didactiek van de wiskunde - digiconsult · 3 didactiek van de wiskunde | 23-3-2014 111...

23 maart 2014 Opgesteld door: Patrick Oosterhuis (261165) NHL opleiding docent Wiskunde 2e graads

Didactiek van de Wiskunde

1

Didactiek van de Wiskunde | 23-3-2014

Didactiek van de WiskundeDidactiek van de WiskundeDidactiek van de WiskundeDidactiek van de Wiskunde

Voorwoord

Ik ben mijn hele leven al aan het bouwen geweest. In het begin met blokken, Lego en Meccano naar spoorbanen en modelbouwauto’s. Ik moest iets met die techniek gaan doen. En dat heb ik ook gedaan. Via de lagere school en da Havo kwam ik als 17 jarige op de HTS Bouwkunde terecht. Mijn droom kwam uit, want als kind riep ik altijd dat ik later grote gebouwen ging maken. Mijn vader was schilder en mijn moeder schoonmaakster en van hun mocht ik studeren. Ik moest me ontplooien en vooral ontdekken. En ik ben hiervoor tot op de dag van vandaag nog altijd dankbaar voor. Want ontplooien en ontdekken, dat heb ik gedaan.

Na mijn HTS diploma kwam ik al snel aan het werk op een architectenbureau waar ik mocht bouwen en niet alleen met beton en staal maar ook aan kennis. Want het CAD tekenen stond in de kinderschoenen en dat was de toekomst. Ik was hiervoor de aangewezen persoon en ik heb werkmethodieken en tekenbibliotheken ontwikkeld en mijn collega’s opgeleid tot CAD tekenaar. Niet alleen in Nederland maar ook in Hongarije alwaar we een samenwerking hadden om de Nederlandse ambassade in Boedapest te bouwen. Na een periode van 12 jaar heb ik de bouwkunde toch de rug toegedraaid om verder te gaan met de ICT en ben ik applicaties en websites gaan bouwen. Deze systemen hielpen mensen aan opleidingen en subsidies en wederom was ik aan het analyseren en bouwen aan kennis en deze overbrengen aan gebruikers. In 2010 kwam hier door

allerlei oorzaken een halt in en was ik genoodzaakt om eens heel goed na te denken wat nu te doen?

En dat was niet eenvoudig. Je gaat nadenken, anlyseren, plannen maken en verwerpen en weer onderzoeken. En is dit niet de essentie van het leren en lesgeven. Nadenken over het bekende en toepassingen zoeken om er je voordeel mee te doen. Ik was steeds bezig met analyseren, maken en lesgeven. Ik wilde hier in verder. En zo ben ik begonnen aan de opleiding voor docent Wiskunde 2e graads aan de NHL. En tot op de dag vandaag nog steeds met veel plezier.

En dat plezier heb ik ook in mijn dagelijkse werk voor de klas als docent wiskunde aan het Dr. Nassaucollege te Assen waar ik de Mavo leerlingen wiskunde en rekenen geef. Met mijn technische achtergrond kan ik theoretische

kennis voor de leerlingen tastbaar en beter begrijpbaar maken. Ik hoop ook dat me dit gelukt is dit schrijven.

Patrick Oosterhuis

2


InhoudInhoudInhoudInhoud 1 SCHOOLVAKKENNIS .................................................................................................... 3

1.1 HEEFT OVERZICHT OVER DE TOTALE ONDERWIJSINHOUD EN LEERSTOF VAN REKENEN/WISKUNDE..... 3 1.2 BEHEERST DE LEERSTOF IN PERFECTIE .............................................................................. 4

1.3 BEHEERST HET GEBRUIK VAN VAKSPECIFIEKE ICT MIDDELEN. .................................................. 4

1.4 KENT ACTUELE EN RELEVANTE VAKDIDACTISCHE BENADERINGEN EN THEORIEËN OVER HET LEREN VAN WISKUNDE. ................................................................................................................. 8

2 OMGEVINGSFACTOREN .................................................................................................... 9

2.1 LEERT LEERLINGEN OMGAAN MET DE KWANTITATIEVE EN CIJFERMATIGE KANT VAN ONZE MAATSCHAPPIJ, EN VAN ANDERE KENNISGEBIEDEN, VAKKEN EN DISCIPLINES. ........................................................... 9

2.2 HEEFT GOED INZICHT IN DE VOOROPLEIDING EN VERVOLGOPLEIDING VOOR WAT BETREFT

REKENEN/WISKUNDE. .................................................................................................. 12

2.3 IS ACTIEF BINNEN DE WISKUNDESECTIE OP SCHOOL EN IN DE BREDERE COMMUNITY VAN

WISKUNDEDOCENTEN................................................................................................... 16

2.4 KENT HET BELANG EN DE DOELEN VAN WISKUNDEONDERWIJS IN EEN BREDER KADER. .................. 17 3 LEERPROCESSEN EN VAKDIDACTIEK .................................................................................... 23

3.1 KAN VERSCHILLENDE ASPECTEN UIT THEORIEËN OVER HET LEREN VAN REKENEN/WISKUNDE EN UIT DE

VAKDIDACTIEK IN DE PRAKTIJK INZETTEN............................................................................ 23

3.2 KAN LEERLINGEN MOTIVEREN VOOR HET LEREN VAN WISKUNDE. .......................................... 25

3.3 KAN BEARGUMENTEERD ZIJN ONDERWIJS VORMGEVEN IN EEN COMPLEET LEERTRAJECT (VAN MOTIVEREN, PROBLEEMSTELLEN, AANPAK, OPLOSSEN, EXPLICITEREN TOT EN MET REFLECTEREN). ....................... 26 3.4 KENT VERSCHILLENDE AANPAKKEN EN KAN DE LEERSTOF OP VERSCHILLENDE MANIEREN UITLEGGEN. 28

3.5 KAN OMGAAN MET VERSCHILLEN TUSSEN LEERLINGEN OP HET GEBIED VAN REKENEN/WISKUNDE LEREN EN

KAN AANDACHT BESTEDEN AAN INDIVIDUELE LEERLINGEN. ....................................................... 28

4 TOETSING, BEOORDELING EN EVALUATIE ............................................................................. 30

4.1 KAN BIJ VERSCHILLENDE SOORT VAARDIGHEDEN EEN PASSENDE TOETSVORM KIEZEN EN ONTWERPEN ZOALS: SCHRIFTELIJK, MONDELING, PRAKTISCHE OPDRACHT, COMPUTERTOETS, PRACTICUM, GEÏNTEGREERDE WISKUNDIGE ACTIVITEIT. ............................................................................................... 30 4.2 KAN EEN TOETS OF SERIE TOETSEN ONTWERPEN OF SAMENSTELLEN DIE: .................................. 30

4.3 BEOORDEELT NIET ALLEEN HET RESULTAAT OF DE UITKOMST MAAR OOK HET PROCES OF DE WERKWIJZE. ............................................................................................................................. 31

BIJLAGE A –OVERZICHT OPDRACHTEN .................................................................................. 33 BIJLAGE B – LESVOORBEREIDINGEN 1.1-9 ............................................................................... 36

BIJLAGE B1 – KOPIEERBLAD 9 ............................................................................................. 39

BIJLAGE C – LESVOORBEREIDINGEN 1.1-10 ............................................................................. 41

BIJLAGE C1 – KOPIEERBLAD 10 ........................................................................................... 43 BIJLAGE D – LESVOORBEREIDINGEN 1.1-11 ............................................................................ 44

BIJLAGE D1 – KOPIEERBLAD 11 ........................................................................................... 46

BIJLAGE E – BEWIJS STUDIEDAG NVVW 2013 ........................................................................... 48

BIJLAGE F – PROEFWERKEN RUIMTEFIGUREN .......................................................................... 50 RUBRIC DIDACTIEK VAN DE WISKUNDE (DEELTIJD) .................................................................... 60

3


1111 SchoolvakkennisSchoolvakkennisSchoolvakkennisSchoolvakkennis

1.1 1.1 1.1 1.1 Heeft overzicht over de totale onderwijsinhoud en leerstof van Heeft overzicht over de totale onderwijsinhoud en leerstof van Heeft overzicht over de totale onderwijsinhoud en leerstof van Heeft overzicht over de totale onderwijsinhoud en leerstof van rekenen/wiskunde.rekenen/wiskunde.rekenen/wiskunde.rekenen/wiskunde.

Maak een lesvoorbereiding op papier. Besteed daarbij vooral aandacht aan: * leerdoelen * wat is de beginsituatie van de leerlingen, welke voorkennis hebben ze en hoe zijn ze vorige lessen bezig geweest? De 3 uitgewerkte lessen 9, 10 en 11 gaan allemaal over Breuken en Procenten. De lessen maken deel uit van het digitaal lesmateriaal ‘Rekenblokken’ van uitgeverij Malmberg. Deze heeft recentelijk het lesmateriaal aangepast. De opgaven zijn contextrijker geworden en er zijn minder ‘kale’ sommen in het lesmateriaal te vinden. Deze waren niet aantrekkelijk voor de leerlingen en nodigde ook niet uit om de oefeningen te maken. Het vergt echter ook de nodige creativiteit van de docent om tijdens de uitleg met meer praktijkgerichte voorbeelden te komen. ZO heb ik voor de MBO opleiding Automotive alle onderdelen verwerkt in de vraag: “Wat is het effect op de kilometerteller wanneer je de 15 inch banden vervangt door 17 inch exemplaren?” In 2.1 is het verder uitgewerkt. De commissie Meijerink heeft in 2008 referentiekaders voor (taal en rekenen) uitstroom voorgesteld voor de diverse schooltypes opgesteld:

• 1F - Basisschool,

• 2F - Voortgezet onderwijs (bb/kb) & MBO niveau 1,2 en 3 opleidingen,

• 3F - Voortgezet onderwijs (gl/tl & havo) & MBO 4 opleidingen,

• 4F - Voortgezet onderwijs (vwo) & MBO, De uitgewerkte lessen staan in de bijlagen B, B1, C, C1, D en D1. Alle lessen hebben dezelfde opzet: Inleiding,

• Doelen,

• Start,

• Instructie en een eventuele verlengde instructie,

• Reflectie Het einddoel van de 3 lessen is dat de leerling zelfstandig berekeningen kan uitvoeren met breuken, verhoudingen en deze kan omzetten naar procenten en vice versa. De verwachte begin situatie van de leerlingen, moge gezien de commissie Meijerink duidelijk zijn. Echter Meer dan de helft van de leerlingen haalt het noodzakelijke nivo van 2F voor het MBO niet! Veelal wordt het niveau wel gehaald tijdens de intaketoets van de opleiding maar deze in midden in de periode waarin de leerling zich voorbereid voor het eindexamen. Na de vakantie die in simmige gevallen kan oplopen tot 3 maanden is veel van de kennis en vaardigheid verloren gegaan. Bronnen:

• Ballering, F,. Helden, H. van, Konings, T., Krabbendam, H., Staal, H., Steene, S. van der, 2008, Rekenen – voor de lerarenopleiding, APS

• Fourdraine, A., Rekenblokken, 2013, Malmberg

• Bijsterveldt-Vliegenthart, J. M. van, 2010, Wet referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen, Staatscourant 28-05-2010

• Bijsterveldt-Vliegenthart, J. M. van, 2010, Memorie van toelichting op Wet referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen, Sdu Uitgevers

4


1.2 Beheerst de leerstof in perfectie1.2 Beheerst de leerstof in perfectie1.2 Beheerst de leerstof in perfectie1.2 Beheerst de leerstof in perfectie

Wordt door de opleiding middels tentamineren gegarandeerd.

1.3 Beheerst het gebruik van vakspecifieke ICT middelen.1.3 Beheerst het gebruik van vakspecifieke ICT middelen.1.3 Beheerst het gebruik van vakspecifieke ICT middelen.1.3 Beheerst het gebruik van vakspecifieke ICT middelen.

Bestudeer de algebra-applets van het wisweb, onderscheid ze in model-applets en oefenapplets. Zoek bij een gekozen algebrahoofdstuk bijpassende applets en beoordeel ze op hun bruikbaarheid voor klassikale instructie en voor bruikbaarheid voor zelfwerkzaamheid van de leerlingen. (Zie ook artikel Jos Tolboom, Euclides nr.2, 2005)

Het artikel van Jos Tolboom uit Euclides is vanwege de nieuwe opzet van de website van de Nvvw niet meer te downloaden. Men heeft besloten om de collectie van oudere uitgaven van Euclides niet meer te hosten. Hierdoor kon ik niet het genoemde artikel raadplegen. Ik maak zelf ook veel webapplicaties voor diverse toepassingen gemaakt. Dit zijn grote programma’s voor Draaiboeken voor radioprogramma’s, ledenadministraties en management applicaties voor een grote verzekeraar. Bij het maken deze programma’s hanteer ik altijd de gedachte dat een programma intuïtief en gebruikers vriendelijk moet zijn. Zowel in het gebruik als tijdens de installatie. Wat me opvalt is dat de meeste applicaties in Java (programmeertaal) zijn geschreven en daardoor zijn ze sterk afhankelijk van een derde partij software (Sun). Is deze software niet op de computer aanwezig, dan zal de applicatie niet werken. Ook is het mogelijk dat de werking van een routine binnen Java is aangepast en jouw applet kan hierdoor wel eens heel anders gaan reageren. Zo zien invoervakjes er bijvoorbeeld er op een Android tablet er anders uit dan op een Apple of PC. Dit is ook een probleem voor de beheerder van de ICT middelen op de school. Voor het vervolg zal ik me dan ook beperken tot de gebruikers vriendelijkheid en de toepasbaarheid. Op wisweb.nl is er een heel scala van applets te vinden. Er is een filter aanwezig waardoor er snel en gericht naar een applet gezocht kan worden.

