 cm de largo, 70 cm de ancho y 75 de alto.

𝑬 =𝟏

𝟏𝟎

LA ESCALA es: SOLUCIÓN Mido el largo, ancho y alto de mi mesa de estudio y expreso los resultados de las mediciones en centímetros: 110 cm de largo, 70 cm de ancho y 75 cm de alto Observo que dividiendo por 10 las medidas reales puedo dibujar la mesa en un folio. Esto quiere decir que la escala está en la relación de 10 centímetros reales por 1 centímetro dibujado.


ACTIVIDADES RESUELTAS SOBRE ESCALAS


ACTIVIDADES DE ESCALAS

TR: tamaño Real

TD: tamaño de dibujo

1. Hallar la ESCALA del siguiente plano (o cuantas veces se ha reducido de tamaño con respecto a la realidad)

2. Hallar el tamaño real del fondo de la casa VALOR plano: Valor Real

Escala natural Escala Reducción Escala Ampliación 1:1 1:50 2:1 3. Si en un plano a escala 1:200 la fachada de un edificio hace 15 cm. Calcular cuánto hará en

la realidad. 4. Hemos representado un procesador de ordenador a escala 5:1. Si en el dibujo una pieza

hace 3,5 cm, calcula cuánto hará en la realidad. 5. Para comprar un mueble vemos un plano que está a escala 1:40. Si de ancho hace 5 cm,

calcula la medida real. 6. Queremos hacer un plano de nuestra casa a escala 1:60. Una pared del comedor mide 4,5

metros. ¿Cuántos centímetros medirá en el plano?


TIPOS DE ESCALAS: EXISTEN dos tipos de escalas: de Reducción y de Ampliación DE REDUCCIÓN: en estos casos el primer número es de menor valor que el segundo, ya que el dibujo es más pequeño que el objeto real. Ejemplos: 1:50, 1:20, 1:50, 1:500, etc., en el dibujo técnico se utilizan comúnmente para representar objetos arquitectónicos como edificios o casas, o de ingeniería como puentes o carreteras, entre otros. DE AMPLIACIÓN: aquí, el primer número es de mayor valor que el segundo, ya que el dibujo es más grande que el objeto real. Ejemplos: 2:1, 5:1, 150:1, etc. Este tipo de escala se utiliza en dibujo técnico, principalmente para representar piezas mecánicas EJEMPLOS: a) ESCALA DE REDUCCIÓN

Encontrar la escala que nos permite representar una longitud real de 5 km, en 10 cm SOLUCIÓN: las expresiones matemáticas deben ser de la misma unidad de medida 5 km = 500 000 cm

Aplicando la fórmula: 𝐄 =𝐓𝐃

𝐓𝐑

𝑬 =𝟏𝟎𝒄𝒎

𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝒄𝒎=

𝟏

𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎

(Recordemos que en la escala de reducción, el primer número siempre debe ser 1)

POR LO TANTO: E = 1/50000 lo que es lo mismo E = 1:50 000

b) ESCALA DE AMPLIACIÓN Trabajemos con una dimensión de 2 mm, que será representada en 5 cm. Encuentra la escala a la cual será dibujada. SOLUCIÓN: convertir las dimensiones a una misma unidad de medida. 5 cm = 50 mm

Aplicamos la fórmula: 𝐄 =𝐓𝐃

𝐓𝐑

𝐄 =𝟓𝟎 𝐦𝐦

𝟐 𝐦𝐦=

𝟐𝟓

𝟏

(En este caso, el segundo número debe ser 1)

POR LO TANTO: E = 25/1 o lo que es lo mismo E = 25:1 7. Representa la longitud real de 9 km en 9 cm y 18 cm y determina sus respectivas escalas. 8. Imagina que quieres representar las longitudes de 12 km, 24 km y 48 km en 12 cm. ¿Cuál

será la escala correspondiente para cada uno de los 3 casos? 9. ¿Cuál será la medida del diámetro del dibujo de un plano circular que en la realidad mide

7,5 m y está representado a una escala 1:50? 10. ¿Cuánto medirá un terreno rectangular si su dibujo, representado a escala 1:75, mide 16

cm x 20 cm? 11. ¿A qué escala está representado un terreno rectangular que en la realidad mide 15 m x 20

m y en el dibujo mide 30 cm x 40 cm? 12. ¿Qué distancia real en kilómetros hay entre dos ciudades que están separadas por 40 cm

en un mapa a escala 1:500 000? 13. ¿A cuántos kilómetros corresponden 15 centímetros en un mapa a escala 1:50 000? 14. Si en la escala gráfica de un mapa 1 kilómetro equivale a 4 centímetros; ¿cuál es la escala

numérica de ese mapa?


