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Die Gaußverteilung
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Inhalt
Spezielle Verteilungen:
1. Die Gaußverteilung (Normalverteilung)
2. Die Poisson-Verteilung
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Die Gauß-Verteilung
Man nimmt mit Gauß an:• jede Messung zeigt zufällige Abweichungen von einem
unbekannten idealen, wahren Wert, dem „Mittelwert“• Die Anzahl der Messwerte mit zunehmendem Abstand
vom idealen Wert nimmt gemäß der Gauß-Verteilung ab
• Gaußkurve mit μ = 3, σ = 1
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Die Gaußverteilung φ(x)
2
2
2
)(
2
1)(
x
exMittelwert der
Messungen μ = 0, Standard-
abweichung σ = 1
2
2
2
)(
2
1)(
x
ex
Mittelwert µ
Standard-abweichung σ
Die Gauß-Verteilung ist durch zwei Parameter definiert: Den Mittelwert μ der Messungen und deren Standardabweichung σ
Die Standard-abweichung zeigt
die halbe Breite der Gaußkurve bei 60% ihrer max.
Höhe
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Gaußverteilung φ(x) und Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - σ) < x < (µ + σ) zu erhalten
2
2
2
)(
2
1)(
x
exMittelwert der
Messungen μ = 0, Standard-
abweichung σ = 1
2
2
2
)(
2
1)(
x
ex
Mittelwert µ
…. einen Wert zwischen (µ - σ) und (µ + σ) zu messen. Sie entspricht 68% der gesamten Fläche unter der Gaußkurve
Standard-abweichung σ
Diese Fläche zeigt die
Wahrscheinlichkeit…
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Gaußverteilung φ(x) und Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - 2σ) < x < (µ + 2σ) zu erhalten
2
2
2
)(
2
1)(
x
exMittelwert der
Messungen μ = 0, Standard-
abweichung σ = 1
2
2
2
)(
2
1)(
x
ex
Mittelwert µ
…. einen Wert zwischen (µ - 2σ) und (µ + 2σ) zu messen. Sie entspricht 95% der gesamten Fläche unter der Gaußkurve
Standard-abweichung σ
Diese Fläche zeigt die
Wahrscheinlichkeit…
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Gaußverteilung φ(x) und Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - 3σ) < x < (µ + 3σ) zu erhalten
2
2
2
)(
2
1)(
x
exMittelwert der
Messungen μ = 0, Standard-
abweichung σ = 1
2
2
2
)(
2
1)(
x
ex
Mittelwert µ
…. einen Wert zwischen (µ - 3σ) und (µ + 3σ) zu messen. Sie entspricht 99,7% der gesamten Fläche unter der Gaußkurve
Standard-abweichung σ
Diese Fläche zeigt die
Wahrscheinlichkeit…
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Intervallbreite um den Mittelwert µWahrscheinlichkeit einen
Messwert innerhalb dieses Intervalls zu erhalten
±1 σ 68%
±2 σ 95%
±3 σ 99,7%
Wahrscheinlichkeiten, Messwerte innerhalb eines Intervalls von ±1, ±2, ±3 Standardabweichungen um den Mittelwert
zu erhalten
Beispiel: Bei 1000-facher Wiederholung der gleichen Messung sind 997 Messwerte innerhalb eines Intervalls der Breite von ± drei Standard-Abweichungen um den Mittelwert zu erwarten, nur 3 mit einem größeren Abstand
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Standardabweichung der Messwerte
Bei Normal-verteilten Daten ist die Standardabweichung σ ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, in einer weiteren Messung einen Messwert im Intervall ±σ um den Mittelwert μ zu erhalten
Standardabweichung der N Messwerte xn
N
nnxN 1
2
1
1
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Standardabweichung des Mittelwerts zu N Messwerten xn
Standardabweichung des Mittelwerts
N
Folge: Um die Standardabweichung des Mittelwerts auf die Hälfte zu reduzieren, ist die vierfache Anzahl von Beobachtungen erforderlich
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Zusammenfassung
Bei Normal-verteilten Messwerten gilt:• Legt man ein Intervall der Breite ± N·σ um den
Mittelwert µ, dann erwartet man bei mehrfacher Wiederholung der Messung für– N=1 68 % – N=2 95 % – N=3 99,7 % der Messwerte innerhalb, den Rest außerhalb des
Intervalls
• Die Standardabweichung σµ des Mittelwerts ist
– σµ = σ / Wurzel(N)
Das heißt, um σµ auf die Hälfte zu reduzieren bedarf es der 4-fachen Anzahl der Messwerte!
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finis
• Quelle: http://www.diss.fu-berlin.de/diss/servlets/MCRFileNodeServlet/FUDISS_derivate_000000002900/1_Kapitel_1.pdf
Q: Welche medizinisch relevante Information zeigt die Folge der Histogramme?
A: Bei etwa konstantem Mittelwert steigt die Breite der Verteilung: Das heißt, sie zunehmend ältere, aber auch jüngere Patienten erhalten Hüftendoprothesen