Er zijn op deze site meerdere soorten applets te vinden. Er zijn oefen applet maar ook instructie en spelletjes te vinden. Een hele leuke applet vond ik bijvoorbeeld ‘Bouwen met blokken’. Te meer omdat ik tijdens mijn lessen aan de 1e klassers van het Aletta Jacobc college te Hoogezand bij het onderwerp aanzichten en plattegronden de Lego van mijn zoon gebruikte. Deze applet kan door de leerlingen heel goed worden gebruikt bij het maken van

5


hun huiswerk en het begrijpen waarom de zij aanzichten er uitzien zoals ze er uit zien. En welke aanzichten je nodig bent om de constructie te kunnen bouwen. Een korte instructie van deze applet. De applet is te vinden op http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/00339 of via http://www.fisme.science.uu.nl/publicaties/subsets/rekenmaar en na opening zie je het onderstaande.

De leerling kan nu verschillende opties kiezen. In eerste instantie is de optie ‘Nabouwen’ een goede keuze om bekend te geraken met de applet. Voor het gebruiken bij het maken van het huiswerk kun je dan de optie ‘Vrij bouwen’. Voor het vervolg kiezen we de optie ‘Nabouwen’. Nadat deze geopend is staat er op het scherm een bouwplaat en een menu waarop de leerling een na te bouwen object kan kiezen. Ik heb gekozen voor een beugel.

6


Nu kan er door op een vlakje te klikken een blokje worden geplaatst.

Door nu de muis buiten het object te plaatsen en de linker muisknop vast te houden kan de muis versleept worden gaat het object draaien en roteren. Zo kan dan aan de achterkant van het bovenstaande door te gaan bouwen door op de dan zichtbare vlakjes te klikken. Al met al vind ik dit een hele intuïtieve benadering van de applet en ook een die de meeste leerlingen al wel kennen vanuit diverse spelletjes zoals bijvoorbeeld ‘The Sims’.

7


Met behulp van een keuzerondje voor Bouwen of Slopen kan een verkeerd geplaatst blokje ook eenvoudig verwijdert worden. Het roteren van het object en de optie om ook zelf vrij te kunnen bouwen geeft een leerling veel inzicht in een 3 dimensionaal object. Het begrip 3 dimensionaal is dusdanig abstract dat leerlingen hier echt moeite mee hebben. Om dit dus te verduidelijken heb ik dus de Lego gebruikt, maar deze applet is een hele goede vervanging. Bronnen:

• Kentie, P., Webdesign in de praktijk, 2000, Addison Wesley

• Kassenaar, P., PHP applicatieontwikkeling, 2005, Academic Service

• www.wisweb.nl, 2013, Freudenthal Instituut

• Boon, P., Brink, J. van den, www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/00339, Bouwen met blokken, 2009, Freudenthal Instituut

1.4 Kent actuele en relevante vakdidactische benaderingen en theorieën 1.4 Kent actuele en relevante vakdidactische benaderingen en theorieën 1.4 Kent actuele en relevante vakdidactische benaderingen en theorieën 1.4 Kent actuele en relevante vakdidactische benaderingen en theorieën over het leren over het leren over het leren over het leren van wiskunde.van wiskunde.van wiskunde.van wiskunde.

Als antwoord van een opgave schrijft een leerling op het bord:

Zuiver wiskundig gezien heeft de leerling gelijk. Echter dan moeten we het ook gaan hebben over de complexe getallen en zover zijn ze nog niet. Dus beperken we ons voor de vierkantwortel uit 4, tot het volgende

definitiegebied: Binnen de reële getallen is de vierkantswortel uitsluitend gedefinieerd voor vierkantswortel van een negatief getal bestaat dus niet binnen de reële getallen, magetallen. Om het verder te visualiseren voor leerlingen is hier ook Pythagoras te gebruiken. Door bijvoorbeeld 2 gelijke lengten A, haaks op elkaar te plaatsen en zo dan de lengt van de schuine lengte B te kunnen bepalen. Deze is

immers baa =+22

Een ‘negatieve’ lengte is bij de leerlingen niet bekend of zal hun niets zeggen.

Hiermee is dan ook ‘verklaard’ dat

Bronnen:

• Faarts, J., Goris, T., Konings, T., Monquil, A., Koelemeijer, G.S., voor de lerarenopleiding, 2012, APS

1.4 Kent actuele en relevante vakdidactische benaderingen en theorieën 1.4 Kent actuele en relevante vakdidactische benaderingen en theorieën 1.4 Kent actuele en relevante vakdidactische benaderingen en theorieën 1.4 Kent actuele en relevante vakdidactische benaderingen en theorieën van wiskunde.van wiskunde.van wiskunde.van wiskunde.

Als antwoord van een opgave schrijft een leerling op het bord: 24 −+= of

Zuiver wiskundig gezien heeft de leerling gelijk. Echter dan moeten we het ook gaan hebben over de complexe iet. Dus beperken we ons voor de vierkantwortel uit 4, tot het volgende

Binnen de reële getallen is de vierkantswortel uitsluitend gedefinieerd voor vierkantswortel van een negatief getal bestaat dus niet binnen de reële getallen, maar wel binnen de

Om het verder te visualiseren voor leerlingen is hier ook Pythagoras te gebruiken. Door bijvoorbeeld 2 gelijke lengten A, haaks op elkaar te plaatsen en zo dan de lengt van de schuine lengte B te kunnen bepalen. Deze is


24 = is.

Faarts, J., Goris, T., Konings, T., Monquil, A., Koelemeijer, G.S., Algebra voor leerlingen van 12voor de lerarenopleiding, 2012, APS

8


1.4 Kent actuele en relevante vakdidactische benaderingen en theorieën 1.4 Kent actuele en relevante vakdidactische benaderingen en theorieën 1.4 Kent actuele en relevante vakdidactische benaderingen en theorieën 1.4 Kent actuele en relevante vakdidactische benaderingen en theorieën

2− . Hoe reageer je?

Zuiver wiskundig gezien heeft de leerling gelijk. Echter dan moeten we het ook gaan hebben over de complexe iet. Dus beperken we ons voor de vierkantwortel uit 4, tot het volgende

Binnen de reële getallen is de vierkantswortel uitsluitend gedefinieerd voor . De ar wel binnen de complexe

Om het verder te visualiseren voor leerlingen is hier ook Pythagoras te gebruiken. Door bijvoorbeeld 2 gelijke lengten A, haaks op elkaar te plaatsen en zo dan de lengt van de schuine lengte B te kunnen bepalen. Deze is


Algebra voor leerlingen van 12-16

9


2 Omgevingsfactoren2 Omgevingsfactoren2 Omgevingsfactoren2 Omgevingsfactoren

2.1 Leert leerlingen omgaan met de kwantitatieve en cijfermatige kant van 2.1 Leert leerlingen omgaan met de kwantitatieve en cijfermatige kant van 2.1 Leert leerlingen omgaan met de kwantitatieve en cijfermatige kant van 2.1 Leert leerlingen omgaan met de kwantitatieve en cijfermatige kant van onze maatschappij, en van andere kennisgebieden, vakken en discipl ines.onze maatschappij, en van andere kennisgebieden, vakken en discipl ines.onze maatschappij, en van andere kennisgebieden, vakken en discipl ines.onze maatschappij, en van andere kennisgebieden, vakken en discipl ines.

Geef een omschrijving van het begrip 'gecijferdheid'. Verklaar het belang ervan en licht dat toe met voorbeelden. Het vergt nogal wat zoekwerk om een eenduidige omschrijving van het begrijp ‘gecijferdheid’ te vinden op sites die gelinkt zijn met wiskunde, rekenen, cijferen. De meest heldere omschrijving is te vinden op de site van wikipedia:

Gecijferdheid is de combinatie van kennis, vaardigheden en persoonlijke kwaliteiten die een individu nodig heeft om adequaat en autonoom om te gaan met de kwantitatieve kant van de wereld om ons heen.

Gecijferdheid is nauw verwant aan het Engelstalige begrip numeracy. Daar is de definitie algemener: "het vermogen met getallen en wiskundige begrippen om te gaan". Pas vanaf de 18e eeuw werd het voor grote groepen mensen in de maatschappij van belang om iets te weten van cijfers en manieren van rekenen, omdat vanaf dat moment de industriële revolutie in ieders leven een rol ging spelen. Daarbij was belangrijk dat iedere burger redelijk tot goed kon rekenen met pen en papier. Dat is nog steeds zichtbaar in de scholen. In de huidige maatschappij is rekenen en ook een stuk wiskunde grotendeels geautomatiseerd. Ook steeds meer rekenzaken zijn weggeorganiseerd in apparaten, denk aan supermarktkassa's en scan-apparaten. Daarom wordt veel onderzoek gedaan om opnieuw te definiëren welke kennis, vaardigheden en persoonlijke kwaliteiten iemand nodig heeft om om te gaan met de kwantitatieve kant van de wereld om ons heen. Op de site van gecijferdheid.nl wordt gecijferdheid als volgt omschreven:

Het kunnen uitvoeren van rekenkundige bewerkingen op basis van kennis en inzicht in hoe rekenen met getallen en eenheden werkt en hoe uitkomsten kunnen worden gepresenteerd in getalsvorm, grafieken, tabellen of andere statistieken.

Een van de problemen waarmee leerlingen worstelen die in de exacte vakken verder willen, is de noodzaak van "gecijferdheid". Ze worden daarbij beïnvloed door de maatschappij die tot in de kleinste hoekjes afhankelijk is van getallen en verbanden, maar waarin inzicht in getallen en rekenvaardigheid een lage status heeft. In onze maatschappij hebben veel mensen een afkeer van of zelfs angst voor rekenen en wiskunde. Veel mensen tonen zich ongecijferd. Dat betekent dan bijvoorbeeld dat ze de basisbegrippen van het rekenen niet beheersen en geen vaardigheid tonen in elementaire rekenoperaties. Voorbeelden in de persoonlijke sfeer die alleen door gecijferde mensen kunnen worden begrepen en waarbij ongecijferde mensen zich ongemakkelijk voelen:

• Kassabonnen. • De jaarlijkse nota voor de levering van energie. • De renteberekeningen in een spaarregeling of bij het afsluiten van een hypotheek. • Het loonstrookje en de belastingaangifte. • Kredietregelingen. • Kansen (bijvoorbeeld de kans op een verkeersongeluk of de kans van slagen bij een riskante operatie).

Voor veel mensen is gecijferd worden net zo moeilijk als om een vreemde taal vloeiend te leren beheersen. Daarbij komt dat de taal van wiskunde formeel en abstract is en daar hebben weinig mensen feeling voor. Door contextrijke wiskunde aan te bieden wordt er een overbrugging gemaakt tussen abstracte wiskunde en concrete voorbeelden zoals hierboven puntsgewijs is genoemd. Toch blijft dat voor veel mensen de stap naar het puur abstracte van de wiskunde niet haalbaar. Bij het examen wiskunde B zijn opgaven voorzien van contexten. Er zal een overstap naar weer (meer) opgaven zonder context worden gezet waarbij dus een (groter) beroep gedaan moet worden op de gecijferdheid en de algebraïsche vaardigheid van de leerling.

10


De ontwikkeling van gecijferdheid en wiskundige vaardigheid moet al op (zeer) jonge leeftijd worden gestimuleerd. Het moet al beginnen “op moeders schoot”. Rekenvaardigheid, oplossen van raadsels en puzzels en het metrieke stelsel moet goed geoefend worden in de basisschool. En het moet goed onderhouden worden en regelmatig opgefrist in (de onderbouw van) het voortgezet onderwijs. Van leerlingen in de bovenbouw wordt de kennis, vaardigheden en persoonlijke kwaliteiten verwacht om adequaat en autonoom de kwantitatieve kant van de wereld om ons heen te kunnen hanteren. Er dient onderscheid te worden gemaakt tussen een passieve en een actieve gecijferdheid. Bij passieve gecijferdheid gaat het om het vermogen om processen en producten uitgedrukt in kwantiteiten als verhoudingen, percentages, grafieken en tabellen te kunnen doorzien en beoordelen op juistheid en betekenis. Bij actieve gecijferdheid gaat het om vermogens om zelf(standig) berekeningen met getallen te kunnen uitvoeren en deze te kunnen representeren in grootheden, grafieken, tabellen en andere statistieken. Actieve gecijferdheid vraagt ook een zekere geoefendheid in het manipuleren met rekenkundige bewerkingen om de aangegeven passieve vaardigheden te kunnen inzetten. Om de gecijferdheid beter onder de knie te krijgen is het van belang om de volgende onderdelen veelvuldig te oefenen:

• Hoofdrekenen; • Breuken, percentages, verhoudingen, decimalen; • Meten en meetkunde; • Informatieverwerking en statistiek; • Woordalgebra, verbanden, grafieken en functies.

In de eerste jaren van het voortgezet onderwijs verwerven leerlingen inzicht en vaardigheden op het gebied van getallen, grootheden, maten, vormen, structuren en de daarbij passende relaties, bewerkingen en functies. Wiskundig geletterd en gecijferd worden, wil zeggen dat leerlingen het vermogen ontwikkelen om in de verschillende situaties van hun huidig en toekomstig leven aan wiskunde gerelateerde informatie te herkennen, te interpreteren en te gebruiken. Daartoe bouwen ze aan parate kennis, inzichten, routines en attitudes. Omgang met rekenapparatuur en computers heeft in het wiskundeonderwijs een belangrijke en veelzijdige plaats: leerlingen leren ze gebruiken als hulpmiddel, toepassingsmogelijkheid, informatiebron en communicatiemiddel. Bronnen:

• Wikipedia, nl.wikipedia.org/wiki/Gecijferdheid

• Gecijferdheid.nl, www.gecijferdheid.nl/definities_onderwijsrapporten.htm Laat met voorbeelden zien hoe wiskunde gebruikt wordt bij economie, biologie, aardrijkskunde en natuurkunde. Ik heb in de tweede helft van het schooljaar lesgegeven als docent rekenen op het MBO op de school voor Automotive op het Noorderpoort. Aanvankelijk zagen de leerlingen niet het nut van het rekenen voor hun vakgebied. We waren op dat moment net bezig met breuken, verhoudingen en procenten en ik zocht een manier om aan te tonen dat het rekenen wel degelijk belangrijk voor hun was en vond deze in de volgende simpele klinkende vraag: “Wat is het effect op de kilometerteller wanneer je de 15 inch banden vervangt door 17 inch exemplaren?”. Wanneer we deze simpele vraag, voor petrolheads, analyseren komen we heel veel zaken tegen. We kunnen niet simpel weg zetten dat de kilometerteller een afwijking heeft van 15/17-de deel en dus te weinig kilometers aangeeft. Een autotechnicus weet immers dat een autoband naarmate de velgmaat groter wordt de ‘wang van de band’, is de zijkant, minder hoog wordt. De maat van de wang zit weer verborgen in het typenummer van de autoband. Dit is specifieke vakkennis. Zo kan een autotechnicus uit de aanduiding voor een band, bijvoorbeeld 195/65R15, halen dat:

• De breedte van het loopvlak 195 mm is,

• De hoogte van de wang 65% van het loopvlak is,

• En de velgmaat 15 inch is.

