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Die Modellierung des schönen Scheins
www.math.unibas.ch/~walser
Hans Walser
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Die Modellierung des schönen Scheins
Die durchhängende Absperrkette
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Die Modellierung des schönen ScheinsQuadratische Funktion y = ax2 + bx + c
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Die Modellierung des schönen ScheinsQuadratische Funktion
Funktionsgrafen sind schöne Kurven.Nicht jede schöne Kurve ist ein Funktionsgraf.
y = ax2 + bx + c
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Die Modellierung des schönen ScheinsKreis
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Die Modellierung des schönen Scheins
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Die Modellierung des schönen Scheins
Realität zu kompliziert Didaktische Vereinfachung
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Die Modellierung des schönen Scheins
Realität zu kompliziert
Didaktische Vereinfachung:
Wenn Lehrer versuchen, das „Leben“ ins Schulzimmer zu bringen, wird eszur Schulaufgabe.
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Abituraufgabe 2009
Die Modellierung des schönen Scheins
Eine Computermaus ist gut geformt,
wenn der Umriss etwa folgende Form hat:
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Die Modellierung des schönen Scheins
Eine Computermaus ist gut geformt,
wenn der Umriss etwa folgende Form hat:
Abituraufgabe 2009
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Klartext: Kurve durch vier Punkte!Reflex: Kubische Parabel
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Durch 4 Punkte eindeutig!
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Reflex: Kubische Parabel
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Klartext: Kurve durch vier Punkte!Reflex: Kubische Parabel
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Klartext: Kurve durch vier Punkte!Reflex: Kubische Parabel
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Klartext: Kurve durch vier Punkte!Reflex: Kubische Parabel
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Klartext: Kurve durch vier Punkte!Reflex: Kubische Parabel
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Klartext: Kurve durch vier Punkte!Reflex: Kubische Parabel
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Klartext: Kurve durch vier Punkte!Reflex: Kubische Parabel
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Klartext: Kurve durch vier Punkte!Reflex: Kubische Parabel
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Klartext: Kurve durch vier Punkte!Neu: cubic Spline
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Klartext: Kurve durch vier Punkte!Früher: Kubische Parabel
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Klartext: Kurve durch vier Punkte!Neu: cubic Spline Not A Knot
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f1 x( )f2 x( )
f3 x( )
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Neu: cubic Spline Not A Knot
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f1 x( ), f2 x( ), f3 x( ) : drei Polynomfunktionen 3. Grades
3 4 = 12 Koeffizienten
f1 x( )f2 x( )
f3 x( )
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Neu: cubic Spline Not A Knot
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10 Bedingungen
f1 x( )f2 x( )
f3 x( )
f1 x1( ) = y1 f1 x2( ) = y2f2 x2( ) = y2f1 x2( ) = f2 x2( )
f1 x2( ) = f2 x2( )
f2 x3( ) = y3f3 x3( ) = y3f2 x3( ) = f3 x3( )
f2 x3( ) = f3 x3( )
f3 x4( ) = y4
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Neu: cubic Spline Not A Knot
Gleiche „Steigung“
Gleiche „Krümmung“
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12 Bedingungenf1 x2( ) = f2 x2( ) f2 x3( ) = f3 x3( )
f1 x( )f2 x( )
f3 x( )
f1 x1( ) = y1 f1 x2( ) = y2f2 x2( ) = y2f1 x2( ) = f2 x2( )
f1 x2( ) = f2 x2( )
f2 x3( ) = y3f3 x3( ) = y3f2 x3( ) = f3 x3( )
f2 x3( ) = f3 x3( )
f3 x4( ) = y4
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Neu: cubic Spline Not A Knot
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12 Bedingungen
f1 x1( ) = 0
Klartext: Kurve durch vier Punkte!Neu: cubic Spline Natural
f1 x( ) f2 x( )f3 x( )
f1 x1( ) = y1 f1 x2( ) = y2f2 x2( ) = y2f1 x2( ) = f2 x2( )
f1 x2( ) = f2 x2( )
f2 x3( ) = y3f3 x3( ) = y3f2 x3( ) = f3 x3( )
f2 x3( ) = f3 x3( )
f3 x4( ) = y4f3 x4( ) = 0
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Klartext: Kurve durch vier Punkte!Neu: cubic Spline Natural
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Zwischenspiel: Die Sache mit der Krümmung
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/152775,0.html
Die zweite Ableitung ist die Krümmung einer
Funktion f(x) an der Stelle x.
f x( ) = x2
f x( ) = 2x
f x( ) = 2
Parabel
Konstante Krümmung: Kreis?
