die schwingung unter einer (mechanischen) schwingung eines körpers versteht man eine unter der...

Die Schwingung

Unter einer (mechanischen) Schwingung eines Körpers versteht man eine unter der Einwirkung einer Rückstellkraft um eine Gleichgewichtslage des Körpers verlaufende Bewegung, bei der sich die Auslenkung des Körpers aus der Ruhelage zeitlich periodisch wiederholen.

Unter einer harmonischen Schwingung versteht man eine Schwingung, bei der die Rückstellkraft der Auslenkung proportional und stets zur Gleichgewichtslage gerichtet ist.Wenn man einen Massenpunkt, der eine gleichmäßige Kreisbewegung ausführt, durch paralleles Licht auf eine Ebene senkrecht zur Kreisbahn projiziert, so führt der Schatten eine harmonische Schwingung aus.

Die Schwingungsgleichung einer harmonischen Schwingung

Die Schwingung

0)()(''

)()(''

),('')(:

txm

Dtx

txDtxm

manerhälttxtagiltdaxDam

Ein Lösungsansatz wäre: x(t) = Ao sin ( t)

Bildet man die 2. Ableitung von x(t) und setzt diese in die Differenzialgleichung ein, so erhält man:

x‘‘(t) = - Ao 2 sin ( t)

Differenzialgleichung

0)()(2 tSinAm

DtSinA oo


Die Schwingung

0)()('' txm

Dtx 0)()(2 tSinA

m

DtSinA oo

m

DberechnensichlässtDaraus

m

D :02

Differenzialgleichung

Dividiert man durch Ao sin ( t), so ergibt sich

Die Lösung ist: )()()( tm

DSinAtSinAtx oo

Die Amplitude Ao ergibt sich aus den Anfangsbedingungen


Die Schwingung

0)()('' txm

Dtx

)()( tSinAtx o

)()(')( tCosAtxtv o

)()('')( 2 tSinAtxta o


Die Schwingung

0)()('' txm

Dtx

)()( tm

DSinAtx o

)()('')( tm

DSin

m

DAtxta o

)()(')( tm

DCos

m

DAtxtv o

Aufgaben

Die Schwingung

0)()('' txm

Dtx

Zeichnen Sie das Zeit-Weg-Diagramm eines Federpendels mit D= 0,5 N/m, m = 0,2 kg und Ao = 4 cm und tragen Sie maß-stäblich die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsfunktion ein.

Die Auslenkung eines Federpendels beträgt 2 s nach dem Nulldurchgang x(t) = 4 cm. Die Amplitude ist 6 cm. Bestimmen Sie die Frequenz f und die Periodendauer T.

Zu welchen Zeiten nach dem Nulldurchgang erreicht die Auslenkung eines Federpendels mit der Amplitude 5 cm und f = 0,4 Hz die Werte a) x1 = 8 mm, b) x2 = 2 cm, c) x = 4 cm?

Aufgaben – Lösung mit Excel

Die Schwingung

Zeichnen Sie das Zeit-Weg-Diagramm eines Federpendels mit D= 0,5 N/m, m = 0,2 kg und Ao = 4 cm und tragen Sie maß-stäblich die Ge-schwindigkeits- und Beschleunigungs-funktion ein.

Harmonische Schwingung

-0,05

-0,04

-0,03

-0,02

-0,01

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0 5 10 15 t

Au

sle

nk

un

g

Auslenkung

Geschwindigkeit

Aufgaben

Die Schwingung

Zeichnen Sie das Zeit-Weg-Diagramm eines Federpendels mit D= 0,5 N/m, m = 0,2 kg und Ao = 4 cm und tragen Sie maß-stäblich die Ge-schwindigkeits- und Beschleunigungs-funktion ein.

Harm. Schwingungen

-0,05

-0,04

-0,03

-0,02

-0,01

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0 5 10 15t

x(t

),v

(t),

a(t

) x(t)

v(t)

a(t)

Aufgaben

Die Schwingung

Die Lösung mit Mathematica

x(t): lila

v(t): grün

a(t): orange

1 2 3 4 5 6 7 8t

0.1

0.05

0.05

0.1

xt,vt,at Schwingung

Aufgaben

Die Schwingung

Die Lösung mit Mathematica

Schwingung[t_] := A0*Sin[Sqrt[D/m]*t]Plot[{Schwingung[t] //. {A0 -> 0.04, m -> 0.2, D -> 0.5}, Schwingung'[t] //. {A0 -> 0.04, m -> 0.2, D -> 0.5}, Schwingung''[t] //. {A0 -> 0.04, m -> 0.2, D -> 0.5}}, {t, 0, 12}, DefaultFont -> {"Verdana", 18}, PlotRange -> {{0, 8}, {-0.12, 0.12}}, GridLines -> Automatic, Background -> GrayLevel[1], PlotStyle -> {{Thickness[0.01], Hue[0.78]}, {Thickness[0.01], Hue[0.4]}, {Thickness[0.01], Hue[0.078]}},AxesLabel -> {"t", "x(t),v(t),a(t)"}, PlotLabel -> "Schwingung"];

1 2 3 4 5 6 7 8t

0.1

0.05

0.05

0.1

xt,vt,at Schwingung

Aufgaben

Die Schwingung

5.Aufgabe: An einer Schraubenfeder mit der Federkonstanten D = 6 N/m hängt ein Körper mit der Masse m = 50 g. Durch eine vertikal nach unten wirkende Kraft wird der Körper zunächst um die Strecke smax = 10 cm aus seiner Gleichgewichtslage ausgelenkt. Der Körper wird dann freigegeben und führt eine freie Schwingung aus.a) Berechnen Sie die Kraft F, die den Körper um die Strecke smax auslenkte!b) Berechnen Sie die Schwingungsdauer T der freien Schwingung!c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v, mit der der Körper durch die Gleichgewichtslage schwingt!

Aufgaben - Lösung

s

mNkg

D

mTb 573574,0

6

05,022)

a) F = D*x = 6 N/m * 0,1 m = 6 N

s

m

m

DAvc 09545,1) maxmax

Die Schwingung

Wertetabelle

t x(t) v(t) a(t)

Aufgaben –

Lösung

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2t

15

10

5

5

10

15xt,vt,at Schwingung

x(t): lila

v(t): grün

a(t): orange

Die Schwingung

Aufgaben

Die Schwingung

Welche Kurve zeigt das Feder-Schwere-Pendel mit der kleineren Federkonstanten D?

Antwort: rote Kurve

Aufgaben

Die Schwingung

Welche Kurve zeigt das Feder-Schwere-Pendel mit der größeren Pendelmasse?

Antwort: grüne Kurve

Aufgaben

Die Schwingung

Wie kann man dieses Bild erhalten?

Antwort: gleiche Masse und Federkonstante, verschiedene Amplitude

Energiebetrachtung beim Feder-Schwere-Pendel

Die Schwingung

Die mechanische Gesamtenergie einer ungedämpften Schwingung bleibt konstant (Energieerhaltung). Die Energie pendelt zwischen zwei Energieformen hin und her, zwischen kinetischer und potenzieller Energie

Wsp(1) + Wkin(1) = Wsp(2) + Wkin(2) = konstant


220

220

2 ))((cos2

1))((cos

2

1))((

2

1)( t

m

DADt

m

D

m

DAmtvmtWkin

220

2 ))(sin(2

1))((

2

1)( t

m

DADtxDtWsp

Beim Feder-Pendel gibt es zwei Energieformen:

Insgesamt hat man:

220

220 ))(cos(

2

1))(sin(

2

1

)()(

tm

DADt

m

DAD

tWtWW kinspges

Die Schwingung


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5t in s

0.2

0.4

0.6

0.8

1Amplitude Energie beim FederPendel

220

220

))(cos(2

1)(

))(sin(2

1)(

tm

DADtW

tm

DADtW

kin

sp

Die Schwingung

Das Fadenpendel

An einem Faden der Länge l (mit vernachlässigbarer Masse) hängt ein Körper mit der Masse m

Die Schwingung

Lenkt man das Pendel um den Winkel aus, dann kann man die Gewichts-kraft FG = m*g, die der Körper er-fährt, in zwei Komponenten zerlegen.

1.Die Komponente FN = m*g*cos , die in Verlängerung des Fadens wirkt und von der Spannkraft des Fadens aufgehoben wird.

2.Die Komponente FR= m*g*sin , die tangential zur Kreisbahn wirkt und den Körper in Richtung auf die Gleich-gewichtslage hin beschleunigt

Das Fadenpendel

Die Schwingung

FR= m*g*sin

ist der Winkel, den der Faden mit der Senkrechten bildet. Gibt man in Bogenmaß an, so erhält man:

s = *l

Man erhält also:

FR= m*g*sin (s/l).

Die Rückstellkraft ist also nicht proportional zur Auslenkung s aus der Gleichgewichtslage. Die Pendelschwingung ist deshalb keine harmonische Schwingung.

Das Fadenpendel

Die Schwingung

FR= m*g*sin (s/l).

Für kleine Winkel gilt näherungsweise: sin bzw.

sin (s/l) s/l. Damit erhält man:

m*a(t) = - m*g*s(t)/l

Und mit s‘‘(t) = a(t) die folgende Differenzialgleichung:

0)()('' tsl

gmtsm

Das Fadenpendel

Die Schwingung

0)()('' tsl

gmtsm

Als Lösung erhält man:

g

lT

undtl

gAts

2

)(sin)( 0

Die Schwingung

Jede freie Schwingung ist gedämpft, da sie Energie an die Umgebung abgibt.

Verringerung der Amplitude:1.Der Quotient An+1/An zweier aufeinander folgender Amplituden ist konstant.2.Die Zeit, in der die Amplitude jeweils auf die Hälfte ihres willkürlich gewählten Anfangswert sinkt, ist ebenfalls konstant. Man nennt sie die Halbwertszeit der Schwingung.

Eine gedämpfte Schwingung wird durch die Gleichung

x(t) = Ao e –kt Sin ( t)

beschrieben, wobei k die Dämpfungskonstante ist.