11


Maar een 17 inch band zal echter nooit met een 65% wang geleverd worden en hiervoor zal dan een band, 225/55R17 gebruikt moeten worden. En nu kunnen we rekenen en wel volgens de volgende stappen:

1. Reken eerst de omloop van de oude band uit. a. Bepaal de wang hoogte: 195 x 65% = 127 mm, b. Reken de straal uit 15 x 25,4 + 127 = 508 mm, c. En omloop via 2 x � + 508 = 2 x 3,14 x 508 = 3190 mm oftewel 3,19 meter.

2. Reken eerst de omloop van de nieuwe band uit. a. Bepaal de wang hoogte: 225 x 55% = 140 mm, b. Reken de straal uit 17 x 25,4 + 140 = 572 mm, c. En omloop via 2 x � + 572 = 2 x 3,14 x 572 = 3592 mm oftewel 3,592 meter.

3. En de verhouding is dus 3,19/3,592 = 0,888 en geen 15/17 = 0,882. Om dan na te gaan wat de gevolgen voor de kilometerteller zijn kun de dan uitgaan van 100 km/h met de oude banden en hoe hard rij je werkelijk met de nieuwe banden: 100/3,19 x 3,592 = 112 km/h en dat is 12 kilometer harder. En dit mag wettelijk gezien niet dus zal er een andere band moeten worden gebruikt om binnen de wettelijke marges te blijven. Een 225/35R17 zal met een omloop van 3,20m wel volstaan want dan is de werkelijke snelheid 100,3 km/h. Deze casus gaf zoveel inzicht voor de leerlingen dat ze nu wel het nut van het rekenen zagen en ook de verschillende wiskundige formules kregen een plekje in het vaktechnische deel van de opleiding. Bronnen:

• Ballering, F,. Helden, H. van, Konings, T., Krabbendam, H., Staal, H., Steene, S. van der, 2008, Rekenen – voor de lerarenopleiding, APS

• Electude (elo), 2012, Electude Educatie

12


2.2 Heeft goed inzicht in de vooropleiding en vervolgopleiding voor wat 2.2 Heeft goed inzicht in de vooropleiding en vervolgopleiding voor wat 2.2 Heeft goed inzicht in de vooropleiding en vervolgopleiding voor wat 2.2 Heeft goed inzicht in de vooropleiding en vervolgopleiding voor wat betreft rekenen/wiskunde.betreft rekenen/wiskunde.betreft rekenen/wiskunde.betreft rekenen/wiskunde.

Laat met voorbeelden zien hoe wiskunde gebruikt wordt bij economie, biologie, aardrijkskunde en natuurkunde.

Ik heb allereerst de website van de rijksoverheid geraadpleegd, wetende dat in “referentiekader doorlopende leerlijnen taal en rekenen” is vastgelegd voor het hele onderwijs wat leerlingen moeten kennen en kunnen als het gaat om Nederlandse taal en rekenen/wiskunde. Basiskennis- en vaardigheden zijn voor rekenen/ wiskunde onderverdeeld in 3 niveaus (taal is onderverdeeld in 4 niveaus), te weten 1F, 2F, 3F. Daarbij staat de F voor fundamentele niveaus.

Voor wat betreft het mbo kunnen we zeggen dat de leerlingen die binnenkomen (veelal vmbo en soms havo) met rekenen op 2F moeten zitten. Bij het behalen van het diploma op het mbo (niveau 4) moeten de leerlingen 3F gehaald hebben. Bij uitstroom op niveau 2 en 3 moeten ze op 2F zitten. Om de kwaliteit hiervan te kunnen waarborgen:

• In het primair onderwijs zullen leerlijnen, tussendoelen, leerlingvolgsystemen en de verschillende toetsen die op de markt zijn, moeten gaan overeenstemmen met het referentiekader.

• In het voortgezet onderwijs zullen de examenprogramma’s worden geijkt en worden de referentieniveaus gebruikt bij de ontwikkeling van centrale examens en syllabi.

• In het middelbaar beroepsonderwijs zullen de basiskennis en -vaardigheden Nederlands en rekenen centraal worden geëxamineerd en ook daar zullen de referentieniveaus worden gebruikt.

• In het voortgezet onderwijs zullen alle leerlingen een rekentoets afleggen als onderdeel van het eindexamen.

• Er worden door uitgevers additioneel materiaal en leeswijzers ontwikkeld op basis van de referentieniveaus.

• Er wordt hulp en ondersteuning aangeboden via de verschillende steunpunten. Vooral het derde punt is van belang voor het MBO. Vanaf schooljaar 2016-2017 zullen de rekenexamens ingevoerd worden. Vanaf februari 2013 tot en met augustus 2013 was ik rekendocent aan het Noorderpoort school voor Automotive. De opleidingen die hier gegeven worden afgesloten met een diploma op niveau 2 en 3. Ik richt me voor nu even op de uitstroom van het mbo en onderzoek wat deze leerlingen zullen moeten kennen/kunnen aan het eind van hun opleiding.

13


Binnen de referentieniveaus rekenen worden vier domeinen beschreven, te weten:

• getallen

• verhoudingen

• meten en meetkunde

• verbanden Elk domein is bij rekenen opgebouwd uit de onderdelen:

• notatie, taal en betekenis, waarbij het gaat om de uitspraak, schrijfwijze en betekenis van getallen, symbolen en relaties en om het gebruik van wiskundetaal.

• met elkaar in verband brengen, waarbij het gaat om het verband tussen begrippen, notaties, getallen en dagelijks spraakgebruik.

• gebruiken, waarbij het gaat om rekenvaardigheden in te zetten bij het oplossen van problemen. Elk van deze drie onderdelen is weer opgebouwd uit drie typen kennis en vaardigheden. Ik beschrijf de vaardigheden op niveau 2F Getallen; A; notatie, getal, betekenis: Paraat hebben :

• uitspraak, schrijfwijze en betekenis van negatieve getallen (ook op de rekenmachine) zoals ze voorkomen in situaties met bijvoorbeeld temperatuur, schuld en tekort en hoogte

Functioneel gebruiken:

• uitspraak, schrijfwijze en betekenis van grote getallen met miljoen en miljard als maat en met passende voorvoegsels (bij maten) functioneel gebruiken

Weten waarom:

• in complexere situaties rekenprocedures toepassen en daarbij weten waarom het nodig kan zijn haakjes te zetten en weten hoe dit werkt. Bijvoorbeeld bij gebruik van een rekenmachine of spreadsheet

Getallen; B; met elkaar in verband brengen: Paraat hebben:

• aantallen en maten (weergegeven met gehele of decimale getallen) vergelijken en ordenen en weergeven bijvoorbeeld op een schaal van een meetinstrument of een tijdlijn


• om een probleem op te lossen complexere situaties vertalen naar rekenbewerkingen en daarbij rekenprocedures toepassen om een gewenst resultaat te krijgen (schattend, uit het hoofd, op papier of met de rekenmachine)

Weten waarom:

• eigen repertoire opbouwen van een getallennetwerk gerelateerd aan situaties. Getallen; C; gebruiken: Paraat hebben:

• in bekende situaties vaardig rekenen met de daarin voorkomende gehele en decimale getallen en (eenvoudige) breuken (schattend, uit het hoofd, op papier of met de rekenmachine)


• resultaten van een berekening in termen van de situatie interpreteren, bijvoorbeeld nagaan of een resultaat van een berekening de juiste orde van grootte heeft en wat de ‘foutmarge’ is

14


Verhoudingen; A; notatie, getal, betekenis: Paraat hebben:

• de schrijfwijze van procenten, breuken en de taal van verhoudingen paraat hebben Functioneel gebruiken:

• in bekende situaties bij het oplossen van problemen waarin verhoudingen een rol spelen vaardig werken met de voorkomende taal en notaties van percentages, breuken en verhoudingen en deze met elkaar in verband brengen

Verhoudingen; B; met elkaar in verband brengen: Functioneel gebruiken:

• in bekende situaties een passend rekenmodel kiezen of de rekenmachine gebruiken om een verhoudingsprobleem op te lossen. Daarbij gebruik maken van de samenhang tussen verhoudingen, procenten, breuken en decimale getallen en deze wanneer relevant in elkaar omzetten

Verhoudingen; C; gebruiken: Functioneel gebruiken:

• kan in bekende situaties met succes verhoudingsproblemen aanpakken en de benodigde berekeningen uitvoeren

Meten en meetkunde; A; notatie, getal, betekenis: Paraat hebben :

Meten • in bekende situaties notatie, naam (ook voorvoegsels) en betekenis van veelvoorkomende maten

(eenheden en grootheden) paraat hebben Meetkunde • in authentieke situaties veelgebruikte meetkundige begrippen kennen en veelgebruikte symbolen

kunnen lezen • namen van veel voorkomende vlakke en ruimtelijke vormen kennen

Functioneel gebruiken: Meten • allerlei schalen van meetinstrumenten aflezen, de aanduidingen correct interpreteren Meetkunde • veelgebruikte meetkundige begrippen en woorden (bijvoorbeeld coördinaten in de werkelijkheid,

namen van vormen, (wind)richtingen hoeken en afstanden) gebruiken om in diverse situaties vormen, voorwerpen,plaatsen in de ruimte en routes te beschrijven

• eenvoudige werktekeningen interpreteren Meten en meetkunde; B; met elkaar in verband brengen: Paraat hebben :

Meten • in functionele situaties vaardig veelvoorkomende maten aan elkaar relateren Meetkunde • in functionele situaties 3D objecten en de 2D representaties ervan interpreteren en met elkaar in

verband brengen Functioneel gebruiken:

Meten • in functionele situaties maten aflezen uit (werk)tekeningen, plattegronden etc. en bekende

meetinstrumenten gebruiken Meetkunde • in concrete situaties uitspraken doen over lengte, omtrek, oppervlakte en inhoud en in zeer

eenvoudige gevallen over de relatie daartussen • ten behoeve van concrete taken een eenvoudige situatieschets maken

15


Weten waarom: Meetkunde • uit eenvoudige (werk)tekeningen, foto’s en beschrijvingen conclusies trekken over objecten en hun

plaats in de ruimte

Meten en meetkunde; C; gebruiken: Paraat hebben:

• in veelvoorkomende situaties afmetingen (afstand, lengte, hoogte, oppervlakte ) schatten en meten • in eenvoudige vertrouwde en eenduidige situaties en wanneer dat functioneel is omtrek, oppervlakte

of inhoud schatten of berekenen Functioneel gebruiken:

• juiste passende maateenheid kiezen in gegeven situatie Weten waarom:

• in situaties redeneren op basis van symmetrie en eigenschappen van figuren

Verbanden; A; notatie, getal, betekenis: Paraat hebben:

• analyseren, interpreteren en kritisch beoordelen van numerieke informatie uit diverse formulieren, schema’s tabellen en andere grafische voorstellingen (diagrammen)

Functioneel gebruiken: • in situaties numerieke informatie uit diverse formulieren, schema’s, tabellen, diagrammen en

grafieken combineren, ook wanneer er verbanden tussen meer dan twee variabelen in beeld zijn gebracht

Verbanden; B; met elkaar in verband brengen: Paraat hebben:

• vuistregels en alledaagse formules (horend bij specifieke situaties) begrijpen en er eenvoudige berekeningen mee uitvoeren

Functioneel gebruiken: • grafieken en diagrammen (gesitueerd in een authentieke context) interpreteren in termen van de

situatie en uit het verloop, de vorm en de plaats van punten conclusies trekken over de situatie • numerieke gegevens verzamelen en verwerken, samenvatten en op diverse manieren weergeven

passend bij de situatie, ook met gebruik van ICT (bijvoorbeeld spreadsheet)

Verbanden; C; gebruiken: Paraat hebben:

• numerieke informatie uit diverse formulieren, schema’s, tabellen, diagrammen en grafieken interpreteren en gebruiken, er als het nodig is berekeningen mee uitvoeren en conclusies trekken

Functioneel gebruiken: • numerieke gegevens uit gecompliceerde tabellen, diagrammen en grafieken aflezen, combineren en

gebruiken bij het oplossen van problemen Bronnen:

• Meijerink, H.P., prof. dr. Letschert, J.F., prof. dr. Rijlaarsdam, G.C.W., prof. dr. Bergh, H.H. van den, prof. dr. Streun, A. van, Referentiekader taal- en rekenniveaus, 2009, Ministerie OCW

16


2.3 Is act2.3 Is act2.3 Is act2.3 Is act ief binnen de wiskundesectie op school en in de bredere ief binnen de wiskundesectie op school en in de bredere ief binnen de wiskundesectie op school en in de bredere ief binnen de wiskundesectie op school en in de bredere community van wiskundedocenten.community van wiskundedocenten.community van wiskundedocenten.community van wiskundedocenten.