ESCALAS EN LOS MAPAS

LA ESCALA

La escala es la relación que existe entre el

valor real de un espacio geográfico y tal

como se representa en un mapa. Se puede

expresar de dos formas distintas:

LA ESCALA GRÁFICA: es un segmento (línea

acotada por sus dos extremos), dividido en partes iguales que nos permite medir la distancia

real en un mapa.

Esta escala gráfica que indico, si estuviese en tamaño

real, al medir con la regla indicaría que un centímetro en la

mapa equivaldría a 2 km. en la realidad, por lo que tres

centímetros en el mapa, hablaríamos de 6 km en la

realidad.

LA ESCALA NUMÉRICA: es la relación existente entre unidad

de medida en el mapa y su equivalencia en la realidad

Como puede observar, se representa con un número

(generalmente un uno), dos puntos y otra cifra, se lee como

se indica, en esta propuesta sería un centímetro en el mapa

equivale a 1 00 000 cm, en la realidad, si lo pasamos a

kilómetros estaríamos diciendo 1 cm equivale a 1 km.

ESCALAS GRANDES: desde 1:5000 a 1:50 000 ESCALAS MEDIANAS: desde 1:50 000 al 1:500 000 ESCALAS PEQUEÑAS: desde 1:500 000 al 1:50 000 000 Puedes hacer un ejercicio con la propuesta que te damos con este mapa y su escala gráfica. Busca las distancias entre las distintas ciudades.


ROSAS DE LOS VIENTOS

: También es importante conocer nuestra

orientación, es decir, indicar hacia donde están los

puntos cardinales desde nuestra posición, para

ello el conocimiento de la brújula, las distintas

referencias posibles que nos pueden orientar

como es el caso del SOL, recordemos que amanece

por el ESTE y el sol se oculta por el OESTE. La

estrella polar, las constelaciones etc., nos pueden

“Salvar” de pequeños o grandes sustos si nos

perdemos durante una excursión. La rosa de los

vientos nos ayuda a marcar las diferentes

direcciones posibles.

LOS MOVIMIENTOS DE LA TIERRA: ROTACIÓN Y

TRASLACIÓN

La tierra efectúa dos movimientos:

ROTACIÓN: La tierra gira sobre sí misma, tardando

unas 24 horas en dar un giro completo. Este

movimiento dará origen a los días y las noches (la

velocidad en la línea del Ecuador de 1 700 km)

TRASLACIÓN: La tierra describe una órbita elíptica

alrededor del Sol, tardando en realizar este giro algo

más de un año, 365 días, 6 horas y 9 minutos. Al tener la

Tierra el eje de rotación inclinado con respecto al plano

de su órbita, tendrá como consecuencias del

movimiento de traslación la secesión de las estaciones y

la variación en la duración de los días y las noches.


ESCALAS CONCEPTO DE ESCALA: la escala es, pues, una indicación sobre cuántas veces está reducida (o aumentada) aquello que se representa en el plano. Esta indicación está normalizada lo que significada, que todo el mundo que maneja y realiza planos y mapas lo que hace con la misma regla de escala para que sean entendidos por todo el mundo. Emplean un “idioma común”. Podríamos decir, pues, que la escala es: La relación que tiene el objeto representado con la realidad, expresada en las veces que se ha reducido (o aumentado el tamaño de la representación gráfica (plano, mapa…..) respecto a la unidad. La representación de ésta relación será de una cifra que indique las veces de reducción o aumento, respecto a la unidad: 1:10, 1:20, 1:50, 1:50 000; etc. ESCALA DE REDUCCIÓN: Por ejemplo, si decimos que una representación está con una escala de 1:20 significará que 1 cm en el plano o mapa son 20 en la realidad o lo que es lo mismo, que el objeto está reducido 20 veces. ESCALA DE AMPLIACIÓN: si lo que se representa es algo muy pequeño, que se quiere ver en detalle y decimos que es una ampliación de 50:1 querrá decir que cada 50cm en el plano es una en la realidad, por lo que el objeto representado es 50 veces más pequeño. En los mapas la escala aparece escrito de forma GRÁFICA