Die elektromagnetische Schwingung

Ein elektromagnetischer Schwingkreis besteht aus einem Kondensator und einer Spule. Durch Induktionsvorgänge finden ständig Lade- und Entladevorgänge statt und es entsteht eine gedämpfte Schwingung. Spannung und Stromstärke ändern sich periodisch und sind um eine Viertelperiode phasenverschoben


Zeitlicher Verlauf von Spannung und Stromstärke


Im elektromagnetischen Schwingkreis wandeln sich elektrische Energie und magnetische Feldenergie periodisch ineinander um


Zeitlicher Verlauf von Spannung und Stromstärke


Vergleich zwischen mechanischer und elektromagnetischer Schwingung

)1()(2

1)(

2

1 22 consttUCtIL

)3()(

)()2()()(:C

tQtUundtQtIweiterhingiltEs

konsttQC

tQL

22 )(1

2

1)(

2

1

Aufstellen der Differenzialgleichung

Vorausgesetzt wird, dass die Summe der elektrischen und magnetischen Energie zu jedem Zeitpunkt konstant ist:

Setzt man dies in (1) ein, so erhält man

Um die Konstante wegzubekommen, leitet man nach t ab und erhält:

01

QQC

QQL


Aufstellen der Differenzialgleichung

Da Q‘(t) nicht Null sein kann (dann wäre Q(t) eine Konstante – warum?), muss der Klammerausdruck Null sein. Also

Diese Differenzialgleichung wird gelöst mit der Cosinus- (bzw. Sinus-) Funktion. Hierbei ist


0)1

(01

QC

QLQQQC

QQL

)(1

)(01

tQCL

tQQC

QL

CL

1

)1

(cos)(cos)( maxmax tCL

QtQtQ


CL

1

Die Thomsonsche Schwingungsgleichung

Zeitlicher Verlauf einer elektromagnetischen SchwingungLadung: Q(t) = Qo Cos ( t) mit

Spannung am Kondensator: U(t) = Uo Cos ( t) mit Uo = Qo/C

Stromstärke: I(t) = - Io Sin ( t) mitL

CUI oo

CLT 2


Die Schwingung

)()()( tCLCosCUtCosQtQ oo

)()()( 00 tCLSinL

CUtSinItI

)()()( tCLCosUtCosUtU oo


Die Thomsonsche Schwingungs-gleichung

CLT 2

0.0002 0.0004 0.0006 0.0008t

0.3

0.2

0.1

0.1

0.2

0.3

Ut,It,QtItQtUtEl. Schwingung

C = 0,5

L = 0,02 H

U = 30 V

T = 6,28*10-4 s


Die Energieverteilung

0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.0125 0.015 0.0175 0.02t

0.2

0.4

0.6

0.8WEL u. WMagn Energie beim Elektromagnet. Schwingkreis

WMagn

WEl


Die Meißnersche Rückkopplungsschaltung

CLT 2


Die Meißnersche Rückkopplungsschaltung


Die Dreipunkteschaltung

CLT 2


Die Differenzialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung

0)(1

)(')('' tQC

tQRtQL

Darin bedeutet der Term R Q‘(t) = UR(t) die Teilspan-nung am Widerstand R. Dieser zusätzliche Term be-schreibt die Dämpfung, denn im Widerstand R wird ein Teil der Energie dem Schwingungsvorgang entzogen.


)(cos)( teQtQ t

2202

undL

R

Lösung der Differenzialgleichung

mit

2

2

0

4

1

,1

L

R

CL

manerhältsoCL

undmanersetzt

Die Kreisfrequenz hängt wie bei der unge-dämpften Schwingung nur von L, C und R ab.

Die Differenzialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung


Die gedämpfte Schwingung

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08t

0.000014

0.000012

0.00001

8. 106

6. 106

4. 106

2. 106

2. 106

4. 106

6. 106

8. 106

0.00001

0.000012

0.000014

Qt Gedä mpfte Schwingung


Aperiodischer Fall und Kriechfall

Diese beiden Fälle unterscheiden sich nur in der Zeit, in welcher der gedämpfte Oszillator in die Ruhelage zurückkehrt. Beim aperiodischen Grenzfall geht das System so schnell als möglich in seine Ruhelage zurück. Beim Kriechfall hingegen geht das System nur sehr langsam in seine Ruhelage zurück. In beiden Fällen ist das System so stark gedämpft, dass es gar nicht mehr schwingt!Bei Fahrzeugen werden zur Dämpfung von Schlägen Stossdämpfer eingebaut. Dabei ist es natürlich erwünscht, dass das Fahrzeug möglichst schnell wieder zur Ruhe kommt. Man setzt deshalb Stossdämpfer ein, welche dem aperiodischen Grenzfall möglichst nahe kommen.Bei einer Tankanzeige hingegen sind schnelle Änderungen unerwünscht Dämpfung ist so groß, dass das der Zeiger in seine Endposition kriecht.


Schwache Dämpfung

Schwingfall

Aperiodischer Grenzfall

Starke Dämpfung

Kriechfall

0220

0220


0220


Die gedämpfte Schwingung – schwache Dämpfung

)(cos)( 220 textx t

x0 = 1; = 4; = 0.5

1 2 3 4 5t

1

0.5

0.5

1

xt Gedä mpfte Schwingung


Die gedämpfte Schwingung – der Kriechfall

)(2)( 20

2 tSinhextx t

Nach einem kurzen Anstieg fällt die Amplitude mit einer durch die Dämpfung be-stimmten Zeitkonstanten ab.

0.5 1 1.5 2t

0.25

0.5

0.75

1xt Kriechfall

x0=2; =2*; =25


Die gedämpfte Schwingung – der Kriechfall

Bei der Tankanzeige sind schnelle Änderungen in der Anzeige unerwünscht. Sehr starke Dämpfung, so dass der Zeiger in seine Endstellung "kriecht".

Die Dämpfung ist so stark, dass das schwingungsfähige System sehr langsam in die Nulllage zurückgeht.


Die gedämpfte Schwingung – der aperiodische Grenzfall

tetxtx ˆ)(

Die Funktion verläuft ähnlich wie im Kriechfall, geht jedoch in der kürzestmöglichen Zeit gegen Null.

0.5 1 1.5t

0.25

0.5

0.75

1

xt Aperiodischer Grenzfall

x0=15; =2*; = 2*


Die aperiodische Dämpfung

Aperiodische Dämpfung beim Stoßdämpfer im Auto

Feder

Stoßdämpfer

Das Schwingen des Autos aufgrund der Federung ist unerwünscht. Daher werden Stoßdämpfer eingebaut, die nahezu zum aperiodischen Grenzfall führen.

Das System geht ohne zu schwingen in möglichst kurzer Zeit auf die Nulllage zurück.



0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08t

0.000014

0.000012

0.00001

8. 1066. 1064. 1062. 106

2. 1064. 1066. 1068. 1060.00001

0.000012

0.000014

Qt

Plot[{Ladung[t]//.{Kapazitaet1*10 (-6),L2,R100,U14},-Kapazitaet*U E (-R/(2 L)*t)//.{Kapazitaet1*10 (-6),L2,R100,U14},Kapazitaet*U E (-R/(2 L)*t)//.{Kapazitaet1*10 (-6),L2,R100,U14}},{t,0,0.1},PlotRange->{{0,0.08},{-0.000016,0.000016}},GridLines->{{0.01,0.02,0.03,0.04,0.05,0.06,0.07,0.08,0.09,0.1},{-0.000014,-0.000012,-0.00001,-0.000008,-0.000006,-0.000004,-0.000002,0.000002,0.000004,0.000006,0.000008,0.00001,0.000012,0.000014}},Ticks->{{0.01,0.02,0.03,0.04,0.05,0.06,0.07,0.08,0.09,0.1},{-0.000014,-0.000012,-0.00001,-0.000008,-0.000006,-0.000004,-0.000002,0.000002,0.000004,0.000006,0.000008,0.00001,0.000012,0.000014}},DefaultFont->{"Verdana",16},BackgroundGrayLevel[0.01],PlotStyle->{{Thickness[0.008],Hue[0.95]},{Thickness[0.008],Hue[0.122]},{Thickness[0.008],Hue[0.122]}}, AxesStyle{Thickness[0.005]},AxesLabel->{"t","Q(t)"}];

Ladungt_: Kapazitaet U E^R2 LtCosSqrt1L Kapazitaet R^24 L^2t


Resonanzkastrophe

Bauten sollten Eigenfrequenzen besitzen, die normalerweise nicht angeregt werden. In Erdbebengebieten richtet man sich dabei nach lokal typischen Schwingungsfrequenzen derErderschütterungen. Beim höchsten Bauwerk 2005, dem Taipei 101, wurde ein massives Pendel über mehrere Stockwerke zum Schutz als Schwingungsdämpfer verbaut.Im Jahr 1850 marschierten 730 französische Soldaten im Gleichschritt über die Hängebrücke von Angers. Die Brücke geriet in heftige Schwingungen und stürzte ein. 226 Soldaten fanden dabei den Tod.


Der Wolkenkratzer Taipei

Der Taipei 101 war der höchste Wolken-kratzer der Welt (ohne Antennen oder Masten einzubeziehen), bis er Anfang 2007 vom Rohbau des Burj Khalifa abgelöst wurde, der Anfang 2009 seine endgültige Höhe von 828 Metern erreichte. Mit 509 Metern ragt Taipei 101 (benannt nach seinen 101 Stockwerken) weit über die Skyline der Hauptstadt von Taiwan, Taipeh. Neben den 101 oberirdischen Stockwerken gibt es weitere fünf unter-irdische. Auch mit dem höchsten begeh-baren Geschoss löste das Gebäude den 1974 vollendeten Willis Tower (früher Sears Tower genannt) in Chicago ab, den-noch ist der Willis Tower aufgrund seiner Antenne mit insgesamt 527 Metern noch 19 Meter höher.



Das Gebäude muss größten Belastungen standhalten können. Bei Taiwan treffen die eurasische und die philippinische Kontinentalplatte aufeinander, so dass Taiwan eine der aktivsten Erdbebenregionen der Welt mit über 4.000 Erdbeben pro Jahr ist. Außerdem rasen bis zu neun Taifune jährlich über den Inselstaat hinweg. Damit das Gebäude diesen Belastungen widersteht, wurde die Tragstruktur der eines Bambusrohres nachempfunden.Zwischen dem 88. und 92. Stockwerk befindet sich eine 660 Tonnen schwere, vergoldete, aus einzelnen Scheiben gefertigte Stahlkugel mit einem Durchmesser von 5,5 m, die mit ölhydraulischen Dämpfungselementen versehen ist und so Schwankungen des Gebäudes entgegenwirkt. Die maximal auftretenden Beschleunigungen bei Stürmen werden durch den Dämpfer etwa halbiert. Aufgehängt an armdicken Stahlseilen ist sie das momentan größte und das einzige der Öffentlichkeit zugängliche Tilgerpendel (Schwingungstilger) der Welt. Zwei weitere Dämpfer mit je 4,5 Tonnen Masse befinden sich in der Antennenkonstruktion. Sie sollen Schwingungen reduzieren, die zu einer Ermüdung der Stahlkonstruktion führen.