Bezoek de studiedag van de Nederlandse Vereniging voor Wiskundeleraren en bestudeer de website van de NVvW. Vat samen welke betekenis dit voor je toekomst kan hebben. Op 9 november 2013 heb ik de studiedag en jaarvergadering van de NvvW bezocht in Veenendaal (Bijlage E). Het programma voor deze dag was indrukwekkend en ik had me ingeschreven voor 2 workshops:

• Diagnostische Tussentijdse Toets - Irene van Stiphout Vanaf schooljaar 2015-2016 krijgen leerlingen in het voortgezet onderwijs aan het einde van de onderbouw een diagnostische toets in het Nederlands, Engels en wiskunde/rekenen. De toets wordt afgenomen op het vmbo, havo en het vwo. Staatssecretaris Dekker heeft het wetsvoorstel hiervoor in juni 2013 naar de Tweede Kamer gestuurd. Het doel van deze toets is om informatie te leveren op leerling-, school-, en stelselniveau. De toets, gebaseerd op de door de SLO opgestelde landelijke (concept) tussendoelen, wordt digitaal afgenomen en nagekeken. In deze workshop wordt de opzet van de DTT wiskunde uiteengezet en wordt een tipje van de sluier opgelicht van de resultaten van een try-out.

• Onnodige fouten; voorkomen en genezen - Mariëlle Kruithof Bij toetsen worden door sommige leerlingen veel onnodige fouten gemaakt. Dit zijn niet-vakspecifieke fouten die het verschil kunnen maken tussen een onvoldoende en een voldoende; fouten die vaak door zowel leerling als docent worden afgedaan als ‘jammer, maar helaas’. In deze workshop zal aan de hand van voorbeelden inzicht worden gegeven in deze onnodige fouten en zal worden ingegaan op de vraag wat je hier als docent en leerling tegen kan doen.

Echter door een plaaningsfoutje ging de eerste niet door en werd dit:

• Doe-het-zelf-Lissajous figuren - Joram Pereira, Jochem Haverhoek (Vlietland College, Leiden) In deze workshop demonstreren we een paar zelfgebouwde machines die fascinerende Lissajous-figuren op papier tekenen. U kunt ze (ook met leerlingen) relatief eenvoudig nabouwen. Vooral bovenbouwleerlingen met belangstelling voor wiskunde B vinden het prachtig de machines in werking te zien. De getekende Lissajous-figuren geven een aanschouwelijk voorbeeld van de schoonheid van de wiskunde, en zijn bijna op zichzelf een vorm van kunst te noemen.

Ik wilde wel eens weten wat de DTT inhield en vanwaar de ophef in de media en hoe collega’s er over dachten. Helaas ging dit niet door en kwamen hier de Lissajous figuren voor in de plaats. Als ‘technicus’ ook een heel leuk onderwerp omdat het de wiskunde en de natuurkunde heel mooi samenbrengt in een ‘hands-on’ practicum. De theorie van dempende slingers en hun wiskundige berekeningen hiervoor zijn voor vmbo leerlingen niet leuk maar het maken van de slingers en draaitafels wel. Terwijl de vwo leerlingen juist de theorie wel aantrekkelijk zullen vinden maar het bouw gedeelte weer minder. Het is wel een onderwerp dat prachtige plaatjes oplevert en een samenwerking tussen vwo en vmbo leerlingen kan bevorderen en dat vond ik het mooiste van dit alles. De tweede workshop over ‘Onnodige fouten’ was heel interessant omdat ik het zelf heel veel meemaakte in de digitale examen die in afnam bij mbo leerlingen voor rekenen. De opgaven zijn veel ‘taliger’ geworden en dat vergt nogal wat leesvaardigheid van de leerling. De vraagstelling bevat vaak een dubbele ontkenning en dat begrijpen veel leerlingen niet. Voor mij was deze workshop verhelderend omdat het me ook bewust maakte over mijn eigen woordkeuze en vraagstelling. Het gaf me handvaten om in de lessen hier eens direct aandacht aan te besteden zodat de leerlingen deze vragen nu wel gingen begrijpen en juist te beantwoorden. Verder gaf de bijeenkomst in Veenendaal me de mogelijkheid om een nieuwe lesmateriaal te bekijken en te kopen. Ik heb dan ook nieuw materiaal gekocht en ook enkele oude lesboekjes van rond de 1900. In deze oude boekjes stonden wiskunde onderwerpen anders uitgelegd dan de huidige boeken. Maar voor mij heel herkenbaar. De jaarvergadering werd verder ‘opgeleukt’ met lezingen over statistiek en een lezing van Martin Kindt. Deze laatse verteld, op een voor hen heel kenmerkende wijze, over wiskundige zaken dat je na afloop alleen maar kunt zeggen: “Dat ik dat niet eerder heb gesnapt!”. Wat de dag nog leuker maakte was de autorit heen en terug. Via het forum was er een digitale carpoolplaats opgezet en ik had vanaf Zwolle een reisgenoot in de auto. Het bleek een gepensioneerde rector te zijn van een

17


school in Zwolle. We hebben een heel leuk gesprek onderweg gehad over mijn overgang naar het onderwijs en hoe het onderwijs door de jaren heen verandert is. Voor hen was deze dag een reunie en hij keek er altijd naar uit. Voor mij was deze dag heel leerzaam. Praten met collega’s over alledaagse, wiskundige onderwerpen en over didaktische zaken waren reuze interessant. Maar ik hoop dat het voor mij over een aantal jaar ook een reunie gaat worden. Bronnen:

• www.nvvw.nl

2.4 Kent het belang en de doelen van wiskundeonderwijs in een brede2.4 Kent het belang en de doelen van wiskundeonderwijs in een brede2.4 Kent het belang en de doelen van wiskundeonderwijs in een brede2.4 Kent het belang en de doelen van wiskundeonderwijs in een breder r r r kader.kader.kader.kader.

Bestudeer het PISA-rapport (4.3) en probeer een beeld te krijgen van het wiskundeonderwijs in andere landen. Beschrijf de verschillen met Nederland.

Een mooie kop in de Volkskrant d.d. 3-12-2013 en een prachtige handreiking voor mijn portfolio van de Didaktiek van de Wiskunde. Maar wat betekent dit dan? Dalen en stijgen? PISA rapport? Met het PISA-onderzoek (Programme for International Student Assessment) probeert de Organisatie voor Economische Samenwerking en Ontwikkeling (OESO) antwoord te geven op vragen als:

“Zijn leerlingen goed voorbereid om de uitdagingen van de toekomst aan te kunnen? Kunnen ze analyseren, redeneren

en hun ideeen effectief overbrengen?” In cycli van drie jaren worden sinds 2000 de sleutelcompetenties van 15-jarige leerlingen gemeten in de lidstaten van de OESO en in partnerlanden/economieen. Deze groep van landen vertegenwoordigt 90% van de wereldeconomie.

18


PISA is een cyclisch onderzoek waarin elke drie jaar leerlingprestaties op een aantal gebieden worden gemeten. Dit zijn leesvaardigheid, wiskunde en natuurwetenschappen. In elke cyclus ligt het accent op een ander hoofddomein. Bij de eerste peiling in 2000 was dat leesvaardigheid. In de tweede cyclus was wiskunde het hoofdthema. In 2006 was het hoofddomein natuurwetenschappen. Hierna herhaalden de hoofdthema´s zich, zodat in 2012 wiskunde weer het hoofddomein was met aandacht voor de veranderde eisen die sinds 2003 aan wiskundige geletterdheid worden gesteld. In het rapport wordt uitgebreid verslag gedaan van de eisen, de afname en hun condities en de condities van de steekproef waaraan de resultaten moeten voldoen voor deelname aan dit onderzoek. In totaal hebben 65 landen, alle 34 landen die lid zijn van de OESO en 31 niet-lidstaten, de zogenaamde partnerlanden, aan de vijfde cyclus van het onderzoek deelgenomen. De OESOlanden en partnerlanden (aangeduid met een *) staan in alfabetische volgorde:

Nu PISA ruim tien jaar actief is, is het mogelijk om meer te doen dan te onderzoeken hoe landen zich tot elkaar verhouden in termen van leerlingprestaties. Het is nu ook beter mogelijk te onderzoeken in welke mate verschillen tussen beter presterende en minder goed presterende leerlingen zich hebben ontwikkeld. In PISA-2012 is voor de eerste keer wiskundige geletterdheid opnieuw uitgebreid getoetst. Dit maakt het mogelijk dat landen meer in detail de veranderingen kunnen evalueren die in de afgelopen negen jaren hebben plaatsgevonden. In PISA-2003 werd leerlingen gevraagd naar hun plezier in en belangstelling voor wiskunde, hun onzekerheid over wiskunde en de steun die zij ontvangen van docenten tijdens wiskundelessen. Deze onderwerpen zijn in PISA-2012 opnieuw bevraagd. Nieuwe vragen werden gesteld over de ervaringen van leerlingen met wiskunde, o.a. de typen wiskundeopgaven die ze regelmatig krijgen voorgelegd op school. De totale populatie 15-jarigen in Nederland in 2012 bedroeg 194.277 jongeren. Van hen namen 192.650 jongeren deel aan een of andere vorm van onderwijs en kwamen er 187.053 in aanmerking voor de steekproef. Het percentage dat werd uitgesloten op schoolniveau is 4,0. Dit betreft VSO-scholen en internationale scholen met niet-Nederlandstalige leerlingen. De gegevens van 4460 leerlingen zijn verwerkt in dit rapport.

19


De scholenlijst is opgedeeld in de vier expliciete stratums die bij de steekproeftrekking gebruikt zijn±

• stratum-A scholen – de vmbo- en pro-scholen • stratum-B scholen – de havo- en vwo-scholen • stratum-C scholen – de scholen die alleen onderbouw aanbieden – en • stratum-D scholen – de particuliere scholen.

In de cyclus 2012 maakt iedere leerling gedurende twee uur de opgaven in een van de 13 boekjes. Ieder boekje bevat vier clusters. Er zijn zeven clusters voor wiskunde, drie clusters voor natuurwetenschappen en drie clusters voor leesvaardigheid. In aanvulling op de opgavenboekjes vult iedere leerling een vragenlijst in over een aantal achtergrondkenmerken, opvattingen en gewoonten. De leerlingen van de pro-scholen hebben een verkorte versie van de leerling-vragenlijst gebruikt.

Deze wiskundige subdomeinen (Vorm en Ruimte, Veranderingen en Relaties, Onzekerheid, Hoeveelheid) worden in verschillende soorten contexten aangeboden, te weten: problemen in de persoonlijke levenssfeer, de beroepsmatige contexten, maatschappelijk gerelateerde contexten en wetenschappelijk georienteerde contexten. Hierin valt de belangrijke rol die wiskunde speelt in de wereld van vandaag zoals die verwoord wordt in de definitie van wiskundige geletterdheid. Verder speelt bij de verzameling van PISA-wiskundevraagstukken de competentie waarmee het probleem dient te worden aangepakt een rol. De drie verschillende competenties waarop gekapitaliseerd wordt bij de toetssamenstelling zijn Formuleren, Toepassen en Interpreteren.

20


We zien dat Nederland op de internationale ranglijst bij wiskunde een 10e positie inneemt. De landen die we direct onder Nederland (Estland, Finland, Canada, Polen) aantreffen scoren weliswaar lager, maar dat verschil is niet significant. Dat verschil kan, met andere woorden, wellicht ook verklaard worden door toevallige aspecten die altijd gepaard kunnen gaan met steekproefonderzoeken. Opvallend is wel dat de voorhoede in de internationale ranglijst in 2012 in zijn geheel gevormd wordt door Aziatische deelnemers. Niet alleen de ´stadstaten´ Shanghai, Singapore, Hong Kong, Taipei en Macao treffen we daar aan, maar ook de grotere landen Zuid-Korea en Japan. Misschien nog opvallender is het dat we Finland (dat jarenlang als onbetwiste PISA-koploper gegolden heeft) nu, weliswaar niet significant lager, maar toch onder Nederland aantreffen.

21


In de vorige figuur zien we dat niveau 3 met 24,5% in Nederland het meest voorkomende niveau is, op de voet gevolgd door niveau 4 met 23,7%. Deze figuur laat ook zien dat de Nederlandse leerlingen, vergeleken met het OESO-gemiddelde oververtegenwoordigd zijn in de hoogste niveaus. Als we de niveaus 5 en 6 samenvoegen, zien we dat 19,3% van de Nederlandse leerlingen op die niveaus presteren, terwijl dat voor het OESO-gemiddelde een percentage van 11,8 is. Aan de onderkant van het spectrum vinden we op niveau 1 en lager voor Nederland 12,8% van de leerlingen, terwijl dat voor het OESO-gemiddelde 26,0% oplevert. We concluderen daarom dat Nederland naar verhouding veel leerlingen van hoger niveau en weinig leerlingen van lager niveau heeft. Deze bevinding is niet verrassend, omdat dit in lijn ligt met het feit dat Nederlandse leerlingen een significant hoger gemiddelde hebben voor wiskunde dan het OESO-gemiddelde. Wat wel opvalt, is dat Nederland het relatief beter doet aan de onderkant van de wiskundeschaal dan aan de bovenkant.

In bovenstaand figuur is te zien dat de wijze waarop we in Nederland leerlingen over de verschillende onderwijstypes verdelen overeenkomt met de vaardigheid in wiskunde zoals die bij PISA wordt vastgesteld. Men kan zich verbazen over de lichte uitschieter die vmbo 2 vertoont ten opzichte van de omringende onderwijstypes maar zodra men zich realiseert dat de vmbo 2-categorie een verzameling leerlingen bevat die voor een deel ook doorstromen naar vmbo kb en vmbo gl/tl, lijkt ook deze uitschieter niet op een anomalie te wijzen.

De daling lijkt zich alle jaren over de hele linie, uitgezonderd wellicht het praktijkonderwijs, te manifesteren. Het is interessant om over verklaringen te speculeren maar het belangrijkste lijkt dat we dit in ieder geval signaleren. Het is niet aan ons om een verklaring ervoor te geven maar enkele suggesties kunnen we wel geven:

22


• Zien we hier een gevolg van het feit dat er juist in de laatste jaren een forse verschuiving van leerlingenpopulaties heeft plaatsgevonden? Juist in het laatste decennium zien we een behoorlijke toename van het percentage havo/vwo-leerlingen en een afname van het percentage vmbo-leerlingen binnen een leeftijdscohort. Het is denkbaar dat dit verschijnsel verantwoordelijk is voor de daling binnen elk onderwijsniveau afzonderlijk.

