Diferencia Entre El Método De Jacobi Y Gauss Seidel

Como metodos numericos los caracterizan dos matrices de descomposición distintas, es decir, para un sistema Ax = b se descompone la matriz A = G + (A-G)

Donde G es la matriz de descomposicion que debe ser REGULAR.

En el caso de Jacobi, la matriz de descomposicion es D siendo D la matriz que contiene la diagonal principal de A, entonces A = D + (L+U) (L y U son las matrices triangular inferior y triangular superior de A, sin la diagonal) y el metodo queda definido por la sucesión:

Xn+₁ = -D⁻¹(L+U)Xn + D⁻¹b

El metodo de Gauss-Seidel teien como matriz de descomposicion (D+L), y por tanto el metodo queda definido por la sucesion:

Xn+₁ = -(D+L)⁻¹UXn + (D+L)⁻¹b

Lo que los diferencia es la eficiencia computacional en cada caso, el metodo de Gauss-Seidel necesita menos memoria para aplicar el metodo, sin embargo hay que obtener la solucion del sistema completo, no se puede obtener cualquier incognita por separado, esto sin embargo si lo permite el metodo de Jacobi, aunque requiere mas memoria.

Por otra parte, si la matriz A es definida positiva, se sabe que el metodo de Gauss-Seidel converge, pero el de Jacobi necesita ademas que 2D-A sea tambien definida positiva, en otro caso no se asegura nada.