Die Brücke von Angers

Die Brücke Pont de la Basse-Chaîne am südwestlichen Ende der Altstadt unmittelbar unterhalb des Schlosses von Angers verband die Boulevards, die anstelle der Stadtbefestigungen angelegt worden waren.



Am 16. April 1850 waren bereits zwei Bataillone ohne Probleme über die Brücke marschiert. Eine dritte Kolonne mit etwa 730 Soldaten soll ohne Tritt die Brücke überquert haben. Zu dieser Zeit herrschte starker Wind, der die Brücke in leichte Schwingungen versetzte. Obendrein kam ein heftiger Regenschauer hinzu, der offenbar die hinteren Reihen schneller nachdrängen ließ. Die Schwingungen wurden dadurch verstärkt, dass die Soldaten sich ihnen ungewollt entgegenstemmten. Plötzlich rissen die Tragseile auf der rechten Uferseite, die beiden Pylone stürzten von ihren Sockeln und die Fahrbahn fiel auf der rechten Seite schräg in den Fluss, während sie auf der anderen Seite noch von den Tragseilen und den unversehrten Pylonen gehalten wurde. Bei diesem Unglück starben insgesamt 226 Menschen; es ist damit eines der schwersten Brückenunglücke der Geschichte.


Vergleich: Mechanische und elektromagnetische Schwingung


Überlagerung von Schwingungen

1 2 3 4 5 6 7 8x

2

1

1

2

fx Phasenunterschied:Gleiche Amplitude und Frequenz



1 2 3 4 5 6 7 8x

4

3

2

1

1

2

3

4

fx Phasenunterschied:0 Gleiche Amplitude und Frequenz



1 2 3 4 5 6 7 8x

2

1

1

2

fx Phasenunterschied:beliebigUnterschiedliche Amplitude und Frequenz


Überlagerung von Schwingungen - die Schwebung

1 2 3 4 5 6 7 8x

4

3

2

1

1

2

3

4

fx Phasenunterschied:0 Gleiche Amplitude, geringer Frequenzunterschied

Gekoppelte Schwingungssysteme

Zwei schwingungsfähige Systeme, die einander beeinflussen und dabei Energie austauschen, bezeichnet man als gekop-pelte Schwingungssysteme.

Simulation

Schwingungen und Wellen

Die Welle

Eine Welle entsteht, wenn eine Reihe gekoppelter schwingungsfähi-ger Systeme nacheinander gleichartige Schwingungen ausführt.

Welle

Jedes schwingungsfähige System führt eine zeitlich periodische Bewegung aus

Der Wellenträger weist zu einem bestimmten Zeitpunkt (Momentaufnahme) eine räumlich periodische Vertei-lung der schwingungsfähigen Systeme aus.


Die Transversalwelle


Eine Welle, bei der die einzelnen Teilchen senkrecht zur Ausbrei-tungsrichtung der Wel-le schwingen, bezeich-net man als Quer- oder Transversalwelle.


Die Longitudinalwelle

Eine Welle, bei der die einzelnen Teil-chen in Richtung zur Ausbreitungsrichtung der Welle schwingen, bezeichnet man als Längs- oder Longi-tudinalwelle.

Wichtige Begriffe


Wellental

Als Wellenlänge, Sym-bol λ, wird der kleinste Abstand zweier Punkte gleicher Phase einer Welle bezeichnet. Dabei haben zwei Punkte die gleiche Phase, wenn sie sich in gleicher Weise begegnen, d. h. wenn sie im zeitlichen Ablauf die gleiche Auslenkung (Amplitude) und die gleiche Bewegungs-richtung haben.

Wellenberg

Die lineare Welle


Eine fortschreitende lineare Welle entsteht, wenn einer Kette von Oszillatoren periodisch Ener-gie zugeführt wird und die miteinander gekoppelten Oszillatoren nacheinander gleichartige erzwungene Schwingungen ausführen. Die Schwingungszustän-de des die Schwingung auslösenden Oszillators bewegen sich über die Kette hinweg. Wenn die Oszillatoren harmonische Schwingungen ausführen, so entsteht eine harmonische lineare Welle.

Eine Welle ist ein zeitlich und räumlich periodischer Vorgang. Die zeitliche Periode ist die Schwingungsdauer T, die räumliche Periode die Wellenlänge .

Die elektromagnetische Welle

Eine harmonische Welle ist ein räumlich und zeitlich periodischer Vorgang:

Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit gilt: c = f

Die Gleichung der linearen harmonischen Welle lautet

))(2sin(),( max x

T

tstxs

Sie stellt die Oszillatorauslenkung in Abhängigkeit von Zeit und Ort dar.



Für den Zeitpunkt t1 = T/2 erhalten wir:

))(2sin(),(2

1

2max

xTsxs

d.h. die räumliche Verteilung aller Teilchenauslenkungen



Für den festen Ort x3 = /4 erhalten wir:

))(2sin(),(2

1

4max

Tsts

t

d.h. den zeitlichen Verlauf der Schwingung von P3


Wasserwellen


Das Huygensche Prinzip

Jeder Punkt einer Wellenfläche kann als Ausgangspunkt einer neuen Wellen (einer sog. Elementarwelle) betrachtet werden.


Überlagerung von Wellen


Prinzip der ungestörten Überlagerung von Wellen

Treffen an einer Stelle eines Wellenträgers mehrere Wellen aufeinander, so addieren sich dort die Auslenkungen (=Elongationen) der Schwingungen. Nach dem Zusammentreffen laufen die Wellen ungestört weiter.

Die ungestörte Überlagerung mehrerer Wellen von gleicher Frequenz (und damit gleicher Wellenlänge) am selben Ort bezeichnet man als Interferenz.


Simulation



Simulation

Für Punkte maximaler Erregung ist der Gangun-terschied der interferie-renden Wellen d = k . Die Phasendifferenz der Schwin-gungen beträgt k2

Für Punkte minimaler Erregung ist der Gangunterschied der interferierenden Wellen d = ((2k-1)/2) . Die Phasendifferenz beträgt (2k-1), k = 1,2..



Interferenz


1.Aufgabe: a) Konstruieren Sie für = 2 cm und l = 6 cm bzw. l = 4 cm die Linien maximaler und minimaler Erregung bei zwei punktför-migen Erregern. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Anzahl der Linien und dem Erregerabstand?b) Führen Sie die gleiche Konstruktion für l = 2 cm und l = 1 cm durch.c) Welchen Winkel bilden in a) die Linien maximaler Erregung, deren Punkte den Gangunterschied d = 2 haben., mit der Mittelsenkrechten zur Strecke E1E2, wenn man diese Linie in einiger Entfernung von den Erregern als Gerade ansieht?d) Wie viele Linien maximaler Erregung können in a) und b) höchstens gesehen werden? Bestimmen Sie die Anzahl durch Auszählen.e) Bei welchen Energieabständen entstehen nirgends Minima, wirken also die zwei Erreger nahezu wie einer?


Lösung der Aufgabe



Vom Sendedipol gehen Wellen elektrischer und magneti-scher Felder aus. Die beiden Felder stehen senkrecht zu-einander. Das Ganze nennt man eine elektromagnetische Welle.

kh

v

k

v

Wandernde elektrische und mag-netische Felder erzeugen sich wechselseitig. Die Feldvektoren E und B sind in Phase. Sie stehen senkrecht aufeinander und stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung



Der schwingende Dipol sendet eine elektromagnetische, linear polarisierte Querwelle aus. Deren E- und B - Felder schwingen in zueinander senkrechten Ebenen. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit beträgt:

kh

v

k

v

roo r

1 c


Der Hertzsche Dipol


Der Hertzsche Dipol

Ein gerader Leiter kann als elektrischer Oszillator schwingen. An seinen En-den befinden sich Bäuche der Ladungsdichte und Knoten der Stromstärke. Für die 1. Eigenschwin-gung gilt:

l = /2Für die k-te Eigen-schwingung gilt: l = k* /2


Schwingungszustände des Hertzschen Dipols

1. Eigenschwingung


2. Eigenschwingung

Der Hertzsche Dipol

Stehende elektrische Welle am Dipol: Zwischen Spannung und Strom sowie entsprechend zwischen elektrischen und magnetischen Feldvektor herrscht die Phasenverschiebung /2

Die fortschreitende elektromagnetische Welle, die sich vom Dipol ablöst: Keine Phasenverschiebung zwischen elektrischem und magnetischem Feldvektor.


Die Maxwellschen Grundgleichungen

1. Maxwellsches GesetzRuhende elektrische Ladungen erzeugen elektrische Felder, deren Feldlinien bei den Ladungen beginnen oder enden.


2. Maxwellsches GesetzStröme, d.h. bewegte Ladungen, erzeugen Magnetfelder, deren geschlossene Feldlinien die Ströme umkreisen.


3. Maxwellsches GesetzJedes zeitlich veränderliche elektrische Feld bedingt ein magnetisches Wirbelfeld, dessen Feldlinien die elektrischen Feldlinien umschlingen.



4. Maxwellsches GesetzJedes zeitlich veränderliche Magnetfeld bedingt ein elektrisches Wirbelfeld, dessen Feldlinien die magnetischen Feldlinien umschlingen.


Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer elektromagnetischen Welle


Man betrachtet dazu die Energien, die im elektrischen und im magnetischen Feld gespeichert sind. Dieses sind:

lABn

lB

l

AnI

l

AnILW

und

dAEdEd

AU

d

AUCW

rorororomag

rororoel

2222

222222

22222

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1



Für die jeweiligen Energiedichten erhält man dann

22

2

1

2

1B

V

WundE

V

W

ro

magmagro

elel



Setzt man die Energiedichten gleich, so erhält man

cvmanerhältso

FFaussichergibtBvEnochjetztmanersetztBE

BE

ror

magelror

roro

magel

0

)2

0

2

22

1:

:(:1

2

1

2

1

Elektromagnetische Wellen breiten sich im Vakuum mit der Lichtgeschwindigkeit c aus.

Elektromagnetische Wellen breiten sich in Materie langsamer aus als im Vakuum.

Die elektromagnetische Welle - Simulation


Simulation

Der Hertzsche Dipol - Simulation

Simulation einer elektromagn. Welle

kh

v

k

v


Der Hertzsche Dipol - Das Fernfeld


Der Hertzsche Dipol


Beugung von Wellen

Wellen breiten sich hinter Hindernissen (auch Öffnungen) auch im geometrischen Schattenraum des Hindernisses aus. Dieses Verhalten bezeichnet man als Beugung. Der Schattenraum des Hindernisses ergibt sich aus der Normalen der einfallenden Welle.