• Manifesteert zich hier het feit dat we juist de laatste jaren moeten constateren dat lessen lang niet altijd gegeven worden door docenten die een recente of adequate vooropleiding genoten hebben? Denk daarbij aan on- en onderbevoegden, her- of zij-intreders.

De conclusie in het algemeen is dat de relatieve positie van Nederland in 2012 ten opzichte van andere landen is verbeterd. In PISA 2012 zijn met name de resultaten voor het domein wiskunde van belang. We kunnen trots zijn op deze resultaten. De score van Nederland in PISA 2012 op wiskundige vaardigheden was uitstekend. Nederland staat met 523 punten in de ranking als derde land in Europa. Nederland presteert op wiskunde ver boven het OECD-gemiddelde en boven landen als het Verenigd Koninkrijk, Rusland en de Verenigde Staten. Nederland moet, naast Liechtenstein en Zwitserland, alleen een aantal van de sterke en opkomende economieën in Azië (verschillende gebieden in en bij China (Shanghai, Hong Kong, Taipei en Macao), Singapore, Zuid Korea en Japan) voor zich laten. Ik denk dat de wiskunde leerlingen kan helpen in het aanpakken en oplossen van problemen. En dan bedoel ik niet alleen de formules maar vooral het inzicht en goed vertalen van het probleem naar werkmethodieken die paraat zijn. Eigenlijk conform het mathematiseringsmodel van de wiskunde. Ik denk dat je alle werkzaamheden, in welk beroep dan ook, kunt teruglijden naar dit model.

Bronnen:

• Kordes, J., Bolsinova, M., Limpens, G., Stolwijk, R., Resultaten Pisa 2012, 2013, Cito

• Lindhout, S., krantenartikel “Nederland daalt op wereldranglijst onderwijs, maar scoort op wiskunde”, 2012, Volkskrant

23


3 Leerprocessen en vakdidactiek3 Leerprocessen en vakdidactiek3 Leerprocessen en vakdidactiek3 Leerprocessen en vakdidactiek

3.1 Kan verschil lende aspecten uit theorieën over het leren van 3.1 Kan verschil lende aspecten uit theorieën over het leren van 3.1 Kan verschil lende aspecten uit theorieën over het leren van 3.1 Kan verschil lende aspecten uit theorieën over het leren van rekenen/wiskunde en uit de vakdidactiek in de prakti jk inzetten.rekenen/wiskunde en uit de vakdidactiek in de prakti jk inzetten.rekenen/wiskunde en uit de vakdidactiek in de prakti jk inzetten.rekenen/wiskunde en uit de vakdidactiek in de prakti jk inzetten.

Neem een hoofdstuk uit een wiskundeboek en ga na in hoeverre daarin de didactiek van het ‘leren door voorbeelden’ herkenbaar is. Wijs aan waar je kenmerken herkent of mist. Voeg eventueel wat aan de tekst toe. (Uit 1.7: ‘Het leren van wiskunde’)

Ik ben nu bezig met het onderdeel ‘Woordformules’ uit Getal en Ruimte. Deze paragraaf 6.4 begint met een ‘O’ vraag waarin de leerlingen aan de hand van een aantal deelvragen zelf moeten zaken moeten onderzoeken. Het enige dat ze aangeboden krijgen is een foto met daarop enkele prijzen en kreten als ‘formaat poster’ en ‘bezorgkosten’.

24


Ik laat dan de leerlingen dan even enkele minuten stoeien met de vraag en observeer hun verrichtingen en luister vooral. Aansluitend ga ik het ‘gele’ gedeelte van de pagina behandelen en check dan pas of ze al op een ‘natuurlijke’ manier tot een zelfde oplossing zijn gekomen. Dit is conform de theorie van van Dormolen en zijn OSAEV model. Aansluitend nemen we dan het voorbeeld op de volgende pagina in zijn geheel door:

25


In dit voorbeeld is een duidelijke strategie te herkennen: 1. Herkenning en vaststellen begrippen/variabelen, 2. Waarden van deze begrippen/variabelen, 3. Gebruiken van ‘nieuwe’ kennis, 4. Controle van deze ‘nieuwe’ kennis aan de hand van ‘oude’ kennis, namelijk de tabel.

In dit voorbeeld is heel duidelijk de weg naar de abstracte formule y=ax+b te herkennen. Maar het werken met abstracte gegevens is voor leerlingen uit het eerste jaar nog iets nieuws en moeilijk te begrijpen. Door er nu in eerste instantie ‘aantal foto’s’ en ‘kosten in €’ van te maken is een eerste stap gezet. Bronnen:

• Getal en Ruimte 1 vmbo KGT deel 2, 2013, EPN

• Faes, T., Goris, T., Konings, T., Krabbendam, H., Monquil, A., Staal, H., Het leren van wiskunde, 2011, APS

3.2 Kan leerl ingen motiveren voor het leren van wiskunde.3.2 Kan leerl ingen motiveren voor het leren van wiskunde.3.2 Kan leerl ingen motiveren voor het leren van wiskunde.3.2 Kan leerl ingen motiveren voor het leren van wiskunde.

Ontwerp voor een activiteitendag op je stage/werkplek een praktische opdracht over symmetrie/escherpatronen/ ......, waarin leerlingen hun creativiteit kwijt kunnen.

In het deel 1 boek van Getal en Ruimte voor KGT gaat hoofdstuk 4 over Lijnen en Hoeken. Het meten van hoeken, kijkhoeken en afstanden komen allemaal even kort aan de orde. Een opgave in het boek gaf me het idee om iets fysieks met wiskunde te gaan doen. Ik vind dat een praktische opdracht heel ondersteunend werkt bij de vaak ‘droge’ theorie. Wanneer er iets tastbaars en toepasbaars in de theorie zit gebruik het dan ook.

Op basis van Piraat Zwartbaard moesten de leerlingen een werkstukje maken van de route van hun fiets naar hun kluisje, toilet of leslokaal in graden en stappen ingetekend in een plattegrond van school en schoolplein. Hierover

26


moesten ze een verslagje maken en hun stappenplan aangeven. Daarnaast moesten ze koppelingen met de theorie in het boek aangeven. De resultaten waren heel erg leuk. Niet alleen de werkstukjes maar ook de bijbehorende toets. Niemand had een onvoldoende. Ik had al eerder goede ervaringen opgedaan met deze werkwijze bij de MBO leerlingen en de velgmaat van autobanden (zie 2.1) en dit was wederom een succes. Dat het wat onrustig was in de gang tijdens de lessen kon me ‘eerlijk gezegd’ niet zo deren omdat het doel van wiskunde begrijpen me dit meer dan waard was. Bronnen:

• Getal en Ruimte 1 vmbo KGT deel 1, 2013, EPN

• Faes, T., Goris, T., Konings, T., Krabbendam, H., Monquil, A., Staal, H., Het leren van wiskunde, 2011, APS

3.3 Kan beargumenteerd zi jn onderwij3.3 Kan beargumenteerd zi jn onderwij3.3 Kan beargumenteerd zi jn onderwij3.3 Kan beargumenteerd zi jn onderwijs vormgeven in een compleet s vormgeven in een compleet s vormgeven in een compleet s vormgeven in een compleet leertraject (van motiveren, probleemstel len, aanpak, oplossen, expl iciteren leertraject (van motiveren, probleemstel len, aanpak, oplossen, expl iciteren leertraject (van motiveren, probleemstel len, aanpak, oplossen, expl iciteren leertraject (van motiveren, probleemstel len, aanpak, oplossen, expl iciteren tot en met ref lecteren).tot en met ref lecteren).tot en met ref lecteren).tot en met ref lecteren).

Ga na welke computerprogramma's beschikbaar zijn ter ondersteuning van de onderwerpen maten, meten en meetkunde op www.fi.uu.nl/rekenweb.

In mijn huidige klas kwam het onderwerp kijklijnen en hoeken aan bod. Natuurlijk zijn er de gebruikelijke voorbeelden in het boek. Maar mooier is wanneer er hedendaagse en actuele onderwerpen zijn die je direct aan het onderwerp kan koppelen. Het heeft voor de leerling op ‘dat’ moment dan meer betekenis en het begrip blijft dan ook beter hangen. Het ‘nieuws van de dag’ was de dag was nu de verdwijning van een Maleisische Boeing en hoe deze van de radar kon verdwijnen. En daar kwamen de kijklijnen weer om de hoek kijken. Ik vertelde van de aardkromming en dat je eigenlijk helemaal niet zover kunt kijken. Met plaatjes en tekeningen op het bord werd er al snel gediscuteerd over het onderwerp. De mooiste opmerking kwam toen er iemand zei dat je de radar dan hoger moest plaatsen en weer een andere leerling zei dat doen ze ook met AWAC’s (radarvliegtuigen), want die had ie gezien op de vakantie afgelopen zomer. En uiteindelijk zijn we beland bij de satellieten in de ruimte. Het begrip kijklijn en hoeken was ze helemaal duidelijk. Iets abstracts als kijklijn is dus best op een leuke ‘tastbare’ manier uit te leggen. En heel vaak ook via een spelletje. Het Freudenthal Instituut heeft hier een hele collectie van. Op www.fi.uu.nl/rekenweb is via een hele handige filtering op diverse onderwerpen te zoeken. Ik beperk me voor nu even tot enkele applicaties voor de ‘Meetkunde’

27


Nadat je de zoekparameters hebt ingevuld begint ook meteen de schrik want er zijn 165 hits op de zoekterm ‘Meetkunde’. Mini-golf Een simpel spelletje om een balletje in het gaatje te slaan. Er is een graden roosje te vinden in de vorm van een assenstelsel met daarop de 4 basis hoeken. Door te experimenteren kan de bal ‘geput’ worden. De hoek is simpelweg af te lezen maar kan ook via de muis worden ingesteld. Na afloop is de baan goed te zien en kan er een conclusie worden getrokken en kan er een andere hoek worden gebruikt. Deze applicatie is bedoeld voor de 10-12 jarige leerlingen. Oppervlakte Deze applicatie sluit heel mooi aan bij de hoofdstukken van meetkunde bij de wiskunde maar ook bij de rekenlessen. Je kunt natuurlijk ook de formules gebruiken voor het berekenen van de driehoeken maar er is ook een grafische oplossing mogelijk. De leerlingen kunnen namelijk ook eerst een groter vierkant om de driehoek tekenen en daarna vervolgens de driehoeken die teveel zijn er weer aftrekken. Hierdoor worden leerlingen aangespoord om zaken te onderzoeken. Juist deze laatste optie maakt deze applicatie niet alleen nuttig voor de eerstejaars leerlingen maar ook ouderejaars kunnen hier hun voordeel mee op doen. Aanzichten raden Een twintigtal ruimtelijke figuren worden getoond en het is de bedoeling om het bijbehorende aanzicht op te geven. Het klint zo simpel maar het ruimtelijk inzicht is bij de leerlingen veelal nog niet ontwikkeld, dus hier worden veel fouten mee gemaakt. De leerling kan een keuze maken uit de opgegeven aanzichten en bij een juist antwoord verschijnt er een nieuwe opdracht. Bij een onjuist antwoord volgt een mogelijkheid om nogmaals te proberen. Voor de docent is hier de mogelijk om enige toelichting te geven om zo de leerling op de juiste weg te helpen.

28


Veel applicaties zijn ook al beschreven in het boek ‘Meetkunde voor de lerarenopleiding’ van uitgeverij APS. Hierin vind ik ook een uitleg van de kubuswoningen en Helmond van architect Piet Blom. Niet veel mensen weten dat deze woningen studieobjecten waren voor een grotere opdracht, namelijk de Blaakoverbouwing in Rotterdam van dezelfde architect. Ik heb in mijn studententijd aan de HTS in Groningen een hele dag met deze architect mogen optrekken en met hem ‘zijn’ kubuswoningen mogen bekijken en bespreken. Het was een prachtige middag over architectuur en wiskunde. De appilicaties bewijzen eens te meer dat wiskunde niet saai hoeft te zijn en dat er meer directe toepassingen in onze nabije omgeving actief zijn dan we denken. Bronnen:

• http://www.fi.uu.net/rekenweb

• Bus, E., Helden, van H., Konings, T., Krabbendam, H., Staal, H., Meetkunde voor de leraaropleiding, 2005, APS

3.4 Kent verschi l lende aanpakken en kan de leerstof op verschi l lende 3.4 Kent verschi l lende aanpakken en kan de leerstof op verschi l lende 3.4 Kent verschi l lende aanpakken en kan de leerstof op verschi l lende 3.4 Kent verschi l lende aanpakken en kan de leerstof op verschi l lende manieren uit leggen.manieren uit leggen.manieren uit leggen.manieren uit leggen.

Kan leerlingen op verschillende manieren begeleiden bij het leren van wiskunde (voordoen,

uitleggen, gericht vragen stellen, hints geven, coachen).

Ik geef op het Dr. Nassaucollege in Assen ook lessen Studiebegeleiding voor wiskunde aan eerste en tweede jaars leerlingen. In dit uurtje per week heb ik een klas van ongeveer 10 leerlingen met diverse probleempjes. Hun cijfers uit het verleden geven dan in overleg met de ouders toegang tot deze extra lessen. Voor mij is het in eerste instantie om te achterhalen waar het probleem ligt. Is het de wiskunde, of de taal en dan met name het begrijpend lezen of bijvoorbeeld simpelweg de basisvaardigheid van het rekenen. Nu geef ik ook het dit vak en wat me opvalt is dat een veel leerlingen, zowel jaar 1 als jaar 2, het 1F niveau niet halen. De grootste fouten worden gemaakt bij het rekenen met breuken en procenten en met de context rijke sommen waaruit de uiteindelijke berekening moet worden gehaald. Voor een verdere uitwerking van deze competentie wil ik ook hierbij 3.5 betrekken.