NUMÉRICA

Por ejemplo, en un mapa con escala 1: 50 000, significa que cada cm del mapa equivale a 50 000 cm en la realidad. Si queremos saber cuántos Km. serán 4 cm en este mapa, tenemos que calcular: Si 1 cm del mapa son 50 000 cm en la realidad, 4cm en este mapa serán X cm en la realidad

1 𝑐𝑚

50 000𝑐𝑚=

4𝑐𝑚

𝑋 𝑐𝑚 𝑋 =

(4𝑐𝑚)(50 000𝑐𝑚)

1𝑐𝑚 𝑋 = 200 000 𝑐𝑚 𝑋 = 200𝑘𝑚


CÓMO CALCULAR DISTANCIAS USANDO LA ESCALA NUMÉRICA DE UN MAPA Para saber la distancia real entre dos puntos de un mapa o plano nos servimos de la escala.

La escala se sitúa, generalmente, en la parte inferior del plano o mapa y nos indica el número de veces que hemos reducido la realidad. Puede aparecer representada como un gráfico: escala gráfico, o escala numérica. Colocando la escala sobre el mapa, puede calcularse la distancia real existente entre dos puntos

¿Cómo se calcula distancias usando la escala NUMÉRICA en los mapas?

La escala gráfica se representa en forma de línea recta dividida en segmentos.

Esta unidad significa que 1 unidad de longitud en el mapa (numerador) equivale en la realidad a 1000000 unidades (denominador).

1) Mide la

distancia entre

Liberia y Canas.

LA ESCALA TE PERMITE

CALCULAR LA DISTANCIA

EXISTENTE ENTRE DOS PUNTOS

EN LÍNEA RECTA EN EL MAPA

Fácil muy fácil….. Sigue

adelante

Hay que cuidar al

mundo, proteger el

amor, la paz, la justicia e

inteligencia

2) Ahora

simplemente

tienes que

aplicar la escala.


𝟏 𝒄𝒎

𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝒄𝒎=

𝟑 𝒄𝒎

𝒅

𝒅 =𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝒄𝒎 . 𝟑 𝒄𝒎

𝟏 𝒄𝒎=

𝟏𝟓𝒌𝒎 . 𝟑𝒄𝒎

𝟏𝒄𝒎= 𝟒𝟓𝒌𝒎

La distancia real de LIBERIA y CAÑAS es de 45 km

3) Aplicando proporcionalidad,

determino la distancia de un punto a

otro en el mapa es decir, la distancia es

de: 45km


¿Cómo se calcula distancias usando la escala GRÁFICA en los

mapas?

2,8 cm

Fácil muy

fácil y

divertido

EMPECEMOS

…..

Mide con la regla la

longitud de la ESCALA y

observa la distancia

que representa

Mide con la regla

la longitud de un

punto a otro en el

mapa.


𝟒,𝟖 𝒄𝒎

𝟐,𝟖 𝒄𝒎=

𝒅

𝟒𝟎𝟎 𝒌𝒎

𝒅 =𝟒,𝟖𝒄𝒎 𝒙 𝟒𝟎𝟎𝒌𝒎

𝟐,𝟖𝒄𝒎= 𝟔𝟖𝟔 𝒌𝒎

EJERCICIOS DE ESCALAS: 1) ¿Qué distancia real medida en kilómetros hay entre dos ciudades que están

separadas por 40 cm en un mapa a escala 1:500 000? 2) ¿A cuántos kilómetros corresponden 15 centímetros en un mapa a escala 1:50

000? 3) Si cada 2 cm. en el mapa son 5 km. en la realidad (escala gráfica), ¿cuál es la escala

numérica? 4) En un mapa la distancia entre dos puntos es de 50 cm y en la realidad es de 5 000

m ¿cuál es la escala del mapa? 5) Construir la escala gráfica de un mapa cuya escala numérica es 1:25 000 6) Si en la escala gráfica de un mapa 1 kilómetro equivale a 4 centímetros, ¿cuál es la

escala numérica de ese mapa? 7) Si en un mapa a escala 1: 50 000 dos puntos están separados por 20 cm, ¿cuántos

cm los separarán en un mapa a escala 1:100 000?

Aplicando proporcionalidad, determino la distancia de un

punto a otro en el mapa es decir, la distancia es 686 km


8) ¿A cuántos cm equivalen en un mapa de escala 1: 400 000, 5 km. de terreno en la realidad?