Die Stärke der Beugung hängt vom Verhältnis der Größe der beugenden Struktur ab:

-Wenn die Größe der beugenden Struktur wesentlich größer ist als die Wellenlänge, ist die Beugung zu vernachlässigen.

-Die Beugung ist am stärksten, wenn die Ausmaße der beugenden Struktur von gleicher Größenordnung wie die Wellenlänge ist.

Beugung ist fast immer mit Interferenz verbunden.

Beugung am Doppelspalt


d sei der Gangunter-schied der beiden Wellen, die E1 bzw. E2 verlassen

Es gibt jetzt zwei Sonderfälle:1. Der Gangunterschied beträgt ein Vielfaches einer Wellenlänge, d.h. d = k mit k = 1,2,3….Dann verstärken sich die Wellen maximal, man spricht von konstruktiver Interferenz.

2. Der Gangunterschied beträgt 1/2, 3/2 , 5/2,…. Dann löschen sich die Wellen komplett aus, Man spricht von destruktiver Interferenz.

Man erhält also:


Man erhält also:

Bezieht man jetzt noch den Winkel mit ein, so ergibt sich:

,...3,2,12

12:

....,3,2,1:

kmitk

dMinimum

kmitkdMaximum


g

dsin

,...3,2,12

12sin:

....,3,2,1sin:

kmitg

kMinimum

kmitg

kMaximum

Und damit

wenn g der Abstand der beiden Spaltmitten ist

Beugung am Gitter

Für den Intensitätsverlauf am Gitter erhält man die folgende Funktion (ohne Berücksichtigung der Beugung durch die Einzelspalte). In der Funktion kann der Winkelbereich und die Anzahl der Spalte angegeben werden. Die Funktion lautet:

2

))sin((sin

))(sin(sin],[

g

gN

NetIntensita

Beugung am Gitter

7.5 5 2.5 2.5 5 7.5

5

10

15

20

25

7.5 5 2.5 2.5 5 7.5

5

10

15

20

25

7.5 5 2.5 2.5 5 7.5

5

10

15

20

25

7.5 5 2.5 2.5 5 7.5

5

10

15

20

25

2 Spalte 3 Spalte

4 Spalte 5 Spalte

Beugung am Gitter

7.5 5 2.5 2.5 5 7.5

5

10

15

20

25

Beugung am Gitter

2 Spalte3 Spalte

7 Spalte 15 Spalte

Beugung am Gitter

Das Bohrsche Atommodell – das Wasserstoffspektrum

Copyright by H. Sporenberg

Es gilt:g

k sin

Aus der Figur erkennt man:

22sin

xa

x

Setzt man beide Gleichungen gleich und löst nach auf, so erhält man:

22 xak

xg

Beugung am Gitter

Wasserstoffähnliche Atome - Helium

Copyright by H. Sporenberg

)11

(22

2

mnRZf f

Wellenlänge in nm

Farbe Intensität

728,1 dunkelrotsehr

schwach

706,3 rot schwach

667,6 rot stark

587,4 gelb stark

501,5 grün stark

492,1 blaugrün mittel

471,2 blaugrün mittel

447,1 blau mittel

438,7 violett stark

414,3 violettsehr

schwach

Beugung am Gitter

Verschiedene Spektren

Helium

Beugung am Einzelspalt

Liegt P auf der Hauptachse, so ergibt sich das Hauptmaximum. Alle N Wellen haben bis P den Gangunterschied d = 0. Sie verstärken sich gegenseitig.


Zur Erklärung nehmen wir N = 12 an. Als erstes erreicht der Gangunter-schied zwischen Welle 1 und Welle 12 den zur Auslöschung nötigen Wert /2. Dann ist er aber für alle anderen Wellen kleiner, so dass sich keine vollständige Auslöschung ergibt.

Links und rechts vom Hauptmaxi-mum folgen symmetrisch zur Mitte die Minima 1. Ordnung. Hier lö-schen sich die N Wellen gegensei-tig aus.


Ein Minimum tritt auf, wenn sich alle 12 Wellen paarweise auslöschen. Der kleinste Winkel hierfür liegt vor, wenn der Gangunterschied zwischen den Wellen 1 und 7 /2 beträgt. Es gilt:

sin 1 = d /(b/2) = /b


Für noch größere Winkel löschen sich z.B. die Wellen 1 und 5, 2 und 6, …, 4 und 8 aus. Dabei bleiben die Wellen 9 und 12 übrig. Weitere Minima entstehen erst wieder bei geeigneter paarweiser Aufteilung aller 12 Wellen.

Dies tritt wieder ein, wenn sich die Wellen 1 und 4 auslöschen. Dann kann man den Spalt mit zwei Gruppen sich auslöschender Paare überdecken.


Weitere Minima entstehen erst wieder bei geeigneter paarweiser Aufteilung aller 12 Wellen.

Dies tritt wieder ein, wenn sich die Wellen 1 und 4 auslöschen. Dann kann man den Spalt mit zwei Gruppen sich auslöschender Paare überdecken.

Die erste Gruppe umfasst die Paare (1,4), (2,5), (3,6), die zweite die Paare (7,10) bis (9,12). Jede der Gruppen überdeckt im Spalt einen Streifen der Breite b/2. Es gilt:

sin 2 = ( /2) /(b/4) =2*( /b)


Für die Lage der Maxima höherer Ordnung gilt:

...,3,2,12

)12(sin

kfür

b

kk

Bei der Beugung am Spalt treten Intensitätsminima auf. Für die Richtung des k-ten Minimums gilt:

...,3,2,1sin

kfürb

kk


Bei Öffnungen, deren Breite groß gegen-über der Wellenlänge ist, kann man die Beugung vernachlässigen. In diesem Fall ist die geometrische Optik als Grenzfall der Wellenoptik eine gute Näherung.

Für die Lage der Maxima höherer Ordnung gilt:

...,3,2,12

)12(sin

kfür

b

kk

Interferenz durch ReflexionDie CD als Reflexionsgitter

Der Aufbau einer CD


Beethoven verantwortlich für CD-Größe Der deutsche Komponist Ludwig van Beethoven (1770 bis 1827) ist entscheidend für die Größe der heutigen CDs und DVDs verantwortlich.Wie kam es dazu, dass der große Komponist über 150 Jahre nach seinem Tod die Größe eines Tonträgers bestimmen würde, von dem er zu Lebzeiten nicht einmal träumen konnte? Die Neunte Sinfonie von Beethoven war das Lieblingsstück von Norio Ohga, dem ehemaligen Vizepräsidenten des CD-Pioniers Sony.Das Stück sollte nach seiner Anweisung unbedingt Platz auf den Silberscheiben finden, um den Musikgenuss nicht durch lästiges Scheibenwechseln zu unterbrechen. (Auf die damals üblichen Vinyl Schallplatten passten bestenfalls nur etwas mehr als 30 Minuten). In der Version des Dirigenten Wilhelm Furtwängler aus dem Jahr 1951 dauerte die Sinfonie genau 74 Minuten. Aus technischer Sicht bedeuten 74 Minuten Musik einen CD-Durchmesser von 12 Zentimetern des damals neuen silbernen Datenträgers. Damit hatte Beethoven den Standard für CDs festgelegt. Die später hinzugekommenen DVDs haben den gleichen Durchmesser, allerdings nicht aus Datenkapazitätsgründen, sondern aus Gründen der Laufwerkskompatibilität.


Die Länge der Spirale

Vereinfachend wird angenommen, dass es sich um konzentrische Kreise handelt. Der Fehler, den man dadurch macht, dürfte eher klein sein. Man berechnet dann alle Umfänge der Kreise und addiert diese. Mit Hilfe von Mathematica ist dies lediglich ein Befehl.

Man erhält: Länge = 6017,28 m

Sum[2 Pi r, {r, 0.025, 0.058, 1.43*10^(-6)}]

Für die Geschwindigkeit erhält man: v = 6017,28 m/(70*60 s) = 1,4326 m/s



Wenn man Mathematica nicht zur Verfügung hat, muss man per Hand ausrechnen.

Man addiert die Umfänge der konzentrischen Kreise

Länge = 2 r + 2 (r + 1*x) + 2 (r + 2*x) + …. 2 (r + n *x)

= 2 ( r + r + 1*x + r + 2*x + …. r + n *x)

=2 ( n*r + 1*x + 2*x + …. n *x)

=2 ( n*r + x (1+ 2 + …. n))

Für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen erhält man (n+n2)/2. Diese Beziehung kann man mit Hilfe der vollständigen Induktion beweisen.



Am Ende erhält man:

Länge =2 ( n*r + x *(n+n2)/2)

Setzt man ein für:

r = 0.025 m - n = 23076 x = 1,43*10-6 m

So erhält man für die Länge:

Länge = 6017,46 m

Dies weicht kaum vom Ergebnis mit Mathematica ab.


Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der die Datenspur am Lesekopf vorbeiläuft.

Bei t = 70 min ergibt sich eine Geschwindigkeit von:

s

mv 18,1

6070

48,4989

Interferenz durch ReflexionDie Schallplatte als Reflexionsgitter

Ähnlich wie bei der CD kann man auch die Schallplatte als Reflexionsgitter ansehen. Der Aufbau ist wie bei der CD.

Mit einem Laser der Wellenlänge 532 nm erhält man folgende Messwerte:

Abstand LP zum Schirm: a = 1,64 m

Abstand der 2. Maxima: 2,8 cm

Die Auswertung ergibt für den Abstand der Spurrillen:

g = 0,124645 mm

Interferenz durch ReflexionDie Schallplatte als Reflexionsgitter

Der innere Kreis misst r1 = 0,064 cm, der äußere r2 = 0,146 cm.

Damit ergeben sich: (0,146m – 0,064 m)/1,2464510-4 m = 657 konzentrische Kreise als Näherung

Summiert man jetzt ähnlich wie bei der CD über die Umfänge der konzentrischen Kreise, so erhält man als Näherung für die Länge der Spirale:

433,882 m

Lichtbrechung

Brechungsgesetz:Das Verhältnis vom Sinus des Einfallswinkels zum Sinus des Brechungswinkels ist nur abhängig von den beiden Medien, zwischen denen der Übergang stattfindet, und unabhängig vom Einfalls- und Brechungswinkel.