3.5 Kan omgaan met verschi l len tussen leerlingen op het gebied van 3.5 Kan omgaan met verschi l len tussen leerlingen op het gebied van 3.5 Kan omgaan met verschi l len tussen leerlingen op het gebied van 3.5 Kan omgaan met verschi l len tussen leerlingen op het gebied van rekenen/wiskunde leren en kan aandacht rekenen/wiskunde leren en kan aandacht rekenen/wiskunde leren en kan aandacht rekenen/wiskunde leren en kan aandacht besteden aan individuele besteden aan individuele besteden aan individuele besteden aan individuele leerlingen.leerlingen.leerlingen.leerlingen.

Kan ondersteuning geven bij het uitbouwen/verhogen van het niveau van de leerling.

In de StudieBegeleiding lessen heb ik dus hele diverse leerlingen. Niet alleen qua kennis maar ook van cultuur en achtergrond. De problemen variëren dan ook gigantisch en veelal is een uurtje ook niet genoeg om tot de kern door te dringen. Voor de basisvaardigheden van het vermenigvuldigen en delen heb ik gebruik gemaakt van Abbot and Costello. Op YouTube is een filmpje te vinden waarop wordt bewezen dat 7 x 13 = 28. Een hele leuke scene en voor ons hilarisch maar de kinderen moesten soms 3x kijken eer ze hem door hadden. Er wordt op drie verschillede manieren bewezen dat het sommetje 7 x 13 = 28 klopt. Door te delen, door te vermenigvuldigen en door op te tellen.

29


Het sprak de leerlingen wel aan deze ‘bewijzen’. Uiteindelijk was de boodschap duidelijk en begonnen de leerlingen aan elkaar uit te leggen waar de fout zat. Er bleef echter een meisje over die het maar niet begreep. Hoezo van links naar rechts? Met rekenen had ze nooit een probleem gehad maar nu het uit het hoofd moest ging het mis. De rekenmachine was haar grootste vriend en die had ze ook altijd op tafel liggen. Maar voor ‘Negatieve getallen’ mocht er geen rekenmachine gebruikt worden. Dus een onvoldoende en nu naar ‘bijles’. We hebben even zitten te praten en over allerlei zaken gehad en onder anderen ook over thuis en de ‘thuis-taal’ en dat was Hindi. En daar zat het probleem, Hindi lees je van rechts naar links. Voor het nederlands had ze wel begrepen dat het van links naar rechts moest maar bij rekenen was dit nooit echt een issue geweest, er was immers een rekenmachine. Nu ik haar hier ook op kon wijzen voor het rekenen was haar fout zichtbaar en de ‘Oh ja’s’ waren ook niet van de lucht. Ze wist het wel maar was het vergeten. Daarna ging alles weer van een leiendakje en ging het met het hoofdrekenen weer de goede kant op. Bij problemen met breuken en procenten heb ik steeds met korte ‘prikacties’ sommetjes en situaties op het bord gezet en de leerlingen via hun ‘eigen’ weg de oplossing laten zoeken. Daarna de aansluiting zoeken bij de theorie en de koppelingen met het boek zodat de leerlingen daarna zelf in staat waren de sommetjes wel zelfstandig en foutloos te maken. Wederom vrijwel alles via het OSAEV model. Immers wat de leerling zelf begrijpt blijft hem het beste bij en door hem net even dat kleine beetje extra mee te geven ‘kietel’ je hem weer tot iets nieuws. Voor het probleem met begrijpend lezen heb ik de hulp ingeroepen van de collega nederlands. Hij kon hier wel iets mee en hij heeft via korte lesjes simpele tekst analyses gedaan met de kinderen. De effecten waren al na enkele weken zichtbaar, en dan niet alleen bij de wiskunde maar bij alle vakken. Bronnen:

• 7 times 13 is 28 - http://www.youtube.com/results?search_query=7x13%2028%20abbott%20and%20costello&sm=1

• Ballering, F., Helden, van H., Konings, T., Krabbendam, H., Staal, H., Steene, van der S., Rekenen voor de leraaropleiding, 2008, APS

30


4 4 4 4 ToetsToetsToetsToetsing, ing, ing, ing, beoordeling en evaluatiebeoordeling en evaluatiebeoordeling en evaluatiebeoordeling en evaluatie

4.1 Kan bij verschil lende soort vaardigheden een passende toetsvorm 4.1 Kan bij verschil lende soort vaardigheden een passende toetsvorm 4.1 Kan bij verschil lende soort vaardigheden een passende toetsvorm 4.1 Kan bij verschil lende soort vaardigheden een passende toetsvorm kiezen en ontwerpen zoals: schriftel i jk, mondeling, praktische opdracht, kiezen en ontwerpen zoals: schriftel i jk, mondeling, praktische opdracht, kiezen en ontwerpen zoals: schriftel i jk, mondeling, praktische opdracht, kiezen en ontwerpen zoals: schriftel i jk, mondeling, praktische opdracht, computertoets, practicum, geïntegreerde wiskundige activiteit.computertoets, practicum, geïntegreerde wiskundige activiteit.computertoets, practicum, geïntegreerde wiskundige activiteit.computertoets, practicum, geïntegreerde wiskundige activiteit.

In een tweede klas geef je de volgende opdracht: “Houd gedurende twee weken gas-, electriciteitsverbruik en buitentemperatuur bij”. Verwerk deze gegevens in grafieken en tabellen. (Uit 1.1: ‘Algebra voor de lerarenopleiding’) Dit is een leuke en simpel klinkende opdracht waarmee de leerlingen van verzamelde data een grafiek maken. Aspecten als het maken van tabellen, een zaagtandje, stapgrootte en een vloeiende lijn komen hierin allemaal terug. Maar ook schieten me extra vragen te binnen:

• Is er een verband tussen de buitentemperatuur en het gasverbruik?

• Hoe is dit te zien?

• Kun je beide grafieken in 1 figuur zetten?

• Is het antwoord op de eerste vraag nu beter af te lezen?

• En is het gasverbruik wel volledig aan de temperatuur te koppelen?

• Kun je een verwachting van het gasverbruik voor de komende week bepalen? De antwoorden kunnen heel divers zijn want als er weinig verschil in temperatuur is dan zal er ook weinig verschil in verbruik zijn. Of wie weet is er wel een groot feest waarbij er veel gekookt is wat een vreemde uitschieter geeft in het verbruik. Door hier handig met de verticale as te spelen kun je pieken in gasverbruik sneller zien. Maar daarvoor moet je wel eerst alle gegevens hebben. Ook kun je in de temperatuur in dezelfde figuur plaatsen. Dit kan omdat op de horizontale as dezelfde informatie staat. De linker verticale as gebruik je dan voor het gasverbruik en de rechter voor de temperatuur. Nu zou je kunnen zien dat een daling van de temperatuur een stijging in gasverbruik als gevolg heeft. Tenzij er natuurlijk dat grote kookfeest is geweest die je meting heeft verstoord. Je gaat voor deze opdracht gegevens verzamelen en verwerken. Je bedenkt zelf de tabellen, schalen van de grafieken en geeft antwoorden op de bovenstaande vragen. Hulpbronnen hiervoor zijn bijvoorbeeld je lesboek Getal en Ruimte deel 1 en het internet. Over 4 weken lever je op papier en ingebonden in een snelhechter je werkstuk in. In hun lesboek stond een dergelijke opdracht maar daar werden waarden voor lengte, gewicht en gemoedstoestand gevraagd. Voor een klas met meiden was dit niet echt een werkbare situatie. Ik heb hiervoor gekozen omdat hier helemaal persoonlijke zaken meer voorkomen en toch de essentie van de opdracht recht doen. De leerlingen zijn nog met deze opdracht bezig maar de eerste reactie was: “Dit is beter want ik ga ECHT NIET mijn gewicht opgeven!” Bronnen:

• Faarts, J., Goris, T., Konings, T., Monquil, A., Koelemeijer, G.S., Algebra voor leerlingen van 12-16 voor de lerarenopleiding, 2012, APS

• Getal en Ruimte 4 vmbo KGT, 2012, EPN

4.2 Kan een toets of serie toetsen ontwerpen of samenstellen die:4.2 Kan een toets of serie toetsen ontwerpen of samenstellen die:4.2 Kan een toets of serie toetsen ontwerpen of samenstellen die:4.2 Kan een toets of serie toetsen ontwerpen of samenstellen die:

Beoordeel een bestaand proefwerk met normering, d.w.z. maak een kennen-en-kunnen lijstje bij de leerstof, onderscheid opgaven in elementair en complex, analyseer de normering, kijk het werk van een klas na, maak een foutenanalyse, geef aan hoe je het proefwerk voor en nabespreekt, doe aanbevelingen voor aanpassingen. (Uit 1.9: ‘Het Samenstellen,..van een proefwerk’)

31


Op het Aletta Jacobscollege heb ik les gegeven aan een combinatieklas kb/tl en aan een th klas, allebei eerste jaars. Ik heb voor hoofdstuk 7 – Ruimtefiguren voor elke klas een proefwerk op niveau gemaakt met de bijbehorende antwoorden en waardering. Ik heb hiervoor de hoofdstukken en hun bijbehorende sommen bestudeerd en hieruit enkele sommen gehaald met andere waarden, die wel mooie antwoorden gaven. Hiermee was voor mij duidelijk dat de leerling de leerstof heeft begrepen en kan toepassen. De proefwerken zijn te vinden in Bijlage F – Proefwerk Ruimtefiguren Bronnen:

• Moderne Wiskunde kb en th, 2012, Wolters Noordhoff Welke antwoorden, goede en foute verwacht je bij een vraag en hoe beoordeel/bestraf je de verschillende fouten? (Uit 7.8: ‘Katern 7 ‘Toetsing’, opdracht 2) De antwoorden op de proefwerken zijn ook in de bovengenoemde bijlage te vinden. Ik heb een duidelijke normering en cesuur gemaakt. Dit heb ik gedaan voor mezelf om ook eenduidig resultaat te verkrijgen. Bovendien heb ik nu de normering objectief vastgesteld zonder enige kennis van het score resultaat van de leerlingen. Iets wat niet eenvoudig was maar met hulp van een collega is dit gelukt. Bronnen:

• Moderne Wiskunde kb en th, 2012, Wolters Noordhoff

4.3 Beoordeelt niet alleen het 4.3 Beoordeelt niet alleen het 4.3 Beoordeelt niet alleen het 4.3 Beoordeelt niet alleen het resultaat of de uitkomst maar ook het resultaat of de uitkomst maar ook het resultaat of de uitkomst maar ook het resultaat of de uitkomst maar ook het proces of de werkwijze.proces of de werkwijze.proces of de werkwijze.proces of de werkwijze.

Kijk een toets na en analyseer de leerling-uitwerkingen. Welke fouten worden veel gemaakt? Formuleer naar aanleiding hiervan voorstellen om de lessen te verbeteren. (Uit 7.8: ‘Katern 7 Toetsing’) Vanuit mijn verleden heb ik de drang om veel zaken te gaan automatiseren. Het analyseren van proefwerken zal dat voor mij ook zijn dus heb ik in een vroeg stadium een Excel sheet gemaakt waarmee is veel zaken direct kan regelen. Een korte opsomming:

• Alle leerlingen, is ook presentielijst

• Resultaat per vraag

• Berekening cijfer op basis van maximaal te behalen punten en aftrek

• Gemiddelde score, hoogste en laagste

• Probleemvragen, top 4

• Eventuele tweek opties tbv cijfer Het spreadsheet model heeft me enorm geholpen in het analyseren van het proefwerk. Mijn stelling is dat je niet kunt leren van zaken die je goed doet, maar wel van je fouten. Deze wil ik dan zo snel mogelijk in beeld hebben zodat ik ook vroeg kan ingrijpen en bijsturen. Het maken van dit spreadsheet heeft me wel een investering aan uren gekost maar betaalde zich later ruim terug. Vooral in het naar boven halen van de probleemvragen. In de bijlage F zijn de analysesheets te vinden voor klas kt en th van het proefwerk over Ruimtefiguren. Mijn verwachting waren best wel hoog gespannen. De lessen verliepen goed, de vragen van de leerlingen waren to-the-point en het huiswerk behoefde ook weinig correctie. En mijn verwachtingen kwamen ook uit. Circa 75% scoorde een voldoende en de onvoldoende waren van die aard dat de leerling het niveau ook niet aan kan. Extra controle in het leerling volgsysteem leerde me ook dat de leerlingen op meerdere vakken minder scoorden en niet alleen bij wiskunde. Bij de probleemvragen heb ik eerst gezocht of ik de problemen kon herleiden. Was het woordkeuze of inzicht en kunde? Vervolgens deze opmerkingen in de klas gecheckt en in de meeste gevallen had ik gelijk.

32


Ook mijn begeleidende collega was zeer gecharmeerd van deze werkwijze en analyse. Ik ga deze werkwijze zeker blijven gebruiken omdat het me goed bevalt en me helpt om de leerlingen beter te ondersteunen. Frapant vind ik dat collega’s en medestudenten me nog steeds vragen naar deze sheets. Ik vind het leuk en zal ze met alle plezier helpen bij hun eigen analyses.

Bronnen:

• Moderne Wiskunde kb en th, 2012, Wolters Noordhoff

33


Bijlage A Bijlage A Bijlage A Bijlage A ––––Overzicht opdrachtenOverzicht opdrachtenOverzicht opdrachtenOverzicht opdrachten

1.1 Heeft overzicht over de totale onderwijsinhoud en leerstof van rekenen/wiskunde.

1.1.4 Heeft inzicht in het gestapelde karakter en de gevolgen daarvan en kan daar adequaat mee omgaan.

1.1.4.b Maak een lesvoorbereiding op papier. Besteed daarbij vooral aandacht aan: * leerdoelen * wat is de beginsituatie van de leerlingen, welke voorkennis hebben ze en hoe zijn ze vorige lessen bezig geweest? (Uit 1.8: 'Het voorbereiden van lessen')

1.2 Beheerst de leerstof in perfectie.

1.3 Beheerst het gebruik van vakspecifieke ICT middelen.

1.3.1 Kent de mogelijkheden en de beperkingen van ICT middelen voor wiskunde.

1.3.1.a Bestudeer de algebra-applets van het wisweb, onderscheid ze in model-applets en oefenapplets. Zoek bij een gekozen algebrahoofdstuk bijpassende applets en beoordeel ze op hun bruikbaarheid voor klassikale instructie en voor bruikbaarheid voor zelfwerkzaamheid van de leerlingen. (Zie ook artikel Jos Tolboom, Euclides nr.2, 2005)

5.1

1.4 Kent actuele en relevante vakdidactische benaderingen en theorieën over het leren van wiskunde.

1.4.1 Is op de hoogte van veelvoorkomende misconcepties en wat daaraan te doen.

1.4.1.b Als antwoord van een opgave schrijft een leerling op het

bord: 224 −+= of . Hoe reageer je?