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Zwischenspiel: Die Sache mit der Krümmung
Steigung und Winkel
18% 18°
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Steigung: Stützdreiecke
Gleichmäßig wachsende Steigung
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Steigung: Stützdreiecke
Gleichmäßig wachsende Steigung
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Steigung: Stützdreiecke
Gleichmäßig wachsende Steigung
Parabel
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Steigung: Stützdreiecke
Beschleunigt wachsende Steigung
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Steigung: Stützdreiecke
Beschleunigt wachsende Steigung
kubische Parabel
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Richtung: Winkelsektoren
Gleichmäßig wachsende Richtung
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Richtung: Winkelsektoren
Gleichmäßig wachsende Richtung
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Richtung: Winkelsektoren
Gleichmäßig wachsende Richtung
Kreis
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Richtung: Winkelsektoren
Beschleunigt wachsende Richtung
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Richtung: Winkelsektoren
Beschleunigt wachsende Richtung
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Richtung: Winkelsektoren
Beschleunigt wachsende Richtung
Klothoide
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Richtung: Winkelsektoren
Beschleunigt wachsende Richtung
Klothoide
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Richtung: Winkelsektoren
Beschleunigt wachsende Richtung
Klothoide
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Volumen?
Abituraufgabe 2009
2 4 6 8 100123
6x
z
y
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Bestimmtes Integral
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„Fläche unter der Kurve“: Intelligenter Blödsinn
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s = v t( )dta
b
„Fläche unter der Kurve“: Intelligenter Blödsinn
Eine Weglänge kann keine Fläche sein.
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„Fläche unter der Kurve“: Intelligenter Blödsinn
Eine Weglänge kann keine Fläche sein.
Echte Modellierung
s = v t( )dta
bv t( ) – Diagramm
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„Fläche unter der Kurve“: Intelligenter Blödsinn
Für Flächenberechnungungeeignet
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Geometrie, Grafik, Design, Zeichnung, Bild
Koordinatenachsen gleichberechtigt, gleich skaliert- Parameterdarstellungen- Bézier-Kurven- Klothoiden- Spline-Kurven
Funktionen, funktionaler Zusammenhang
Funktionsgraf / Diagramm als VisualisierungInput: x-Achse, Output: y-Achse, Skalierung freiechte ModellierungSpline-Funktionen (Interpolation)
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Bézier-Kurven zweiten Grades (Parabeln)
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Bézier-Kurven dritten Grades (keine kubische Parabeln)Vier Stützpunkte
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Bézier-Kurven dritten Grades (keine kubische Parabeln)Quadratische Parabel links
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Bézier-Kurven dritten Grades (keine kubische Parabeln)Quadratische Parabel links und rechts
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Bézier-Kurven dritten Grades (keine kubische Parabeln)Sehnen mit Endpunkten auf den Parabeln
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Bézier-Kurven dritten Grades (keine kubische Parabeln)Bézier-Kurve
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Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber
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Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber1
10
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Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber2
10
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Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber
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Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber
0 1
p0 1 t( ) + p1t
p1 1 t( ) + p2t
p2 1 t( ) + p3t
p0
p1
p2
p3
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Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber
0 1
p0 1 t( )2 + 2p1 1 t( )t + p2t
2 p1 1 t( )2 + 2p2 1 t( )t + p3t
2
p0 1 t( ) + p1t
p1 1 t( ) + p2t
p2 1 t( ) + p3t
p0
p1
p2
p3
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Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber
x t( ) = p0 1 t( )3 + 3p1 1 t( )2 t + 3p2 1 t( )t2 + p3t3
= k3( ) pk 1 t( )3 k t k
k=0
3
0 1
p0 1 t( ) + p1t
p1 1 t( ) + p2t
p2 1 t( ) + p3t
p0
p1
p2
p3
p0 1 t( )2 + 2p1 1 t( )t + p2t
2 p1 1 t( )2 + 2p2 1 t( )t + p3t
2
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Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Halbzeit
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Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber
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Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber
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Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber
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Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber
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Bézier-Kurven Casteljau-Algorithmus Schieber
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Bézier-Kurven dritten Grades im Raum
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Bézier-KurvenNostalgie
Pierre Etienne Bézier
Renault
Paul de Faget de Casteljau
Citroën
Wong, Baoswan Dzung: Bézierkurven gezeichnet und gerechnet.
Ein elementarer Zugang und Anwendungen.
Zürich: Orell Füssli 2003. ISBN 3-280-04021-3
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Großvaters Eisenbahn-AnlageNostalgie
![Page 73: Die Modellierung des schönen Scheins · 2019. 4. 27. · Quadratische Funktion Funktionsgrafen sind schöne Kurven. Nicht jede schöne Kurve ist ein Funktionsgraf. y = ax2 +bx+c](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022070217/6122196c608db5393774c9a1/html5/thumbnails/73.jpg)
Gefahrenpunkt
Großvaters Eisenbahn-AnlageNostalgie
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KlothoideLinear zunehmende Krümmung
Gefahrenpunkt?
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Klothoidenbögen
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Klothoidenbögen
Ende