121

2

sin

sinn

n

n

Die Größen n1 und n2 heißen (absoluter) Brechungsindex, n12 heißt relativer Brechungsindex

Lichtbrechung

2

1

sin

sin

c

crieWellentheo

Brechung erklärt das Wellenmodell mit dem Huygens´schen Prinzip und den unterschiedlichen Ge-schwindigkeiten der Wellen in verschiedenen Stoffen. Für den Zusammenhang zwischen Einfalls-winkel, Brechungswinkel und den entsprechenden Geschwindigkeiten c1 und c2 gilt:

2

1

1

2

sin

sin

c

c

n

nesetzBrechungsg

2

1

sin

sin

c

crieWellentheo

2

1

1

2

sin

sin

c

c

n

nesetzBrechungsg

1

2

2

1:lgn

n

c

cdaraustfoes

Der Brechungsindex n gibt an, um wie viel langsamer sich Licht in einem Stoff (cn) als im Vakuum (c) ausbreitet:

cn

cn1

Lichtbrechung

Für die Ausbreitungsgeschwin-digkeit elektromagnetischer Wellen liefert die Maxwell´sche Theorie

s

mc

oo

8109979,21

Im Vakuum ist r = r = 1, also:

oror

c

1

Lichtbrechung

Interferenz an Seifenblasen

Lichtbrechung

Das Licht wird einerseits an der Vorderseite der Seifenhaut mit einem Phasensprung von p und andererseits an der Rückseite ohne Phasensprung reflektiert. Die beiden reflektierten Lichtwellen überlagern sich (interferieren). Je nach Dicke der Seifenhaut kommt es zu konstruktiver (verstärkender) oder destruktiver (auslöschender) Interferenz.

Interferenz an Seifenblasen

Lichtbrechung

Bei konstruktiver Interferenz ist der Wegunterschied zwischen den beiden reflektierten Wellenzüge das Vielfache der Wellenlänge, wobei der Phasensprung als halbe Wellenlänge mit berücksichtigt ist.

Bei destruktiver Interferenz ist der Wegunterschied zwischen den beiden reflektierten Wellenzüge eine halbe Wellenlänge mehr als das Vielfache der Wellenlänge, wobei der Phasensprung als halbe Wellenlänge mit berücksichtigt ist.

Polarisation

Polarisation

Mit Polfilter Ohne Polfilter

Vergütung von Linsen

AufgabenKlett Seite 15 Beispiel

0.5 1 1.5 2 2.5x

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

fx

AufgabenKlett Seite 15 Beispiel

0 0

0.1 0.0995323

0.2 0.175149

0.3 0.208681

0.4 0.192072

0.5 0.129312

0.6 0.0354808

0.7 0.0668755

0.8 0.153163

0.9 0.202649

1. 0.203442

1.1 0.155353

1.2 0.0699359

1.3 0.0322854

1.4 0.126749

1.5 0.190758

0 1.03720.1 0.9125930.2 0.5687080.3 0.08817450.4 0.4135450.5 0.8158990.6 1.022210.7 0.9829050.8 0.707430.9 0.2619751. 0.2464281.1 0.6956191.2 0.9776681.3 1.02481.4 0.8257021.5 0.428201

0 00.1 2.441030.2 4.295530.3 5.117910.4 4.710560.5 3.171370.6 0.8701670.7 1.640120.8 3.756320.9 4.969961. 4.989421.1 3.810041.2 1.715181.3 0.7917991.4 3.108531.5 4.67834

Auslenkung Geschwindigkeit Beschleunigung

AufgabenDas Hemmpendel

Das Hemmungspendel führt wohl eine Schwingung aus, diese ist jedoch nicht harmo-nisch. Zum einen ist die maxi-male Auslenkung auf der linken Seite nicht gleich der maximalen Auslenkung auf der rechten Sei-te. Zum anderen sind auch die Zeitdauern der beiden Halb-schwingungen nicht gleich lang.

Führt das Hemmpendel eine harmonische Schwingung aus?

Aufgaben

Das Hemmpendel

Ein Fadenpendel hat die Schwingungsdauer 2,0 s. Der Pen-delkörper dieses Fadenpendels hat die Masse m = 1,0 kg. Der Faden hält eine maximale Spannkraft von Fm = 15 N aus.

a) Berechnen Sie die Pendellänge dieses Fadenpendels.b) Wie groß ist die maximale zulässige Geschwindigkeit beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage, ohne dass der Faden reißt?

Aufgaben

Das Hemmpendel

c) Nun wird h = 50 cm unterhalb des Aufhängepunktes ein Stift eingeführt, an dem der Pendelfaden anschlägt und abknickt (Hemmungspendel). Berechnen Sie die Schwingungsdauer dieses Hemmungspendels.d) Berechnen Sie den Winkel .

Aufgaben

Wellen

1.Aufgabe: Während 12 Schwingungen innerhalb von 3 Sekunden ablaufen, breitet sich eine Störung um 3,6 m aus. Berechnen Sie Wellenlänge, Frequenz und Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.

2.Aufgabe: Gleiche Pendel sind in einer Reihe im Abstand von 0,4 m aufgestellt. Sie werden nacheinander im zeitlichen Abstand von 0,5 s angestoßen, so dass das 1. und 5., das 2. und 6. usw. Pendel phasengleich schwingen. Mit welcher Geschwindigkeit, Wellenlänge und Frequenz läuft die Welle über die Pendelkette?

Aufgaben

Wellen

3.Aufgabe: Eine harmonische Schwingung mit y(t) = ymax sin t breite sich vom Nullpunkt als transversale Störung längs der x-Achse mit der Geschwindigkeit v = 7,5 mm/s aus. Es sei weiter ymax = 1 cm und = /2 Hz.

a)Berechnen Sie die Periodendauer T, die Frequenz f und die Wellenlänge .b)Wie heißt die Wellengleichung?c)Zeichnen Sie maßstäblich das Momentanbild der Störung nach t1 = 4 s, t2 = 6 s und t3 = 9s.d)Wie heißen die Schwingungsgleichungen für die Oszillatoren, die an den Orten x1 = 5,25 cm bzw. x2 = 7,5 cm von der Störung erfasst werden

Aufgaben

Wellen

3.Aufgabe - Lösung

Mit Hilfe der Gleichung = 2 f erhält man für f: f = ¼ Hz und T = 4 s. Aus der Gleichung c = f ergibt sich für : = 0,03 m = 3 cm.

Damit ergibt sich für die Wellengleichung:

))03,04

(2sin(01,0),(xt

txs

Aufgaben

Wellen

3.Aufgabe c) - Lösung

0.015 0.03 0.045 0.06 0.075 0.09x

0.01

0.005

0.005

0.01

sx,4 Welle nach 4 s

Aufgaben

Wellen


0.015 0.03 0.045 0.06 0.075 0.09x

0.01

0.005

0.005

0.01

sx,6 Welle nach 6 s

Aufgaben

Wellen


0.015 0.03 0.045 0.06 0.075 0.09x

0.01

0.005

0.005

0.01sx,6 Welle nach 9 s

Aufgaben

))03,0

0525,0

4(2sin(01,0),0525,0( t

ts

Wellen


Die Gleichungen lauten

))03,0

075,0

4(2sin(01,0),075,0( t

ts

Aufgaben

Wellen

4.Aufgabe: Eine Querwelle schreite mit der Geschwindigkeit v = 2,5 m/s längs der +x-Achse fort. Der Erreger (x = 0) starte zur Zeit t = 0 s seine Sinusschwingung mit f = 50 Hz und der Amplitude 2,0 cm.a)Zeichnen Sie die Welle zu den Zeiten t1 = 0,050 s und t2 = 0,055 sb)Zeichnen Sie das Diagramm der Teilchenschwingung am Ort x = 3,75 cm.c)Welcher grundlegender Unterschied besteht zwischen den Kurven bei a) und b)?

Aufgaben

Wellen

Lösung 4.Aufgabe

Die Bilder in a) stellen Momentauf-nahmen der Wellen dar. (x-y-System). Das Bild in b) stellt den zeitlichen Verlauf der Schwingung eines Oszillators dar (t-y-System)

a)

b)

Aufgaben

Wellen

5.Aufgabe

Eine sinusförmige Welle bewegt sich in die positive x-Richtung. Schreiben Sie mit den Informationen der beiden Graphen die Wellengleichung auf.

))04,002,0

(2sin(01,0),(m

x

s

tmtxs

Wellen

Lösung 5.Aufgabe

Die Wellengleichung lautet

Aus einem der beiden Graphen entnimmt man: smax = 0,01 mAus dem rechten Graphen entnimmt man: = 0,04 mAus dem linken Graphen entnimmt man: T = 0,02 s.

Die Wellengleichung für diese Aufgabe lautet dann

))(2sin(),( max x

T

tstxs

Aufgaben

Wellen

Dorn Seite 178 A. 2

Ein Dipol der Länge l = 1 m wird zu elektromagnetischen Schwingungen der Frequenz f = 150 MHz angeregt. Aus der Helligkeit eines Lämpchens in seiner Mitte schließt man auf eine Stromstärke von Ieff = 100 mA.a) Wie groß ist die Stromstärke im Dipol an den Stellen, die 25 cm bzw. 12,5 cm von seinem Ende entfernt sind?b) Die Anregungsfrequenz wird auf 300 MHz erhöht. Wie groß ist die Stromstärke in der Mitte des Dipols?

Aufgaben

Wellen

Aufgabenzettel Welle1 Aufgabe 3

3.Aufgabe: Im Nullpunkt eines Koordinatensystems findet vom Zeitpunkt to = 0 s an eine Schwingung statt, die dem Gesetz s(t) = 0,08 m sin ( t s-1 ) genügt.Diese Schwingung erzeugt eine Transversalwelle, die sich ungedämpft in Richtung der positiven x-Achse mit der Geschwindigkeit c = 0,2 m/s ausbreitet.a) Wie groß sind die Schwingungsdauer T und die Frequenz f der Schwingung, wie groß ist die Wellenlänge der Welle?b) Wie lautet die Gleichung dieser Welle?c) Zeichnen Sie die Welle zu den Zeiten t1 = 2 s, t2 = 3 s, t3 = 4,5 s, t4 = 7,5 s.d) Wie lauten die Gleichungen für die Schwingungen, die in den Punkten mit den Koordinaten x1 = 30 cm, x2 = 80 cm und x3 = 100 cm stattfinden?

