die poincaré-vermutung und ihre geschichte thilo kuessner 23.4.2008
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Die Poincaré-Vermutung und ihre Geschichte
Thilo Kuessner
23.4.2008
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Beispiele von Flächen
Sphäre Torus Brezel Doppelbrezel
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Karte einer Sphäre
Stereographische Projektion : Sphäre ohne Nordpol Ebene
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Wie unterscheidet man Flächen?
• Euler-Charakteristik
• Fundamentalgruppe
• Hyperbolisches Volumen
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Euler-Charakteristik
E-K+F
E= Anzahl der EckenK= Anzahl der KantenF= Anzahl der Flächen
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Eulerscher Polyedersatz I
E=8,K=12,F=6
E-K+F=2
E=20,K=30,F=12
E-K+F=2
E=12,K=30,F=20
E-K+F=2
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Eulerscher Polyedersatz II
E=60, K=150, F=92
E-K+F=2
Satz (Legendre, 1794): Jede Zerlegung der Sphäre in Polygone erfüllt E-K+F=2.
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Euler-Charakteristik eines Torus
E=160,K=320,F=160
E-K+F=0
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Euler-Charakteristik von Flächen
Satz (Lhuillier, 1817): Für jede Zerlegung einer kompakten, orientierbaren Fläche mit g Henkeln gilt:
E-K+F = 2-2g.
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Fundamentalgruppe
Geschlossene Kurven
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Stetige Deformation von Kurven
• F ist einfach zusammenhängend
< === >• Jede geschlossene Kurve läßt sich stetig in
einen Punkt deformieren.
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Einfacher Zusammenhang I
• Die Sphäre ist einfach zusammenhängend.
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Einfacher Zusammenhang II
• Der Torus und die Brezel sind nicht einfach zusammenhängend.
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Einfacher Zusammenhang III
• Satz (Poincaré, 1896): Eine kompakte Fläche ist genau dann einfach zusammenhängend, wenn sie homöomorph zur Sphäre ist.
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Geometrie von Flächen
Krümmung und Flächeninhalt
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Krümmung von Flächen
Eine Fläche sei in lokalen Koordinaten als Graph einer Funktion h(u,v) gegeben.Dann ist die Krümmung definiert als:
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Krümmung
• Hyperboloid: K=-1• Zylinder: K=0• Sphäre: K=1
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Krümmung und Winkelsumme
• K>0 : Innenwinkelsumme > 180 Grad• K<0: Innenwinkelsumme < 180 Grad
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Modellräume
• Modell für K=1: Einheitssphäre
• Modell für K=0: Euklidische Ebene
• Modell für K=-1: Hyperbolische Ebene
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Flächen konstanter Krümmung
• Hyperbolische Ebene : K=-1
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Geometrisierung von Flächen
• Satz (Riemann, 1851): Jede kompakte, orientierbare Fläche trägt Metriken konstanter Krümmung:
- die Sphäre mit K=1,
- der Torus mit K=0,
- Flächen höheren Geschlechts mit K=-1.
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Torus mit K=0
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Fläche mit drei Henkeln : K = -1
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Hyperbolischer Flächeninhalt
Auf einer Fläche mit g Henkeln hat jede hyperbolische Metrik den Flächeninhalt
-2pi (E-K+F)
also -2pi mal die Euler-Charakteristik.
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Konstruktion von 3-Mannigfaltigkeiten
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Poincaré-Vermutung
Die Whitehead-Mannigfaltigkeit ist das Komplement des Durchschnitts der ineinander geschachtelten verknoteten Tori.
W ist einfach-zusammenhängend und nicht-kompakt, aber nicht homöomorph zum euklidischen Raum.
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Allgemeine 3-Mannigfaltigkeiten
A#B:= A-D U B-D
Zusammenhängende Summe:
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Ricci-Fluß - Singularitäten
Gebiete mit höherer (positiver) Krümmung bilden während des Ricci-Flußes einen „neckpinch“, d.h. einen immer dünner und länger werdenden Hals.
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Weeks (2004):
• „Observational data suggest the observable universe either is flat or has a small curvature that is more likely positive than negative.“
• Messungen der Masse-Energie-Dichte: 1.02 x Dichte eines flachen Universums
• Meßgenauigkeit: 0.02 x Dichte eines flachen Universums