9) ¿Cuántos km. son en la realidad 4 cm en un mapa a escala 1:50 000? 10) En un mapa la distancia entre dos puntos es de 5 cm y en la realidad es de 2 500

m. ¿Cuál es la escala del mapa? 11) Si en la escala gráfica de un mapa 1 kilómetro equivale a 2 cm, ¿cuál es la escala

numérica del mapa? 12) Dibuja la escala gráfica correspondiente a la escala numérica 1: 200 000 13) ¿A cuántos kilómetros corresponden 10 cm. en un mapa a escala 1:25 000? 14) Dibuja la escala gráfica correspondiente a la escala numérica 1:100 000 15) Si cada 2 cm. en el mapa son 10 kilómetros en la realidad, ¿cuál es la escala

numérica del mapa? 16) Dibuja la escala gráfica correspondiente a la escala numérica 1:100 000 17) ¿Qué distancia real, medida en kilómetros, hay entre dos ciudades que están

separadas por 50 cm. en un mapa a escala 1:100 000? 18) Si en un mapa a escala 1:100 000 dos puntos están separados por 20 cm, ¿cuántos

cm. los separarán en un mapa a escala 1:25 000? 19) Empleando el mapa, calcula la distancia entre:

Madrid – Sevilla. Barcelona – Zaragoza. Alicante – La Coruña. Sevilla – Alicante. Valencia – Alicante. Zaragoza – Valencia. Madrid – Barcelona.

20) Mapa con escala numérica 1:2500, di a qué distancia en metros y kilómetros están dos puntos que estén separados entre sí a 2 cm; 6 cm; 3,5 cm; 4 cm y 5 centímetros


SOLUCIONARIO

1) 1:100.000 = 1.000 m = 1km. Escala gráfica = 1cm = 1 km

2) Longitud mapa = 40 cm. Escala: 1: 500.000. Longitud real = 40 x 500.000 = 20.000.000

cm =200.000 m =200 km

3) Longitud mapa = 15 cm. Escala 1:50.000. Longitud real = 15 x 50.000 = 750.000 cm =

7.500 m = 7,5 km

4) 2 cm = 5 km; 1cm = 2,5 km = 2.500 m = 250.000 cm. Escala numérica = 1:250.000

5) Longitud mapa 50 cm. Longitud real 5.000 m = 500.000 cm. Escala = 500.000 x 1 : 50

=10.000. Escala numérica = 1:10.000

6) Escala numérica 1:25.000. 1cm= 25.000 cm =250 m. Escala gráfica = 1cm= 250 m; 4 cm

= 1 km

7) 1 cm = 250 m =25.000 cm. Escala numérica = 1:25.000

8) Las distancias aumentan o disminuyen en la misma proporción que la escala, es decir, 10

cm. Longitud real= 50.000 x 20 cm= 1.000.000 cm = 10 km. En una escala 1:100.000,

longitud mapa =1.000.000 cm : 100.000 = 10 cm

9) Longitud real: 5 km =5.000 m = 500.000 cm. Escala: 1: 400.000 Longitud mapa =

500.000 cm x. 1: 400.000 = 1,25 cm

10) Longitud mapa: 4 cm. Escala: 1:50.000. Longitud real = 4 x 50.000 = 200.000 cm =2.000

m = 2km

11) La escala numérica = longitud real, 250.000 cm : 5, longitud mapa = 50.000. Escala = 1:

50.000

12) 1 cm = 500 m = 50.000 cm. Escala numérica = 1: 50.000

13) 1 cm = 200.000 cm = 2 km. Escala gráfica = 1 cm = 2 km

14) 10 cm x 25.000 = 250.000 cm = 2, 5 km

15) 1 cm = 5 km = 500.000 cm. Escala numérica = 1: 500.000

16) Longitud real = 50 cm x 100.000 = 5.000.000 cm = 50 km

17) 20 cm x 100.000 = 2.000.000 cm = 20 km. En un mapa a escala 1: 25.000, 2.000.000 cm :

25.000 = 80 cm

18) 10.000 = 100 m. Escala gráfica = 1 cm = 100 m; 5 cm = 500 m


RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE ESCALAS 1. ¿Qué distancia real medida en kilómetros hay entre dos ciudades que están separadas por

40 cm en un mapa a escala 1:500.000? SOLUCIÓN

TR = 𝐸 =𝑇𝐷

𝑇𝑅

1

500 000=

40 𝑐𝑚

𝑇𝑅 𝑇𝑅 = 20 000 000 𝑐𝑚

TD = 40 cm

E = 1:500 000 𝑇𝑅 = 200 𝑘𝑚

A esa escala, un centímetro en el mapa equivale a 500 000 centímetros en el terreno; es decir, a 5 000 metros ó a 5 kilómetros. 40 centímetros medidos en el mapa equivalen, por tanto, a 200 kilómetros.