Anleitung: Verwenden Sie die trigonometrische Beziehung: sin ( - ) = sin cos - cos sin

Aufgaben

Wellen

Aufgabenzettel Welle1 Aufgabe 3 Lösung

a) T = 2 s; = 0.40 mb)

Aufgaben

))4,02

(2sin(8,0),(m

x

s

tmtxs

)2

3sin(8,0),3.0(

tmts

)sin(),( 58,00.1 tmts

d) x1 = 30 cm d) x2 = 80 cm

d) x3 = 100 cm

)sin(),( 48,08.0 tmts

Wellen


Aufgaben

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6x

0.1

0.05

0.05

0.1s2,x

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6x

0.1

0.05

0.05

0.1s3,x

Wellen


Aufgaben

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6x

0.1

0.05

0.05

0.1s4.5 ,x

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6x

0.1

0.05

0.05

0.1s7.5 ,x

Licht als Welle

Aufgabenzettel Spalt_Gitter1 Aufgabe 1

Aufgaben

1.Aufgabe: Grünes Licht ( = 546 nm) trifft auf einen Doppel-spalt. Auf einem 2,00 m entfernten Schirm entfallen 8 dunkle Streifen auf 2,0 cm.Zeigen Sie, dass der Abstand zwischen benachbarten dunklen Streifen konstant ist.Wie groß ist der Abstand der Spaltmitten?Wie ändert sich der Streifenabstand, wenn man den Abstand der Spaltmitten verkleinert?

Licht als Welle

Aufgabenzettel Spalt_Gitter1 Aufgabe 1 - Lösung

Aufgaben

Die Näherung für kleine Winkel ist anwendbar.a)Dunkle Streifen bedeuten Minima, helle Maxima.Für die Maxima erhält man:

b)Mit k = 8 und ak = 2,0 cm erhält man:

c) Der Streifenabstand wächst umgekehrt proportional zum Spaltenabstand

kl

aka

a

a

l

kk

k

mma

akl

k

437,0

Licht als Welle


Aufgaben

2.Aufgabe: Ebene Schallwelle von f = 15 kHz treffen auf einen Doppelspalt mit der Spaltbreite b = 2,0 cm und dem Abstand der Spaltmitten g = 8,0 cm. Unter welchem Winkel k sind Maxima zu erwarten, und wie viele treten höchstensauf?

Licht als Welle


Aufgaben

2. Aufgabe

Durch Interferenz entstehen Maxima für

Daraus ergibt sich für sin 1 = 0,288, d.h. 1 = 16,7o. Weitere Maxima ergeben sich für 2 = 35,1o und 3 = 59,6o. Maxima höherer Ordnung sind nicht möglich, da schon sin 4 > 1 ist.

g

kk

sin

Licht als Welle


Aufgaben

3.Aufgabe: Ein Gitter mit 1000 Spalten pro cm wird von Laserlicht durchstrahlt. In 4 m Abstand vom Gitter sind die Hauptmaxima 1. Ordnung 25,4 cm voneinander entfernt. Berechnen Sie die Wellenlänge.

Es gilt

mmm

mm

ka

ag

damitg

k

a

akk

k

5,31714

127,010

,sintan

51

Licht als Welle


Aufgaben

4. Aufgabe: Auf ein Gitter mit g = 4*10-5 m fällt weißes Glühlicht ( 400 nm <= <= 800 nm).a) Errechnen Sie die Winkelbereiche für die Maxima 1., 2. und 3. Ordnung.b) Welches ist der kleinste Winkel, für den eine Überlagerung verschiedener Ordnung auftritt?c) Wie weit sind die Spektren 1. Ordnung auf einem 3 m entfernten Schirm auseinandergezogen?d) Welche Breite ergibt sich bei c), wenn der Versuch unter Wasser durchgeführt wird?e) Ein Spektrum enthält als kürzeste Wellenlänge = 450 nm. Welchen Wellenlängenbereich darf es nur umfassen, wenn sich die 5. Ordnung nicht mit benachbarten Ordnungen überlagern soll?

Licht als Welle


Aufgaben

4. Aufgabe:

a)1.Ordnung: 0,57o 1,15o

2.Ordnung: 1,15o 2,29o

3.Ordnung: 1,72o 3,44o

b) = 1,72o

c) Die Spektren 1. Ordnung liegen vom Zentrum gemessen im

Bereich 3 cm s 6 cm

nw = ¾ L/ nw, 2,25 cm s 4,5 cmd) Für die größte Wellenlänge * gilt:

Sin 5(* ) Sin 6( ) 5 * 6 * = 6/5 = 540 nm

Licht als Welle – das Gitter

Aufgaben

Dorn – Seite 189 A. 1

Ein Gitter hat 500 Linien pro mm. Der Schirmabstand beträgt 1,50 m. Welchen Abstand hat für = 780 nm die Spektrallinie 1. Ordnung von der Linie 2. Ordnung?

Die beiden Spektrallinien 1. Ordnung von Na-Licht ( = 780 nm) haben auf einem 1,00 m entfernten Schirm den Abstand 11,8 cm. Wie groß ist g?

Ein Gitter mit 5000 Strichen pro cm wird mit parallelem weißem Glühlicht beleuchtet. Der Schirm hat die Form eines Halbzylinders, in dessen Mittelachse das Gitter steht.a)Bis zu welcher Ordnung kann das sichtbare Spektrum beobachtet werden?b)Welche Wellenlänge ergibt sich aus sin k = 1 = k /g in der höchsten Ordnung?


Aufgaben

Dorn – Seite 189 A. 1

Ein Gitter hat 500 Linien pro mm. Der Schirmabstand beträgt 1,50 m. Welchen Abstand hat für = 780 nm die Spektrallinie 1. Ordnung von der Linie 2. Ordnung?

a

dTan

gkSin k ,

Folgendes Gleichungssystem ist zu lösen

Mit den Werten g = 1/500000 m, a = 1,50 m, = 780 nm, einmal mit k = 1, das andere Mal mit k = 2. Die Differenz bildet dann den Abstand der beiden Maxima.

Man erhält: k=1-> d1=0,635307, = 22,9545o

k=2-> d2=1,86967, = 51,2606o

Damit: d2 – d1 = 1,23436


Aufgaben

Gitter2.doc

4.Aufgabe: Die gelbe Linie im Quecksilberspektrum hat die Wellenlänge = 578 nm. Im Spektrum 3.Ordnung fällt sie fast genau mit der blauen Quecksilberlinie 4.Ordnung zusammen.a) Berechnen Sie die Wellenlänge dieser blauen Linie.b) Wie viele Spalte pro mm darf das Gitter höchstens haben, damit die Ablenkung dieser Linie gegen das Maximum 0.Ordnung nicht mehr als 45o beträgt?


Aufgaben

Gitter2.docLösung

a) Die Winkel für die Ablenkung bei gelb und blau ist gleich, daher auch der sinus.

gelbblaublaugelb

blaugelb

gg

giltdag

undg

4

343

sinsin:4sin3sin 4343

blau = 0,75 578 nm = 433,5 nm

b) Folgende Gleichung muss gelöst werden:

0

0

45sin

4

445sin

blau

blau

g

g

Es ergibt sich: g = 2,45225*10-6 m, das sind 407789 Spalte pro m oder 407 Spalte pro mm.


Aufgaben

Gitter2.doc

5.Aufgabe: Das Glühlicht einer Bogenlampe soll mit einem Gitter zerlegt werden.a) Skizzieren Sie eine Versuchsanordnung, die geeignet ist, mit Glühlicht ein auswertbares Interferenzbild zu erzeugen. Das Gitter ist ein Rowlandgitter mit 570 Strichen/mm. Auf einem Schirm im Abstand 2,50 m haben die beiden Enden des Spektrums 1. Ordnung vom Maximum 0. Ordnung den Abstand 57 cm bzw. 122 cm.b) Geben Sie an, welcher der beiden Abstände zum roten bzw. violetten Ende des Spektrums gehört.c) Berechnen Sie die Wellenlänge des Lichtes am roten bzw. violetten Ende des Spektrums.


Aufgaben

Gitter2.doc

b) Es muss der Winkel berechnet werden und zwar mit Hilfe der folgenden Gleichung:

Lösung

gbzw

gviolettrot 1sin.1sin 11

Der Winkel für: rot -> = 23,50 Violett -> = 13,10

Dies Ergebnis hätte man auch ohne Rechnung erhalten können (rot wird stärker gebeugt als violett)


Aufgaben

Gitter2.doc

c) Die Winkel für die entsprechenden Wellenlängen erhält man aus der Beziehung:

Für rot bzw. violett erhält man: rot -> 26,010 und violett -> 12,840

Mit Hilfe der Gleichung können jetzt die entsprechenden Wellenlängen ausgerechnet werden.

Rot: 769,41 nm und Violett: 389,99 nm

Lösung

a

x11tan

g

1sin 1

Licht als Welle – Interferenz an der CD

Aufgaben

Aufgabe: Auf einer CD ( compact disc) ist die Information auf einer spiralförmigen Spur gespeichert. Die Abb. 1 zeigt schematisch den stark vergrößerten Teil einer CD-Oberfläche im Querschnitt:


Aufgaben

Die Erhebungen zwischen benachbarten Spuren reflektieren Licht und können damit als Erregerzentren von Elementarwellen, die miteinander interferieren, aufgefasst werden. Die Oberfläche der CD ist demnach ein Reflexionsgitter mit der Gitterkonstanten b.


Aufgaben

Wird eine CD, wie in Abb. 2 dargestellt, senkrecht mit Laserlicht der Wellenlänge λ = 633 nm bestrahlt, so beobachtet man auf einem im Abstand a = 30,0 cm parallel stehenden Schirm (Radius 50 cm) helle, zum Strahl symmetrisch liegende Punkte.


Aufgaben

a)Erklären Sie unter Zuhilfenahme einer aussagekräftigen Skizze das Zustandekommen dieser Punkte. b)Der Abstand der beiden innersten Punkte auf dem Schirm beträgt 25,8 cm. Berechnen Sie daraus den Abstand b benachbarter CD-Rillen. [zur Kontrolle: b = 1,60 μm] c)Ermitteln Sie, wie viele Punkte man auf dem Schirm beobachten kann. d)Nun wird die CD mit einem feinen Strahl weißen Lichtes beleuchtet. Entscheiden Sie rechnerisch, ob das sichtbare Spektrum zweiter Ordnung auf dem Schirm noch vollständig abgebildet wird.


Aufgaben

Die Erhebungen zwischen benachbarten Spuren reflektieren Licht und können damit als Erregerzentren von Elementarwellen, die miteinander interferieren, aufgefasst werden. Die Oberfläche der CD ist demnach ein Reflexionsgitter mit der Gitterkonstanten b.


Aufgaben

a) Unter dem Winkel α ergibt sich ein Intensitätsmaximum, falls

Lösung

Aus der Zeichnung ersieht man, dass gilt:

Analog ergeben sich die bezüglich des Einfallslotes achsensymmetrisch liegenden Maxima.