2. Omgevingsfactoren

2.1 Leert leerlingen omgaan met de kwantitatieve en cijfermatige kant van onze maatschappij, en van andere kennisgebieden, vakken en disciplines. 2.1.1 Kent het begrip ‘gecijferdheid’ en kan hier voorbeelden van geven.

2.1.1.a Geef een omschrijving van het begrip 'gecijferdheid'. Verklaar het belang ervan en licht dat toe met voorbeelden.

3.13 4.11

2.1.2 Heeft zicht op ondersteunende rol van wiskunde in andere vakken.

2.1.2.a Laat met voorbeelden zien hoe wiskunde gebruikt wordt bij economie, biologie, aardrijkskunde en natuurkunde.

3.14

2.2 Heeft goed inzicht in de vooropleiding en vervolgopleiding voor wat betreft rekenen/wiskunde.

2.2.3 Is op de hoogte van het gebruik van entreetoetsen en aansluitprogramma’s in het vervolgonderwijs en kent de inhoud.

2.2.3.b Onderzoek een sector van het MBO, waarin rekenen/wiskunde in het programma is opgenomen (bijv. techniek). Neem op een ROC een interview af bij docenten en/of leidinggevenden en/of leerlingen. Stel daartoe een vragenlijst op over de aansluiting vmbo-mbo, mbo-hbo, met betrekking tot de inhoud en werkwijze bij het vak rekenen/wiskunde en de toepassing daarvan in beroepsgerichte vakken.

4.1

2.3 Is actief binnen de wiskundesectie op school en in de bredere community van wiskundedocenten.

2.3.b Bezoek de studiedag van de Nederlandse Vereniging voor Wiskundeleraren en bestudeer de website van de NVvW. Vat samen welke betekenis dit voor je toekomst kan hebben.

2.4 Kent het belang en de doelen van wiskundeonderwijs in een breder kader.

2.4.3 Heeft zicht op relevante internationale ontwikkelingen en kan die vertalen naar de NL situatie.

2.4.3.b Bestudeer het PISA-rapport (4.3) en probeer een beeld te krijgen van het wiskundeonderwijs in andere landen. Beschrijf de verschillen met Nederland.

4.3

34


3. Leerprocessen en vakdidactiek

3.1 Kan verschillende aspecten uit theorieën over het leren van rekenen/wiskunde en uit de vakdidactiek in de praktijk inzetten. 3.1.6 Kan werken vanuit voorbeelden naar abstractie en komt tijdig tot abstractie en tot formaliseren.

3.1.6.a Neem een hoofdstuk uit een wiskundeboek en ga na in hoeverre daarin de didactiek van het ‘leren door voorbeelden’ herkenbaar is. Wijs aan waar je kenmerken herkent of mist. Voeg eventueel wat aan de tekst toe. (Uit 1.7: ‘Het leren van wiskunde’)

1.7

3.2 Kan leerlingen motiveren voor het leren van wiskunde.

3.2.2 Creëert in zijn lessen een veilige leeromgeving en een sfeer van enthousiasme:

• Brengt aan de leerlingen over dat fouten gemaakt moeten (kunnen) worden, en dat fouten nuttig en nodig zijn om verder te komen in wiskunde;

• Voorkomt wiskundeangst en geeft de leerlingen het vertrouwen dat het wel gaat lukken;

• Heeft geduld en kan begrip opbrengen als de leerling het niet meteen snapt.

3.2.2.a Ontwerp voor een activiteitendag op je stage/werkplek een praktische opdracht over symmetrie/escherpatronen/ ......, waarin leerlingen hun creativiteit kwijt kunnen.

6.5 6.6 6.7

3.3 Kan beargumenteerd zijn onderwijs vormgeven in een compleet leertraject (van motiveren, probleemstellen, aanpak, oplossen, expliciteren tot en met reflecteren).

3.3.1 Kan werken aan verschillende soorten (wiskundige) leerdoelen, en daarbij geëigende werkvormen, leervormen en lesmaterialen inzetten.

3.3.1.a Ga na welke computerprogramma's beschikbaar zijn ter ondersteuning van de onderwerpen maten, meten en meetkunde op www.fi.uu.nl/rekenweb.

1.3

3.4 Kent verschillende aanpakken en kan de leerstof op verschillende manieren uitleggen.

3.4.2 Kan leerlingen op verschillende manieren begeleiden bij het leren van wiskunde (voordoen, uitleggen, gericht vragen stellen, hints geven, coachen).

3.4.2.a Begeleid enkele leerlingen bij het werken aan wiskunde. Dit kan in diverse situaties: - het assisteren van de docent nadat klassikale instructie gegeven is, - het helpen van leerlingen die in een onderwijsleercentrum/ leerplein huiswerk maken, - het geven van bijles aan een leerling, - begeleiden van groepjes leerlingen, - begeleiden van leerlingen met een leerstoornis. Zie voor kwaliteitscriteria daarbij 3.24. 3.4.2.b Geef individuele hulp aan leerlingen. Laat een medestudent observeren welke accenten je legt bij het helpen (zoals voordoen, uitleggen, vragen stellen, hints geven).

1.4 1.5 3.24 3.21

3.5 Kan omgaan met verschillen tussen leerlingen op het gebied van rekenen/wiskunde leren en kan aandacht besteden aan individuele leerlingen. 3.5.4 Kan ondersteuning geven bij het uitbouwen/verhogen van het niveau van de leerling.

3.5.4.a Bestudeer par. 9.5 uit 1.1 Rekenen voor de lerarenopleiding, waarbij het gaat om oefeningen die het denken uitlokken. Gebruik enkele van de genoemde vragen in jouw les en voeg er zelf twee aan toe. (Uit 1.1: ‘Rekenen voor de lerarenopleiding’) 3.5.4.b Maak verrijkingsmateriaal voor de betere leerling. Kies hiervoor juist onderwerpen die niet in de schoolwiskunde voorkomen.

1.2 5.3 6.1 t/m 6.9

35


4. Toetsing, beoordeling en evaluatie

4.1 Kan bij verschillende soort vaardigheden een passende toetsvorm kiezen en ontwerpen zoals: schriftelijk, mondeling, praktische opdracht, computertoets, practicum, geïntegreerde wiskundige activiteit.

4.1.a In een tweede klas geef je de volgende opdracht: “Houd gedurende twee weken gas-, electriciteitsverbruik en buitentemperatuur bij”. Verwerk deze gegevens in grafieken en tabellen. (Uit 1.1: ‘Algebra voor de lerarenopleiding’)

1.1

4.2 Kan een toets of serie toetsen ontwerpen of samenstellen die:

4.2.1 aansluit op de lessen en de hele lesstof dekt.

4.2.1.a Beoordeel een bestaand proefwerk met normering, d.w.z. maak een kennen-en-kunnen lijstje bij de leerstof, onderscheid opgaven in elementair en complex, analyseer de normering, kijk het werk van een klas na, maak een foutenanalyse, geef aan hoe je het proefwerk voor en nabespreekt, doe aanbevelingen voor aanpassingen. (Uit 1.9: ‘Het Samenstellen,..van een proefwerk’)

1.9

4.2.3 voorzien is van een geschikte normering.

4.2.3.a Welke antwoorden, goede en foute verwacht je bij een vraag en hoe beoordeel/bestraf je de verschillende fouten? (Uit 7.8: ‘Katern 7 ‘Toetsing’, opdracht 2)

7.8 1.9

4.3 Beoordeelt niet alleen het resultaat of de uitkomst maar ook het proces of de werkwijze.

4.3.3 Kan zijn onderwijs aanpassen naar aanleiding van de analyse van toetsresultaten.

4.3.3.b Kijk een toets na en analyseer de leerling-uitwerkingen. Welke fouten worden veel gemaakt? Formuleer naar aanleiding hiervan voorstellen om de lessen te verbeteren. (Uit 7.8: ‘Katern 7 Toetsing’)

7.8 1.9

36


Bijlage B Bijlage B Bijlage B Bijlage B –––– Lesvoorbereidingen 1.1Lesvoorbereidingen 1.1Lesvoorbereidingen 1.1Lesvoorbereidingen 1.1----9999

Les Breuken en procenten 1

Doel: Breuken, verhoudingen of procenten gebruiken om een deel van een hoeveelheid aan te geven en uitrekenen hoeveel zo’n deel is. Leerlingen oefenen:

• verhoudingssituaties herkennen aan de hand van beschrijvingen en eventueel alternatieven hiervoor bedenken,

• uitvoeren van procentberekeningen.

Inleiding: In deze les staat het toepassen van verhoudingen, breuken en procenten in toepassingssituaties centraal. In deze les wordt ingegaan om ‘mooie’ procenten, zodat het verband tussen percentage en dele van het geheel wordt versterkt.

Belangrijke begrippen in deze les:

• procent - een honderste deel. 100 procent schrijf je als 100% en je zegt een percentage van 100.

• diagram - een diagram is een schematische weergave van bijvoorbeeld een verdeling of het verloop van een proces. Hier gebruiken we een cirkeldiagrammen om verdelingen weer te geven. Het totaal hierin is 100%.

Materiaal bij deze les is het in ‘Bijlage C1 – Kopieerblad 9’.

Start (10 minuten) Vertel de leerlingen dat ze gaan rekenen met verhoudingen, breuken en procenten in simpele berekeningen in alledaagse situaties. We beginnen met een spelletje ‘Waar’ of ‘Niet waar’. Maar tweetallen, de docent doet een uitspraak en de leerlingen overleggen om tot een uitspraak te komen. Papier en notities mogen gemaakt wordne maar een rekenmachine niet. Wie het antwoord weet steekt de hand op. Doe de volgende uitspraken:

• 1/2 deel is 50% [waar]

• 1 op de 5 is 50% [niet waar; 20%]

• 1/4 deel is een kwart [waar]

• 1/5 deel is 25% [niet waar; 20%]

• 1/10 deel is 10% [waar]

• 50% is de helft [waar]

• 1 op de 4 is 40% [niet waar; 25%]

• 50% is 1 op 2 [waar]

• 75% is 3/4 deel [waar]

• 5/5 is 100% [waar]

• 1/8 deel is 8% [niet waar; 12,5%]

• 10% is meer dan 10 euro [dat hangt van de prijs af]

37


• 25% korting is de helft van de prijs [niet waar; 75%]

• 200% is twee keer zoveel [waar]

• 1% is altijd kleiner dan 10 [niet waar; hangt van het aantal af]

• 5 halen 4 betalen is 20% korting [waar]

• 2 halen 1 betalen is 100% korting [niet waar; 50% korting]

• 50%van een uur is 50 minuten [niet waar; 20 minuten]

• Een kwartier is 25% van een uur [waar]

Instructie (15 minuten) Zet als voorbereiding op het bord de volgende afbeelding.

Het diagram geeft de voorraad van een bouwmarkt weer. Totaal is er 5000 liter verf op voorraad. Vanuit het diagram kun je al een heleboel zeggen. Is er van alle kleuren even veel? (Nee) Waarvan is er het meest? (Blauw) En van welke kleur is er het minst? (Lichtblauw) Vertel dat de hele cirkel voor 100% staat. Zijn er nu leerlingen die op basis van deze informatie kunnen aangeven hoeveel procent er van elke kleur is? (Blauw 50%, Groen 25%, Rood 20% en Lichtblauw 5%) Omdat er bekent is hoeveel voorraad aan verf er is, 5000 liter, zijn de leerlingen in staat om uit te rekenen hoeveel liter er dan aan Blauwe verf is? (2500 Ltr) En hoeveel liter is er dan aan Groene verf? (1250 Ltr) Zien de leerlingen dat de hoeveelheid Blauwe verf precies de helft is, ½, en dan het bij de Groene precies een kwart is, ¼. Dus deze twee kleuren bij elkaar opgeteld geeft al 75% van de totale hoeveelheid en dan moeten we nog twee kleuren hebben. Door nu bijvoorbeeld 5 verdeelstreepjes te maken zien we dat de overige kleuren een verdeling van 20% is één vijfde deel en 5%, één twintigste deel, van het totaal van 100% zijn.

Zeg dat de percentage ook in een andere vorm dan in een cirkeldiagram voorkomen. Laat leerlingen bedenken waar ze dit eerder hebben gezien. Laat ze denken aan bijvoorbeeld computers. Bij het downloaden zie je een strook waarin wordt aangegeven hoever het download is gevorderd. De strook loopt als het ware vol van 0% (links) naar vol 100% (rechts).Teken nu een procentstrook op het bord:

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

38


Wijs delen aan en bespreek het belangrijke percentage als:

• 100% - is alles,

• 50% - is de helft of ½ deel,

• 25% - is een kwart of ¼ deel,

• 20% - is 1/5 deel en hier is geen mooi woord voor,

• 10% - is 1/10 deel en ook hier is geen mooi woord voor,

• Laat de leerlingen bedenken wat 75% is – ¾ deel oftwel driekwart.

Concludeer dat je met procenten kunt rekenen als je van verschillende hoeveelheden een even groot deel wilt uitrekenen. Of als je twee delen van verschillende hoeveelheden eerlijk wilt verdelen.