2. ¿A cuántos kilómetros corresponden 15 centímetros en un mapa a escala 1:50.000? SOLUCIÓN

TR = 𝐸 =𝑇𝐷

𝑇𝑅

1

50 000=

15 𝑐𝑚

𝑇𝑅 𝑇𝑅 = 750 000 𝑐𝑚

TD = 15 cm

E = 1:50 000 𝑇𝑅 = 7,5 𝑘𝑚

A esa escala, un centímetro en el mapa equivale a 50 000 centímetros en el terreno; es decir, a 0,5 kilómetros. Por tanto, a 15 centímetros del mapa le corresponde 7,5 kilómetros en el terreno. RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE ESCALAS:

1. Si en un mapa a escala 1: 50.000 dos puntos están separados por 20 cm, ¿cuántos cm los separarán en un mapa a escala 1:100.000? SOLUCIÓN

TR = 𝐸 =𝑇𝐷

𝑇𝑅

1

50 000=

20 𝑐𝑚

𝑇𝑅 𝑇𝑅 = 1 000 000 𝑐𝑚

TD = 15 cm

E = 1:50 000 𝑇𝑅 = 10 𝑘𝑚

Conociendo la distancia real que es 10 km y escala 1:100 000 determinamos la distancia en el mapa.

𝐸 =𝑇𝐷

𝑇𝑅

1

100 000=

𝑇𝐷

10 𝑘𝑚 𝑇𝐷 =

10𝑘𝑚

100 000

TR = 10 km TD =

E = 1:100 000 𝐓𝐃 =𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐜𝐦

𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎= 𝟏𝟎 𝐜𝐦

2. Si en la escala gráfica de un mapa 1 kilómetro equivale a 4 centímetros, ¿cuál es la escala numérica de ese mapa?

3. Dibuja la escala gráfica correspondiente a la escala numérica 1:100.000 4. ¿Qué distancia real medida en kilómetros hay entre dos ciudades que están separadas por 40

cm en un mapa a escala 1:500.000? 5. ¿A cuántos kilómetros corresponden 15 centímetros en un mapa a escala 1:50.000? 6. Si cada 2 cm. en el mapa son 5 km. en la realidad (escala gráfica), ¿cuál es la escala numérica? 7. En un mapa la distancia entre dos puntos es de 50 cm y en la realidad es de 5.000 m ¿cuál es la

escala del mapa? 8. Construir la escala gráfica de un mapa cuya escala numérica es 1:25.000 9. Si en la escala gráfica de un mapa 1 kilómetro equivale a 4 centímetros, ¿cuál es la escala

numérica de ese mapa? 10. Si en un mapa a escala 1: 50.000 dos puntos están separados por 20 cm, ¿cuántos cm los

separarán en un mapa a escala 1:100.000?


11. ¿A cuántos cm equivalen en un mapa de escala 1: 400.000, 5 km. de terreno en la realidad? 12. ¿Cuántos km. son en la realidad 4 cm en un mapa a escala 1:50.000? 13. En un mapa la distancia entre dos puntos es de 5 cm y en la realidad es de 2.500 m. ¿Cuál es la

escala del mapa? 14. Si en la escala gráfica de un mapa 1 kilómetro equivale a 2 cm, ¿cuál es la escala numérica del

mapa? 15. Dibuja la escala gráfica correspondiente a la escala numérica 1: 200.000 16. ¿A cuántos kilómetros corresponden 10 cm. en un mapa a escala 1:25.000? 17. Si cada 2 cm. en el mapa son 10 kilómetros en la realidad, ¿cuál es la escala numérica del

mapa? 18. ¿Qué distancia real, medida en kilómetros, hay entre dos ciudades que están separadas por 50

cm. en un mapa a escala 1.100.000? 19. Si en un mapa a escala 1:100.000 dos puntos están separados por 20 cm, ¿cuántos cm. los

separarán en un mapa a escala 1.25.000? 20. Dibuja la escala gráfica correspondiente a la escala numérica 1: 10.000 21. DIBUJAR A ESCALA el siguiente dibujo. ESCALAS: 1:2 y 2:1

dibujar figuras a su tamaño real en una hoja de papel...

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