Aufgaben

b) Die innersten Punkte sind die symmetrisch liegenden Maxima 1. Ordnung (k = 1).d = 25,8 cm : 2 = 12,9 cm

Lösung


Aufgaben

c) Für d muss gelten: d < 50 cmEin Punkt ist noch zu beobachten, wenn: α < α max

Lösung

Also treffen die Maxima zweiter Ordnung auch noch auf den Schirm, so dass insgesamt vier Punkte auf dem Schirm zu beobachten sind (2 x Maximum 1. Ordnung; 2 x Maximum 2. Ordnung).

Für den roten Rand des Maxi-mums 2. Ordnung ergibt sich näherungsweise:

Somit findet keine vollständige Abbildung des Maximums 2. Ordnung des sichtbaren Lichts auf dem Schirm statt.

Auflösungsvermögen des Gitters

Aufgaben

Aufgabe: Ein Kollegiat untersucht im Praktikum das Spektrum einer Quecksilberdampflampe mit Hilfe verschiedener optischer Gitter. Im sichtbaren Bereich stellt er auf einem Beobachtungsschirm drei intensive Linien fest, eine gelbe mit der Wellenlänge 578 nm, eine grüne mit 492nm und eine blaue mit 436nm. a)Erklären Sie, weshalb eine Quecksilberdampflampe ein Linienspektrum emittieren kann. Bei Verwendung eines Gitters mit 400 Spalten pro Zentimeter beobachtet der Kollegiat, dass die drei sichtbaren Linien des Spektrums 2. Ordnung nicht mit denen des Spektrums 3. Ordnungb)Zeigen Sie, dass dies unabhängig von der Gitterkonstanten gilt.c)Der Kollegiat ersetzt den Beobachtungsschirm durch seinen weißen Hemdsärmel und bemerkt nun eine neue blau erscheinende Linie, die mit der gelben Linie im Spektrum 2. Ordnung zusammenfällt. Welche Wellenlänge hat die neue Linie, wenn man annimmt, dass diese Linie in 3. Ordnung erscheint? Erklären sie das Auftreten der neuen Linie.


Aufgaben

Laut Formelsammlung besteht die beobachtete gelbe Linie aus zwei nahe beieinander liegenden Einzellinien. Kann der Kollegiat diese beiden Linien im Spektrum 2. Ordnung getrennt beobachten, wenn er das feinste Gitter benützt, das ihm zur Verfügung steht? Dieses Gitter hat die Breite 5,0 mm und die Gitterkonstante 3,5 mm. [Hinweis: Für das Auflösungsvermögen eines optischen Gitters gilt:

Dabei bedeuten k die Ordnung des Spektrums, N die Anzahl der beleuchteten Gitterspalte und Δλ den kleinsten beobachtbaren Wellenlängenunterschied.]


Aufgaben

a)Linienspektren sind dann zu erwarten, wenn die angeregten Atome relativ ungestört sind, d.h. keine Druckverbreiterung, kein Einbau in Festkörper oder Einbau in Verbindungen vorliegt. In der Quecksilber-dampflampe erfolgt die Anregung von freien Quecksilberatomen durch Elektronenstoß. Da die Energiestufen im ungestörten Hg-Atom diskret sind, werden beim Übergang in energetisch günstigere Zustände Photonen mit diskreten Energien ausgesandt. Dies äußert sich in einem Linienspektrum, bei dem nur elektromagnetische Strahlung mit bestimmten Wellenlängen vorkommt. b) Für den Gangunterschied Δ s gilt für das Maximum k-ter Ordnung: Δ s = k · λ oder b· sinα = k· λ. Hieraus sieht man, dass bei einer bestimmten Ordnung das Licht mit größerer Wellenlänge am weitesten abgelenkt wird.Berechnung des Gangunterschiedes benachbarter Strahlen der am weitesten von der optischen Achse entfernten Linie im Spektrum 2. Ordnung: Δ s = 2 · λ gelb => Δ s = 2 · 578 nm = 1,2m m

Lösung


Aufgaben

b) Berechnung des Gangunterschiedes benachbarter Strahlen der am wenigsten von der optischen Achse entfernten Linie im Spektrum 3. Ordnung:Δ s* = 3 · λ blau => Δ s = 3 · 436 nm = 1,3m mMan sieht, dass Δ s < Δ s* ist und somit auch α 2, gelb < α 3, blau. Bei dieser Betrachtung spielte die Gitterkonstante keine Rolle, also kann man allgemein davon ausgehen, dass sich bei Quecksilber die deutlich sichtbaren Spektren 2. und 3. Ordnung nicht überlappen.c) Berechnung der Wellenlänge der neuen Linie:2 · λ geb = 3 · λ neu =>

Die neue Linie liegt im ultravioletten Bereich des elektromagnetischen Spektrums. Die "Weißmacher" im Hemd wandeln das nicht sichtbare ultraviolette Licht in sichtbares Licht um (Fluoreszenz).

Lösung


Aufgaben

d)Aus der Formelsammlung kann man entnehmen, dass die Wellenlängen des gelben Lichts bei Quecksilber λ gelb,1= 579,1nm und λ gelb,2= 577,0 nm sind. Es gilt also Δλ * = 2,1nm.Maximalzahl der beleuchteten Spalte N:

Berechnung des Wellenlängeunterschieds Δλ , der mit dem vorhandenen Gitter noch auflösbar ist:

Lösung

Man sieht, dass der Kollegiat mit seiner Anordnung die beiden gelben Linien trennen könnte.

Farben dünner Schichten – Öl auf Wasser

Aufgaben

Dünne Ölschichten auf Wasser schimmern bei Tageslicht in verschiedenen Farben. Zur Erklärung wird Licht betrachtet, das unter dem Winkel a auf eine Ölschicht der Dicke d fällt.

Erläutern Sie mit Hilfe der neben-stehenden Zeichnung das Zustan-dekommen der Interferenz bei Reflexion.Geben Sie den optischen Gangun-terschied Δs der parallelen Strah-len 1 und 2 mit den Bezeichnun-gen aus der Zeichnung an. Verwenden Sie dabei, dass Was-ser optische dichter ist als Öl und dass die optische Weglänge gleich dem Produkt aus geometrischer Weglänge und der Brechzahl ist.


Aufgaben

Die mathematische Auswertung des in Teilaufgabe 3a verlangten Ansatzes liefert

(Herleitung nicht erforderlich).

b)Erklären Sie, weshalb die Ölschicht bei Tageslicht farbig schimmert.

c)Auf einer Wasserpfütze hat sich Öl mit der Brechzahl n = 1,20 in einer 560 nm dicken Schicht ausgebreitet. Für welche Einfallswinkel wird grünes Licht der Wellenlänge 510 nm unterdrückt?


Aufgaben

a) Der Gangunterschied der beiden Strahlen 1 und 2 ist s:n: Brechzahl von Öl (n > 1)

Da beide Strahlen am optisch dichteren Medium reflektiert werden, egalisieren sich die beiden dabei auftretenden Phasensprünge.

Lösung

Auf die Ölschicht trifft weißes Tages-licht (Licht in dem alle "sichtbaren Frequenzen" vorkommen). Durch die Interferenz an der Ölschicht kommt es – abhängig vom Winkel α - für bestimmte Frequenzen zu destruk-tiver Interferenz, d.h. diese Frequen-zen fehlen im reflektierten Licht, so dass sich in Reflexion nicht mehr weißes Licht ergibt.


Aufgaben

c) Bedingung für destruktive Interferenz:

Berechnung der Winkel, bei denen grünes Licht unterdrückt wird:

Lösung


Aufgaben

c) Für k = 1 ist sinα1 > 1, also keine Auslöschung möglich.

Für k = 2 gilt:

Für k = 3 gilt:

Für k = 4 wird der Radikand negativ!

Lösung

Farben dünner Schichten

Aufgaben

Aufgabe: a) Auf einer Wasserpfütze (nw = 1,33) schwimmt ein dünner Ölfilm (nöl = 1,40). Weißes Licht fällt nahezu senkrecht auf den Ölfilm. Bei der Beobachtung in Reflexion hat man von der Ölschicht einen "gelblichen" Farbeindruck, da blaues Licht (λ = 469nm) durch Interferenz eliminiert wird. Zeichnen Sie die für die Interferenz maßgeblichen Strahlen ein und berechnen Sie die kleinste von Null verschiedene Dicke der Ölschicht, damit der geschilderte Effekt eintritt.

Auf einer Wasserpfütze (nw = 1,33) schwimmt ein dünner Ölfilm (nöl = 1,40). Weißes Licht fällt nahezu senkrecht auf den Ölfilm. Bei der Beobachtung in Reflexion hat man von der Ölschicht einen "gelblichen" Farbeindruck, da blaues Licht (λ = 469nm) durch Interferenz eliminiert wird.

Farben dünner Schichten

Aufgaben

b)Tatsächlich erscheint die Ölschicht in verschiedenen Farben. Was könnte hierfür der Grund sein?c)Das nebenstehende Bild zeigt eine mit weißem Licht bestrahlte Seifenhaut vor dunklem Hintergrund, die sich schon einige Zeit zwischen einem Drahtrahmen befindet.Erklären Sie die Farbschichtungen im unteren Teil der Seifenhaut qualitativ. Gehen Sie auch darauf ein, warum die Seifenhaut kurz vor dem Abreißen im oberen Teil schwarz erscheint.

Newtonsche Ringe

Aufgaben

Aufgabe: Bei nebenstehendem Foto von war der Abstand vom Newtonglas zur Abbildungslinse g = 15 cm, der Abstand Abbildungslinse zur Beobachtungswand b = 3,00 m. Der Krüm-mungsradius der Linse ist R = 3,0 m, der eingefügte Maßstab hat cm-Einteilung. 1.Bestimme die Radien der 2. und 3. roten Ringes auf dem Bild und die zugehörigen Originalradien. 2.Wodurch kommen die farbigen Ringe zustande?3.Bestimme den effektiven Wegunterschied zweier interferierender Lichtstrahlen im Abstand r vom Kreismittelpunkt.4.Bestimme daraus die Wellenlänge des roten Lichts.

Linsenvergütung

Aufgaben

Aufgabe: Man kann die Lichtreflexion einer Glasoberfläche stark herabsetzen, wenn man die Oberfläche mit einer dünnen ein- oder mehrlagigen Schicht aus transparentem Material von geeignetem Brechungsindex überzieht. Die an den Schichtgrenzen reflektierten Wellen können sich praktisch aufheben. Die Schichten werden im Vakuum aufgedampft.

Linsenvergütung

Aufgaben

Aufgabe: Man berechne den Brechungs-index n2 und die Dicke d der Vergütungsschicht, die für senk-rechten Lichtauffall und für l = 500,0 nm Reflexions-freiheit bei Glas mit dem Brechungsindex n3 = 1,5 ergibt.