Zelf rekenen en bespreken (15 minuten) Deel het Kopieerblad 9 uit en laat de leerlingen de 2 sommen maken. Een rekenmachine is niet noodzakelijk. Bespreek de sommen klassikaal en bevraag de leerlingen naar hun antwoorden en vooral ook naar hun oplossingsstrategie.

Reflectie (5 minuten) Ga door middel van vragen na of de inhoud van de les is begrepen. Noteer op het bord de volgende prijzen:

• € 49,50 - € 25,70 - € 51,00 - € 100,20

Zeg dat ze de grootste korting moeten kiezen. Ze kunnen kiezen uit een korting van € 5,00 en 10%. Laat de antwoorden op schrijven en bespreek ze na. Kunnen de leerlingen alternatieven op noemen voor 1/10 – 25% - 50% en 3/4.

Conclusie: Bij verhoudingen moet je je steeds afvragen of het gaat om een deel van het geheel of delen ten opzichte van elkaar.

Verlengde instructie (30 minuten): Deel het bij de lesbehorende oefenblad uit en laat de leerlingen in deze tijd de sommen maken. Geef ze ongeveer 10 minuten en bespreek de eerste som aan de hand van alle stappen. Laat ze de tweede zelfstandig doen. Bij het bespreken is het gebruik van de procentstrook aan te bevelen.

Huiswerk: De bijbehorende digitale pagina’s af maken.

39


Bijlage BBijlage BBijlage BBijlage B1 1 1 1 –––– Kopieerblad 9Kopieerblad 9Kopieerblad 9Kopieerblad 9

40


41


Bijlage C Bijlage C Bijlage C Bijlage C –––– Lesvoorbereidingen 1.1Lesvoorbereidingen 1.1Lesvoorbereidingen 1.1Lesvoorbereidingen 1.1----10101010


Doel: Eenvoudige stambreuken, decimale getallen, percentage en verhoudingen omzetten en gebruiken bij eenvoudige berekeningen in toepassingssituaties. Leerlingen oefenen:

• de notatie van breuken, decimale getallen en procenten,

• herkennen en gebruiken van breuken, decimale getallen en procenten,

• met een rekenmachine breuken, procenten berekenen of benaderen als eindige decimale getallen.

Inleiding: In deze les staat het toepassen van verhoudingen, breuken en procenten in toepassingssituaties centraal. De nadruk ligt op het rekenen met percentages in de vorm van een gegeven korting.


• procent - een honderdste deel. 100 procent schrijf je als 100% en je zegt een percentage van 100.

• korting - deel van een bedrag dat je niet hoeft te betalen. In de uitverkoop krijg je 10% korting. Het is dus goedkoper.

• betalen in termijnen - je betaalt een bedrag in gedeelten.

Materiaal bij deze les is het in ‘Bijlage C1 – Kopieerblad 10’.

Start (10 minuten) Terughalen vorige les. ½ is hoeveel procent? 75% is hoeveel in een breuk? Gebruik bijvoorbeeld het volgende rijtje:

Breuk % Omschrijving

1/5 50 1 op de 4 (Waar of niet waar?)

3/10 30 30 van de 100 (Waar of niet waar?)

4/8 25 1 van de 2 (Waar of niet waar?)

3/12 30 Een kwart (Waar of niet waar?)

5/5 20 5 delen van 5. Andere benaming hiervoor?

2/6 35 Twee zesde deel oftewel?

Laat de leerlingen nadenken en beredeneren.

Instructie (30 minuten) Zet op het bord een procentstrook en vul nog geen getallen in.

Situatie: De sportschool biedt een korting aan indien je een jaarabonnement, van €120, neemt en in één keer betaald. Je krijgt dan 10% en wanneer je in termijnen betaald dan is de korting slechts 5%. Ga na of deze situatie de leerlingen bekent is en of ze de betekenis kennen van het begrip ‘termijnen’. Plaats nu de percentages 100%,0% en zet nu samen de percentages bij de volgende begrippen: de helft, 1/5, 3/10. Wat zit nu 25% en 1/20? Plaats hier ook een verticaal streepje. Een vakje is dus 10%. Plaats nu de bedragen in de vakjes. Waar komt dan de €120 te staan? Vul dan ook eens de overige eens in. Wat is nu de maximale korting? Staat nu het bedrag op het bord wat het abonnement dan gaat kosten bij de maximale korting? Nee, maar wat is het dan wel. Kunnen de leerlingen het berekenen? Het is dus €120 minus €12 geeft een nieuwe prijs van €108. Laat de leerling ook even de nieuwe prijs berekenen bij een betaling in termijnen. Vraag als extra wanneer de korting nu eens 15% zou bedragen. Wat zou dan de korting en de nieuwe prijs zijn? De korting is €18 en het eindbedrag is €102. Concludeer dat je niet de hele procentstrook hoeft in te vullen om er snel en eenvoudig mee te kunnen rekenen.

Reflectie (5 minuten) Ga door middel van vragen na of de inhoud van de les begrepen is. We hebben de volgende aanbiedingen:

• van €100 voor €80 – [20%]

• van €180 voor €90 – [50%]

• van €150 voor €120 – [20%]

• van €160 voor €120 – [25%]

Laat de leerlingen de percentages berekenen. Zet op het bord een lege procentstrook en laat ze demonstreren hoe ze het berekent hebben. Opvallend is dat bij de 2 aanbiedingen van €120 de percentages niet gelijk zijn. Stel de algemene vraag wat de leerlingen liever hebben, 25% of €25 korting? Het antwoord is eigenlijk niet te geven, want onder de €100 is het bedrag het beste maar er boven dan het percentage.

Conclusie: Het rekenen met procenten is makkelijker als je de procentstrook erbij gebruikt of eraan denkt.

Huiswerk: De bijbehorende digitale pagina’s af maken.

43


Bijlage C1 Bijlage C1 Bijlage C1 Bijlage C1 –––– Kopieerblad 10Kopieerblad 10Kopieerblad 10Kopieerblad 10

44


Bijlage D Bijlage D Bijlage D Bijlage D –––– Lesvoorbereidingen 1.1Lesvoorbereidingen 1.1Lesvoorbereidingen 1.1Lesvoorbereidingen 1.1----11111111


Doel: Eenvoudige stambreuken, decimale getallen, percentage en verhoudingen omzetten en gebruiken bij eenvoudige berekeningen in toepassingssituaties. Leerlingen oefenen:

• het uitvoeren van procentberekeningen, bijvoorbeeld: inkoopprijs inclusief BTW,

• waarom je in een concrete situatie bij berekeningen soms percentages bij elkaar mag optellen.

Inleiding: Er komen twee typen opgaven in verschillende contexten aan de orde: je weet het totaal. Welk percentage is een gedeelte daarvan? En: je weet het totaal. Hoeveel is een bepaald percentage hiervan?


• procent - een honderste deel. 100 procent schrijf je als 100% en je zegt een percentage van 100.

• korting - deel van een bedrag dat je niet hoeft te betalen. In de uitverkoop krijg je 10% korting. Het is dus goedkoper.

Materiaal bij deze les is het in ‘Bijlage D1 – Kopieerblad 11’.

Start (10 minuten) Timor heeft cijfers voor rekenen gehaald, zijn cijfers: 5,7; 6,2; 4,8 en 5,5. Wat voor cijfer moet Timor halen om gemiddeld op een afgeronde 6 uit te komen. Het juiste antwoord is een 5,3. Reken met 1 cijfer achter de komma en noteer je berekening. Laat de leerling verwoorden hoe ze het berekent hebben. De snelste methode is 5 x 5,5 = 27,5 – 22,2 geeft een 5,3. Is het ook mogelijk dat hij een 7 kan krijgen voor rekenen? Nee, want 5 x 6,5 = 32,5 – 22,2 geeft een 10,3 en dat is niet te halen.

Instructie (30 minuten) In deze les mag een rekenmachine gebruikt worden. Schrijf op het bord ‘Toets 1: 102 goed’ en ‘Toets 2: 64% goed’. Dit zijn de scores van 2 rekentoetsen van Luuc. Bij de eerste toets had hij 102 van de 150 vragen goed. Zet dit meteen onder toets 1. Voor beide toetsen zijn er 150 vragen gemaakt. Dus welke toets is beter gemaakt? Laat de leerlingen reageren en met berekeningen komen. Geef na een tijdje aan dat een verhoudingstabel hun kan helpen tot het antwoord.

Teken op het bord een lege verhoudingstabel en vul deze gezamenlijk in:

45


Wat is het aantal vragen op de toets? [150] Welk percentage hoort hierbij? [100%] Dus als je alle vragen goed hebt dan heb je 100% gescoord. Hoeveel is nu 1%? [1,5] Maar hoeveel procent had Luuc op de tweede toets gescoord, juist 64% dus moeten we de 1% waarde van 1,5 vermenigvuldigen met 64 om op het juiste aantal goed beantwoorde vragen te komen. Het antwoord is dan ook 96. De bijbehorende som is dan ook 150 : 100 x 64. De scores zijn nu vergelijkbaar en welke toets was er nu beter gemaakt? Je kunt dus het volgende schema gebruiken:

Je kunt ook de met de tabel uitzoeken hoeveel procent iets is. Stel de toetsen van Emma zijn voor toets 1 68 van de 80 goed en voor de tweede 79%. Hoeveel procent was de eerste toets dan goed? Vul samen de verhoudingstabel in:

Er wordt naar 1% gerekend en de leerlingen kunnen dit narekenen op de rekenmachine. Toets maar eens in 68 : 80 = 0,85. De uitkomst wordt dan weer vermenigvuldigd met 100 en ziehier 85%. De bijbehorende som is nu 68 : 80 x 100. Ook nu weer zijn de resultaten van de toetsen te vergelijken en we zien dat toets 1 het beste gemaakt is.

Concludeer dat als je het totaal weet, je kunt uitrekenen hoeveel een bepaald percentage is en dat als je een deel en het totaal weet, je kunt uitrekenen hoeveel procent dat deel is.

Reflectie (5 minuten) Ga met vragen na of de stof begrepen is. Doe de volgende uitspraak: ‘Het record is 360 punten. Ik scoor 270 punten en dat is 25% minder dan het record.’ Klopt dit. Laat de leerlingen dit controleren aan de hand van de schema’s. Bespreek de uitkomsten.

• 360 : 100 x 25 =

• 360 x 25 : 100 =

• 360 x (25 : 100) = 360 x 0,25 =

Conclusie:

• Als je het totaal weet, kun je uitrekenen hoeveel een bepaald percentage is,

• Als je een deel van het totaal weet, kun je uitrekenen hoeveel procent dat deel is,

• Een klein percentagevan een grote hoeveelheid kan meer zijn dan een groot percentage van een kleine hoeveelheid.

46


Bijlage D1 Bijlage D1 Bijlage D1 Bijlage D1 –––– Kopieerblad 11Kopieerblad 11Kopieerblad 11Kopieerblad 11

47


48


Bijlage E Bijlage E Bijlage E Bijlage E –––– Bewijs studiedag NvvW 2013Bewijs studiedag NvvW 2013Bewijs studiedag NvvW 2013Bewijs studiedag NvvW 2013

49


50


Bijlage F Bijlage F Bijlage F Bijlage F –––– Proefwerken RuimtefigurenProefwerken RuimtefigurenProefwerken RuimtefigurenProefwerken Ruimtefiguren Klas 1Kb

51


52


53


54


Klas 1th

55


56


57


58


Score en resultaat analyse

59


60


Rubric Rubric Rubric Rubric Didactiek van de wiskunde (deeltijd)Didactiek van de wiskunde (deeltijd)Didactiek van de wiskunde (deeltijd)Didactiek van de wiskunde (deeltijd) Naam Patrick Oosterhuis 261165

Maximaal één criterium

onvoldoende Onvoldoende (3) Voldoende (6) Goed (7,5) Uitstekend (9) %

Aanwezigheid

Deelname

o Meer dan 2 keer afwezig o Ongeïnteresseerde deelname

o 2 keer afwezig o 1 keer afwezig o Altijd aanwezig 10

Schoolvakkennis

1.1: 7

1.3: 1

1.4: 2

o Niet alle indicatoren met opdrachten aangetoond

o Slechte, onjuiste uitvoering van opdrachten

o Geen bronnen gebruikt/vermeld

o Correcte, maar summiere uitvoering van de opdrachten

o Karig bronnen gebruikt en vermeld

o Goede uitvoering van de opdrachten

o Goed bronnen gebruikt en vermeld

En …

o Laat blijken gefundeerd (met verwijzingen naar bronnen) eigen ideeën en meningen te hebben over de didactiek van de wiskunde met betrekking tot de schoolvakkennis

20

Omgevingsfactoren

2.1: 2

2.2: 4

2.3: 1

2.4: 3







o Goede bronnen gebruikt en vermeld

En …

o Laat blijken gefundeerd (met verwijzingen naar bronnen) eigen ideeën en meningen te hebben over de didactiek van de wiskunde met betrekking tot de omgevingsfactoren

15

Leerprocessen en

vakdidactiek

3.1: 9

3.2: 4

3.3: 7

3.4: 5

3.5: 4








En …

o Laat blijken gefundeerd (met verwijzingen naar bronnen) eigen ideeën en meningen te hebben over de didactiek van de wiskunde met betrekking tot de leerprocessen en vakdidactiek

25

61


Toetsing, beoordeling

en evaluatie

4.1: 1

4.2: 3

4.3: 4








En …

o Laat blijken gefundeerd (met verwijzingen naar bronnen) eigen ideeën en meningen te hebben over de didactiek van de wiskunde met betrekking tot de toetsing, beoordeling en evaluatie

20

Lay-out portfolio o Geen voorblad, inhoudsopgave voorwoord of paginanummering

o Slordige indeling, taalfouten

o Voorblad, inhoudsopgave, voorwoord of paginanummering

o Nette indeling, geen taalfouten

o Helder taalgebruik o Rustige lay-out

En …

o Schitterende vormgeving

10

Datum Paraaf Docent Eindbeoordeling

didactiek van de wiskunde - digiconsult · 3 didactiek van de wiskunde | 23-3-2014 111...

Documents