Licht als Welle

Aufgaben

2. Klausur Jahrgangsstufe 12/2 Datum: 08. 06.09 Kurslehrer: H.Sporenberg

Klausuren

1. Aufgabe: Ebene Lichtwellen der Wellenlänge fallen senkrecht auf einen Doppelspalt. Die beiden Spaltöffnungen sind so eng, dass man sie als Zentren von Elementarwellen ansehen kann. Die Entfernung der entsprechenden Spaltkanten sei g = 0,4 mm. In der Entfernung e = 1,8 m befindet sich hinter dem Doppelspalt ein zu ihm paralleler Schirm.a) Unter welchen Winkeln zur ursprünglichen Ausbreitungs-richtung des Lichtes erscheinen helle bzw. dunkle Streifen auf dem Schirm? Skizzieren Sie die Versuchsanordnung und leiten Sie eine allgemeine Gleichung für her.b) Zwei benachbarte helle Streifen auf dem Schirm haben für kleine Werte von die Entfernung d1 = 2,5 mm. Berechnen Sie die Wellenlänge .


Klausuren

2. Aufgabe: Im Licht einer Quecksilberhochdrucklampe sind die Wellenlängen 1 = 578 nm (gelb) und 2 = 436 nm (blau) besonders intensitätsstark. Dieses Licht fällt auf ein optisches Strichgitter mit 350 Spalten je 1 cm Gitterbreite.a) Leiten Sie die Beziehung für das Auftreten der Maxima am Gitter her. Geben Sie auch eine Skizze der Versuchsanordnung an.a) Welche Ordnung n hat diejenige gelbe Linie, die mit der blauen Linie der Ordnung (n+1) praktisch zusammenfällt?b) Welcher Beugungswinkel liegt für den unter a) betrachteten Fall vor? Berechnen Sie diesen Beugungswinkel für die gelbe und die blaue Linie zur Kontrolle der Übereinstimmung getrennt.c) Hinter dem Gitter befindet sich in der Entfernung e = 2,25 m ein Schirm, auf dem die gelben und die blauen Linien beobachtet werden können. In welchem Abstand von der Symmetrieachse der Beugungsfigur befindet sich die unter a) betrachtete gelbe bzw. blaue Linie?


Klausuren

3. Aufgabe: Auf einen Spalt der Breite 0,4 mm fällt einfarbiges paralleles Licht. Auf der anderen Seite des Spaltes steht im Abstand 3,2 m parallel zur Spaltebene ein Schirm, auf dem Beugungsstreifen beobachtet werden. a) Für die den zentralen hellen Streifen einschließenden dunklen Streifen wird ein Abstand von 8,6 mm gemessen. Berechnen Sie die Wellenlänge und die Frequenz des benutzten Lichtes.b) Der Spalt wird auf 0,2 mm Breite verengt. Berechnen Sie, wie sich dies auf die Breite des zentralen hellen Streifens auswirkt.


Klausuren

4. Aufgabe: Das Spektrum einer Helium-Spektrallampe soll mit Hilfe eines Beugungsgitters (100 Spalte pro mm) erzeugt werden. Zur Beobachtung des Spektrums befindet sich in 1,0 m Entfernung ein Schirm.a) Erstellen Sie eine beschriftete Skizze eines geeigneten Versuchsaufbaus.b) Auf dem Schirm ist in 1. Ordnung unter anderem eine gelbe Linie zu sehen, die vom zentralen Maximum 5,9 cm entfernt ist. Berechnen Sie die Wellenlänge dieser Linie.c) Auf dem Schirm treten auf derselben Seite bezüglich des zentralen Maximums die Spektrallinien zweiter Ordnung des roten Lichts (λrot = 667,8 nm) und des violetten Lichts (λviolett = 402,6 nm) auf. Berechnen Sie den gegenseitigen Abstand dieser Linien.

2. Klausur - Lösung

Klausuren

Für die Maxima gilt:a

d

gk k tan,sin

...,3,2,12

)12(sin

kfür

b

kk

Für die Minima gilt:

1.Aufgabe: a) Der Gangunterschied d spielt für die Maxima bzw. Minima die entscheidende Rolle


Klausuren

Für die Wellenlänge ergibt sich: = 555 nm

1. Aufgabe: b)

SolveSinDegreealpha k Lambdag,TanDegreealpha xka,Lambda, alpha.k 1, a 1.8, xk 2.510^3, g 0.410^3


Klausuren

Da die beiden Linien übereinander liegen sollen, müssen die Winkel und damit auch der jeweilige Sinus gleich sein.

2. Aufgabe: b)

3070,3)1(

)1(sinsin 1

blaugelb

blaublaugelb

blaugelbnn

nnn

gn

gn

gn

giltblauFür

blaun

)1(sin

:

1gn

giltgelbFür

gelbn

sin

:


Klausuren

Man benutzt die in b) aufgestellten Formeln für n = 3.

2. Aufgabe: c)

gn

giltblauFür

blaun

)1(sin

:

1gn

giltgelbFür

gelbn

sin

:

Es ergibt sich für:

n (gelb) = 3,479o

n+1 (blau) = 3,499o


Klausuren

Die Abstände müssen für gelb (n=3) und blau (n=4) gleich sein. Dieses war bei c) so ausgerechnet worden. Ein kleiner Unterschied ergibt sich jedoch, wie man aus der Winkelberechnung getrennt nach gelb und blau sehen kann.

2. Aufgabe: d)

3

tansin

:

kmit

a

xund

gk

giltgelbFür

kk

gelbk

Es ergibt sich für: x3 (gelb) = 0,1368 m x4 (blau) = 0,1376 m

4

tansin

:

kmit

a

xund

gk

giltblauFür

kk

blauk


Klausuren

Man benötigt die Gleichung für Interferenz am Einzelspalt. Die Bedingung für destruktive Interferenz (Minima) lautet:

3. Aufgabe: a)

gkk

sin

Für die Wellenlänge bzw. Frequenz erhält man: = 537,5 nm f = 1,861015 Hz

Solveklambdag xka, lambda.k 1, g 0.410^3, xk 8.6210^3, a 3.2b) Halbiert man die Spaltbreite bei gleicher Wellenlänge, so verdoppelt sich der Abstand der Minima.


Klausuren

Setzt man die angegebenen Werte ein, so erhält man: = 588,97 nm

4. Aufgabe: b)

a

d

gk k tan,sin

c) Für die rote Linie erhält man als Abstand von der Mitte: xk(rot) = 0,1347 m und xk(violett) = 0,08098 m. Die Differenz ist dann: d = 0,05378 m

SolveSinDegreealpha k Lambdag,TanDegreealpha xka,xk, alpha.k 2., a 1, g 1100000, Lambda 667.8 10^9

Intensität beim Gitter ohne Einzelspaltberücksichtigung

Gitter/Einzelspalt

Die Funktion, die die Intensität bei der Beugung am Gitter angibt, lautet:

2

0)(

Sin

dSin

SindN

SinII

N: Anzahl der Spalted: Gitterkonstante: Wellenlänge


Gitter/Einzelspalt

Die Funktion, die die Intensität bei der Beugung am Einzelspalt angibt, lautet:

2

0)(

Sin

b

Sinb

SinII

b: Spaltbreite: Wellenlänge


Gitter/Einzelspalt

Die Funktion, die die Intensität bei der Beugung am Gitter angibt und die Beugung durch den Einzelspalt berücksichtigt, lautet:

22

0)(

Sin

dSin

SindN

Sin

Sinb

Sinb

SinII

N: Anzahl der Spalted: Gitterkonstanteb: Spaltbreit: Wellenlänge


Gitter/Einzelspalt

1.Die Intensität beim Gitter in Abhängigkeit von der Anzahl der Spalte ohne Berücksichtigung der Überlagerung durch den Einzelspalt. Man erkennt n-2-Nebenmaxima (z.B. bei der gelben Kurve).

Rot: 8 Spalte

Blau: 6 Spalte

Gelb: 4 Spalte

= 400 nm

g = 1/600000

0.4 0.2 0.2 0.4Winkel

5

10

15

20

25

30

35

Intensitaet

Der Winkel wird in Rad angegeben. D.h.

0,1 Rad = 5,729o


1.Die Intensität beim Gitter in Abhängigkeit von der Anzahl der Spalte ohne Berücksichtigung der Überlagerung durch den Einzelspalt. Hier mit rotem Licht

Rot: 8 Spalte

Blau: 6 Spalte

Gelb: 4 Spalte

= 800 nm

g = 1/600000

0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6Winkel

5

10

15

20

25

30

35Intensitaet

Man erkennt, dass rotes Licht stärker gebeugt wird als blaues.

Gitter/Einzelspalt

Intensität beim Gitter mit Einzelspaltberücksichtigung

2.Die Intensität beim Gitter in Abhängigkeit von der Anzahl der Spalte mit Berücksichtigung der Überlagerung durch den Einzelspalt. Hier mit blauem Licht

6 Spalte

= 400 nm

g = 1/600.000

b = 1/2.000.000

Gitter/Einzelspalt

0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6Winkel

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

20

Intensitaet


2.Die Intensität beim Gitter in Abhängigkeit von der Anzahl der Spalte mit Berücksichtigung der Überlagerung durch den Einzelspalt. Hier mit rotem Licht

6 Spalte

= 800 nm

g = 1/600.000

b = 1/2.000.000

Gitter/Einzelspalt

0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6Winkel

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

20

Intensitaet


2.Die Intensität beim Gitter in Abhängigkeit von der Anzahl der Spalte mit/ohne Berücksichtigung der Überlagerung durch den Einzelspalt. Man erkennt, dass die Nebenmaxima mit Berücksichtigung deutlich kleiner sind (rote Kurve). Die Hauptmaxima sind gleich.

12 Spalte

= 400 nm

g = 1/600.000

b = 1/2.000.000

Gitter/Einzelspalt

0.4 0.2 0.2 0.4Winkel

2

4

6

8

10

12

14

Intensitaet


2.Die Intensität beim Gitter in Abhängigkeit von der Anzahl der Spalte mit/ohne Berücksichtigung der Überlagerung durch den Einzelspalt. Man erkennt, dass die Nebenmaxima mit Berücksichtigung deutlich kleiner sind (rote Kurve). Die Hauptmaxima sind gleich.

12 Spalte

= 800 nm

g = 1/600.000

b = 1/2.000.000

Gitter/Einzelspalt

0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6Winkel

2

4

6

8

10

12

14

Intensitaet

die schwingung unter einer (mechanischen) schwingung eines körpers versteht man eine unter der...

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